1.2集合間的基本關(guān)系課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

1.2集合間的基本關(guān)系第一章集合與常用邏輯用語人教A版

數(shù)學(xué)

必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達標學(xué)習(xí)目標1.理解集合之間的包含與相等的含義,并用符號語言、Venn圖、數(shù)軸等方式直觀表達這些關(guān)系.(直觀想象)2.能識別給定集合的子集、真子集的含義,理解空集的含義.(邏輯推理)3.能進行自然語言、圖形語言、符號語言的轉(zhuǎn)換.(數(shù)學(xué)抽象)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點一:子集與真子集1.Venn圖用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為Venn圖.名師點睛對Venn圖的理解(1)表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線.(2)用Venn圖能夠直觀地表示集合之間的關(guān)系.2.子集與真子集

概念定義符號語言圖形語言性質(zhì)子集一般地,對于兩個集合A,B,如果集合A中

元素都是集合B中的元素,就稱集合A為集合B的子集

A

B(或B?A)

(1)任何一個集合是它本身的子集,即A?A;(2)對于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么

真子集如果集合

,但存在元素x∈B,且x?A,就稱集合A是集合B的真子集

A?B(或B?A)

對于集合A,B,C,如果A?B,B?C,那么

任意一個

?A?C

A?BA?C名師點睛1.對子集的理解若A?B,則A有以下三種情況:(1)A是空集;(2)A是由B的部分元素組成的集合;(3)A是由B的全部元素組成的集合.故不能簡單地認為“若A?B,則A是由B的部分元素組成的集合”.2.對真子集的理解(1)集合A是集合B的真子集,需要滿足以下兩個條件:①集合A是集合B的子集;②存在元素x∈B,且x?A.(2)任何集合都一定有子集,用列舉法表示的集合,其真子集的個數(shù)比子集的個數(shù)少1,也就是本身.微思考(1)子集定義中“任意一個元素”能否改為“某個或某些元素”?

(2)符號“?”與符號“∈”有什么區(qū)別?

(3)集合A?B與集合A?B有什么區(qū)別與聯(lián)系?

提示

不能.“A是B的子集”的定義中“集合A中的任意一個元素都是集合B的元素”,即對任意x∈A都能得到x∈B.注意“任意一個元素”而不是某個或某些元素.提示

符號“?”表示集合與集合之間的包含關(guān)系,而符號“∈”表示元素與集合之間的從屬關(guān)系.提示

A?B?A=B或A?B.因此若集合A是集合B的子集包含兩個方面:A?B或A=B.知識點二:集合相等一般地,如果集合A的

都是集合B的元素,同時集合B的

都是集合A的元素,那么集合A與集合B相等,記作

.

也就是說,若A

B,且B

A,則A=B.

名師點睛對集合相等的理解(1)集合A與集合B相等,就是集合A與集合B中的元素完全一致.(2)集合“A=B”可類比實數(shù)中的結(jié)論“若a≤b,且b≤a,則a=b”,即“若A?B,且B?A,則A=B”.任何一個元素

任何一個元素

A=B

??微思考通過子集來描述集合相等的定義與本書定義“構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的”有什么不同?提示

現(xiàn)在的定義更抽象,具有邏輯推理性;原始的定義更具體,富有直觀性.知識點三:空集一般地,我們把不含有

的集合叫做空集,記為

,并規(guī)定:空集是任何集合的子集,即??A.

也是集合任何元素

?名師點睛有限集合的子集問題若有限非空集合A中含有n個元素,則有:(1)集合A的子集的個數(shù)為2n;(2)集合A的真子集的個數(shù)為2n-1;(3)集合A的非空子集的個數(shù)為2n-1;(4)集合A的非空真子集的個數(shù)為2n-2.例如,集合{1,2}的元素個數(shù)為2,其子集個數(shù)為22=4,子集分別為?,{1},{2},{1,2};真子集個數(shù)為22-1=3,真子集分別為?,{1},{2};非空子集個數(shù)為22-1=3,非空子集分別為{1},{2},{1,2};非空真子集個數(shù)為22-2=2,非空真子集分別為{1},{2}.微思考0,{0},?之間有什么區(qū)別與聯(lián)系?提示

0表示一個元素,{0}是含有一個元素0的集合,?是不含任何元素的集合,因此??{0}.知識點四:子集與真子集的性質(zhì)由子集、真子集和空集的概念可得:(1)空集是任何集合的子集,

;

(2)空集是任何非空集合的真子集,

;

(3)任何一個集合是它自身的子集,即

;

(4)若一個集合只有一個子集,則該集合是

.

微思考若A?B,能不能看成集合A是集合B中部分元素組成的集合???A??A(A≠?)A?A?提示

不能.因為當A=?時,A?B,但A中不含任何元素;當A=B時,有A?B,但A中含有B中所有元素.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1在學(xué)習(xí)實數(shù)時,首先是學(xué)習(xí)實數(shù)的定義及表示,然后是研究實數(shù)之間的關(guān)系、運算.“集合”與“實數(shù)”一樣,都是數(shù)學(xué)研究對象,其研究路徑也可類比.據(jù)此,在前面研究了集合的定義及表示后,接下來該如何研究?研究什么?問題2類比實數(shù)之間的大小關(guān)系、相等關(guān)系,集合與集合之間有哪些關(guān)系?探究點一集合的子集、真子集問題問題3如何做到不重不漏地列出具體集合的子集?【例1】

(1)集合A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的個數(shù)是(

)A.16 B.8 C.7 D.4C解析

由已知得,A={0,1,2},此集合的真子集為?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},共7個.(2)若{1,2,3}?A?{1,2,3,4,5},則滿足條件的集合A的個數(shù)為(

)A.2 B.3 C.4 D.5B解析

集合{1,2,3}是集合A的真子集,同時集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.(3)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},試寫出A的所有子集.解

因為A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.規(guī)律方法

1.求集合的子集、真子集的步驟

2.求元素個數(shù)有限的集合的子集兩個關(guān)注點(1)要注意兩個特殊的子集:?和自身;(2)按子集中含有元素的個數(shù)由少到多,一一分類寫出,保證不重不漏.分類討論書寫是保證不重不漏的關(guān)鍵.探究點二集合之間關(guān)系的判斷問題4如何判斷兩集合間的關(guān)系?【例2】

請用符號表示下列集合間的關(guān)系,是相等還是不等?是子集還是真子集?(1)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}.解

集合B={x|x<5},用數(shù)軸表示集合A,B如圖所示,由圖可知A?B.解由題得

而當k∈Z時,2k+1是奇數(shù),k+2是整數(shù),故A?B.當然也可以列舉法解決,比較發(fā)現(xiàn),集合A,B是同分母,可暫且忽略分母來列舉,A:…1,3,5,…,B:…2,3,4,5…,容易發(fā)現(xiàn)A?B.(3)A={y|y=x+1},B={(x,y)|y=x+1}.(4)A={x|x是等邊三角形},B={x|x是等腰三角形}.解

集合A是一個數(shù)集,表示直線y=x+1上點的縱坐標構(gòu)成的集合,而集合B是一個點集,表示直線y=x+1上點的坐標構(gòu)成的集合,所以A≠B.兩集合之間沒有關(guān)系.解

等邊三角形是特殊的等腰三角形,故A?B.規(guī)律方法

判斷兩個集合間的關(guān)系時,首先要明確集合的元素特征,分析集合的元素之間的關(guān)系.然后根據(jù)以下方法判斷:(1)對于集合,首先要明確元素類型,若元素不同類型,如一個數(shù)集,一個點集,那兩集合顯然無法比較,即是不等關(guān)系;(2)對于不等式表示的連續(xù)數(shù)集,可在數(shù)軸上標出集合的元素,直觀地進行判斷,注意端點值的取舍;(3)對于較抽象的數(shù)集,要善于用列舉法表示集合中的元素,觀察元素即可知道它們之間的關(guān)系.探究點三由集合間的關(guān)系求參數(shù)的范圍問題5由例2可知,給定集合可以判斷關(guān)系.反過來,給定集合關(guān)系,你能提出什么問題?據(jù)此,又能學(xué)習(xí)如何轉(zhuǎn)化問題的方式?據(jù)此,是否能學(xué)到轉(zhuǎn)化問題的方式?【例3】

已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)若a=-1,試判斷集合A,B之間是否存在子集關(guān)系;(2)若A?B,求實數(shù)a的取值范圍.分析

(1)令a=-1,寫出集合B,分析兩個集合中元素之間的關(guān)系,判斷其子集關(guān)系;(2)根據(jù)集合B是否為空集進行分類討論,然后把兩集合在數(shù)軸上標出,根據(jù)子集關(guān)系確定端點值之間的大小關(guān)系,進而列出參數(shù)a所滿足的條件.解(1)若a=-1,則B={x|-5<x<-3}.如圖在數(shù)軸上標出集合A,B.由圖可知,B?A.(2)由已知A?B.①當B=?時,2a-3≥a-2,解得a≥1.顯然成立.②當B≠?時,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A?B,如圖在數(shù)軸上表示出兩個集合,由圖可得

解得-1≤a≤4.又因為a<1,所以實數(shù)a的取值范圍為{a|-1≤a<1}.綜合①②得a的取值范圍為{a|a≥-1}.延伸探究例3(2)中,是否存在實數(shù)a,使得A?B?若存在,求出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,試說明理由.解

不存在.理由如下,因為A={x|-5<x<2},所以若A?B,則B一定不是空集.特別提醒

此類問題易錯點有三個:(1)忽略B=?的情況,沒有分類討論;(2)在數(shù)軸上畫兩個集合時,沒有分清實心點與空心圈;(3)沒有弄清包含關(guān)系,以致沒有正確地列出不等式或不等式組.規(guī)律方法

由集合間的關(guān)系求參數(shù)的范圍問題中的兩點注意事項(1)求解此類問題通常借助于數(shù)軸,利用數(shù)軸分析法,將各個集合在數(shù)軸上表示出來,以形定數(shù),同時還要注意驗證端點值,這一點容易忽略而導(dǎo)致出錯,一般含“=”用實心點表示,不含“=”用空心圈表示.(2)涉及“A?B”的問題,要分A=?和A≠?兩種情況進行討論,其中A=?的情況容易被忽略,應(yīng)引起足夠的重視.要把“A?B分A=?和A≠?兩種情況”作為整體結(jié)構(gòu)來識記.【例4】

設(shè)集合A={3,5},集合B={x|ax-1=0},若B?A,則實數(shù)a取值集合的真子集的個數(shù)為(

)A.2 B.4 C.7 D.8C特別提醒

本題易錯點是對于集合B的解集容易忽略a=0的情況,從而遺漏B=?.解決策略就是注意運算的嚴謹性.例如不等式兩邊同時除以一個數(shù),首先除數(shù)不能為0,其次若同時除以負數(shù),不等式要改變方向.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標1234561.(例1對點題)集合A={2018,2019,2020}的非空真子集有(

)A.5個 B.6個C.7個 D.8個B解析

集合A={2

018,2

019,2

020}的非空真子集有23-2=6(個).故選B.1234562.(例1對點題)已知集合A={1,2,5,6},B={5,x},若B?A,則x可以取的值為(

)A.1,2 B.1,6C.2,6 D.1,2,6D解析

由B?A和集合元素的互異性可知,x可以取的值為1,2,6.1234563.(例2對點題)設(shè)集合M={x|1<x<2},N={x|x<3},則集合