2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊同步學(xué)與練（浙教版）第01講 二次根式的概念與性質(zhì)（4個知識點+5類題型）-八年級數(shù)學(xué)下冊同步學(xué)與練（浙教版）（原卷版）

第01講二次根式的概念與性質(zhì)（4個知識點+5類題型）課程標準學(xué)習(xí)目標1.二次根式的概念；2.二次根式有無意義的條件；3.二次根式的性質(zhì)與化簡；1.掌握二次根式的概念；2.掌握二次根式有無意義的條件；3、掌握二次根式的性質(zhì)與化簡；知識點01.二次根式的定義形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號；判斷一個式子是二次根式，需要滿足以下條件：（1）根指數(shù)必須是2；（2）被開方數(shù)為非負數(shù).【即學(xué)即練1】1、（2023秋?云巖區(qū)月考）下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【即學(xué)即練2】2、（2023春?宜城市期末）在式子，，，x+y中，二次根式有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個知識點02.二次根式有無意義的條件：

（1）如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．

（2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．【即學(xué)即練3】3、（2023?大理州二模）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥0 B．x≥5 C．x≥﹣5 D．x≤5【即學(xué)即練4】4、（2023秋?寧安市期末）若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為（）A．x≥0且x≠2 B．x≥0 C．x≠0 D．x＞0且x≠2知識點03.二次根式的性質(zhì)：（1），（雙重非負性）．（2）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．應(yīng)用：在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（3）（4）=·（a≥0，b≥0）（5）=（a≥0，b>0）【即學(xué)即練5】5、（2023春?無棣縣期末）下列等式正確的是（）A．＝﹣2 B．＝±9 C．＝﹣2 D．＝﹣5【即學(xué)即練6】6、（2023春?新市區(qū)校級期末）下列各式中，正確的是（）A． B．﹣ C． D．知識點04.二次根式的化簡：（1）二次根式化簡的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2，所得結(jié)果為最簡二次根式或整式．（2）最簡二次根式的條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．【即學(xué)即練7】7、（2023秋?石鼓區(qū)期末）若a＜0，則化簡|a﹣3|﹣的結(jié)果為（）A．3﹣2a B．3 C．﹣3 D．2a﹣3【即學(xué)即練8】8、（2023春?廣陽區(qū)校級期末）當(dāng)1＜a＜2時，代數(shù)式+的值是（）A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a題型01求二次根式的值1．（2023下·八年級課時練習(xí)）當(dāng)時，二次根式的值為（

）A．2 B． C． D．2．（2023下·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）已知二次根式，當(dāng)x＝1時，此二次根式的值為（）A．2 B．±2 C．4 D．±43、（2023下·浙江溫州·八年級蒼南縣金鄉(xiāng)鎮(zhèn)第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)時，二次根式的值為．4．（2023下·浙江·八年級專題練習(xí)）當(dāng)時，二次根式的值為．5．（2023上·浙江寧波·七年級?？计谥校┊?dāng)a＝2，b＝1.5時，求下列代數(shù)式的值．（1）a2+2ab+b2（2）+ab+1．題型02求二次根式中的參數(shù)1．（2023下·八年級單元測試）已知是正整數(shù)，則實數(shù)n的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2023下·山東聊城·八年級統(tǒng)考期末）已知是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．83．（2023上·四川達州·八年級?？计谥校┮阎欣頂?shù)滿足，則的值是.4．（2023上·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期末）若是二次根式，則a的取值范圍是；若是正整數(shù)，則正整數(shù)a的最小值是．5．（2023下·福建福州·七年級統(tǒng)考期中）閱讀材料并解決下列問題：已知a、b是有理數(shù)，并且滿足等式5﹣﹣a，求a、b的值．解：∵5﹣﹣a即5﹣∴2b﹣a＝5，﹣a＝解得：a＝﹣（1）已知a、b是有理數(shù)，并且滿足等式﹣1，則a＝，b＝．（2）已知x、y是有理數(shù)，并且滿足等式x+x+18，求xy的平方根．題型03二次根式有意義的條件1．（2023下·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）如果有意義，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023下·浙江衢州·八年級期中）代數(shù)式有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．一切實數(shù)3．（2023下·浙江·八年級開學(xué)考試）若，為實數(shù)，且，則的值為．4．（2023下·浙江寧波·九年級浙江省余姚市實驗學(xué)校?？计谀┐鷶?shù)式的值等于．5．（2023下·浙江·八年級專題練習(xí)）已知．(1)求的值；(2)求的值．題型04利用二次根式的性質(zhì)化簡1．（2023上·河北邢臺·八年級邢臺三中校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則x的值不能是（

）A．4 B．3 C．2 D．12．（2024·全國·八年級假期作業(yè)）先化簡再求值：當(dāng)時，求的值，甲乙兩人的解答如下：甲的解答為：原式；乙的解答為：原式，在兩人的解法中（）A．甲正確 B．乙正確 C．都不正確 D．無法確定3．（2023上·四川達州·八年級校考期中）若，那么的結(jié)果是4．（2023上·重慶·八年級重慶市鳳鳴山中學(xué)?？计谥校┮阎?，化簡：．5．（2023下·八年級單元測試）計算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．題型05復(fù)合二次根式的化簡1．（2023下·河北石家莊·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下面的推導(dǎo)中開始出錯的步驟是（

）因為，①，②所以.③所以.④A．① B．② C．③ D．④2．（2023上·上海寶山·八年級統(tǒng)考期中）下列各式中，與化簡所得結(jié)果相同的是（

）A． B． C． D．3．（2023上·廣東佛山·八年級佛山市實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）形如的根式叫做復(fù)合二次根式，把變成叫做復(fù)合二次根式的化簡，請將復(fù)合二次根式化簡為．4．（2023下·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：如果我們能找到兩個正整數(shù)，使且，這樣，那么我們就稱為“和諧二次根式”，則上述過程就稱之為化簡“和諧二次根式”．例如：，根據(jù)閱讀材料解決下列問題：化簡“和諧二次根式”．5．（2023上·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：小李同學(xué)在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．善于思考的小李同學(xué)進行了以下探索：設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．∴，．這樣小李同學(xué)就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小李同學(xué)的方法探索并解決下列問題：(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：______，______；(2)若且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值．(3)化簡：．A夯實基礎(chǔ)1．（2023下·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期末）式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023上·福建泉州·八年級?？茧A段練習(xí)）使式子有意義的實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且3．（2023上·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）如果二次根式有意義，則a的取值范圍是．4．（2023上·湖南衡陽·八年級衡陽市實驗中學(xué)校考期中）已知x、y為實數(shù)，且．則的平方根．5．（2023上·浙江·八年級專題練習(xí)）求下列函數(shù)的自變量x的取值范圍：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．6．（2023上·江蘇·八年級專題練習(xí)）（1）已知的平方根是的平方根是，求的平方根；（2）若都是實數(shù)，且，求的立方根．B能力提升1．（2023上·河南周口·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)中，自變量x的取值范圍為（

）．A． B． C．且 D．2．（2023上·四川達州·九年級?？茧A段練習(xí)）若則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023上·陜西西安·八年級西安市航天中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的平方根等于．4．（2023上·湖南岳陽·八年級岳陽市弘毅新華中學(xué)校考階段練習(xí)）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：化簡：．5．（2023上·四川遂寧·八年級四川省遂寧市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料：我們可以通過以下方法求代數(shù)式的最小值．，且，當(dāng)時，有最小值．請根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)若，則的值是___________．(2)求證：無論取何值都有意義；(3)若代數(shù)式的最小值為2，求的值6．（2023下·七年級課時練習(xí)）已知．求的值．C綜合素養(yǎng)1．（2024下·全國·八年級假期作業(yè)）已知的三邊長分別為a，2，3，則化簡的結(jié)果為（

）A． B． C．5 D．－52．（2023上·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期中）化簡二次根式，得（

）A． B． C． D．3．（2023下·七年級課時練習(xí)）已知為有理數(shù)，求的值為．4．（2023上·四川達州·八年級?？计谥校﹩栴}探究：因為，所以，因為，所以請