2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法（教師用書）教案 新人教A版選修2-2

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.2直接證明與間接證明2.2.2反證法（教師用書）教案新人教A版選修2-2主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)-推理與證明

2.教學(xué)年級和班級：2024-2025學(xué)年，高中二年級，1班

3.授課時間：2024年10月15日，星期一，第3節(jié)課

4.教學(xué)時數(shù)：45分鐘

教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)：

-學(xué)習(xí)反證法的概念和基本步驟

-能夠運用反證法證明一些基本的數(shù)學(xué)命題

教學(xué)資源和材料：

-課本：《新人教A版選修2-2》

-教學(xué)PPT

-練習(xí)題和案例分析題核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力和數(shù)學(xué)思維能力。通過學(xué)習(xí)反證法，使學(xué)生能夠理解并掌握反證法的基本概念和步驟，培養(yǎng)學(xué)生運用反證法解決問題的能力。同時，通過案例分析和練習(xí)題的實踐，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。此外，通過小組討論和互動交流，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和溝通表達(dá)能力。重點難點及解決辦法重點：

1.反證法的概念和基本步驟。

2.運用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和技巧。

難點：

1.反證法的第一步，即假設(shè)結(jié)論不成立，對于學(xué)生來說較為抽象，難以理解。

2.如何引導(dǎo)學(xué)生從假設(shè)出發(fā)，通過邏輯推理得出矛盾，進(jìn)而證明原命題的正確性。

解決辦法：

1.通過具體的案例分析，讓學(xué)生感受反證法的思維過程，從而理解反證法的概念。

2.采用循序漸進(jìn)的教學(xué)方法，先從簡單的命題開始，逐步引導(dǎo)學(xué)生掌握反證法的步驟。

3.在課堂上組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，分享各自的解題思路，互相學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步。

4.提供充足的練習(xí)題，讓學(xué)生在實踐中熟悉并掌握反證法的運用。

5.教師應(yīng)及時給予學(xué)生反饋，指導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)并修正推理過程中的錯誤，幫助他們更好地理解和掌握反證法。學(xué)具準(zhǔn)備Xxx課型新授課教法學(xué)法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計二次備課教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法：

-講授法：教師通過講解反證法的概念和例子，引導(dǎo)學(xué)生理解反證法的思維過程。

-討論法：學(xué)生分組討論練習(xí)題，分享解題思路，互相學(xué)習(xí)，培養(yǎng)合作和溝通能力。

-實踐法：學(xué)生通過解決實際問題，運用反證法證明命題，提高解決問題的能力。

2.教學(xué)手段：

-多媒體設(shè)備：使用PPT展示反證法的步驟和案例，增強(qiáng)教學(xué)直觀性和生動性。

-教學(xué)軟件：運用數(shù)學(xué)軟件或在線平臺，進(jìn)行實時演示和互動，幫助學(xué)生更好地理解反證法。

-練習(xí)題和案例分析：提供豐富的練習(xí)題和案例，讓學(xué)生在實踐中掌握反證法的應(yīng)用。教學(xué)過程設(shè)計1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

-教師通過PPT展示一個有趣的數(shù)學(xué)問題：“是否存在這樣的三個正整數(shù)，它們的和等于它們的乘積？”讓學(xué)生思考并討論。

-學(xué)生積極參與討論，嘗試尋找解答。

-教師總結(jié)學(xué)生的解答，引出反證法的概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.講授新課（15分鐘）

-教師講解反證法的概念和基本步驟，強(qiáng)調(diào)反證法的第一步是假設(shè)結(jié)論不成立。

-教師通過PPT展示反證法的例子，引導(dǎo)學(xué)生理解反證法的思維過程。

-學(xué)生跟隨教師的講解，積極參與思考和討論。

3.鞏固練習(xí)（10分鐘）

-教師發(fā)放練習(xí)題，讓學(xué)生獨立完成。

-學(xué)生在課堂上完成練習(xí)題，教師巡回指導(dǎo)，及時給予反饋。

-學(xué)生之間進(jìn)行小組討論，分享解題思路，互相學(xué)習(xí)。

4.課堂提問（5分鐘）

-教師針對本節(jié)課的內(nèi)容提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考和鞏固所學(xué)知識。

-學(xué)生積極回答問題，展示自己對反證法的理解和掌握。

-教師根據(jù)學(xué)生的回答，進(jìn)行點評和指導(dǎo)。

5.總結(jié)與拓展（5分鐘）

-教師對本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)反證法的應(yīng)用和重要性。

-教師提出一個拓展問題，引導(dǎo)學(xué)生思考反證法在實際問題中的應(yīng)用。

-學(xué)生思考并討論拓展問題，分享自己的見解。

6.課后作業(yè)（課后自主完成）

-教師發(fā)放課后作業(yè)，要求學(xué)生運用反證法解決實際問題。

-學(xué)生獨立完成作業(yè)，鞏固對反證法的理解和掌握。

總計用時：40分鐘

教學(xué)創(chuàng)新點：

-通過有趣的數(shù)學(xué)問題導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

-結(jié)合PPT和數(shù)學(xué)軟件，生動展示反證法的思維過程。

-組織學(xué)生進(jìn)行小組討論和課堂提問，促進(jìn)師生互動和生生互動。

-提供豐富的練習(xí)題和課后作業(yè)，讓學(xué)生在實踐中掌握反證法的應(yīng)用。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

（1）反證法在數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用案例：教師可提供一些數(shù)學(xué)競賽中的題目，讓學(xué)生嘗試運用反證法解決，從而提高學(xué)生的應(yīng)用能力和解題技巧。

（2）反證法在實際問題中的應(yīng)用：教師可引導(dǎo)學(xué)生思考反證法在實際問題中的應(yīng)用，如邏輯推理、證明爭議問題等，讓學(xué)生感受反證法的價值。

（3）反證法與其他證明方法的對比：教師可引導(dǎo)學(xué)生探討反證法與其他證明方法（如直接證明、歸納法等）的區(qū)別和聯(lián)系，讓學(xué)生了解各種證明方法的優(yōu)缺點。

2.拓展建議：

（1）讓學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)論文或書籍：教師可推薦一些涉及反證法的數(shù)學(xué)論文或書籍，讓學(xué)生自主閱讀，了解反證法在數(shù)學(xué)研究中的應(yīng)用。

（2）舉辦數(shù)學(xué)講座或研討會：邀請數(shù)學(xué)專家或?qū)W者來校舉辦講座或研討會，讓學(xué)生深入了解反證法及其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。

（3）開展數(shù)學(xué)實踐活動：組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)實踐活動，如數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)競賽等，讓學(xué)生在實際操作中運用反證法解決問題。

（4）小組合作研究：讓學(xué)生分組合作，研究反證法在特定領(lǐng)域的應(yīng)用，如邏輯推理、證明爭議問題等，并進(jìn)行匯報交流。

（5）網(wǎng)上資源搜索：指導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，搜索與反證法相關(guān)的學(xué)習(xí)資料，拓寬視野，提高自主學(xué)習(xí)能力。

（6）開展課后討論：鼓勵學(xué)生在課后針對本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，進(jìn)行深入討論，鞏固所學(xué)知識，提高分析問題和解決問題的能力。課后拓展1.拓展內(nèi)容：

（1）閱讀材料：《數(shù)學(xué)分析中的反證法應(yīng)用》、《反證法在幾何證明中的應(yīng)用》等，讓學(xué)生進(jìn)一步了解反證法在不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。

（2）視頻資源：《反證法的證明過程解析》、《數(shù)學(xué)悖論與反證法》等，幫助學(xué)生形象地理解反證法的原理和應(yīng)用。

2.拓展要求：

（1）學(xué)生自主閱讀拓展材料，了解反證法在不同領(lǐng)域的應(yīng)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力。

（2）學(xué)生觀看拓展視頻，加深對反證法的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（3）學(xué)生結(jié)合本節(jié)課所學(xué)，嘗試解決一些實際問題，運用反證法進(jìn)行證明，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

（4）學(xué)生撰寫課后拓展心得，總結(jié)自己在拓展學(xué)習(xí)中的收獲和感悟，提高學(xué)生的自我反思能力。

（5）教師在課后提供必要的指導(dǎo)和幫助，如解答學(xué)生的疑問、給予反饋等，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。教學(xué)反思與改進(jìn)首先，我意識到導(dǎo)入環(huán)節(jié)的重要性。通過引入一個有趣的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。在今后的教學(xué)中，我將繼續(xù)運用這種方式，引導(dǎo)學(xué)生主動參與課堂。

其次，我在講授新課時，注重了與學(xué)生的互動，鼓勵他們積極參與討論。這種方式有助于學(xué)生更好地理解和掌握反證法的概念。今后，我將繼續(xù)采用這種教學(xué)方法，提高學(xué)生的課堂參與度。

在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，我及時給予學(xué)生反饋，并組織小組討論。這有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)并修正自己的錯誤，提高解題能力。今后，我將更加關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時調(diào)整教學(xué)策略。

然而，我也發(fā)現(xiàn)了一些需要改進(jìn)的地方。例如，在課堂提問環(huán)節(jié)，我應(yīng)該更加注重引導(dǎo)學(xué)生思考，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)邏輯思維能力。此外，在課后拓展環(huán)節(jié)，我需要提供更多的資源和建議，幫助學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)。

針對這些反思，我制定了以下改進(jìn)措施：

1.繼續(xù)優(yōu)化導(dǎo)入環(huán)節(jié)，通過有趣的問題或案例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.增加課堂互動，鼓勵學(xué)生提問和發(fā)表自己的見解，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力。

3.注重課后拓展，提供豐富的學(xué)習(xí)資源和指導(dǎo)，幫助學(xué)生自主學(xué)習(xí)，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

4.加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)情況的關(guān)注，及時調(diào)整教學(xué)策略，滿足學(xué)生的個性化需求。

5.不斷提高自己的專業(yè)素養(yǎng)，參加教育培訓(xùn)，提升教學(xué)水平。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測1.課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反證法的概念和基本步驟，通過具體的例子了解了反證法的思維過程。反證法是一種重要的證明方法，它在數(shù)學(xué)推理中有著廣泛的應(yīng)用。我們需要注意，運用反證法時，首先要合理地提出假設(shè)，然后通過邏輯推理得出矛盾，從而證明原命題的正確性。

2.當(dāng)堂檢測：

（1）判斷題：

1.反證法的第一步是假設(shè)結(jié)論不成立。（）

2.反證法是一種證明方法，它的目的是通過假設(shè)結(jié)論不成立，然后找到矛盾，從而證明結(jié)論成立。（）

（2）選擇題：

1.以下哪個選項是反證法的第一步？（）

A.歸納推理

B.假設(shè)結(jié)論不成立

C.尋找反例

D.證明結(jié)論成立

2.在運用反證法證明命題時，以下哪個選項是正確的步驟？（）

A.先證明結(jié)論，再假設(shè)結(jié)論不成立

B.先假設(shè)結(jié)論不成立，然后找到矛盾

C.先找到矛盾，再假設(shè)結(jié)論不成立

D.先假設(shè)結(jié)論不成立，再證明結(jié)論成立

（3）解答題：

請運用反證法證明下列命題：

1.任意正整數(shù)a、b、c，若a+b+c=abc，則a、b、c中至少有一個數(shù)為1。

2.任意正整數(shù)n，若n^2+1是奇數(shù)，則n是偶數(shù)。板書設(shè)計（1）反證法的概念和步驟

-反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，通過邏輯推理找到矛盾，從而證明原命題的正確性。

-步驟：

-假設(shè)結(jié)論不成立

-推導(dǎo)出矛盾

-得出原命題成立

（2）反證法的應(yīng)用

-反證法在數(shù)學(xué)證明中的重要性

-反證