第十一章-數(shù)字電路概貌與邏輯代數(shù)

第十一章數(shù)字電路概貌與邏輯代數(shù)11.1數(shù)字信號(hào)與數(shù)字電路11.2數(shù)制與編碼11.3基本邏輯關(guān)系及實(shí)現(xiàn)11.4邏輯代數(shù)基礎(chǔ)模擬信號(hào)：在時(shí)間上和數(shù)值上連續(xù)的信號(hào)。數(shù)字信號(hào)：在時(shí)間上和數(shù)值上不連續(xù)的（即離散的）信號(hào)。uu模擬信號(hào)波形數(shù)字信號(hào)波形tt對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行傳輸、放大處理的電子線路稱為模擬電路。對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行傳輸、運(yùn)算處理的電子線路稱為數(shù)字電路。第一節(jié)數(shù)字信號(hào)與數(shù)字電路一、模擬信號(hào)與數(shù)字信號(hào)數(shù)字電路處理的數(shù)字信號(hào)是指隨時(shí)間不連續(xù)變化和突變的電信號(hào)，它是一種脈沖信號(hào)，這種信號(hào)具有脈動(dòng)和沖擊的含義。矩形波脈沖信號(hào)是一種典型的數(shù)字信號(hào)，如圖11-1所示。

理想的數(shù)字信號(hào)——矩形脈沖波高電平低電平用0表示用1表示（1）工作信號(hào)是二進(jìn)制的數(shù)字信號(hào)，在時(shí)間上和數(shù)值上是離散的（不連續(xù)），反映在電路上就是低電平和高電平兩種狀態(tài)（即0和1兩個(gè)邏輯值）。（2）在數(shù)字電路中，研究的主要問(wèn)題是電路的邏輯功能，即輸入信號(hào)的狀態(tài)和輸出信號(hào)的狀態(tài)之間的關(guān)系。（3）數(shù)字電路中的三極管主要工作在截止區(qū)和飽和區(qū)。（4）電路的抗干擾能力強(qiáng)、精度高。（5）便于信息長(zhǎng)期存儲(chǔ)、使用方便。（6）保密性好，使得寶貴的信息資源不易被竊取。（7）通用性強(qiáng)，采用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)字邏輯部件和可編程邏輯器件（PLD）可以設(shè)計(jì)各種各樣的應(yīng)用數(shù)字系統(tǒng)。二、數(shù)字電路的特點(diǎn)一、二進(jìn)制數(shù)碼為：0、1；基數(shù)是2。運(yùn)算規(guī)律：逢二進(jìn)一，即：1＋1＝10。二進(jìn)制數(shù)的位權(quán)展開(kāi)式：如：(101.01)2＝1×22＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2＝(5.25)10加法規(guī)則：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10乘法規(guī)則：0.0=0，0.1=0，1.0=0，1.1=1運(yùn)算規(guī)則各數(shù)位的權(quán)是２的冪二進(jìn)制數(shù)只有0和1兩個(gè)數(shù)碼，它的每一位都可以用電子元件來(lái)實(shí)現(xiàn)，且運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單，相應(yīng)的運(yùn)算電路也容易實(shí)現(xiàn)。第二節(jié)數(shù)制與編碼一個(gè)n位二進(jìn)數(shù)制正整數(shù)可以表示為數(shù)碼為：0～7；基數(shù)是8。運(yùn)算規(guī)律：逢八進(jìn)一，即：7＋1＝10。八進(jìn)制數(shù)的位權(quán)展開(kāi)式：如：(207.04)8＝2×82＋0×81＋7×80＋0×8－1＋4×8－2＝(135.0625)101、八進(jìn)制各數(shù)位的權(quán)是8的冪二、其它非十進(jìn)制數(shù)2、十六進(jìn)制數(shù)碼為：0～9、A～F；基數(shù)是16。運(yùn)算規(guī)律：逢十六進(jìn)一，即：F＋1＝10。十六進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開(kāi)式：如：(D8.A)16＝13×161＋8×160＋10×16－1＝(216.625)10各數(shù)位的權(quán)是16的冪十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)八進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)八進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制數(shù)012345678910111200000001001000110100010101100111100010011010101111000123456710111213140123456789ABC131415161718192011011110111110000100011001010011101001516172021222324DEF101112131432641271282552561000001000000111111110000000111111111000000004010017720037740020407F80FF100表1-1不同數(shù)制對(duì)照表三、不同進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換（一）二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換1、二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)按位權(quán)展開(kāi)求和即成。例如：[110101]2=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20 =32+16+4+1=[53]102、十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)采用的方法—基數(shù)（2）連除法、連乘法原理：將整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換。整數(shù)部分采用基數(shù)連除法，小數(shù)部分采用基數(shù)連乘法。轉(zhuǎn)換后再合并。整數(shù)部分采用基數(shù)連除法，先得到的余數(shù)為低位，后得到的余數(shù)為高位。小數(shù)部分采用基數(shù)連乘法，先得到的整數(shù)為高位，后得到的整數(shù)為低位。所以：(44.375)10＝(101100.011)2采用基數(shù)連除、連乘法，可將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為任意的N進(jìn)制數(shù)。除2取余法乘2取整法（1）二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)：將二進(jìn)制數(shù)由小數(shù)點(diǎn)開(kāi)始，整數(shù)部分向左，小數(shù)部分向右，每3位分成一組，不夠3位補(bǔ)零，則每組二進(jìn)制數(shù)便是一位八進(jìn)制數(shù)。1、二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換1101010.01000＝(152.2)8（2）八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)：將每位八進(jìn)制數(shù)用3位二進(jìn)制數(shù)表示。 =(011111100.010110)2(374.26)8（二）二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換2、二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換111010100.0110000＝(1D6.6)16=(101011110100.01110110)2(AF4.76)16

二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換，按照每4位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)于一位十六進(jìn)制數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。不夠4位補(bǔ)零，則每組二進(jìn)制數(shù)便是一位十六進(jìn)制數(shù)。例：(111010100.011)2→(

?

)16例：(AF4.76)16→(?)2

用一定位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示十進(jìn)制數(shù)碼、字母、符號(hào)等信息稱為編碼。

用以表示十進(jìn)制數(shù)碼、字母、符號(hào)等信息的一定位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)稱為代碼。

數(shù)字系統(tǒng)只能識(shí)別0和1，怎樣才能表示更多的數(shù)碼、符號(hào)、字母呢？用編碼可以解決此問(wèn)題。

用四位二進(jìn)制數(shù)組成一組代碼，來(lái)表示0～9十個(gè)數(shù)字，就稱為二--十進(jìn)制編碼（Binary-Coded-Decimal二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制數(shù)，簡(jiǎn)稱

BCD碼）。四位二進(jìn)制代碼有24=16種狀態(tài)組成，從中取出十種組合表示0～9十個(gè)數(shù)字可以有多種方式，因此二--十進(jìn)制碼有多種。這些代碼統(tǒng)稱為二--十進(jìn)制碼。

四、二－十進(jìn)制編碼D3D2D1D023222120BCD碼對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)8421碼2421碼5421碼余3碼0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111

.0123456789.103245678901234987650123456789表11-2幾種常見(jiàn)的BCD碼第三節(jié)基本邏輯關(guān)系及實(shí)現(xiàn)數(shù)字電路主要討論電路的輸出與輸入之間的邏輯關(guān)系，這種關(guān)系是指條件與結(jié)果的一種因果關(guān)系，構(gòu)成某一結(jié)果的幾個(gè)條件進(jìn)行的是一種稱作邏輯運(yùn)算的特殊運(yùn)算，與普通代數(shù)的算術(shù)運(yùn)算既有相似之處，又存在著本質(zhì)上的差別。數(shù)字電路的輸出和輸入，一般都用高、低電平來(lái)表示，高、低電平可用邏輯狀態(tài)1和0表示，這種1和0只是表示兩種可以區(qū)別的不同狀態(tài)，而沒(méi)有數(shù)值大小的含義。一、基本邏輯運(yùn)算邏輯代數(shù)是按照一定規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算的代數(shù)，雖然它和普通代數(shù)一樣也用字母表示變量，但二者的含義是完全不同的。邏輯代數(shù)中變量的取值只有0和1，而沒(méi)有其它值。在邏輯代數(shù)中，有邏輯與、邏輯或、邏輯非三種基本運(yùn)算。運(yùn)算構(gòu)成變量之間的函數(shù)關(guān)系，這是一種邏輯函數(shù)，描述它的形式可以是函數(shù)關(guān)系式、語(yǔ)句、表格或一種專門(mén)的圖形符號(hào)。（一）與邏輯（與運(yùn)算）

與邏輯的定義：僅當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的所有條件（A，B，C，…）均滿足時(shí)，事件（Y）才能發(fā)生。表達(dá)式為：開(kāi)關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡YＹ＝ＡＢＣ…兩個(gè)開(kāi)關(guān)必須同時(shí)接通，燈才亮。邏輯表達(dá)式為：Ｙ＝ＡＢA、B都斷開(kāi)，燈不亮。A斷開(kāi)、B接通，燈不亮。A接通、B斷開(kāi)，燈不亮。A、B都接通，燈亮。這種把所有可能的條件組合及其對(duì)應(yīng)結(jié)果一一列出來(lái)的表格叫做真值表。將開(kāi)關(guān)接通記作1，斷開(kāi)記作0；燈亮記作1，燈滅記作0?？梢宰鞒鋈缦卤砀駚?lái)描述與邏輯關(guān)系：功能表實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門(mén)。與門(mén)的邏輯符號(hào)：Ｙ＝ＡＢ真值表邏輯符號(hào)（二）或邏輯（或運(yùn)算）

或邏輯的定義：當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的各種條件（A，B，C，…)中，只要有一個(gè)或多個(gè)條件具備，事件（Y）就發(fā)生。表達(dá)式為：

開(kāi)關(guān)A，B并聯(lián)控制燈泡YＹ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…兩個(gè)開(kāi)關(guān)只要有一個(gè)接通，燈就會(huì)亮。邏輯表達(dá)式為：Ｙ＝Ａ+ＢA、B都斷開(kāi)，燈不亮。A斷開(kāi)、B接通，燈亮。A接通、B斷開(kāi)，燈亮。A、B都接通，燈亮。實(shí)現(xiàn)或邏輯的電路稱為或門(mén)。或門(mén)的邏輯符號(hào)：Y=A+B真值表功能表邏輯符號(hào)（三）非邏輯（非運(yùn)算）

非邏輯指的是邏輯的否定。當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的條件（A）滿足時(shí)，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達(dá)式為：Ｙ＝Ａ開(kāi)關(guān)A控制燈泡Y實(shí)現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門(mén)。非門(mén)的邏輯符號(hào)：Y=AA斷開(kāi)，燈亮。A接通，燈滅。真值表功能表邏輯符號(hào)二、復(fù)合邏輯運(yùn)算（關(guān)系）（一）與非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：（二）或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：（三）異或運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：（四）與或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：第四節(jié)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)是英國(guó)數(shù)學(xué)家布爾（Bool）1854年創(chuàng)立的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，故也稱為布爾代數(shù)。由于邏輯代數(shù)最早用于開(kāi)關(guān)和繼電器網(wǎng)絡(luò)的分析、化簡(jiǎn)，故又稱為開(kāi)關(guān)代數(shù)。邏輯代數(shù)是研究數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具，它為數(shù)字電路的分析與設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。而邏輯代數(shù)的核心，是邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)問(wèn)題。一、邏輯代數(shù)的基本定理和公式（一）基本定理和公式根據(jù)邏輯與、或、非三種基本運(yùn)算法則，可以推導(dǎo)出一些基本定律，這些定律有些與普通代數(shù)有相似之處，有一些則是邏輯代數(shù)自身特殊的規(guī)律。運(yùn)算法則1、變量與常量的關(guān)系分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。公式（11-12）公式（11-11）公式（11-13）2、與普通代數(shù)相似的定律利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明公式（11-14）公式（11-15）公式（11-16）A+BC=（A+B)(A+C)的真值表ABCBC000001010011100110101111A+BCA+BA+C(A+B)(A+C)00010001000111110000011111111111100111113、邏輯代數(shù)中的特殊定律公式（11-17）公式（11-18）公式（11-19）證明摩根定理AB

001111010011100011110000（二）常用公式利用基本公式可以推導(dǎo)出一些常用公式，這些公式可以幫助我們?nèi)セ?jiǎn)邏輯函數(shù)。分配率A+BC=(A+B)(A+C)互補(bǔ)率A+A=10-1率A·1=1互補(bǔ)率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1二、邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)在數(shù)字電路中，往往要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行邏輯設(shè)計(jì)，根據(jù)設(shè)計(jì)得出的邏輯函數(shù)用電路去實(shí)現(xiàn)之。因此，只有最簡(jiǎn)的邏輯函數(shù)才能使得電路最簡(jiǎn)。一個(gè)邏輯函數(shù)可以有不同的表達(dá)形式，選擇哪種形式應(yīng)根據(jù)擁有的門(mén)電路類型確定。例如：與－或表達(dá)式或－與表達(dá)式

與非－與非表達(dá)式

或非－或非表達(dá)式

與－或－非表達(dá)式

1、并項(xiàng)法利用公式Ａ＋Ａ＝1，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。若兩個(gè)乘積項(xiàng)中分別包含同一個(gè)因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時(shí)，則這兩項(xiàng)可以合并成一項(xiàng)，并消去互為反變量的因子。運(yùn)用摩根定律運(yùn)用分配律運(yùn)用分配律（一）邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法2、吸收法

如果乘積項(xiàng)是另外一個(gè)乘積項(xiàng)的因子，則這另外一個(gè)乘積項(xiàng)是多余的。運(yùn)用摩根定律１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的項(xiàng)。２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的變量。

如果一個(gè)乘積項(xiàng)的反是另一個(gè)乘積項(xiàng)的因子，則這個(gè)因子是多余的。3、配項(xiàng)法１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），為某一項(xiàng)配上其所缺的變量，以便用其它方法進(jìn)行化簡(jiǎn)。２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，為某項(xiàng)配上其所能合并的項(xiàng)。４、消去冗余項(xiàng)法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，將冗余項(xiàng)ＢＣ消去。【例11-1】化簡(jiǎn)解：（二）邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法

邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法需要對(duì)基本公式和常用公式都非常熟悉，并且具備一定的技巧。即使如此，在化簡(jiǎn)過(guò)程中，也難于得到一個(gè)最簡(jiǎn)的最后結(jié)果。邏輯函數(shù)的另外一種化簡(jiǎn)方法，則較好地解決了這個(gè)問(wèn)題。20世紀(jì)50年代美國(guó)工程師Karnaugh提出的卡諾圖為邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)提供了便捷。

1、卡諾圖卡諾圖是邏輯變量的最小項(xiàng)的方塊圖。所謂邏輯變量的最小項(xiàng)是一種特殊的與項(xiàng)。

（1）最小項(xiàng)：如果一個(gè)函數(shù)的某個(gè)乘積項(xiàng)包含了函數(shù)的全部變量，其中每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)乘積項(xiàng)稱為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱為最小項(xiàng)。

3個(gè)變量A、B、C可組成8個(gè)最小項(xiàng)：

（2）最小項(xiàng)的表示方法：通常用符號(hào)mi來(lái)表示最小項(xiàng)。下標(biāo)i的確定：把最小項(xiàng)中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，則與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是這個(gè)最小項(xiàng)的下標(biāo)i。

3個(gè)變量A、B、C的8個(gè)最小項(xiàng)可以分別表示為：（3）最小項(xiàng)的性質(zhì)：①任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使其值為1。③全部最小項(xiàng)的和必為1。ABCABC②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的乘積必為0。(4)邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式

任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項(xiàng)之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，也稱為最小項(xiàng)表達(dá)式

對(duì)于不是最小項(xiàng)表達(dá)式的與或表達(dá)式，可利用公式A＋A＝1和A(B+C)＝AB＋BC來(lái)配項(xiàng)展開(kāi)成最小項(xiàng)表達(dá)式。

如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項(xiàng)相加，便是函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。m1＝ABCm5＝ABCm3＝ABCm1＝ABC將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項(xiàng)相加，便可得到反函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。2、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法

邏輯函數(shù)的圖形化簡(jiǎn)法是將邏輯函數(shù)用卡諾圖來(lái)表示，利用卡諾圖來(lái)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。

將邏輯函數(shù)真值表中的最小項(xiàng)重新排列成矩陣形式，并且使矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列，這樣構(gòu)成的圖形就是卡諾圖。

如果兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量因子不同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)在邏輯上相鄰，按照格雷碼的順序排列的最小項(xiàng)邏輯相鄰。邏輯相鄰邏輯相鄰邏輯不相鄰

(1)卡諾圖的基本形式卡諾圖的特點(diǎn)是任意兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)在圖中也是相鄰的。（相鄰項(xiàng)是指兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項(xiàng)）。每個(gè)2變量的最小項(xiàng)有兩個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰每個(gè)3變量的最小項(xiàng)有3個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰每個(gè)4變量的最小項(xiàng)有4個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰最左列的最小項(xiàng)與最右列的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的最上面一行的最小項(xiàng)與最下面一行的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可以合并消去一個(gè)變量邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的實(shí)質(zhì)就是相鄰最小項(xiàng)的合并（2）邏輯函數(shù)在卡諾圖中的表示

（a）邏輯函數(shù)是以真值表或者以最小項(xiàng)表達(dá)式給出：在卡諾圖上那些與給定邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。

（b）邏輯函數(shù)以一般的邏輯表達(dá)式給出：先將函數(shù)變換為與或表達(dá)式（