生物統(tǒng)計(jì)學(xué)與試驗(yàn)設(shè)計(jì)：第五章 χ2 檢驗(yàn)

第五章χ2

檢驗(yàn)

獨(dú)立性檢驗(yàn)

適合性檢驗(yàn)

χ2檢驗(yàn)原理在動(dòng)物科學(xué)研究和生產(chǎn)實(shí)踐中有很多質(zhì)量性狀的數(shù)據(jù)資料（次數(shù)資料）：■將其轉(zhuǎn)化成百分率資料，用u-檢驗(yàn)進(jìn)行分析■直接使用χ2檢驗(yàn)來(lái)進(jìn)行分析

單個(gè)樣本百分率的假設(shè)檢驗(yàn)

兩個(gè)樣本百分率差異的假設(shè)檢驗(yàn)第一節(jié)χ2檢驗(yàn)原理1.基本原理從一個(gè)已知平均數(shù)為μ，方差為σ2的正態(tài)總體中，進(jìn)行獨(dú)立地抽樣，可獲得隨機(jī)變量x，則其標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差：~

N（0,1）如果連續(xù)進(jìn)行n次獨(dú)立抽樣，可得n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差ui，對(duì)這n個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差ui進(jìn)行平方求和就得到一個(gè)新的統(tǒng)計(jì)量χ2：如果用樣本進(jìn)行計(jì)算：在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，χ2定義為理論次數(shù)與觀察次數(shù)間的符合程度：O—觀察次數(shù)E—理論次數(shù)χ2檢驗(yàn)主要應(yīng)用于：□在遺傳學(xué)中，研究雜交后代某一性狀的分離比例是否符合孟德?tīng)柖伞踉趧?dòng)物醫(yī)學(xué)中，研究某種疾病的發(fā)生與某種致病因素是否相關(guān)聯(lián)□在生物學(xué)中，研究群體的性別分離比例是否符合1∶1的比例孟德?tīng)栐诶猛愣惯M(jìn)行遺傳學(xué)試驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)F2代中紅花和白花的數(shù)量分別為705和224，經(jīng)過(guò)分析提出了著名的分離定律（lawofsegregation），認(rèn)為豌豆花顏色是由一對(duì)等位基因控制的按照孟德?tīng)柕姆蛛x定律，可以計(jì)算出F2代紅花和白花的理論次數(shù)：紅花的理論次數(shù)：929×3/4=696.75

白花的理論次數(shù)：929×1/4=232.25

可以看出，理論次數(shù)與觀察次數(shù)之間存在一定的差異：705-696.75=8.25224-232.25=-8.25觀察次數(shù)與理論次數(shù)之間的差異越小，說(shuō)明觀察結(jié)果與理論值越相符

觀察次數(shù)與理論次數(shù)之間的差異越大，說(shuō)明觀察結(jié)果與理論值越不符如何來(lái)定量地界定這種相符或不相符？■兩個(gè)差值相加（705-596.75）＋（224-232.5）=8.25＋（-8.25）=0推而廣之，觀察次數(shù)與理論次數(shù)的離差之和等于0，即：

因此，簡(jiǎn)單相加根本不能反映出觀察次數(shù)和理論次數(shù)之間的差異程度進(jìn)行平方相加，和就不會(huì)再等于零了，即：■兩個(gè)差值平方后相加平方后，可以使較大的差值變得更大，因而增加了分析問(wèn)題的靈敏度

因此，平方相加可以反映出觀察次數(shù)和理論次數(shù)之間的變異程度

由于每個(gè)樣本的樣本容量可能不相等，因而不同樣本之間缺乏可比性■如果以理論次數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，則就可以順利解決這個(gè)問(wèn)題了，即：紅花的χ2值：

白花的χ2值：

總的χ2值：

得到χ2值后，可以根據(jù)χ2分布來(lái)推斷觀察次數(shù)與理論次數(shù)之間是否相符

2.χ2的顯著性檢驗(yàn)

根據(jù)研究目的不同，χ2檢驗(yàn)可分為2類(lèi)：2.1適合性檢驗(yàn)

適合性檢驗(yàn)（testforgoodnessoffit）是用來(lái)檢驗(yàn)?zāi)承誀畹挠^察次數(shù)與理論比例是否相符的一種χ2檢驗(yàn)方法適合性檢驗(yàn)的步驟為：

（1）提出假設(shè)H0：觀察次數(shù)與理論次數(shù)是相符的HA：觀察次數(shù)與理論次數(shù)是不相符的（3）查表，推斷（2）計(jì)算χ2值2.2獨(dú)立性檢驗(yàn)

獨(dú)立性檢驗(yàn)（testforindependence）是研究?jī)深?lèi)試驗(yàn)因子之間是相互獨(dú)立還是相互影響的一種χ2檢驗(yàn)方法■獨(dú)立性檢驗(yàn)與適合性檢驗(yàn)不同，獨(dú)立性檢驗(yàn)沒(méi)有一個(gè)給定的理論次數(shù)■獨(dú)立性檢驗(yàn)所用的理論次數(shù)是在無(wú)效假設(shè)成立的前提下推算出來(lái)的

獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟為：（1）提出假設(shè)（2）計(jì)算χ2值（3）查表，推斷H0：兩類(lèi)試驗(yàn)因子之間是相互獨(dú)立的HA：兩類(lèi)試驗(yàn)因子之間是有關(guān)聯(lián)的3.χ2的連續(xù)性校正◆χ2分布是一種連續(xù)型的分布類(lèi)型◆在科學(xué)研究和臨床實(shí)踐中所得的次數(shù)資料屬于離散型分布由次數(shù)資料得到的χ2統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布也具有離散性質(zhì)，往往會(huì)造成偏低的估計(jì)，特別是在df

=1時(shí)為了改善χ2統(tǒng)計(jì)量抽樣分布的連續(xù)性，統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出了一個(gè)校正公式：

將觀察次數(shù)與理論次數(shù)之差的絕對(duì)值減去0.5

連續(xù)性校正—

校正χ2值

0.5為連續(xù)性校正常數(shù)

連續(xù)性校正僅適用于df

=1的情況，當(dāng)df≥2時(shí)一般不作校正4.χ2檢驗(yàn)的自由度

t-檢驗(yàn)的自由度與樣本容量（n）有關(guān)配對(duì)數(shù)據(jù)：非配對(duì)數(shù)據(jù)：

χ2檢驗(yàn)的自由度與觀察次數(shù)、理論次數(shù)的多少無(wú)關(guān)而是由類(lèi)別（n）來(lái)確定的豌豆花的顏色有紅花和白花2類(lèi)，自由度為：果蠅有4種類(lèi)型：長(zhǎng)灰、長(zhǎng)黑、殘灰和殘黑，自由度為：第二節(jié)適合性檢驗(yàn)適合性檢驗(yàn)是用來(lái)檢驗(yàn)實(shí)際的觀察次數(shù)與理論比例是否相符的一種χ2檢驗(yàn)方法適合性檢驗(yàn)主要用于以下幾個(gè)領(lǐng)域：（1）遺傳學(xué)分析

（2）質(zhì)量鑒定和規(guī)范化作業(yè)

（3）檢驗(yàn)觀測(cè)值的分布是否符合某種理論分布

◆孟德?tīng)栠z傳定律◆哈代-溫伯格平衡定律◆正態(tài)分布◆二項(xiàng)分布◆泊松分布例1：為了研究人口性別比例，現(xiàn)對(duì)某一地區(qū)2006-2009年新生嬰兒進(jìn)行抽樣調(diào)查，發(fā)現(xiàn)20500名新生嬰兒中男嬰11200名，試問(wèn)此地男女兩性人口是否均衡？人口出生性別比（新生嬰兒性別比）是衡量男女兩性人口是否均衡的重要標(biāo)志，國(guó)際上一般以每出生100名女性人口相對(duì)應(yīng)出生的男性人口的數(shù)值來(lái)表示

絕大多數(shù)國(guó)家的人口生育史表明，在不進(jìn)行人為控制的情況下，新生嬰兒的性別比在102-107之間，為了計(jì)算方便，這里取105（1）提出假設(shè)H0：此地男女兩性人口符合105：100的性別比例HA：此地男女兩性人口不符合105：100的性別比例先根據(jù)105：100的理論比例計(jì)算理論次數(shù)：男性的理論次數(shù)：20500×105/205=10500

女性的理論次數(shù)：20500×100/205=10000

（3）查表，推斷根據(jù)自由度df

=1，查χ2值表：P＜0.01差異極顯著此地男女兩性人口不符合105：100的性別比例，男女兩性人口嚴(yán)重失衡否定H0，接受HA課堂練習(xí)1：純種白豬和純種黑豬交配，F(xiàn)1后代全為白豬，F(xiàn)1代內(nèi)橫交，F(xiàn)2代毛色發(fā)生了分離?，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)了某一個(gè)豬場(chǎng)內(nèi)F2代680頭仔豬，發(fā)現(xiàn)白色仔豬494頭，黑色仔豬186頭，試問(wèn)F2代仔豬的毛色性狀是否符合孟德?tīng)柗蛛x定律？例2：果蠅兩對(duì)性狀F2代表現(xiàn)出的4種不同的表型，觀察次數(shù)分別為154、43、53、6，試問(wèn)該批資料是否符合9:3:3:1的遺傳比例？（1）提出假設(shè)H0：F2代表型符合9:3:3:1的遺傳比例HA：F2代表型不符合9:3:3:1的遺傳比例（2）計(jì)算χ2值根據(jù)9:3:3:1的理論比例計(jì)算理論次數(shù)：總觀察次數(shù)：154+43+53+6=256A-B-：256×9/16=144A-bb：256×3/16=48aaB-：256×3/16=48

aabb：256×1/16=16（3）查表，推斷根據(jù)自由度df

=3查表，可得：P＜0.05說(shuō)明F2代表型不符合9:3:3:1的遺傳比例否定H0，接受HA當(dāng)df≥2，χ2檢驗(yàn)差異顯著或極顯著，表示整批資料不符合某一理論比例

根據(jù)總的χ2值無(wú)法判斷出：到底是全部資料均不符合理論比例還是其中的部分資料不符合比例？為了確定各部分的符合程度，應(yīng)當(dāng)對(duì)總的χ2值進(jìn)行分割，即χ2再分割（4）χ2再分割χ2再分割是建立在χ2具有可加性的特點(diǎn)上的，即：但這種可加性只有在次數(shù)資料各部分相互獨(dú)立，并不作χ2的連續(xù)性校正時(shí)才成立的

差異顯著前三部分的χ2值均較小，因此可先取前三部分的比率作χ2檢驗(yàn)，即檢驗(yàn)前三部分是否符合9:3:3的比例（a）檢驗(yàn)前三部分是否符合9:3:3的遺傳比例總觀察次數(shù)為154+43+53=250計(jì)算理論次數(shù)：A-B-：250×9/15=150

A-bb：250×3/15=50

aaB-：250×3/15=50

接受H0，否定HA

說(shuō)明前三部分實(shí)際觀測(cè)值符合9:3:3的遺傳比例P＞0.05差異不顯著（b）檢驗(yàn)前三部分組合與aabb是否符合15:1的比例理論次數(shù)分別為：組合：256×15/16=240aabb：256×1/16=16P＜0.05，差異顯著，否定H0，接受HA

說(shuō)明aabb不符合理論比例■

χ2適合性檢驗(yàn)一般應(yīng)針對(duì)大樣本資料，樣本容量過(guò)小會(huì)影響到檢驗(yàn)的正確性，特別是理論比例中有較小值時(shí)，更應(yīng)注意樣本容量第三節(jié)獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)是檢驗(yàn)兩個(gè)變量、兩個(gè)試驗(yàn)因子之間是相互獨(dú)立的還是相關(guān)的一種χ2檢驗(yàn)方法獨(dú)立性檢驗(yàn)的無(wú)效假設(shè)H0：兩因子相互獨(dú)立（無(wú)關(guān)）；備擇假設(shè)HA：兩因子相關(guān)獨(dú)立性檢驗(yàn)無(wú)已知的理論比例，因此必須用列表的方式根據(jù)現(xiàn)有的觀察次數(shù)來(lái)推算理論次數(shù)獨(dú)立性檢驗(yàn)用列表的方式來(lái)推算理論次數(shù)的方法是建立在無(wú)效假設(shè)成立，也就是兩因子無(wú)關(guān)的基礎(chǔ)上的1.2×2列聯(lián)表

獨(dú)立性檢驗(yàn)所列的兩向表格稱(chēng)為列聯(lián)表根據(jù)分組數(shù)的多少，列聯(lián)表可分為2×2、2×C和R×C三種形式2×2列聯(lián)表是列聯(lián)表中最簡(jiǎn)單的一種形式C1C2R1abR2cd總和總和a+b=TR1c+d=TR2a+c=TC1b+d=TC2a+b+c+d=T例1：在將苗雞放進(jìn)雞舍前一般要先對(duì)雞舍進(jìn)行消毒，以降低疾病的發(fā)生?，F(xiàn)進(jìn)行雞舍消毒試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)如下，試問(wèn)消毒能否有效降低疾病的發(fā)生？

發(fā)病未發(fā)病合計(jì)消毒3092122不消毒5863121合計(jì)88155243（44.18）（43.82）（77.82）（77.18）（1）提出假設(shè)

H0：雞舍消毒與疾病的發(fā)生無(wú)關(guān)HA：雞舍消毒與疾病的發(fā)生相關(guān)獨(dú)立性檢驗(yàn)的自由度為:a格的理論次數(shù)：

b格的理論次數(shù)：（3）查表，推斷P＜0.01差異極顯著雞舍消毒可極顯著地降低疾病的發(fā)生否定無(wú)效假設(shè)，接受備擇假設(shè)2.2×C或R×2表例2：為了研究雞的飼養(yǎng)密度與雞的啄癖有無(wú)關(guān)系，設(shè)計(jì)了如下試驗(yàn)，按密度大小分為三種飼養(yǎng)方式，檢查不同密度下有啄癖的雞只數(shù)，得數(shù)據(jù)如下，并列成2×3表，試分析飼養(yǎng)密度與雞的啄癖有無(wú)關(guān)系。較低中等較高合計(jì)啄癖數(shù)141722正常數(shù)798683248合計(jì)8090100270（6.52）（73.48）（7.33）（82.67）（8.15）（91.85）（1）提出假設(shè)

H0：雞的啄癖與飼養(yǎng)密度無(wú)關(guān)HA：雞的啄癖與飼養(yǎng)密度有關(guān)（2）計(jì)算χ2值

=(2-1)(3-1)=2（3）查表，推斷P<0.01差異極顯著否定無(wú)效假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即雞的啄癖與飼養(yǎng)密度有極顯著地關(guān)聯(lián)（4）χ2再分割A(yù).檢驗(yàn)中等密度是否與雞的啄癖有關(guān)分析較低飼養(yǎng)密度、中等飼養(yǎng)密度與啄癖的關(guān)系低中合計(jì)啄癖數(shù)1（2.35）4（2.65）5正常數(shù)79（77.65）86（87.35）165合計(jì)8090170經(jīng)計(jì)算，可得：P＞0.05中等飼養(yǎng)密度并不顯著增加雞的啄癖數(shù)B.檢驗(yàn)高等飼養(yǎng)密度是否與啄癖有關(guān)將飼養(yǎng)較低飼養(yǎng)密度和中等飼養(yǎng)密度的合并起來(lái)檢驗(yàn)較高飼養(yǎng)密度

合并高合計(jì)啄癖數(shù)5（13