教案：人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)27

2.7.2拋物線的幾何性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.了解拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)

線等幾何性質(zhì).（重點(diǎn)）通過(guò)拋物線的幾何性

2.會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的拋物線問(wèn)質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀

題.（重點(diǎn)'難點(diǎn)）想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

3.掌握直線與拋物線相交時(shí)與弦長(zhǎng)相關(guān)的知識(shí).

情境趣味導(dǎo)學(xué)情境導(dǎo)學(xué)。探新知預(yù)習(xí)素養(yǎng)感知

畬情境引入?助學(xué)助教

如果讓拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)，就得到一■個(gè)旋轉(zhuǎn)形成的拋物面曲面，旋轉(zhuǎn)拋

物面的軸上，有一個(gè)焦點(diǎn)，任何一條平行于拋物面軸的光（射）線由拋物面上反射

出來(lái)之后，其反射光（射）線都通過(guò)該點(diǎn)，應(yīng)用拋物面的這個(gè)幾何性質(zhì)，人們?cè)O(shè)計(jì)

了很多非常有用的東西，如太陽(yáng)灶、衛(wèi)星電視天線、雷達(dá)等.當(dāng)然這條性質(zhì)本身

也是拋物線的一條性質(zhì)，今天我們就來(lái)具體研究一下構(gòu)成拋物面的線——拋物線

的幾何性質(zhì).

1.拋物線的幾何性質(zhì)

y2=2px(py2=~2px(j)>x2=—

標(biāo)準(zhǔn)方程x1=2py(j}>0)

>0)0)2Pxp>0)

圖形

Z—%X

范圍

性質(zhì)

對(duì)稱軸X軸y軸

頂點(diǎn)(0.0)

離心率e=l

思考1：拋物線f=2pyg>0)有幾條對(duì)稱軸？

［提示］有一條對(duì)稱軸.

思考2：拋物線的范圍是x?R,這種說(shuō)法正確嗎？

［提示］拋物線的方程不同，其范圍就不一樣，如y2=2pxg>o)的范圍是

xNO,yGR,故此說(shuō)法錯(cuò)誤.

思考3：參數(shù)p對(duì)拋物線開口大小有何影響？

［提示］參數(shù)對(duì)拋物線開口大小有影響，因?yàn)檫^(guò)拋物線的焦點(diǎn)R且

垂直于對(duì)稱軸的弦的長(zhǎng)度是2p,所以"越大，開口越大.

2.焦點(diǎn)弦

設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(xi,yi),B(X2,y2),則

y2=2px(p>0)\AB\=xi-\-X2~\-p

y2=~2px(p>0)\AB\=p—(xi+%2)

x2=2py(p>0)\AB\=yi+y2~\~p

f=-2py(p>0)\AB\=p—(y\+yi)

E初試身毛」

1.思考辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)拋物線是中心對(duì)稱圖形.()

(2)拋物線的范圍為x?R.()

(3)拋物線關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱.()

(4)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同，但離心率都相同.()

［答案］(1)X(2)X(3)X(4)V

［提示］(l)x在拋物線中，以一X代X,一丁代y,方程發(fā)生了變化.

⑵x拋物線的方程不同，其范圍不同，>2=2e￥(/?>0)中工之0,yGR.

⑶x

(4)V離心率都為1,正確.

2.設(shè)拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是6,則點(diǎn)尸到該拋物線焦點(diǎn)R

的距離是()

A.8B.6C.4D.2

A[V拋物線的方程為＞2=8與

其準(zhǔn)線/的方程為》=一2,

設(shè)點(diǎn)P(xo,yo)到其準(zhǔn)線的距離為d,

則d=\PF\,

即[Pf]=d=xo—(―2)=xo+2,

?點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是6,

??xo=6,

/.|PF|=6+2=8.]

3.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(xi,yi),B(xi,y2),若xi十

X2=6,則|A3|=.

8[y^=4x,2p=4,p=2.

?.?由拋物線定義知：|AF|=xi+l,IBF]=X2+1,

.,.|AB|=XI+X2+〃=6+2=8.]

4.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6的拋物線方

程是_____

產(chǎn)=2以或V=—24x「.?頂點(diǎn)與焦點(diǎn)距離為6,即?=6,.?.2p=24,又對(duì)稱

軸為無(wú)軸，二.拋物線方程為＞2=24%或9=—24%.]

疑難問(wèn)題解惑合作探究。釋疑難學(xué)科素養(yǎng)形成

.類型1~由拋物線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程

【例1】(1)平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一定點(diǎn)A(2,l),若線段。4的垂直

平分線過(guò)拋物線＞2=2pxS＞0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

(2)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸重合于橢圓9X2+4/=36短軸所在的直線,

拋物線焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3,求拋物線的方程及拋物線的準(zhǔn)線方程.

(l)y2=5x[線段的垂直平分線為4x+2y—5=0,與x軸的交點(diǎn)為g,0),

.?.拋物線的焦點(diǎn)為ok其標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=5x.]

(2)解：橢圓的方程可化為，+1=1,其短軸在x軸上，.?.拋物線的對(duì)稱軸

為x軸，

設(shè)拋物線的方程為y=2px或y2=-2px(p>0).

,：拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3,

即§=3,:邛=6,

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=l2x或y2=~12x,

其準(zhǔn)線方程分別為x=—3和x=3.

1.........規(guī)律c方法............................

用待定系數(shù)法求拋物線方程的步驟

提醒：求拋物線的方程時(shí)要注意拋物線的焦點(diǎn)位置.不同的焦點(diǎn)設(shè)出不同的

方程.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，其上一點(diǎn)尸到準(zhǔn)線及

對(duì)稱軸距離分別為10和6,求拋物線方程.

［解］設(shè)拋物線方程為y2=2ax(a#0),點(diǎn)P(xo,yo).

因?yàn)辄c(diǎn)P到對(duì)稱軸距離為6,所以yo=±6,

因?yàn)辄c(diǎn)P到準(zhǔn)線距離為10,所以xo+g=10.①

因?yàn)辄c(diǎn)尸在拋物線上，所以36=2axo.②

由①②,得1〃==92,

ci=-18,ci=-2,

或J或J

Lxo=_1lxo=-9.

所以所求拋物線方程為y2=±4x或y2=±36x.

、類型2拋物線性質(zhì)的應(yīng)用

【例2】(1)拋物線廿=以的焦點(diǎn)為R準(zhǔn)線為/,點(diǎn)A是拋物線上一點(diǎn)，

且/4歹。=120。(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，AKM,垂足為K,則△AKR的面積是.

(2)已知正三角形A03的一個(gè)頂點(diǎn)。位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)A,3在

拋物線y2=2pxS>0)上，求這個(gè)三角形的邊長(zhǎng).

(1)4小[如圖，設(shè)A(xo,yo),

過(guò)A作軸于H,

在RtzXAfH中，尸H]=xo-1,

由NARO=120。，得/AFH=60。,

故yo=|A//]=V3(xo—1),

所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為

(xo,小(xo—1)),

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線方程可得3X6-1OXO+3=O,

解得xo=3或xo=；（舍），故&AKF=TX（3+1）X24=44.]

(2)解：如圖所示，設(shè)正三角形。43的頂點(diǎn)A,3在拋物線上，且坐標(biāo)分別

為A(xi,yi),3(x2,>2),則y?=2/7XI,yi=2px2.

5L\OA\=\OB\,所以才+。=—+於,

即xi+2pxi—2pxi=Q,

整理得(xi—X2)(xi+%2+2p)=0.

Vxi>0,%2>0,2p>0,

/.X1=X2,由此可得|yi|=,

即線段AB關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱.

由此得N49x=30。，

.‘A/3

所以yl=2Xi^與?=2pxi聯(lián)立，

解得yi=2事p.：.\AB\=2yi=4-y［3p.

利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問(wèn)題

(1)對(duì)稱性：解決拋物線的內(nèi)接三角形問(wèn)題.

(2)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線：解決與拋物線的定義有關(guān)的問(wèn)題.

(3)范圍：解決與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題.

(4)焦點(diǎn)：解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題.

提醒：解答本題時(shí)易忽略A,3關(guān)于x軸對(duì)稱而出錯(cuò).

IJ

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.已知雙曲線最一，=l(a>0,少>0)的兩條漸近線與拋物線y2=22xS>0)

的準(zhǔn)線分別交于A、5兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的離心率為2,△AOB的

面積為小，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

［解］由已知得/=2,所以一^2—=4,解得

即漸近線方程為y=土木x,而拋物線準(zhǔn)線方程為x=一、,于是

R.坐p),從而AAOB的面積為與=小.

2，

可得p=2,因此拋物線開口向右，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為>2=4%.

%類型3焦點(diǎn)弦問(wèn)題

［探究問(wèn)題］

以拋物線>2=28。>0)為例，回答下列問(wèn)題：

(1)過(guò)焦點(diǎn)R的弦長(zhǎng)|A為如何表示？還能得到哪些結(jié)論？

［提示］①|(zhì)AB|=2(xo+3(焦點(diǎn)弦長(zhǎng)與中點(diǎn)關(guān)系).

②|AB|=XI+X2+.='^^(6為AB的傾斜角).

2

③A,3兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值，即xrx2=/，y\-y2=~p.

④S"OB=^.

112

⑤而j+西=1(定值).

(2)以A3為直徑的圓與直線/具有怎樣的位置關(guān)系？

［提示］如圖，A3是過(guò)拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)R的一條弦，設(shè)A(xi,yi),

3(x2,yi),AB的中點(diǎn)M(xo,yd),相應(yīng)的準(zhǔn)線為/.

所以以A3為直徑的圓必與準(zhǔn)線/相切.

(3)解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題需注意什么？

［提示］栗注意拋物線定義在其中的應(yīng)用，通過(guò)定義將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為端

點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.

【例3】已知拋物線方程為y2=2Rg>0),過(guò)此拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋

物線交于A,3兩點(diǎn)，且履5|=|“，求A3所在直線的方程.

［思路探究］根據(jù)弦長(zhǎng)求出直線斜率，進(jìn)而求得直線方程.

［解］,?過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)\AB\=^p,

.?.弦所在的直線的斜率存在且不為零，

設(shè)直線AB的斜率為左，且A(%i,yi),B(X2,yi).

\*y2=2px的焦點(diǎn)為期,0).

直線方程為外

y=l^x—^\,

由，I2）整理得

y=2px,

Fx2—（Jcp+2p）x+*p2=o（左wo）,

.?心P+2P

??XI十12一產(chǎn),

,,l<^p+2p1

\AB\=x\+xi+p=記+〃，

又|A5|=|p,

.生母_5.

??F?p-2〃，??左一±2.

.,.所求直線方程為y=21甘）或y=—21一駕.

母題探究1

L（改變問(wèn)法）本例條件不變，求弦A3的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離.

［解］設(shè)AB中點(diǎn)為Af（xo,yo）,

3

由例題解答可知2XO=XI+X2=V，

所以A3的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為%.

2.（變換條件）本例中，若43在其準(zhǔn)線上的射影分別為Ai,求NAifBi.

［解］由例題解析可知AB的方程為y=A（x—fj,

即

代入'2=2打消%可得y2=與y+p2,即,2—普y—p2=0.*__o

?-yiy2=-p.

由Ai點(diǎn)的坐標(biāo)為（甘，yij,Bi點(diǎn)的坐標(biāo)為［一多日，得kAiF=_彳kBiF

P'

：.kAiF-kBiF=^=-l,

P

：.ZAiFBi=90°.

「........規(guī)?法............................

解決過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，一是注意直線方程和拋物線

方程聯(lián)立得方程組，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解題，二是注意焦點(diǎn)弦長(zhǎng)、焦半徑公

式的應(yīng)用.解題時(shí)注意整體代入思想的運(yùn)用，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

課堂知識(shí)夯實(shí)課堂小結(jié)。提素養(yǎng)雙基盲點(diǎn)掃除

必?備素養(yǎng)G

1.討論拋物線的幾何性質(zhì)，一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用幾何性質(zhì)，

也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程.

2.解決拋物線的軌跡問(wèn)題，可以利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合拋物線的定

義.

3.拋物線y2=±2px（/?>0）的過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)|AB|=xi+尤2+p,其中xi,X2分別

是點(diǎn)A,3橫坐標(biāo)的絕對(duì)值；拋物線-=±20；防>0）的過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)履3|=券+券

+p,其中yi,竺分別是點(diǎn)A,3縱坐標(biāo)的絕對(duì)值.

4.求拋物線的方程常用待定系數(shù)法和定義法；直線和拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題、

中點(diǎn)弦問(wèn)題及垂直、對(duì)稱等可利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系解決；拋物線的綜合

問(wèn)題要深刻分析條件和結(jié)論，靈活選擇解題策略，對(duì)題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

堂以致用G

1.若拋物線V=2x上有兩點(diǎn)A、3且A3垂直于X軸，若依3|=2啦，則拋

物線的焦點(diǎn)到直線AB的距離為（）

1111

C

A.2-B.4-6-D.8-

拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0）,則焦點(diǎn)

A［線段A3所在的直線方程為x=l,

到直線AB的距離為1—3=今]

2.在拋物線y2=i6x上到頂點(diǎn)與到焦點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(4隹±2)B.(±4隹2)

C.(±2,4也)D.(2,±4^2)

D[拋物線>2=i6x的頂點(diǎn)。(0,0),焦點(diǎn)網(wǎng)4,0),設(shè)P(x,y)符合題意，則有

y2=16x,[y2=16x,fx=2,

y+y2=(x—4)2+y2[x=2[y=±4-\[2.

所以符合題意的點(diǎn)為(2,±47