高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)五層訓(xùn)練(新高考地區(qū))第38練雙曲線(原卷版+解析)

第38練雙曲線一、課本變式練1.（人A選擇性必修一P127習(xí)題3.2T4（3）變式）雙曲線的離心率為，且過，則雙曲線方程為（

）A． B． C． D．2.（人A選擇性必修一P127習(xí)題3.2T3變式）已知雙曲線C：的焦距為4，則C的漸近線方程為（

）A． B．C． D．3.（人A選擇性必修一P127習(xí)題3.2T3變式）已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為雙曲線上任意一點(diǎn)，則（

）A． B．雙曲線的漸近線方程為C．雙曲線的離心率為 D．4.（人A選擇性必修一P124練習(xí)4變式）已知雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)是，其漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是二、考點(diǎn)分類練(一)雙曲線的定義與方程5.設(shè)，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，當(dāng)時(shí)，面積為（

）．A． B． C． D．6.（2023屆安徽省宣城中學(xué)高三模擬）已知焦距為4的雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．7.（2023屆貴州省貴陽市高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)合考試）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上，．若的最小值是9，則雙曲線的離心率是_____．(二)雙曲線的離心率8．（2022屆江西省宜春市豐城中學(xué)高三模擬）已知點(diǎn)、為雙曲線的漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，為雙曲線的焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．29.（多選）設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足，則曲線C的離心率可以是（

）A． B． C． D．210.（2022屆浙江省金太陽高三下學(xué)期5月仿真考試）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)A是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)B在E的一條漸近線上．若E的焦距為4，則E的離心率的最小值是__________．(三)雙曲線的漸近線11.（2022屆河南省睢縣高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期12月月考）已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，M是雙曲線下支上的一點(diǎn)，線段MF與圓相切于點(diǎn)D，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．12.（2023屆廣東省六校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P，Q是雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），直線，，的斜率分別為，，，若，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線C的漸近線方程為 B．雙曲線C的離心率為C．為定值 D．的取值范圍為13.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，過點(diǎn)的圓與雙曲線的一條漸近線交于位于第一象限的點(diǎn)，若直線的斜率為，則雙曲線的漸近線方程為________．(四)定點(diǎn)定值及范圍問題14.（2023屆廣東省廣州市高三上學(xué)期8月階段測試）已知雙曲線，經(jīng)過雙曲線上的點(diǎn)作互相垂直的直線AM?AN分別交雙曲線于M?N兩點(diǎn).設(shè)線段AM?AN的中點(diǎn)分別為B?C，直線OB?OC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率都存在且它們的乘積為.(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)A作（D為垂足），請問：是否存在定點(diǎn)E，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.15.（2022屆山東省臨沂市高三下學(xué)期三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，為的左頂點(diǎn)，且．(1)求的方程；(2)若動(dòng)直線與恰有個(gè)公共點(diǎn)，且與的兩條漸近線分別交于點(diǎn)、．求證：點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值．16.（2022屆陜西省渭南市臨渭區(qū)高三下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測）已知橢圓：的離心率為，其短軸長與雙曲線的實(shí)半軸長相等.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與曲線：相切，與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍.三、最新模擬練17.（2023屆頂尖計(jì)劃河南省高三上學(xué)期第一次考試）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，若，且直線的斜率為3，則的離心率為（

）A． B． C． D．18.（2022屆吉林省吉林市高三第四次調(diào)研）已知直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)H，直線與雙曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為T，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A．且 B． C．為定值 D．的最小值為219.（多選）（2023屆重慶市重慶十八中兩江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校高三上學(xué)期第一次適應(yīng)性強(qiáng)化訓(xùn)練）已知雙曲線的一條漸近線方程為，過點(diǎn)作直線交該雙曲線于和兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．該雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸不能確定B．該雙曲線的離心率為C．若和在雙曲線的同一支上，則D．若和分別在雙曲線的兩支上，則20.（2022屆四川省內(nèi)江市高三第三次模擬）已知，，若曲線上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是___________.21.（2023屆湖南省三湘創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)合高三上學(xué)期起點(diǎn)調(diào)研）已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為.(1)求C的方程；(2)設(shè)A，B是直線上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，直線與C交于M，N兩點(diǎn)，證明：直線AM與BN的交點(diǎn)在定直線上.22.（2022屆福建省晉江市第一中學(xué)高三上學(xué)期第三次階段考）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)力程；（2）已知點(diǎn)A是C上一定點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若為定值，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值．四、高考真題練23.（多選）(2022高考全國卷乙)雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為,以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D,過作D的切線與C交于M,N兩點(diǎn),且,則C的離心率為（）A. B. C. D.24.(2022高考全國卷甲)若雙曲線的漸近線與圓相切,則_________．25.（2022新高考全國卷2）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,漸近線方程為．（1）求C的方程；（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)在C上,且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.26.（2022新高考全國卷1）已知點(diǎn)在雙曲線上,直線l交C于P,Q兩點(diǎn),直線的斜率之和為0．（1）求l的斜率；（2）若,求的面積．五、綜合提升練27.（2022河南省信陽市高三下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，是上一點(diǎn)，為等腰三角形，且外接圓面積為，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．28.（多選）已知雙曲線，為雙曲線上一點(diǎn)，過點(diǎn)的切線為，雙曲線的左右焦點(diǎn)，到直線的距離分別為，，則（

）A．B．直線與雙曲線漸近線的交點(diǎn)為，，則，，，四點(diǎn)共圓C．該雙曲線的共軛雙曲線的方程為D．過的弦長為5的直線有且只有1條29.已知雙曲線G的方程，其左、右焦點(diǎn)分別是，，已知點(diǎn)P坐標(biāo)為，雙曲線G上點(diǎn)，滿足，則______．30.已知F1（－，0），F(xiàn)2（，0）為雙曲線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2，－1）在C上．(1)求C的方程；(2)點(diǎn)A，B在C上，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線AB上，若＋，＝0，證明：存在定點(diǎn)T，使得|QT|為定值．第38練雙曲線一、課本變式練1.（人A選擇性必修一P127習(xí)題3.2T4（3）變式）雙曲線的離心率為，且過，則雙曲線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由雙曲線離心率為，得，所以所以，所以雙曲線方程為，將代入得.所以雙曲線的方程為.故選D2.（人A選擇性必修一P127習(xí)題3.2T3變式）已知雙曲線C：的焦距為4，則C的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題可得，，由，且，得故C的漸近線方程為故選A3.（人A選擇性必修一P127習(xí)題3.2T3變式）已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為雙曲線上任意一點(diǎn)，則（

）A． B．雙曲線的漸近線方程為C．雙曲線的離心率為 D．【答案】CD【解析】雙曲線：焦點(diǎn)在軸上，，，對于A選項(xiàng)，，而點(diǎn)在哪支上并不確定，故A錯(cuò)誤對于B選項(xiàng)，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線漸近線方程為，故B錯(cuò)誤對于C選項(xiàng)，，故C正確對于D選項(xiàng)，設(shè)，則（時(shí)取等號(hào)）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，故D正確故選CD4.（人A選擇性必修一P124練習(xí)4變式）已知雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)是，其漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是【答案】【解析】由題意得：雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)是，焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為，漸近線方程為，，，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．二、考點(diǎn)分類練(一)雙曲線的定義與方程5.設(shè)，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，當(dāng)時(shí)，面積為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】∵雙曲線，∴，又點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，，所以，，即，又，∴面積為.故選B.6.（2023屆安徽省宣城中學(xué)高三模擬）已知焦距為4的雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知焦距為4，所以，，又雙曲線方程的漸近線方程為：，而直線的斜率，且直線與一條漸近線垂直，所以，即，由解得，所以雙曲線方程為：，故選C.7.（2023屆貴州省貴陽市高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)合考試）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上，．若的最小值是9，則雙曲線的離心率是_____．【答案】【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，雙曲線的，則，可得，，由雙曲線的定義可得，可得，則，當(dāng)，，共線時(shí)，取得等號(hào)．，則整理得：解得或，由于，則，故不符合所以，，則雙曲線的離心率為．(二)雙曲線的離心率8．（2022屆江西省宜春市豐城中學(xué)高三模擬）已知點(diǎn)、為雙曲線的漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，為雙曲線的焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，所以，所以，所以，所以雙曲線的離心率.故選D.9.（多選）設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足，則曲線C的離心率可以是（

）A． B． C． D．2【答案】AC【解析】若曲線是橢圓則其離心率為；若曲線是雙曲線則其離心率為；故選AC10.（2022屆浙江省金太陽高三下學(xué)期5月仿真考試）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)A是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)B在E的一條漸近線上．若E的焦距為4，則E的離心率的最小值是__________．【答案】2【解析】設(shè)，且E的焦距為4，則，因?yàn)辄c(diǎn)A是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以．因?yàn)锽是的中點(diǎn)，所以，即，所以，所以B點(diǎn)在圓上，同時(shí)B在E的一條漸近線上．設(shè)E的漸近線：，所以直線與圓有公共點(diǎn)，即，又．(三)雙曲線的漸近線11.（2022屆河南省睢縣高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期12月月考）已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，M是雙曲線下支上的一點(diǎn)，線段MF與圓相切于點(diǎn)D，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得，則該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為設(shè)切點(diǎn)，可知，則，解得，，由，得，得：代入雙曲線，整理得：，雙曲線的漸近線方程為

故選D12.（2023屆廣東省六校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P，Q是雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），直線，，的斜率分別為，，，若，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線C的漸近線方程為 B．雙曲線C的離心率為C．為定值 D．的取值范圍為【答案】BCD【解析】設(shè)，則，因?yàn)?，，故，依題意有，所以，所以雙曲線C的漸近線方程為，離心率，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；因?yàn)辄c(diǎn)P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以四邊形為平行四邊形，即有，所以，故C正確；設(shè)的傾斜角為，的傾斜角為，由題意可得，則，根據(jù)對稱性不妨設(shè)P在x軸上方，則，則，則，因?yàn)镻在x軸上方，則，或，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，所以，故D正確.故選BCD.13.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，過點(diǎn)的圓與雙曲線的一條漸近線交于位于第一象限的點(diǎn)，若直線的斜率為，則雙曲線的漸近線方程為________．【答案】【解析】由題意得圓的方程為，雙曲線經(jīng)過第一象限的漸近線方程為，聯(lián)立方程，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，有，又由直線的斜率為，可得，有，故雙曲線的漸近線方程為．(四)定點(diǎn)定值及范圍問題14.（2023屆廣東省廣州市高三上學(xué)期8月階段測試）已知雙曲線，經(jīng)過雙曲線上的點(diǎn)作互相垂直的直線AM?AN分別交雙曲線于M?N兩點(diǎn).設(shè)線段AM?AN的中點(diǎn)分別為B?C，直線OB?OC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率都存在且它們的乘積為.(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)A作（D為垂足），請問：是否存在定點(diǎn)E，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)?，線段AM?AN的中點(diǎn)分別為?，由已知，得；兩式相減，得，即①根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)及斜率公式，得，，，.代入①，得②同理，得③，②③相乘，得.∵，，∴④由，與④聯(lián)立，得，，雙曲線的方程為：.（2）①當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，，由AM?AN互相垂直，得，由解得（此時(shí)無實(shí)數(shù)解，故舍去），或（此時(shí)M?N至少一個(gè)點(diǎn)與A重合，與條件不符，故舍去）.綜上，此時(shí)無符合條件的解.②當(dāng)不成立時(shí)，設(shè)直線，?代入得，且∵∴，即，解得：或.當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)，與條件不符，舍去.∴，，過定點(diǎn)∴AP中點(diǎn)，由于（D為垂足），故.綜上所述，存在定點(diǎn)，使得為定值.15.（2022屆山東省臨沂市高三下學(xué)期三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，為的左頂點(diǎn)，且．(1)求的方程；(2)若動(dòng)直線與恰有個(gè)公共點(diǎn)，且與的兩條漸近線分別交于點(diǎn)、．求證：點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值．【解析】(1)易知點(diǎn)、、，，，所以，，解得，，則，所以，雙曲線的方程為.(2)分以下兩種情況討論：①當(dāng)直線軸時(shí)，直線的方程為，此時(shí)點(diǎn)、的橫坐標(biāo)之積為；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由題意可知直線不與雙曲線的漸近線平行或重合，即，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，則，可得，則，不妨點(diǎn)、分別為直線與直線、的交點(diǎn)，聯(lián)立可得，聯(lián)立可得，此時(shí)，.綜上所述，點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值.16.（2022屆陜西省渭南市臨渭區(qū)高三下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測）已知橢圓：的離心率為，其短軸長與雙曲線的實(shí)半軸長相等.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與曲線：相切，與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】(1)雙曲線的實(shí)半軸長為2，則，又橢圓的離心率，解得，所以橢圓的方程為.(2)由（1）知，曲線：為圓，與圓相切的直線斜率不存在時(shí)，直線：，由解得：，則，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，由消去并整理得：，有，即，，，又直線與圓：相切，有，即，顯然，則，于是得，令，則，而，即，因此，，所以的取值范圍為.三、最新模擬練17.（2023屆頂尖計(jì)劃河南省高三上學(xué)期第一次考試）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，若，且直線的斜率為3，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得直線的方程為，直線的方程為，所以，解得，即，將代入雙曲線可得即，所以，因?yàn)樗怨蔬xB18.（2022屆吉林省吉林市高三第四次調(diào)研）已知直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)H，直線與雙曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為T，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A．且 B． C．為定值 D．的最小值為2【答案】D【解析】，，，，則選項(xiàng)A，雙曲線，所以漸近線方程為，直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，所以，由已知，，所以該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，，所以該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，，∴，∴，所以該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選D.19.（多選）（2023屆重慶市重慶十八中兩江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校高三上學(xué)期第一次適應(yīng)性強(qiáng)化訓(xùn)練）已知雙曲線的一條漸近線方程為，過點(diǎn)作直線交該雙曲線于和兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．該雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸不能確定B．該雙曲線的離心率為C．若和在雙曲線的同一支上，則D．若和分別在雙曲線的兩支上，則【答案】BC【解析】對于A選項(xiàng)，若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則，可得，且有，解得，則雙曲線的方程為，其焦點(diǎn)在軸上；若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，且有，無解，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，，，，所以，雙曲線的離心率為，B對；對于CD選項(xiàng)，當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，則，解得，由韋達(dá)定理可得，，，，.若和在雙曲線的同一支上，則，可得，則，C對；若和分別在雙曲線的兩支上且直線不與軸重合時(shí)，，可得，則，若直線與軸重合，則、分別為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，則，故當(dāng)和分別在雙曲線的兩支上時(shí)，，D錯(cuò).故選BC.20.（2022屆四川省內(nèi)江市高三第三次模擬）已知，，若曲線上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】若，，且，則點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，且，，∴，，∴雙曲線方程為，其漸近線方程為，則曲線上存在點(diǎn)滿足，等價(jià)于與雙曲線相交，∴．21.（2023屆湖南省三湘創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)合高三上學(xué)期起點(diǎn)調(diào)研）已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為.(1)求C的方程；(2)設(shè)A，B是直線上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，直線與C交于M，N兩點(diǎn)，證明：直線AM與BN的交點(diǎn)在定直線上.【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為，所以.又焦點(diǎn)到直線的距離，所以，又，所以，，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：聯(lián)立方程組消去y，并整理得.設(shè)，，則，.設(shè)，（），則得直線AM的方程為，直線BN的方程為，兩個(gè)方程相減得，①因?yàn)?，把上式代入①得：，所以，因此直線AM與BN的交點(diǎn)在直線上.22.（2022屆福建省晉江市第一中學(xué)高三上學(xué)期第三次階段考）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)力程；（2）已知點(diǎn)A是C上一定點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若為定值，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值．【解析】（1）由題意．且．聯(lián)立解得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，過點(diǎn)的動(dòng)直線為：．設(shè)，，聯(lián)立得，-所以，由且，解得且，，即，即，．化簡得，所以，．化簡得，由于上式對無窮多個(gè)不同的實(shí)數(shù)t都成立，所以如果，那么，此時(shí)不在雙曲線C上，舍去．因此，從而，所以，代入得，解得，此時(shí)在雙曲線C上．綜上，，，或者，．四、高考真題練23.（多選）(2022高考全國卷乙)雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為,以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D,過作D的切線與C交于M,N兩點(diǎn),且,則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸,設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為,若分別在左右支,因?yàn)?且,所以在雙曲線的右支,又,,,設(shè),,在中,有,故即,所以,而,,,故,代入整理得到,即,所以雙曲線的離心率若均在左支上,同理有,其中為鈍角,故,故即,代入,,,整理得到：,故,故,故選AC.24.(2022高考全國卷甲)若雙曲線的漸近線與圓相切,則_________．【答案】【解析】雙曲線的漸近線為,即,不妨取,圓,即,所以圓心為,半徑,依題意圓心到漸近線的距離,解得或（舍去）．25.（2022新高考全國卷2）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,漸近線方程為．（1）求C的方程；（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)在C上,且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】（1）設(shè),∵C的右焦點(diǎn)為,∴,即,∵C的漸近線方程為,∴,即,由得,,∴C的方程為.（2）由已知得直線的斜率存在且不為零,直線的斜率不為零,若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②,則為線段的中點(diǎn),假若直線的斜率不存在,則由雙曲線的對稱性可知在軸上,即為焦點(diǎn),此時(shí)由對稱性可知、關(guān)于軸對稱,從而,與已知不符；總之,直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上,等價(jià)于；兩漸近線方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡整理得,設(shè),線段中點(diǎn),則,設(shè),則條件③等價(jià)于,移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：,,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中,得,解得,同理得,∴∴,∴條件②等價(jià)于,綜上所述：條件①在上,等價(jià)于；條件②等價(jià)于；條件③等價(jià)于；選①②推③:由①②解得,∴③成立；選①③推②：由①③解得,,∴,∴②成立；選②③推①：由②③解得：,,∴,∴,∴①成立.26.（2022新高考全國卷1）已知點(diǎn)在雙曲線上,直線l交C于P,Q兩點(diǎn),直線的斜率之和為0．（1）求l的斜率；（2）若,求的面積．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,所以,解得,所以雙曲線C的方程為,設(shè),易知直線l的斜率存在,設(shè),由得,,所以,,．由得,即,即,所以,化簡得,,即,所以或,當(dāng)時(shí),直線過點(diǎn),與題意不符,舍去,故．（2）不妨設(shè)直線的傾斜角為,因?yàn)?所以,由（1）知,,當(dāng)均在雙曲線左支時(shí),,所以,即,解得（負(fù)值舍去）此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行,與雙曲線左支無交點(diǎn),舍去；當(dāng)均在雙曲線右支時(shí),因?yàn)?所以,即,即,解得（負(fù)值舍去）,于是,直線,直線,聯(lián)立可得,,因