湖南省郴州市宜章縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

數(shù)學(xué)時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則集合（）A. B. C. D.2.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.設(shè)，且，則（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)則（）A. B. C. D.6.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且，，，則a，b，c的大小順序為（）A. B. C. D.7.在四面體中，，，為等邊三角形，二面角的余弦值為，則四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.8.已知一對不共線的向量，的夾角為，定義為一個向量，其模長為，其方向同時與向量，垂直（如圖1所示）.在平行六面體中（如圖2所示），下列結(jié)論錯誤的是（）圖1 圖2A.B當(dāng)時，C.若，，則D.平行六面體的體積二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.在一個質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，連續(xù)拋擲這個骰子兩次，并記錄每次骰子向上一面的點數(shù)，記事件A為“第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，事件B為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，事件C為“兩次記錄的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A.事件A與事件B是相互獨立事件B.事件A與事件C是互斥事件C.D.10.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意都有成立，當(dāng)，，且時，都有，則下列說法正確的有（）A.B.直線是函數(shù)的一條對稱軸C.函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上有4個零點11.已知單位向量，，兩兩所成的夾角均為（，且），若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系（O為坐標(biāo)原點）下的“仿射”坐標(biāo)，記作，則下列命題正確的有（）A.已知，，則B.已知，，則C.已知，，，則三棱錐的體積D.已知，，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)，向量，的夾角取得最小值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的零點個數(shù)為______.13.二維碼是一種利用黑、白方塊記錄數(shù)據(jù)符號信息的平面圖形.某公司計劃使用一款由個黑白方塊構(gòu)成的二維碼門禁，現(xiàn)用一款破譯器對其進行安全性測試，已知該破譯器每秒能隨機生成個不重復(fù)的二維碼，為確保一個二維碼在1分鐘內(nèi)被破譯的概率不高于，則n的最小值為______.14.正多面體也稱為柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形），數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知球O是棱長為2的正八面體的內(nèi)切球，MN為球O的一條直徑，點P為正八面體表面上的一個動點，則的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）某校為了解高二年級學(xué)生每天數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時長的分布情況，隨機抽取了100名高二學(xué)生進行調(diào)查，得到了這100名學(xué)生的日平均數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時長（單位：分鐘），并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，六組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖.（1）若該校高二年級有800名學(xué)生，估計該年級日平均數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時長不低于80分鐘的學(xué)生有多少名？（2）估計該100名學(xué)生的日平均數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時長的平均數(shù)和第75百分位數(shù).16.（本小題滿分15分）一般地，一個大于1的正整數(shù)可以表示為兩個或兩個以上的正整數(shù)之和，我們定義：將一個正整數(shù)表示為k個正整數(shù)的和，叫做正整數(shù)n的k拆分，若不考慮拆分部分之間的順序，稱為正整數(shù)n的無序k拆分.例如，4的所有無序2拆分記作：，.（1）寫出9的所有無序2拆分；（2）從9的所有無序3拆分中任取一個，求“所取拆分中的3個數(shù)可以作為的三邊長”的概率.17.（本小題滿分15分）如圖，在中，，，.（1）求的值；（2）設(shè)D，E分別是邊AB，AC上的點，記，，，若的面積總保持是面積的一半，求z的最小值.18.（本小題滿分17分）如圖，在四棱柱中，已知底面ABCD，，，，，E是線段BD上的點.（1）求點到平面的距離；（2）若E為的中點，求異面直線與AE所成角的余弦值；（3）在線段上是否存在點E，使得二面角的余弦值為，若存在，請確定點E的位置；若不存在，試說明理由.19.（本小題滿分17分）對于空間向量，定義，其中表示x，y，z這三個數(shù)的最大值.（1）已知，.①寫出，寫出（用含x的式子表示）；②當(dāng)時，寫出的最小值及此時x的值；（2）設(shè)，，求證：；（3）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，點P是以O(shè)為球心，1為半徑的球面上的動點，點Q是內(nèi)部的動點，直接寫出的最小值及相應(yīng)的點P的坐標(biāo).數(shù)學(xué)參考答案一、二、選擇題題號1234567891011答案BDBACDBCADABDBC1.B【解析】∵集合，，，故選B.2.D【解析】因為，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為，所以復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點落在第四象限.故選D3.B【解析】由得，由得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選B4.A【解析】，，，即，且，無法取得等號，則，故A正確；當(dāng)，時，，，，，故B錯誤；，，故C錯誤；，，而，則，故D錯誤.故選A5.C【解析】由題意，，故.故選C6.D【解析】，，.，，，.，，.綜上可知：.故選D.7.B【解析】如圖，記AC的中點為，易知二面角的平面角為，記的外接圓圓心為，又的外接圓圓心為，分別過，作平面ABC，平面SAC的垂線，兩垂線交于點O，則O為四面體的外接球球心.由有，因為為等邊三角形，所以，，又由二面角的余弦值為有，故，因此四面體的外接球的半徑，所以外接球的表面積為.故選B8.C【解析】對于A，，而.故，正確；對于B，，當(dāng)時，有意義，則，正確；對于C，因為，，所以，，所以，錯誤；對于D，的模長即為平行六面體底面OACB的面積，且方向垂直于底面，由數(shù)量積的幾何意義可知，就是在垂直于底而OACB的方向上的投影向量的模長（即為平行六面體的高）乘以底面的面積，即為平行六面體的體積，正確.故選C9.AD【解析】連續(xù)拋擲質(zhì)地均勻的骰子兩次，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36種等可能的不同結(jié)果，所以，，，，則，故事件A，B相互獨立，A正確；事件A與事件C可能同時發(fā)生，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確.故選AD.10.ABD【解析】對于A，在中，令可得，即，又由函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，則，故A正確；對于B，由A可得，則由，有，即是以6為周期的周期函數(shù)，又由函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，即的一條對稱軸為y軸，即，因此直線也是函數(shù)的一條對稱軸，故B正確；對于C，當(dāng)，且時，都有，可得在區(qū)間上為增函數(shù)，又由函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，則在上為減函數(shù)，又由是以6為周期的周期函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，故C錯誤；對于D，由A可得，又由是以6為周期的周期函數(shù)，則，，即函數(shù)在區(qū)間上有4個零點，D正確.故選ABD.11.BC【解析】對于A，，，，，，故A錯；對于B，，，故B對；對于C，由題意，三棱錐是校長為1的正四面體，，故C對；對于D，，，，當(dāng)時，與的夾角不一定取得最小值，故D錯.故選BC.三、填空題12.4【解析】畫出與的圖象如圖所示，因為，所以結(jié)合圖象可知與的圖象有4個交點，所以函數(shù)的零點個數(shù)為4.13.7【解析】由題意可知的二維碼共有個，由可得，故，由于，所以，故n的最小值為7.14.【解析】由題意得O為正方形ABCD的中心，取CD中點H，連接EH，AC，因為ABCDEF為正八面體，所以平面ABCD，，，，，設(shè)正八面體的內(nèi)切球半徑為R，則，所以，解得，，由圖可知，當(dāng)點P在正八面體的頂點時，最大，為，當(dāng)點P在切點時，最小，為，所以，即.故答案為：.四、解答題15.【解析】易知不低于80分鐘的頻率為，所以該年級日平均數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時長不低于80分鐘的學(xué)生估計有人.（2）因為，所以該100名學(xué)生的日平均數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時長的平均數(shù)約為72.又，，所以第75百分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)第75百分位數(shù)為a，則有，解得，所以該100名學(xué)生的日平均數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時長的平均數(shù)估計為72，第75百分位數(shù)估計為82.16.【解析】（1）9的所有無序2拆分為，，，，共4個.（2）9的所有無序3拆分為：，，，，，，，共7個.把每個“9的無序3拆分”看作一個樣本點，用M表示“所取拆分中的3個數(shù)可以作為的三邊長”，則M中含有，和，共3個樣本點.由于每個樣本點被選中的機會相等，所以這些樣本點是等可能發(fā)生的，所以“所取拆分中的3個數(shù)可以作為的三邊長”的概率.17.【解析】（1）由余弦定理得：，則，由正弦定理得：，即，解得.（2）由題可得，解得，而，即，所以，由余弦定理得；，則，，當(dāng)，即時，.18.【解析】（1）以點A為坐標(biāo)原點，，的方向分別為z，y軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知，，所以，，，，，，則，，.設(shè)平面的一個法向量為，則令，則，，所以，所以點到平面的距離.（2）因為E為的中點，所以，所以，，所以，所以異面直線與AE所成角的余弦值為.（3）設(shè)，其中，則，，，設(shè)平面ACE的一個法向量為，則令，則，，所以平面ACE的一個法向量為，設(shè)平面ADE的一個法向量為，則令，則，，所以平面ADE的一個法向量為，所以，若存在點E，使得二面角的余弦值為，則，所以，解得（會去）或，故存在滿足題意，即存在點E在靠近點的三等分點處.19.【解析】1）①，.②，.在同一個平面直角坐標(biāo)系中作出，，的圖象如下圖所示：因為，所以函數(shù)的圖象是圖中實線部分折線，直線與交于點，線與直線交于點，由圖可知，當(dāng)時，有最小值4.（2），因為，，所以，，所以.（3）因為P是以O(shè)為球心，1為半徑的球面上的動點，所以球