2.3.2兩條直線的交點坐標課件高二上學期數(shù)學選擇性

兩條直線的交點坐標第2章平面解析幾何初步湘教版

數(shù)學

選擇性必修第一冊課標要求1.掌握兩條直線的位置關系中的相交幾何意義,并能根據(jù)已知條件求出兩條直線的交點坐標;2.能夠根據(jù)方程組解的個數(shù)判定兩條直線的位置關系;3.能根據(jù)兩條直線相交的性質求待定參數(shù).基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標基礎落實·必備知識一遍過知識點兩直線的交點坐標設兩條直線方程分別為l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,兩條直線的位置關系與對應直線方程組成的方程組的解的關系方程組的解的情況一組解無解無數(shù)組解直線l1與l2的公共點個數(shù)一個零個無數(shù)個直線l1與l2的位置關系

相交

平行重合名師點睛1.點與直線關系的幾何意義及其表示幾何元素及關系代數(shù)表示點MM(a,b)直線ll:Ax+By+C=0(A,B不同時為0)點M在直線l上Aa+Bb+C=0直線l1與l2的交點是M方程組

的解是2.兩直線的交點坐標與兩直線的方程構成的方程組之間的關系如果兩條直線相交,則交點一定同時在這兩條直線上,且交點坐標是這兩個直線方程的唯一公共解;如果這兩個二元一次方程組成的方程組只有一個解,那么以這個解為坐標的點必是l1和l2的交點.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)兩直線方程構成的方程組可以有兩個解.(

)(2)若兩直線方程構成的方程組的解集不是空集,則兩直線不會平行.(

)(3)兩直線方程構成的方程組的解集最多只有一個元素.(

)×√×2.若直線l1:x-2y=0與l2:2x-ay+3=0構成的方程組無解,則實數(shù)a的值為(

)A.2 B.3C.-2 D.4D解析

依題意,直線l1,l2構成的方程組無解,則兩直線平行,即(-a)-(-2)×2=0,且1×3-2×0≠0,解得a=4.3.若直線l1:x+ay-4=0與直線l2:bx-y+5=0的交點坐標是P(2,1),則a=

,b=

.

2-2解析

將P(2,1)代入直線l1:x+ay-4=0,得2+a-4=0,解得a=2;將P(2,1)代入直線l2:bx-y+5=0的方程可得2b-1+5=0,解得b=-2.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一兩直線的交點坐標的求法【例1】

判斷下列各組中兩條直線之間的位置關系.如果相交,求出交點的坐標:(1)l1:x-y=0,

l2:3x+3y-10=0;(2)l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0;(3)l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0.分析

聯(lián)立兩直線的方程構成的方程組,通過方程組是否有解及解的個數(shù),確定直線位置關系及交點的坐標.①×2-②得9=0,矛盾.由此可知方程組無解,所以直線l1與l2平行.①×2得6x+8y-10=0.說明方程②是方程①的2倍,方程①的解都是方程②的解.因此直線l1與l2重合.規(guī)律方法

根據(jù)兩相交直線的直線方程求直線的交點的方法將兩條直線的方程聯(lián)立,得方程組

若方程組有唯一解,則兩直線相交,此解就是交點的坐標;若方程組無解,則兩直線無公共點,此時兩直線平行;若方程組有無數(shù)組解,則兩直線重合.變式訓練1判斷下列各組中直線的位置關系.如果相交,求出交點的坐標:(1)l1:2x-3y=7,

l2:4x+2y=1;②×6得6y=2x+4,整理得2x-6y+4=0,說明方程①是方程②的6倍,方程②的解都是方程①的解.因此直線l1與l2重合.探究點二過兩直線的交點的直線方程的求法【例2】

求經(jīng)過直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點,且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程.分析

解方程組求出兩直線的交點坐標,利用條件求出直線的方程,也可以設過兩直線的交點的直線方程,利用條件求解.當直線在兩坐標軸上的截距不為0時,設直線的方程為x+y=a,將點(-4,3)代入可得a=-1,整理得直線方程為x+y+1=0.綜上所述,所求直線方程為x+y+1=0或3x+4y=0.(方法2)由于直線2x+5y-7=0在兩坐標軸上的截距不相等,設直線方程為3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0,即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0.規(guī)律方法

過兩直線的交點的直線方程的求法

方法過程結論方程組法解方程組求出交點坐標根據(jù)交點及其他條件求解直線系法先設出過兩條直線交點的直線方程利用條件求直線系中的參數(shù)得方程說明:過兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程)(其中λ為參數(shù)).變式訓練2求經(jīng)過兩直線l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交點P,且與直線l3:3x-4y+5=0垂直的直線l的方程.(方法2)∵直線l過直線l1和l2的交點,∴可設直線l的方程為x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.∵l與l3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,解得λ=11.∴直線l的方程為12x+9y-18=0,整理得4x+3y-6=0.探究點三直線過定點問題【例3】

求證:不論m取什么實數(shù),直線(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都經(jīng)過一個定點.求出這個定點的坐標.證明(方法1)對于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,令m=0,得x-3y-11=0;令m=1,得x+4y+10=0.將點(2,-3)代入已知直線方程左邊,得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.這表明不論m為什么實數(shù),所給直線均經(jīng)過定點(2,-3).(方法2)以m為未知數(shù),整理為(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.所以不論m取什么實數(shù),該直線都經(jīng)過定點(2,-3).規(guī)律方法

求解含有參數(shù)的直線過定點問題的方法(1)給直線中的參數(shù)任意賦兩個不同的值,得到兩條不同的直線,然后驗證這兩條直線的交點就是題目中含參數(shù)直線所過的定點.(2)分項整理,將含參數(shù)的項并為一項,不含參數(shù)的項并為一項,整理成等號右邊為零的形式,然后令含參數(shù)的項和不含參數(shù)的項分別為零,解方程組所得的解即為所求定點.變式訓練3求證:不論m為何值時,直線l:y=(m-1)x+2m+1一定過第二象限.證明(方法1)直線l的方程可化為y-3=(m-1)(x+2),∴直線l過定點(-2,3).由于點(-2,3)在第二象限,故直線l總過第二象限.(方法2)直線l的方程可化為(x+2)m-(x+y-1)=0.∴無論m取何值,直線l總經(jīng)過點(-2,3).∵點(-2,3)在第二象限,故直線l總過第二象限.本節(jié)要點歸納1.知識清單:兩直線交點的坐標與兩直線方程構成的方程組解的關系.2.方法歸納:解方程組法判斷兩直線交點的個數(shù)及求兩直線的交點,設直線系方程求解過兩直線的交點的直線方程;特殊值法與轉化法求直線過定點問題.3.注意事項:兩直線的交點的個數(shù)可以轉化為直線的方程構成的方程組解的個數(shù),使用直線系方程時要注意驗證與參數(shù)結合的直線是否滿足題意.學以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314151617A級必備知識基礎練1.下列直線與直線x+y=0只有一個交點的是(

)A.y=-x+3 B.-x-y+=0C.x-y+2=0 D.2x+2y-5=0C解析

由題可知,A,B,D選項中的直線均與x+y=0平行,只有C選項中的直線與x+y=0相交.故選C.12345678910111213141516172.兩條直線l1:2x-y-1=0與l2:x+3y-11=0的交點坐標為(

)A.(3,2) B.(2,3)C.(-2,-3) D.(-3,-2)B12345678910111213141516173.關于x,y的方程組

沒有實數(shù)解,則實數(shù)a的值是(

)A.4 B.2

C.-4 D.-2C解析

依題意得直線2x-ay+1=0與直線x+2y-1=0平行,且a≠0.所以

,解得a=-4.故選C.12345678910111213141516174.已知兩條直線2x+3y-k=0和x-6y+12=0的交點在y軸上,那么k的值是(

)A.-6 B.6

C.2

D.-2B解析

由x-6y+12=0可得直線與y軸的交點坐標為(0,2).將點(0,2)代入2x+3y-k=0,可得k=6.12345678910111213141516175.三條直線x=2,x-y-1=0,x+ky=0相交于一點,則k的值為

.

-2解析

設三條直線交于一點P,即P點坐標為(2,1).∵直線x+ky=0過點P,即2+k=0,解得k=-2.12345678910111213141516176.經(jīng)過兩條直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點,并且與直線x+y=1平行的直線方程為

,與直線x+y=1垂直的直線方程為

.

x+y-3=0x-y-1=0由于直線x+y=1的斜率為k=-1,因此過交點且與直線x+y=1平行的直線方程為y-1=-(x-2),整理得x+y-3=0.過交點且與直線x+y=1垂直的直線方程的斜率為1,則所求直線方程為y-1=x-2,整理得x-y-1=0.12345678910111213141516177.已知兩直線l1:3x-y+4=0和l2:x+y-4=0.(1)判斷兩直線是否相交,若相交,求出其交點;(2)求過直線l1與l2的交點且斜率為-2的直線方程.(2)(方法1)∵所求直線斜率為-2,且過直線l1與l2的交點,則所求的直線方程為y-4=-2(x-0),整理得2x+y-4=0.(方法2)顯然x+y-4=0不是所求方程,可設所求直線方程為3x-y+4+λ(x+y-4)=0(λ∈R),整理得(3+λ)x+(λ-1)y+4(1-λ)=0,∴-=-2,解得λ=5.整理得所求直線方程為2x+y-4=0.1234567891011121314151617B級關鍵能力提升練8.[2024甘肅甘南高二期中](多選題)已知三條直線:直線l1:ax+y-3=0,l2:x+y-1=0,l3:2x-y-5=0不能圍成一個封閉圖形,則實數(shù)a的值可以是(

)A.-2 B.1

C.2

D.3ABC解析

若l1,l2,l3中有兩條相互平行,或三條線過同一點都不可以圍成封閉圖形,若l1∥l2,由兩直線平行與斜率之間的關系可得a=1;若l1∥l3,由兩直線平行與斜率之間的關系可得a=-2;12345678910111213141516179.無論k為何值,直線(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都過一個定點,則該定點為(

)A.(1,3) B.(-1,3)C.(3,1) D.(3,-1)D解析

直線方程可化為(2x+y-5)+k(x-y-4)=0,則已知直線一定過直線2x+y-5=0和直線x-y-4=0的交點.解方程組

所以所求定點為(3,-1).故選D.123456789101112131415161710.若直線kx-k+y+1=0與直線x+3y-3=0交點在第一象限,則實數(shù)k的取值范圍為(

)C123456789101112131415161711.△ABC中,A(1,5),高BE,CF所在的直線方程分別為x-2y=0,x+5y+10=0,則BC所在直線的方程是(

)A.x+4y=0B.5x-y=28C.3x+5y=0D.5x-3y=28C123456789101112131415161712.(多選題)若三條直線2x+y-4=0,x-y+1=0與ax-y+2=0共有兩個交點,則實數(shù)a的值可以為(

)A.1 B.-1 C.2

D.-2AD解析

由題意可得三條直線中,有兩條直線互相平行.∵直線x-y+1=0和直線2x+y-4=0不平行,∴直線x-y+1=0和直線ax-y+2=0平行或直線2x+y-4=0和直線ax-y+2=0平行.∵直線x-y+1=0的斜率為1,直線2x+y-4=0的斜率為-2,直線ax-y+2=0的斜率為a,∴a=1或a=-2.故選AD.123456789101112131415161713.已知定點A(0,1),點B在直線x+y+1=0上運動,當線段AB最短時,點B的坐標是

.

(-1,0)解析

當直線AB和直線x+y+1=0垂直時,線段AB的距離最短,此時直線AB的方程的斜率為k=1,所以直線AB的直線方程為y=x+1.123456789101112131415161714.已知△ABC的兩個頂點A(-10,2),B(6,4),垂心是H(5,2),則頂點C的坐標為

.

(6,-6)又kAH=0,∴BC所在直線與x軸垂直,故直線BC的方程為x=6,聯(lián)立直線AC與BC的方程得點C的坐標為C(6,-6).123456789101112131415161715.若△ABC的頂點A(5,1),AB邊上的中線CM所在直線方程為2x