數(shù)學(xué)分析二冊答案冪級數(shù)

§冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域1．求下列各冪級數(shù)的收斂域：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0；（9）SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0；（11）SKIPIF1<0；（12）SKIPIF1<0；（13）SKIPIF1<0；（14）SKIPIF1<0；（15）SKIPIF1<0；（16）SKIPIF1<0．解（1）由SKIPIF1<0，故收斂半徑SKIPIF1<0,收斂域?yàn)镾KIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0，故收斂半徑SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0，級數(shù)為SKIPIF1<0，發(fā)散；在SKIPIF1<0，級數(shù)為SKIPIF1<0，由交錯級數(shù)的Leibniz判別法，知其收斂，因而收斂域?yàn)镾KIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0，所以收斂半徑SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，故在SKIPIF1<0級數(shù)發(fā)散，因此收斂域?yàn)镾KIPIF1<0．（4）由SKIPIF1<0，知收斂半徑SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0，級數(shù)為SKIPIF1<0絕對收斂，故收斂域?yàn)镾KIPIF1<0.（5）由SKIPIF1<0，故收斂半徑SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0，級數(shù)SKIPIF1<0，將其奇偶項(xiàng)分開，拆成兩個部分，分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，前一項(xiàng)級數(shù)發(fā)散，后一項(xiàng)級數(shù)收斂，因此級數(shù)SKIPIF1<0發(fā)散；同樣，SKIPIF1<0時，級數(shù)為SKIPIF1<0，也可拆成兩部分，前一部分為SKIPIF1<0，另一部分SKIPIF1<0，前者發(fā)散，后者絕對收斂，因此級數(shù)SKIPIF1<0發(fā)散，所以收斂區(qū)域是SKIPIF1<0．（6）SKIPIF1<0，所以級數(shù)的收斂半徑是SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，級數(shù)為SKIPIF1<0發(fā)散；當(dāng)SKIPIF1<0時，級數(shù)為SKIPIF1<0收斂．因此，收斂域?yàn)镾KIPIF1<0即SKIPIF1<0.（7）SKIPIF1<0，所以收斂半徑SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，級數(shù)為SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故由Raabe判別法，知級數(shù)發(fā)散；當(dāng)SKIPIF1<0時，級數(shù)為SKIPIF1<0（實(shí)際上，由其絕對收斂立知其收斂），這是交錯級數(shù)，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0單調(diào)下降，且由SKIPIF1<0（用數(shù)學(xué)歸納法證之）及夾迫性知SKIPIF1<0，由Leibniz判別法，知SKIPIF1<0收斂，所以收斂域?yàn)镾KIPIF1<0．（8）SKIPIF1<0，所以收斂半徑SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，故級數(shù)在SKIPIF1<0發(fā)散，因而收斂域?yàn)镾KIPIF1<0．（9）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0，級數(shù)為SKIPIF1<0，由Leibniz判別法，知其收斂；在SKIPIF1<0，級數(shù)為SKIPIF1<0發(fā)散，故收斂域SKIPIF1<0．（10）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，即級數(shù)SKIPIF1<0一般項(xiàng)SKIPIF1<0當(dāng)nSKIPIF1<0時不趨于0，因此級數(shù)發(fā)散，故收斂域SKIPIF1<0．（11）SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0，級數(shù)為SKIPIF1<0，因?yàn)榧墧?shù)一般項(xiàng)的絕對值為SKIPIF1<0對一切SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0，即級數(shù)SKIPIF1<0發(fā)散，因此收斂域?yàn)镾KIPIF1<0．（12）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．而在SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故級數(shù)在SKIPIF1<0均發(fā)散，因而收斂區(qū)間為SKIPIF1<0．（13）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又在SKIPIF1<0，顯然級數(shù)SKIPIF1<0均發(fā)散，故收斂域?yàn)镾KIPIF1<0．（14）由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均絕對收斂，因而收斂半徑SKIPIF1<0，收斂域SKIPIF1<0．（15）因?yàn)镾KIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，收斂域?yàn)镾KIPIF1<0．（16）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0，級數(shù)變?yōu)镾KIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時都收斂；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0收斂，而SKIPIF1<0發(fā)散，SKIPIF1<0時一般項(xiàng)不趨于0，均發(fā)散．因此，當(dāng)SKIPIF1<0時，收斂域SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時，收斂域?yàn)镾KIPIF1<0；而當(dāng)SKIPIF1<0時,收斂域?yàn)镾KIPIF1<0．2．設(shè)冪級數(shù)SKIPIF1<0的收斂半徑為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的收斂半徑為SKIPIF1<0，討論下列級數(shù)的收斂半徑：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．解（1）由題設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0時，級數(shù)SKIPIF1<0絕對收斂，而當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，級數(shù)SKIPIF1<0發(fā)散，因此級數(shù)SKIPIF1<0的收斂半徑為SKIPIF1<0．（2）收斂半徑必SKIPIF1<0，而不定，需給出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的具體表達(dá)式才可確定，可以舉出例子．（3）SKIPIF1<0，所以收斂半徑為SKIPIF1<0，只有當(dāng)SKIPIF1<0中一個為0，另一個為SKIPIF1<0時，不能確定，需看具體SKIPIF1<0，SKIPIF1<0來確定，可以是SKIPIF1<0中任一數(shù)．3．設(shè)SKIPIF1<0，求證：當(dāng)SKIPIF1<0時，有（1）SKIPIF1<0收斂；（2）SKIPIF1<0．證明（1）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，而由于SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減趨于0，級數(shù)SKIPIF1<0的部分和數(shù)列SKIPIF1<0有界，由Dirichlet判別法，級數(shù)SKIPIF1<0收斂．(2)設(shè)SKIPIF1<0的部分和為SKIPIF1<0，則由Abel變換，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0．§13.2冪級數(shù)的性質(zhì)1．設(shè)SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時收斂，那么當(dāng)SKIPIF1<0收斂時有SKIPIF1<0，不論SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時是否收斂．證明由于冪級數(shù)SKIPIF1<0的收斂半徑至少不小于SKIPIF1<0，且該冪級數(shù)在SKIPIF1<0收斂，因而該冪級數(shù)在SKIPIF1<0一致收斂（Abel第二定理），因此該冪級數(shù)的和函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0連續(xù)，即SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時收斂，故可逐項(xiàng)積分，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0取極限即有SKIPIF1<0．2．利用上題證明SKIPIF1<0．證明SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而級數(shù)SKIPIF1<0是收斂的，利用上題結(jié)論，就有SKIPIF1<0．3.用逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)積分求下列級數(shù)的和：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0；（9）SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0．解（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時，級數(shù)SKIPIF1<0收斂，由Abel第二定理，有SKIPIF1<0．（2）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，逐項(xiàng)積分，有SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（3）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（4）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（5）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（6）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（在SKIPIF1<0理解為極限值）．（7）令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0（在SKIPIF1<0理解為極限值）．（8）SKIPIF1<0，收斂半徑SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故級數(shù)發(fā)散．可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（9）設(shè)SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（10）設(shè)SKIPIF1<0，則有（逐項(xiàng)積分），SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．4.求下列級數(shù)的和：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．解（1）考慮級數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，逐項(xiàng)積分，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故有SKIPIF1<0．（2）設(shè)SKIPIF1<0，則級數(shù)在SKIPIF1<0絕對收斂，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．5．證明：(1)SKIPIF1<0滿足方程SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0滿足方程SKIPIF1<0．解（1）對級數(shù)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，故收斂半徑SKIPIF1<0，收斂域?yàn)镾KIPIF1<0，而采取用逐項(xiàng)求導(dǎo)得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0滿足方程SKIPIF1<0．（2）級數(shù)SKIPIF1<0收斂域?yàn)镾KIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，通過逐項(xiàng)求導(dǎo)得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0滿足方程SKIPIF1<0．6．設(shè)SKIPIF1<0是冪級數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的和函數(shù)，若SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則級數(shù)中僅出現(xiàn)奇次冪的項(xiàng)；若SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則級數(shù)中僅出現(xiàn)偶次冪的項(xiàng)．證明由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是奇函數(shù)，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時SKIPIF1<0，即級數(shù)中偶次冪系數(shù)均為0，因此級數(shù)中僅出現(xiàn)奇次冪的項(xiàng)．同樣，若SKIPIF1<0為偶函數(shù)，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，有SKIPIF1<0，即級數(shù)中奇次冪的系數(shù)均為0，因此級數(shù)中僅出現(xiàn)偶次冪的項(xiàng)．7．設(shè)SKIPIF1<0．求證：（1）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0連續(xù)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)連續(xù)；（2）SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0可導(dǎo)；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0不可導(dǎo)；證明（1）由于SKIPIF1<0，而級數(shù)SKIPIF1<0收斂，由M判別法，知級數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0一致收斂，而級數(shù)的每一項(xiàng)為冪函數(shù)在SKIPIF1<0連續(xù)，故和函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0連續(xù)．又級數(shù)SKIPIF1<0的收斂半徑為SKIPIF1<0，因此在SKIPIF1<0內(nèi)，其和函數(shù)SKIPIF1<0連續(xù)．（2）冪級數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0成為SKIPIF1<0，由Leibniz判別法，知級數(shù)收斂，由Abel第二定理，冪級數(shù)在SKIPIF1<0一致收斂，因而其和函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0右連續(xù)，因此SKIPIF1<0存在，且SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0．（4）因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0不可導(dǎo)．§1．利用基本初等函數(shù)的展式，將下列函數(shù)展開為Maclaurin級數(shù)，并說明收斂區(qū)間．（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0；（9）SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0；（11）SKIPIF1<0；（12）SKIPIF1<0；（13）SKIPIF1<0；（14）SKIPIF1<0．解（1）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（4）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（5）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（6）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（7）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（8）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（9）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（10）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，用Raabe判別法知右端級數(shù)收斂，因而收斂區(qū)間為SKIPIF1<0．（11）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（12）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（13）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（14）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．2．利用冪級數(shù)相乘求下列函數(shù)的Maclaurin展開式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．解（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0SKIP