復(fù)習(xí)09概率（九大考點）（原卷版）

復(fù)習(xí)09概率一、隨機抽樣1.統(tǒng)計的相關(guān)概念名稱定義總體調(diào)查對象的全體稱為整體個體組成整體的每一個調(diào)查對象稱為個體樣本從總體中抽取的那部分個體稱為樣本一、有限樣本空間與隨機事件1.隨機試驗我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗,簡稱試驗,常用字母表示.隨機試驗具有以下特點:（1）試驗可以在相同條件下重復(fù)進行;（2）試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個;（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個,但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.2.試驗的樣本點和樣本空間項目定義字母表示樣本點我們把隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點用表示樣本點樣本空間全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間用表示樣本空間有限樣本空間如果一個隨機試驗有個可能結(jié)果則稱樣本空間為有限樣本空間3.三種事件的定義隨機事件我們將樣本空間的子集稱為隨機事件,簡稱事件,并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.隨機事件一般用大寫字母表示.在每次試驗中,當(dāng)且僅當(dāng)中某個樣本點出現(xiàn)時,稱為事件發(fā)生必然事件作為自身的子集,包含了所有的樣本點,在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生,所以總會發(fā)生,我們稱為必然事件不可能事件空集不包含任何樣本點,在每次試驗中都不會發(fā)生,我們稱為不可能事件二、事件的關(guān)系和運算1.事件的包含關(guān)系定義一般地,若事件發(fā)生,則事件一定發(fā)生,我們就稱事件包含事件(或事件包含于事件)含義發(fā)生導(dǎo)致發(fā)生符號表示(或)圖形表示特殊情況如果事件包含事件,事件也包含事件,即且,則稱事件與事件相等,記作2.并事件(或和事件)定義一般地,事件與事件至少有一個發(fā)生,這樣的一個事件中的樣本點或者在事件中,或者在事件中,我們稱這個事件為事件與事件的并事件(或和事件)含義與至少有一個發(fā)生符號表示(或)圖形表示3.交事件(或積事件)定義一般地,事件與事件同時發(fā)生,這樣的一個事件中的樣本點既在事件中,也在事件中,我們稱這樣的一個事件為事件與事件的交事件(或積事件)含義與同時發(fā)生符號表示(或)圖形表示4.互斥事件(或互不相容事件)定義一般地,如果事件與事件不能同時發(fā)生,也就是說是一個不可能事件,即,則稱事件與事件互斥(或互不相容)含義與不能同時發(fā)生符號表示圖形表示5.對立事件定義一般地,如果事件和事件在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，那么稱事件與事件互為對立.事件的對立事件記為含義與有且僅有一個發(fā)生符號表示,圖形表示三、古典概型及概率性質(zhì)1.概率對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值),稱為事件的概率,事件的概率用表示.2.古典概型一般地,如果隨機試驗的樣本空間的樣本點只有有限個(簡稱為有限性),而且可以認(rèn)為每個樣本點發(fā)生的可能性相等(簡稱等可能性),則稱這樣的隨機試驗為古典概型試驗,其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.3.古典概型概率公式一般地,設(shè)試驗是古典概型,樣本空間包含個樣本點,事件包含其中的個樣本點,則定義事件的概率，其中,和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點個數(shù).4.概率的基本性質(zhì)一般地,概率具有如下性質(zhì):性質(zhì)1:對任意的事件,都有.性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即.性質(zhì)3:如果事件與事件互斥,那么.如果事件兩兩互斥,那么事件發(fā)生的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和,即性質(zhì)4:如果事件和事件互為對立事件,那么性質(zhì)5:如果,那么.性質(zhì)6:設(shè)是一個隨機試驗中的兩個事件,我們有.四、相互獨立對任意兩個事件與,如果成立,則稱事件A與事件B相互獨立,簡稱為獨立.（1）如果與相互獨立,則與，與，與也相互獨立.（2）與相互獨立事件有關(guān)的概率的計算公式如下表:事件相互獨立概率計算公式同時發(fā)生同時不發(fā)生至少有一個不發(fā)生至少有一個發(fā)生恰有一個發(fā)生五、頻率與概率1.頻率的穩(wěn)定性大量試驗證明,在任何確定次數(shù)的隨機試驗中,一個隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性.一般地,隨著試驗次數(shù)的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率.我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用頻率估計概率2.隨機模擬1.隨機數(shù)與偽隨機數(shù)像彩票搖獎那樣,把10個質(zhì)地和大小相同的號碼球放入搖獎器中,充分?jǐn)嚢韬髶u出一個球,這個球上的號碼就稱為隨機數(shù).計算器或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)是按照確定的算法產(chǎn)生的,具有周期性(周期很長),它們具有類似隨機數(shù)的性質(zhì),因此計算器或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)不是真正的隨機數(shù),我們稱為偽隨機數(shù).2.產(chǎn)生隨機數(shù)的常用方法：①用計算器產(chǎn)生;②用計算機產(chǎn)生;③抽簽法.3.隨機模擬方法(蒙特卡洛方法)利用計算機或計算器產(chǎn)生的隨機數(shù)來做模擬試驗,通過模擬試驗得到的頻率來估計概率,這種用計算機或計算器模擬試驗的方法稱為隨機模擬方法或蒙特卡洛方法.考點01 事件的分類及表示【方法點撥】用樣本點表示隨機事件,首先弄清試驗的樣本空間,不重不漏列出所有的樣本點.然后找出滿足隨機事件要求的樣本點,從而用這些樣本點組成的集合表示隨機事件.【例1】下列事件中，必然事件的個數(shù)是（）①2028年8月18日，北京市不下雨；②在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在時結(jié)冰；③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰?號簽；④向量的模不小于0.A．1 B．2 C．3 D．4【例2】指出下列試驗的條件和結(jié)果：(1)某人射擊一次命中的環(huán)數(shù)；(2)從裝有大小相同但顏色不同的，，，這4個球的袋中，任取1個球；(3)從裝有大小相同但顏色不同的，，，這4個球的袋中，一次任取2個球．【變式11】下列事件中，確定性現(xiàn)象的個數(shù)為（

）①三角形內(nèi)角和為；②三角形中大邊對大角，大角對大邊；③三角形中兩個內(nèi)角和小于；④三角形中任意兩邊的和大于第三邊．A．1 B．2C．3 D．4【變式12】指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件：(1)某人購買福利彩票一注，中獎500萬元；(2)三角形的兩邊之和大于第三邊；(3)沒有空氣和水，人類可以生存下去；(4)從分別標(biāo)有1，2，3，4的四張標(biāo)簽中任取一張，抽到1號標(biāo)簽；(5)科學(xué)技術(shù)達到一定水平后，不需任何能量的“永動機”將會出現(xiàn)．【變式13】甲、乙兩人做出拳游戲（錘、剪、布），用表示結(jié)果，其中x表示甲出的拳，y表示乙出的拳.(1)寫出樣本空間；(2)用集合表示事件“甲贏”；(3)用集合表示事件“平局”.考點02 事件的關(guān)系和運算【方法點撥】（1）事件的包含與相等可以從集合的角度理解,事件的包含關(guān)系就是集合間的子集與真子集的關(guān)系；（2）進行事件的運算時,一是要緊扣運算的定義,二是要全面考查同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果,必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結(jié)果進行分析.【例3】（多選）拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【例4】試驗：連續(xù)拋擲一枚骰子2次，觀察每次出現(xiàn)的點數(shù).①事件A表示隨機事件“2次擲出的點數(shù)之和為5”；②事件B表示隨機事件“2次擲出的點數(shù)之差的絕對值為2”；③事件C表示隨機事件“2次擲出的點數(shù)之差的絕對值不超過1”；④事件D表示隨機事件“2次擲出的點數(shù)之和為偶數(shù)”.試用樣本點表示下列事件，并指出樣本點的個數(shù).(1)(2)(3).【變式21】（多選）一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，給出以下四個事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．下列選項正確的是（

）A． B．是必然事件C． D．【變式22】擲一枚骰子，下列事件：擲出奇數(shù)點，擲出偶數(shù)點，點數(shù)小于.則①；②.【變式23】擲一枚骰子，觀察其向上的點數(shù)，可能得到以下事件：“出現(xiàn)1點”；“出現(xiàn)2點”；“出現(xiàn)4點”；“出現(xiàn)5點”；“出現(xiàn)的點數(shù)不大于1”；“出現(xiàn)的點數(shù)小于5”；“出現(xiàn)奇數(shù)點”；“出現(xiàn)偶數(shù)點”.請判斷下列兩個事件的關(guān)系：（1）BH；（2）DJ；（3）EI；（4）AG.考點03 古典概型【方法點撥】計算古典概型事件的概率步驟：①算出樣本點的總個數(shù)n；②求出事件A所包含的樣本點個數(shù);③代入公式求出概率.【例5】甲、乙、丙三名同學(xué)相互做傳球訓(xùn)練,第一次由甲將球傳出,每次傳球時,傳球者都等可能的將球傳給另外兩個人中的任何一個人,則次傳球后球在甲手中的概率為（

）A． B． C． D．【例6】一個口袋中裝有個紅球和若干個黃球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，為估計口袋中黃球的個數(shù)，小明采用了如下的方法：每次從口袋中摸出個球，記下球的顏色后再把球放回口袋中搖勻．不斷重復(fù)上述過程次，共摸出紅球次，根據(jù)上述數(shù)值，估計口袋中大約有黃球（

）個．A． B． C． D．【變式31】對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重大事件，它可以改進數(shù)字的計算方法、提高計算速度和準(zhǔn)確度.已知，，若從集合M，N中各任取一個數(shù)x，y，則為整數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【變式32】從集合中任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的和不小于的概率是（

）A． B． C． D．【變式33】在①高一或高二學(xué)生的概率為；②高二或高三學(xué)生的概率為；③高三學(xué)生的概率為這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.已知某高中的高一有學(xué)生600人，高二有學(xué)生500人，高三有學(xué)生a人，若從所有學(xué)生中隨機抽取1人，抽到___________.(1)求a的值；(2)若按照高一和高三學(xué)生人數(shù)的比例情況，從高一和高三的所有學(xué)生中隨機抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求至少有1人是高三學(xué)生的概率.考點04 互斥與對立的辨別【方法點撥】設(shè)事件與所含的結(jié)果組成的集合分別為.①若事件件與互斥,則集合;②若事件件與對立,則集合且.【例7】書架上有2本數(shù)學(xué)書和2本語文書，從這4本書中任取2本，那么互斥但不對立的兩個事件是（

）A．“至少有1本數(shù)學(xué)書”和“都是語文書”B．“至少有1本數(shù)學(xué)書”和“至多有1本語文書”C．“恰有1本數(shù)學(xué)書”和“恰有2本數(shù)學(xué)書”D．“至多有1本數(shù)學(xué)書”和“都是語文書”【例8】撲克牌中的秘密撲克牌有54張，52張正牌表示一年有52個星期，2張副牌中的大貓代表太陽，小貓代表月亮；黑桃、紅桃、方塊、梅花表示春、夏、秋、冬四季，紅色牌代表白晝，黑色牌代表黑夜；每一季13個星期與撲克牌每一花色13張正好一致，52張牌的點數(shù)相加是364，再加上小貓的一點，是365，與一般年份天數(shù)相同；如果再加上大貓的一點，那就正好是閏年的天數(shù).撲克牌的K、Q、J共有12張，既表示一年有12個月，又表示太陽在一年中經(jīng)過12個星座.現(xiàn)從52張撲克牌（除去大貓和小貓）中任抽1張.問題（1）“抽出代表夏季的牌”與“抽出代表秋季的牌”是不是互斥事件，是不是對立事件？（2）“抽出代表白晝的牌”與“抽出代表黑夜的牌”是不是互斥事件，是不是對立事件？（3）“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”是不是互斥事件，是不是對立事件？【變式41】（多選）一個不透明的袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個，現(xiàn)從中任意取出兩個球.設(shè)事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一個黑球”，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．P和R是互斥事件B．P和Q是對立事件C．Q和R是對立事件D．Q和R是互斥事件，但不是對立事件【變式42】一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6.將這個玩具向上拋擲一次，設(shè)事件表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點，事件表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過3，事件表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4，則（

）A．與是互斥而非對立事件 B．與是對立事件C．與是互斥而非對立事件 D．與是對立事件【變式43】從一堆產(chǎn)品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，判斷下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件．①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；②“至少有1件次品”和“全是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．考點05 求互斥事件與對立事件的概率【方法點撥】利用隨機數(shù)表進行抽樣的具體步驟:①給總體中的每個個體編號;②在隨機數(shù)表中隨機抽取某行【例9】袋中有紅球、黑球、黃球、綠球共12個，它們除顏色外完全相同，從中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是，則得到黑球、黃球、綠球的概率分別是，，.【例10】若事件為兩個互斥事件，且，有以下四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）①②③④A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【變式51】已知從某班學(xué)生中任選兩人參加農(nóng)場勞動，選中兩人都是男生的概率是，選中兩人都是女生的概率是，則選中兩人中恰有一人是女生的概率為．【變式52】擲一枚骰子的試驗中，出現(xiàn)各點的概率均為，事件表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”，事件表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，則一次試驗中，事件（表示事件的對立事件）發(fā)生的概率為.【變式53】為了備戰(zhàn)第33屆夏季奧林匹克運動會（2024法國巴黎奧運會），中國奧運健兒刻苦訓(xùn)練，成績穩(wěn)步提升．射擊隊的某一選手射擊一次，其命中環(huán)數(shù)的概率如下表：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該選手射擊一次：(1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)至少命中8環(huán)的概率；(3)命中不足8環(huán)的概率．考點06 求獨立事件的概率【方法點撥】求相互獨立事件的概率的步驟：①先用字母表示出事件,再分析題中涉及的事件,并把題中涉及的事件分為若干個彼此互斥事件的和;②求出這些彼此互斥事件的概率;③根據(jù)互斥事件的概率計算公式求出結(jié)果.【例11】某班元旦晚會中設(shè)置了抽球游戲，盒子中裝有完全相同的3個白球和3個紅球.游戲規(guī)則如下：①每次不放回的抽取一個，直至其中一種顏色的球恰好全部取出時游戲結(jié)束；②抽取3次完成游戲為一等獎，抽取4次完成游戲為二等獎.則甲同學(xué)獲得二等獎的概率為（

）A． B． C． D．【例12】如圖，一個電路中有三個電器元件，每個元件正常工作的概率均為，這個電路是通路的概率是（

）A． B． C． D．【變式61】學(xué)生甲想?yún)⒓幽掣咧行Ｋ{球投籃特長生考試，測試規(guī)則如下：①投籃分為兩輪，每輪均有兩次機會，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球線處投進第一球，則直接進入下一輪，若第一次沒有投進可以進行第二次投籃，投進則進入下一輪，否則不預(yù)錄?。虎廴羲谌志€處投進第一球，則直接錄取，若第一次沒有投進可以進行第二次投籃，投進則錄取，否則不預(yù)錄取.已知學(xué)生甲在罰球線處投籃命中率為，在三分線處投籃命中率為，假設(shè)學(xué)生甲每次投進與否互不影響.則學(xué)生甲共投籃三次就結(jié)束考試得概率為（

）A． B． C． D．【變式62】某疾病全球發(fā)病率為，該疾病檢測的漏診率（患病者判定為陰性的概率）為，檢測的誤診率（未患病者判定為陽性的概率）為，則某人檢測成陽性的概率約為（

）A． B． C． D．【變式63】某高校強基計劃入圍有3道面試題目，若每位面試者共有三次機會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止．李想同學(xué)答對每道題目的概率都是0.6，假設(shè)對抽到的不同題目能否答對是獨立的．(1)求李想第二次答題通過面試的概率；(2)求李想最終通過面試的概率.考點07 判斷是否為獨立事件【方法點撥】事件的獨立性的判斷:①定義法:事件相互獨立?；②由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件的發(fā)生是否相互影響；【例13】盒中有4個大小相同的小球，其中2個紅球、2個白球，第一次在盒中隨機摸出2個小球，記下顏色后放回，第二次在盒中也隨機摸出2個小球，記下顏色后放回.設(shè)事件“兩次均未摸出紅球”，事件“兩次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的兩個球中有紅球”，事件“第二次摸出的兩個球中有白球”，則（

）A．與相互獨立 B．與相互獨立C．與相互獨立 D．與相互獨立【例14】下面所給出的兩個事件與相互獨立嗎?(1)拋擲一枚骰子，事件“出現(xiàn)1點”，事件“出現(xiàn)2點”；(2)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，事件“第一枚出現(xiàn)正面”，事件“第二枚出現(xiàn)反面”；(3)在裝有2紅1綠三個除顏色外完全相同的小球的口袋中，任取一個小球，觀察顏色后放回袋中，事件“第一次取到綠球”，“第二次取到綠球”．【變式71】（多選）有6個相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.用表示第一次取到的小球的標(biāo)號，用表示第二次取到的小球的標(biāo)號，記事件：為偶數(shù)，：為偶數(shù)，C：，則（

）A． B．與相互獨立C．與相互獨立 D．與相互獨立【變式72】同時拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件A：甲骰子點數(shù)為奇數(shù)，事件B：乙骰子點數(shù)為偶數(shù)，事件C：甲、乙骰子點數(shù)相同．下列說法正確的有（

）A．事件A與事件B對立 B．事件A與事件B相互獨立C．事件A與事件C相互獨立 D．【變式73】一個袋子中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5的5個球，除標(biāo)號外沒有其他差異．(1)采取不放回的方式從袋中依次任意摸出兩球，設(shè)事件“兩次摸出球的標(biāo)號之和大于5”，寫出等可能性的樣本空間并求事件發(fā)生的概率；(2)采取有放回的方式從袋中依次任意摸出兩球，設(shè)事件“第一次摸出球的標(biāo)號是奇數(shù)”，設(shè)事件“第二次摸出球的標(biāo)號是偶數(shù)”，那么事件與事件是否相互獨立？考點08 頻率與概率【方法點撥】頻率是事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值,利用此公式可求出它們的頻率.頻率本身是隨機變量,當(dāng)很大時,頻率總是在一個穩(wěn)定值附近擺動,這個穩(wěn)定值就是概率.【例15】兩名同學(xué)在一次用頻率估計概率的試驗中統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制出統(tǒng)計圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗是（

）

A．拋一枚硬幣，正面朝上的概率；B．?dāng)S一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率；C．轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率；D．從裝有2個紅球和1個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率．【例16】對一批西裝進行了多次檢查，并記錄結(jié)果如下表：抽取件數(shù)50100150200300400檢出次品件數(shù)579152130檢出次品頻率(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算并填寫每次檢出次品的頻率；(2)從這批西裝中任意抽取一件，抽到次品的經(jīng)驗概率是多少？(3)如果要銷售1000件西裝，至少要額外準(zhǔn)備多少件正品西裝以供買到次品的顧客調(diào)換？【變式81】一個盒子中有若干白色圍棋子，為了估計其中圍棋子的數(shù)目，小明將100顆黑色圍棋子放入其中，充分?jǐn)嚢韬箅S機抽出了20顆，數(shù)得其中有5顆黑色圍棋子，根據(jù)這些信息可以估計白色圍棋子的數(shù)目為顆．【變式82】欲利用隨機數(shù)表從00，01，02，…，59這些編號中抽取一個容量為6的樣本，抽取方法是從下面的隨機數(shù)表的第1行第11列開始向右讀取，每次讀取兩位，直到取足樣本，則第4個被抽取的樣本的編號為【變式83】某商場設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤（如圖所示），并規(guī)定：顧客購物10元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一區(qū)域（不考慮指針落在分界線上的情況）就可以獲得相應(yīng)的獎品，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n1001502005008001000落在“鉛筆”區(qū)域的次數(shù)m68111136345564701落在“鉛筆”區(qū)域的頻率(1)計算并完成表格；(2)請估計，當(dāng)n很大時，落在“鉛筆”區(qū)域的頻率將會接近多少？(3)假如你去轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，你獲得鉛筆的概率約是多少？考點09 概率與統(tǒng)計的綜合【例17】某汽車生產(chǎn)廠家為了解某型號電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”，收集了使用該型號電動汽車年以上的部分客戶的數(shù)據(jù)，得到他們的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”.從年齡在歲以下的客戶中抽取位歸為組，從年齡在歲（含歲）以上的客戶中抽取位歸為組，將他們的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”整理成如下莖葉圖:注：“實際平均續(xù)航里程數(shù)”是指電動汽車的行駛總里程與充電次數(shù)的比值.(1)分別求出組客戶與組客戶“實際平均續(xù)航里程數(shù)”的平均值；(2)在兩組客戶中，從“實際平均續(xù)航里程數(shù)”大于的客戶中各隨機抽取位客戶，求組客戶的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”不小于組客戶的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”的概率(3)試比較兩組客戶數(shù)據(jù)方差的大小.（結(jié)論不要求證明）【例18】為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時間（單位：小時），高一年級某班班主任對本班40名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時間進行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息：(1)①求該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的人數(shù)；②用分層抽樣的方法在[20，25)和[25，30]中共抽取6人成立學(xué)習(xí)小組，再從該小組派3人接受檢測，求檢測的3人來自同一區(qū)間的概率.(2)①估計這40名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時間的25%分位數(shù)；②將該班學(xué)生周末學(xué)習(xí)時間從低到高排列，那么估計第10名同學(xué)的學(xué)習(xí)時長；【變式91】某保險公司決定每月給推銷員確定個具體的銷售目標(biāo)，對推銷員實行目標(biāo)管理.銷售目標(biāo)確定的適當(dāng)與否，直接影響公司的經(jīng)濟效益和推銷員的工作積極性，為此，該公司當(dāng)月隨機抽取了50位推銷員上個月的月銷售額（單位：萬元），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

求：(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出月銷售額在小組內(nèi)的頻率，并根據(jù)直方圖估計，月銷售目標(biāo)定為多少萬元時，能夠使的推銷員完成任務(wù).(2)該公司決定從月銷售額為和的兩個小組中，選取2位推銷員介紹銷售經(jīng)驗，求選出的推銷員來自不同小組的概率.(3)第一組中推銷員的銷售金額的平均數(shù)為13，方差1.96，第七組中推銷員的銷售金額的平均數(shù)為25，方差3.16，求這兩組中所有推銷員的銷售金額的平均數(shù)，方差.【變式92】為迎接第二屆湖南旅發(fā)大會，郴州某校舉辦“走遍五大洲，最美有郴州”知識能力測評，共有1000名學(xué)生參加，隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成4組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)直方圖，估計這次知識能力測評的平均數(shù)；(2)用分層隨機抽樣的方法從，兩個區(qū)間共抽取出4名學(xué)生，再從這4名學(xué)生中隨機抽取2名依次進行交流分享，求第二個交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間的概率；(3)學(xué)校決定從知識能力測評中抽出成績最好的兩個同學(xué)甲乙進行現(xiàn)場知識搶答賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得1分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的人獲得冠軍．已知甲在三個項目中獲勝的概率分別為，各項目的比賽結(jié)果相互獨立，甲至少得1分的概率是，甲乙兩人誰獲得最終勝利的可能性大？并說明理由．【變式93】某學(xué)校開展組織學(xué)生參加線上環(huán)保知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：(1)若從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績不高于50分的人數(shù)；(2)以樣本估計總體，利用組中值估計該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；(3)若學(xué)校安排甲、乙兩位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，甲、乙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率．一、單選題1．某籃球運動員進行投籃訓(xùn)練，連續(xù)投籃兩次，設(shè)事件A表示隨機事件“兩次都投中”，事件B表示隨機事件“兩次都未投中”，事件C表示隨機事件“恰有一次投中”，事件D表示隨機事件“至少有一次投中”，則下列關(guān)系不正確的是（

）A． B． C． D．2．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的為（

）A．與互為對立事件 B．與互斥C．與相等 D．3．保險柜的密碼由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四個數(shù)字組成，假設(shè)一個人記不清自己的保險柜密碼，只記得密碼全部由奇數(shù)組成且按照遞增順序排列，則最多輸入2次就能開鎖的概率是（

）A． B． C． D．4．拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：“向上的點數(shù)為i”，其中，“向上的點數(shù)為奇數(shù)”，則下列說法正確的是（

）A．與B互斥 B． C．與相互獨立 D．5．已知甲袋中有標(biāo)號分別為1，2，3，4的四個小球，乙袋中有標(biāo)號分別為2，3，4，5的四個小球，這些球除標(biāo)號外完全相同，第一次從甲袋中取出一個小球，第二次從乙袋中取出一個小球，事件表示“第一次取出的小球標(biāo)號為3”，事件表示“第二次取出的小球標(biāo)號為偶數(shù)”，事件表示“兩次取出的小球標(biāo)號之和為7”，事件表示“兩次取出的小球標(biāo)號之和為偶數(shù)”，則（

）A．與相互獨立 B．與是互斥事件 C．與是對立事件 D．與相互獨立二、多選題6．下列事件是隨機事件的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．某人給其朋友打，卻忘