高考數(shù)學(xué) 試題匯編 第二節(jié) 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃 理（含解析）

第二節(jié)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值考向聚焦線性規(guī)劃的基本問題,即求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最值,一直是新課標(biāo)高考命題的重點(diǎn),多以選擇、填空題的形式出現(xiàn),難度中低檔,所占分值為4~5分備考指津解決此類問題的關(guān)鍵是(1)準(zhǔn)確作出可行域注意邊界的實(shí)虛.(2)準(zhǔn)確理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義.(3)充分利用數(shù)形結(jié)合思想解題1.(年遼寧卷,理8,5分)設(shè)變量x,y滿足x-(A)20 (B)35 (C)45 (D)55解析:令z=2x+3y,l0:y=-23l:y=-23x+1如圖,將l0平移至l處,過點(diǎn)(5,15)時(shí),z有最大值,zmax=2×5+3×15=55.故選D.答案:D.2.(年廣東卷,理5,5分)已知變量x,y滿足約束條件y≤(A)12 (B)11 (C)3 (D)-1解析:畫出可行域:l0:y=-3xl:y=-3x+z將直線l0平移至l處,過點(diǎn)(3,2)時(shí),z有最大值.zmax=3×3+2=11.答案:B.3.(年廣東卷,理5)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組0≤x≤2y≤2(A)42 (B)32 (C)4 (D)3解析:區(qū)域D如圖陰影部分所示.目標(biāo)函數(shù)z=OM→·=|OM→||OA→|cos<OM→=|OA→||OM→|cos<OM→∵|OM→|cos<OM→,OA→>為OM由圖知當(dāng)點(diǎn)M為直線x=2與y=2交點(diǎn)時(shí)OM→在OA→方向的投影最大,則目標(biāo)函數(shù)z最大,M(2,2)即為所求的最值點(diǎn),此時(shí),z=OM→·OA→=(2,2)·(2,1)=2×答案:C.4.(年安徽卷,理4)設(shè)變量x,y滿足|x|+|y|≤1,則x+2y的最大值和最小值分別為()(A)1,-1 (B)2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1解析:|x|+|y|≤1對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示,設(shè)z=x+2y,則y=-12x+z當(dāng)直線經(jīng)過可行域的點(diǎn)B(0,-1)時(shí),zmin=-2,經(jīng)過點(diǎn)D(0,1)時(shí),zmax=2.故選B.答案:B.5.(年浙江卷,理5)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組x+2(A)14 (B)16 (C)17 (D)19解析:設(shè)3x+4y=z,則y=-34x+z由2得點(diǎn)A為(3,1),平行移動(dòng)直線y=-34又x,y為整數(shù),則當(dāng)過點(diǎn)(4,1)時(shí),z=3x+4y取最小值為16.故選B.答案:B.6.(年湖北卷,理8)已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z),且a⊥b.若x,y滿足不等式|x|+|y|≤1,則z的取值范圍為()(A)[-2,2] (B)[-2,3](C)[-3,2] (D)[-3,3]解析:由已知a⊥b得a·b=0,∴2x+2z+3y-3z=0,∴z=2x+3y,又∵|x|+|y|≤1表示的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的正方形內(nèi)部包括邊界.∴在點(diǎn)B(0,1)處,z=2x+3y取最大值3.在點(diǎn)D(0,-1)處,z=2x+3y取最小值-3.∴z∈[-3,3].故選D.答案:D.7.(年福建卷,理8)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(-1,1).若點(diǎn)M(x,y)為平面區(qū)域x+y≥2,(A)[-1,0] (B)[0,1](C)[0,2] (D)[-1,2]解析:由OA→·OM→=(-1,1)令z=-x+y即y=x+z.畫出可行域和直線y=x如圖.平移y=x,可知當(dāng)直線經(jīng)過C(1,1)時(shí),zmin=0,當(dāng)直線經(jīng)過B(0,2)時(shí),zmax=2,故選C.答案:C.8.(年山東卷,理10)設(shè)變量x,y滿足約束條件x-(A)3,-11 (B)-3,-11(C)11,-3 (D)11,3解析:畫出平面區(qū)域如圖所示:當(dāng)直線3x-4y=0平移到(5,3)點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=3x-4y取得最大值3;當(dāng)直線3x-4y=0平移到(3,5)點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=3x-4y取得最小值-11,故選A.答案:A.9.(年全國(guó)大綱卷,理13,5分)若x,y滿足約束條件x-y+1≥解析:可行域如圖,目標(biāo)函數(shù)z=3x-y最小時(shí),平行直線系z(mì)=3x-y橫截距最小,故直線過點(diǎn)A(0,1)時(shí)z最小,最小值為-1.答案:-110.(年新課標(biāo)全國(guó)卷,理14,5分)設(shè)x,y滿足約束條件x-y≥-解析:本題主要考查線性規(guī)劃問題,難度不大.畫出可行域?yàn)槿鐖D所示陰影部分四邊形OABC.作與直線x-2y=0平行的直線x-2y=z.當(dāng)直線x-2y=z過A、B點(diǎn)時(shí),z分別取到最大值與最小值,又A(3,0),B(1,2),∴-3≤z≤3.答案:[-3,3]11.(年安徽卷,理11,5分)若x,y滿足約束條件x≥0,x解析:本題考查求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值最小值問題.作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分區(qū)域:三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,1.5),B(0,3),C(1,1),代入x-y分別得到的值為-1.5,-3,0,所以x-y的范圍是[-3,0].答案:[-3,0]求解線性規(guī)劃問題關(guān)鍵的是作出可行域,然后作出初始直線,把初始直線向可行域平移,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù),系數(shù)為正,向上平移目標(biāo)函數(shù)增大,向下平移目標(biāo)函數(shù)減小,系數(shù)為負(fù),向上平移目標(biāo)函數(shù)減小,向下平移目標(biāo)函數(shù)增大.若可行域?yàn)槿切位蛩倪呅蔚确忾]區(qū)域,可以求出各個(gè)頂點(diǎn),把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù),其中最大值為目標(biāo)函數(shù)的最大值,最小值為目標(biāo)函數(shù)的最小值.12.(年陜西卷,理14,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx,x解析:f(x)=lnx,f'(x)=1x如圖:l0:y=12x,l:y=12x-將l0平移至l處,過點(diǎn)(0,-1)時(shí),z有最大值,zmax=0-2×(-1)=2.答案:213.(年全國(guó)新課標(biāo)卷,理13)若變量x,y滿足約束條件3≤2x+解析:畫出3≤平移l0:x+2y=0.當(dāng)直線過A時(shí),z取最小值.解2x+y∴z=4+2×(-5)=-6.答案:-614.(年遼寧卷,理14)已知-1<x+y<4且2<x-y<3,則z=2x-3y的取值范圍是.(答案用區(qū)間表示)

解析:題設(shè)條件表示的可行域如圖所示,由z=2x-3y,得y=23x-z當(dāng)直線y=23x-z3經(jīng)過A點(diǎn)時(shí),-z3由x-由x-∴2×3-3×1<z<2×1-3×(-2),即3<z<8.故z=2x-3y的取值范圍為(3,8).答案:(3,8)線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用考向聚焦縱觀近幾年新課標(biāo)高考試題,線性規(guī)劃問題的實(shí)際應(yīng)用有所側(cè)重.主要解決實(shí)際生活、生產(chǎn)中的最優(yōu)化問題,如用料最省、用時(shí)最少、效益最好、獲利最大等,難度中低檔,分值為5分左右備考指津解決線性規(guī)劃實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意列出兩個(gè)變量滿足的約束條件及線性目標(biāo)函數(shù),作圖時(shí)要力求準(zhǔn)確規(guī)范,注意最優(yōu)解的確定方法15.(年江西卷,理8,5分)某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜,種植面積不超過50畝,投入資金不超過54萬元,假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤(rùn)(總利潤(rùn)=總銷售收入-總種植成本)最大,那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位:畝)分別為()(A)50,0 (B)30,20(C)20,30 (D)0,50解析:本題考查線性規(guī)劃知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,同時(shí)考查了數(shù)學(xué)建模的思想方法以及實(shí)踐能力.設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x,y畝,總利潤(rùn)為z萬元,則目標(biāo)函數(shù)為z=(0.55×4x-1.2x)+(0.3×6y-0.9y)=x+0.9y.線性約束條件為x即x畫出可行域,易求得A(0,50),B(30,20),C(0,45).作出直線l0:x+0.9y=0,向上平移至點(diǎn)B(30,20),即x=30,y=20時(shí),z取得最大值,故選B.答案:B.16.(年四川卷,理9,5分)某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中,要求每天消耗A、B原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤(rùn)是()(A)1800元 (B)2400元 (C)2800元 (D)3100元解析:設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶,乙種產(chǎn)品y桶,則根據(jù)題意得x,y的約束條件為x設(shè)獲利z元,則z=300x+400y.畫出可行域如圖.畫直線l:300x+400y=0,即3x+4y=0.平移直線l,從圖中可知,當(dāng)直線l過點(diǎn)M時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值.由x+2解得x=4即M的坐標(biāo)為(4,4),∴zmax=300×4+400×4=2800(元).故選C.答案:C.本題考查利用線性規(guī)劃求實(shí)際應(yīng)用問題,考查分析問題、解決問題的能力,考查數(shù)形結(jié)合思想.屬中檔題.17.(年四川卷,理9)某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人,有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車.某天需送往A地至少72噸的貨物,派用的每輛車需滿載且只運(yùn)送一次.派用的每輛甲型卡車需配2名工人,運(yùn)送一次可得利潤(rùn)450元;派用的每輛乙型卡車需配1名工人,運(yùn)送一次可得利潤(rùn)350元.該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù),可得最大利潤(rùn)z等于()(A)4650元 (B)4700元 (C)4900元 (D)5000元解析:設(shè)該公司派甲型卡車x輛,乙型卡車y輛,由題意得10利潤(rùn)z=450x+350y,可行域如圖所示.解2x當(dāng)直線350y+450x=z過A(7,5)時(shí)z取最大值,∴zmax=450×7+350×5=4900(元).故選C.答案:C.18.(年廣東卷,理19)某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐.已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物,6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C;一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物,6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外,該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物,42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元,那么要滿足上述的營(yíng)養(yǎng)要求,并且花費(fèi)最少,應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位的午餐和晚餐?解:設(shè)為該兒童預(yù)訂x個(gè)單位的午餐,y個(gè)單位的晚餐,則x,y滿足12x+8y≥64即3x+2y≥16目標(biāo)函數(shù)z=2.5x+4y.下面畫出可行域,如圖,其中A(2,5),B(4,3),當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過B點(diǎn)時(shí)z最小,此時(shí)x=4,y=3.即為該兒童預(yù)訂4個(gè)單位的午餐,3個(gè)單位的晚餐時(shí),滿足營(yíng)養(yǎng)要求,且花費(fèi)最少.涉及線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用題,首先確定影響整個(gè)問題的兩個(gè)主要變化因素,用x,y表示出來,然后根據(jù)題目的要求把一些限制條件用x,y的不等式表示出來,并寫出目標(biāo)函數(shù),運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解.線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用考向聚焦高考難點(diǎn)內(nèi)容主要涉及(1)已知目標(biāo)函數(shù)最值求參數(shù)值或參數(shù)范圍;(2)線性規(guī)劃與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用,難度較大,多為選擇、填空題,分值為5分左右備考指津解決此類問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義及利用數(shù)形結(jié)合思想解題19.(年福建卷,理9,5分)若函數(shù)y=2x圖象上存在點(diǎn)(x,y)滿足約束條件x+(A)12 (B)1 (C)3解析:本小題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,由約束條件畫出可行域,如圖所示,設(shè)曲線y=2x與直線x+y-3=0相交于點(diǎn)P,則直線x=m過點(diǎn)P時(shí)m取得最大值,∴P(m,3-m),又點(diǎn)P在曲線y=2x上,∴2m=3-m,m=1.故選B.答案:B.20.(年重慶卷,理10,5分)設(shè)平面點(diǎn)集A={(x,y)|(y-x)(y-1x)≥0},B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},則A∩(A)34π (B)35π (C)47解析:∵(y-x)(y-1x)≥∴y-x又(x-1)2+(y-1)2≤1,則滿足上述條件的區(qū)域如圖所示陰影部分Ⅰ、Ⅲ,由y=1x(x-1)2+(y-1)2=1的圖象都關(guān)于直線y=x對(duì)稱知,區(qū)域Ⅰ與Ⅳ的面積相等.Ⅱ與Ⅲ的面積相等,故SⅠ+SⅢ=12×π×12=π答案:D.本題考查可行域的畫法,函數(shù)的對(duì)稱性,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化能力,難度較大.21.(年浙江卷,理7)若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組x+3(A)-2 (B)-1 (C)