人教版九年級上冊數學舉一反三24.9弧長和扇形的面積【十四大題型】(學生版+解析)

專題24.9弧長和扇形的面積【十四大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求弧長】 1【題型2利用弧長及扇形面積公式求半徑】 3【題型3利用弧長及扇形面積公式求圓心角】 4【題型4求某點的弧形運動路徑長度】 4【題型5直接求扇形面積】 5【題型6求圖形旋轉后掃過的面積】 6【題型7求弓形面積】 8【題型8求其他不規(guī)則圖形的面積】 9【題型9求圓錐側面積】 11【題型10求圓錐底面半徑】 12【題型11求圓錐的高】 13【題型12求圓錐側面展開圖的圓心角】 15【題型13圓錐的實際問題】 15【題型14圓錐側面上最短路徑問題】 17【知識點弧長和扇形的面積】設⊙O的半徑為R，n°圓心角所對弧長為l，弧長公式：l=nπR扇形面積公式：S母線的概念：連接圓錐頂點和底面圓周任意一點的線段。圓錐體表面積公式：S=πR2+πRl【題型1求弧長】【例1】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學校考模擬預測）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，E是DC延長線上一點，如果⊙O的半徑為6，∠BCE=60°，那么BCD的長為（

）

A．6π B．12π C．2π D．4π【變式1-1】（2023·四川成都·?？既＃办巢瞧趼菪€”（也稱“黃金螺旋”）是根據斐波那契數列畫出來的螺旋曲線，人類耳朵的形狀也符合這種螺旋形狀，這種形狀的構造幫助人類可以更好地接收聲波，從而增強聽覺．現(xiàn)依次取邊長為1，1，2，3，5……的正方形按如圖所示方式拼接，分別以每個正方形的一個頂點為圓心，邊長為半徑作圓弧，連接形成的螺旋曲線即為“斐波那契螺旋線”．那么前五個正方形內形成的曲線ABCDEF的長度是．

【變式1-2】（2023春·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，以AB為直徑的⊙O與AD相交于點E，與BD相交于點F，DF=BF，已知AB=2，∠C=40°，則FB的長為（

）

A．π3 B．2π3 C．π9【變式1-3】（2023·河南濮陽·統(tǒng)考一模）如圖，在扇形AOB中，圓心角∠AOB=60°，AO=2，分別以OA，OB的中點E，F(xiàn)為圓心12

【題型2利用弧長及扇形面積公式求半徑】【例2】（2023春·山西·九年級專題練習）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，M是“不倒翁”與水平面的接觸點，PA，PB分別與AMB所在圓相切于點A，B．將“不倒翁”向右作無滑動滾動，使點B與水平面接觸，如圖3.若∠P=60°，水平面上點M與點B之間的距離為4π，則AMB所在圓的半徑是（

）A．3 B．6 C．9 D．12【變式2-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）若弧長為4πcm的扇形的面積為8πcm2，則該扇形的半徑為【變式2-2】（2023春·湖北黃石·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，∠BAC=60°，BC的長是4π3，則⊙O的半徑是【變式2-3】（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑的圓恰好與CD相切于點C，交AD于點E，若CE的長為2π，則⊙A的半徑為．【題型3利用弧長及扇形面積公式求圓心角】【例3】（2023春·云南紅河·九年級?？茧A段練習）將一個圓分割成三個扇形，它們的面積之比為2:3:4，則這三個扇形的圓心角的度數為（

）A．80°、120°、160° B．60°、120°、180°C．50°、100°、150° D．30°、60°、90°【變式3-1】（2023·吉林·統(tǒng)考一模）圖1是等邊三角形鐵絲框ABC，按圖2方式變形成以A為圓心，AB長為半徑的扇形（圖形周長保持不變），則所得扇形ABC的圓心角的度數是（

）A．45°． B．60°． C．90°π． D．180°【變式3-2】（2023·內蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考二模）如圖1，點C是半圓AB上一個動點，點C從點A開始向終點B運動的整個過程中，AC的弧長l與時間t（秒）的函數關系如圖2所示，則點C運動至5秒時，∠AOC的度數為（

）

A．15° B．30° C．45° D．60°【變式3-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）一個扇形的面積為10π，弧長為10π3，則該扇形的圓心角的度數為【題型4求某點的弧形運動路徑長度】【例4】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，OA⊥OB，C，D分別是射線OA，OB上的動點，CD的長始終為8，點E為CD的中點，則點E的運動路徑長為

【變式4-1】（2023春·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊AB重合（AB=6），其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，射線CP從CA處出發(fā)沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉，CP與量角器的半圓弧交于點E，第20秒時點E在量角器上運動路徑長是．

【變式4-2】（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，把一個含30°角的直角三角板ABC在桌面上沿著直線l無滑動的翻滾一周，若BC=1，∠A=30°，則點A運動的路徑長是．

【變式4-3】（2023春·四川廣元·九年級?？茧A段練習）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點E、F是以斜邊AB為直徑的半圓的三等分點，點P是EF上一動點，連接PC，點M為PC的中點．當點P從點E運動至點F時，點M運動的路徑長為．【題型5直接求扇形面積】【例5】（2023·云南臨滄·統(tǒng)考三模）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，其半徑為1，作OF⊥BC交⊙O于點F，則圖中陰影部分的面積為（

）

A．π3 B．2π5 C．3π10【變式5-1】（2023·吉林·九年級校聯(lián)考學業(yè)考試）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△OAB是等邊三角形，AB=4，分別以點B，D為圓心，AO長為半徑畫弧，與該矩形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為．（結果保留π）

【變式5-2】（2023春·江蘇連云港·九年級?？茧A段練習）如圖，已知半徑為1的⊙O上有三點A、B、C，OC與AB交于點D，∠ADO=85°，∠CAB=20°，則陰影部分的扇形OAC面積是．

【變式5-3】（2023春·江蘇·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD是長方形，以BC為直徑的半圓與AD邊只有一個交點，且AB=x，則陰影部分的面積為．

【題型6求圖形旋轉后掃過的面積】【例6】（2023春·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）如圖，已知A、D是⊙O上任意兩點，且AD=6，以AD為邊作正方形ABCD，若AD邊繞點O旋轉一周，則BC邊掃過的面積為．

【變式6-1】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸的正半軸上，OA=1，將OA繞點O順時針旋轉45°到OA1，掃過的面積記為S1，A1A2⊥OA1交x軸于點A2；將OA2繞點O順時針旋轉45°到OA3，掃過的面積記為S2，A3A4⊥OA3交y【變式6-2】（2023春·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，△ABC的位置如圖所示．（每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形）

(1)畫出△ABC關于原點對稱的△A(2)將△ABC繞點B逆時針旋轉90°，畫出旋轉后得到的△A2BC2【變式6-3】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在平面內，將小棒AB經過適當的運動，使它調轉方向(調轉前后的小棒不一定在同一條直線上)，那么小棒掃過區(qū)域的面積如何盡可能地小呢？已知小棒長度為4，寬度不計．方案1：將小棒繞AB中點O旋轉180°到B'A'方案2：將小棒先繞A逆時針旋轉60°到AC，再繞C逆時針旋轉60°到CB，最后繞B逆時針旋轉60°到B'A'

(1)①S1=______，S2②比較S1與S2的大?。?參考數據：π≈3.14，(2)方案2可優(yōu)化為方案3：首次旋轉后，將小棒先沿著小棒所在的直線平移再分別進行第2、3次旋轉，三次旋轉掃過的面積會重疊更多，最終小棒掃過的區(qū)域是一個等邊三角形．①補全方案3的示意圖；②設方案3中小棒掃過區(qū)域的面積為S3，求S(3)設計方案4，使小棒掃過區(qū)域的面積S4小于S【題型7求弓形面積】【例7】（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，BD⊥CE于點D，BC平分∠ABD．(1)求證：直線CE是⊙O的切線；(2)若∠ABC=30°,⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【變式7-1】（2023春·九年級課時練習）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，若CD=23，CB＝2，則陰影部分的面積是【變式7-2】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，將半徑為5cm的扇形OAB沿西北方向平移2cm，得到扇形O'A'B'【變式7-3】（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，已知⊙O的半徑為1，△ABC內接于⊙O，∠ACB=150°，則弓形ACB（陰影部分）的面積為．（結果保留π或根號）【題型8求其他不規(guī)則圖形的面積】【例8】（2023·山西長治·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在△ABC中，CA=CB，AB=4，點D是AB的中點，分別以點A、B、C為圓心，AD的長為半徑畫弧，交線段AC、BC于點E、F、G、H，若點E、F是線段AC的三等分點時，圖中陰影部分的面積為（

）

A．82?2π B．162?4π【變式8-1】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°,BC=6，將四邊形ABCD繞點A逆時針旋轉30°至AB'C'D

【變式8-2】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，扇形OAB的半徑OA=2cm，∠AOB=120°，則以AB為直徑的半圓與AB圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積是cm

【變式8-3】（2023·山西太原·山西實驗中學?？寄M預測）如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于點D，E是邊BC的中點，連接DE．若AD，AB的長是方程x2?6x+8=0

A．83?4π3 B．43?【題型9求圓錐側面積】【例9】（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖等邊△ABC內接于⊙O，若⊙O的半徑為1，以陰影部分為側面圍成一個圓錐，從剩余部分剪出一個圓作為圓錐底面，則圓錐的全面積為．【變式9-1】（2023·福建南平·校聯(lián)考模擬預測）如圖，要用一個扇形紙片圍成一個無底的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為10πcm,扇形的圓心角的度數是120°，則圓錐的側面積為（結果保留π

【變式9-2】（2023·河北廊坊·統(tǒng)考一模）如圖1，冰激凌的外殼（不計厚度）可近似的看作圓錐，其母線長為12cm，底面圓直徑長為8（1）這個冰激凌外殼的側面展開圖的形狀是；（2）當冰激凌被吃掉一部分后，其外殼仍可近似的看作圓錐，如圖2，其母線長為9cm，則此時冰激凌外殼的側面積為cm2．（結果保留【變式9-3】（2023春·江蘇·九年級專題練習）如圖是一張直角三角形卡片，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D、E分別在邊AB、AC上，AD＝2cm，DB＝4cm，DE⊥AB．若將該卡片繞直線DE旋轉一周，則形成的幾何體的表面積為cm2．

【題型10求圓錐底面半徑】【例10】（2023·內蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以點A為圓心，AB為半徑畫弧BF，得到扇形BAF（陰影部分）．若扇形BAF正好是一個圓錐的側面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是．

【變式10-1】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖漏斗，圓錐形內壁的母線OB長為6cm，開口直徑為6cm．（1）因直管部分堵塞，漏斗內灌滿了水，則水深cm；（2）若將貼在內壁的濾紙（忽略漏斗管口處）展開，則展開濾紙的圓心角為．【變式10-2】（2023·內蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以點A為圓心，AB為半徑畫弧BF，得到扇形BAF（陰影部分）．若扇形BAF正好是一個圓錐的側面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是．

【變式10-3】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在正方形網格圖中建立一直角坐標系，一條圓弧經過網格點A、B、C，請在網格中進行下列操作：(1)請在圖中確定該圓弧所在圓心D點的位置，D點坐標為______；(2)連接AD、CD，則⊙D的半徑為______；扇形DAC的圓心角度數為______；(3)若扇形DAC是某一個圓錐的側面展開圖，求該圓錐的底面半徑．【題型11求圓錐的高】【例11】（2023春·山東濟寧·九年級濟寧學院附屬中學?？计谀┤鐖D，正六邊形ABCDEF的邊長為12，連接AC，以點A為圓心，AC為半徑畫弧CE，得扇形ACE，將扇形ACE圍成一個圓錐，則圓錐的高為（

）

A．35 B．63 C．105 【變式11-1】（2023春·云南·九年級專題練習）如圖，矩形紙片ABCD中，AD=12cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為同一個圓錐的側面和底面，則該圓錐的高為cm【變式11-2】（2023春·九年級課前預習）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6，以頂點A為圓心，AB的長為半徑畫圓，用圖中陰影部分圍成一個圓錐的側面（接縫忽略不計），則該圓錐的高為（

）A．4 B．32 C．42 【變式11-3】（2023春·貴州貴陽·九年級貴陽市第二實驗中學?？茧A段練習）如圖，正六邊形ABCDEF紙片中，AB=6，分別以B、E為圓心，以6為半徑畫AC、DF．小欣把扇形BAC與扇形EDF剪下，并把它們粘貼為一個大扇形（B與E重合，F(xiàn)與A重合），她接著用這個大扇形作一個圓錐的側面，則這個圓錐的高為．【題型12求圓錐側面展開圖的圓心角】【例12】（2023春·全國·九年級專題練習）圓錐的底面半徑為40cm，母線長80cm，則它的側面展開圖的圓心角度數是（A．180° B．150° C．120° D．90°【變式12-1】（2023春·九年級課時練習）圓錐的底面積是側面積的18，則該圓錐側面展開圖的圓心角度數是【變式12-2】（2023春·云南昆明·九年級校考期中）如圖，要用一個扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為20πcm，側面積為240πcm2，則這個扇形的圓心角的度數是（）度．A．120° B．135° C．150° D．160°【變式12-3】（2023·內蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）圓錐的高為22，母線長為3，沿一條母線將其側面展開，展開圖（扇形）的圓心角是度，該圓錐的側面積是（結果用含π【題型13圓錐的實際問題】【例13】（2023·安徽·校聯(lián)考二模）《九章算術》中有如下問題：“在屋內墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆高5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有斛．

【變式13-1】（2023春·全國·九年級專題練習）圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝雷要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC，將扇形EAF圍成圓錐時，AE，AF恰好重合，已知圓錐的底面圓直徑ED=6cm，母線長AD=12cm．(1)求這種加工材料的頂角∠BAC的大?。?2)求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結果保留π）【變式13-2】（2023春·九年級課時練習）如圖，錨標浮筒是打撈作業(yè)中用來標記錨或沉船位置的，它的上下兩部分是圓錐，中間是圓柱（單位：mm），電鍍時，如果每平方米用鋅0.11kg【變式13-3】（2023春·江西南昌·九年級期末）如圖1所示，有一種單層絨布料子的臺燈燈罩，燈罩的上下都是空的把這個燈罩抽象成一個幾何體時，我們稱之為圓臺，它可以理解為把大的圓錐沿著平行于底面⊙O2的圓面⊙O1裁切掉上面的小圓錐得到的，如圖2所示現(xiàn)在要制作這種燈罩，若已知⊙O1的直徑AB=12cm，⊙O2的直徑CD=32cm，點O、O1

【題型14圓錐側面上最短路徑問題】【例14】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，一圓錐的底面半徑為2，母線PB的長為6，D為PB的中點．一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓錐的側面爬行到點D，則螞蟻爬行的最短路程為（）A．3 B．23 C．33【變式14-1】（2023春·九年級校考期中）如圖1，一只螞蟻從圓錐底端點A出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點A，將圓錐沿母線OA剪開，其側面展開圖如圖2所示，若∠AOA'=120°，OA=23，則螞蟻爬行的最短距離是【變式14-2】（2023春·九年級課時練習）如圖，圓錐的底面圓直徑AB為2，母線長SA為4，若小蟲P從點A開始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點C，則小蟲爬行的最短距離為．【變式14-3】（2023春·遼寧鐵嶺·九年級?？茧A段練習）如圖1，等腰三角形ABC中，當頂角∠A的大小確定時，它的對邊（即底邊BC）與鄰邊（即腰AB或AC）的比值也就確定了，我們把這個比值記作TA，即TA=∠A的對邊(1)T90°=，T120°=，(2)如圖2，圓錐的母線長為18，底面直徑PQ=14，一只螞蟻從點P沿著圓錐的側面爬行到點Q，求螞蟻爬行的最短路徑長．（精確到0.1，參考數據：T140°≈0.53，T專題24.9弧長和扇形的面積【十四大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求弧長】 1【題型2利用弧長及扇形面積公式求半徑】 5【題型3利用弧長及扇形面積公式求圓心角】 8【題型4求某點的弧形運動路徑長度】 11【題型5直接求扇形面積】 15【題型6求圖形旋轉后掃過的面積】 18【題型7求弓形面積】 24【題型8求其他不規(guī)則圖形的面積】 29【題型9求圓錐側面積】 34【題型10求圓錐底面半徑】 37【題型11求圓錐的高】 41【題型12求圓錐側面展開圖的圓心角】 44【題型13圓錐的實際問題】 47【題型14圓錐側面上最短路徑問題】 51【知識點弧長和扇形的面積】設⊙O的半徑為R，n°圓心角所對弧長為l，弧長公式：l=nπR扇形面積公式：S母線的概念：連接圓錐頂點和底面圓周任意一點的線段。圓錐體表面積公式：S=πR2+πRl【題型1求弧長】【例1】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學?？寄M預測）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，E是DC延長線上一點，如果⊙O的半徑為6，∠BCE=60°，那么BCD的長為（

）

A．6π B．12π C．2π D．4π【答案】D【分析】連接OB、OD，由圓內接四邊形的性質得出∠A=∠BCE=60°，由圓周角定理得出∠【詳解】解∶連接OB、OD，如圖所示∶

∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠A=∴∠BOD=2∴BCD的長=120π×6故選∶D．【點睛】此題綜合考查了圓周角定理和圓內接四邊形的性質、弧長公式；熟練掌握圓內接四邊形的性質和圓周角定理是解決問題的關鍵．【變式1-1】（2023·四川成都·校考三模）“斐波那契螺旋線”（也稱“黃金螺旋”）是根據斐波那契數列畫出來的螺旋曲線，人類耳朵的形狀也符合這種螺旋形狀，這種形狀的構造幫助人類可以更好地接收聲波，從而增強聽覺．現(xiàn)依次取邊長為1，1，2，3，5……的正方形按如圖所示方式拼接，分別以每個正方形的一個頂點為圓心，邊長為半徑作圓弧，連接形成的螺旋曲線即為“斐波那契螺旋線”．那么前五個正方形內形成的曲線ABCDEF的長度是．

【答案】6【分析】觀察圖形可知，螺旋曲線的每一段都是以正方形的邊長為半徑的14【詳解】解：由圖可知，正方形的邊長依次為：1，1，2，3，5……，螺旋曲線的每一段都是以正方形的邊長為半徑的14故前五個正方形內形成的曲線ABCDEF的長度是：14故答案為：6π【點睛】本題考查弧長的計算，解題的關鍵是觀察圖形得出每一段圓弧對應的正方形的邊長．【變式1-2】（2023春·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，以AB為直徑的⊙O與AD相交于點E，與BD相交于點F，DF=BF，已知AB=2，∠C=40°，則FB的長為（

）

A．π3 B．2π3 C．π9【答案】D【分析】根據直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形三線合一性質，圓周角定理，弧長公式計算即可．【詳解】如圖，連接AF,OF，

∵AB為⊙O的直徑，∴AF⊥BD，∵DF=BF，∴∠DAF=∠BAF=1∵平行四邊形ABCD，∠C=40°，∴∠DAF=∠BAF=1∴∠BOF=2∠BAF=40°，∵AB=2，∴OB=1∴FB=故選D．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形三線合一性質，圓周角定理，平行四邊形的性質，弧長公式，熟練掌握弧長公式，圓周角定理是解題的關鍵．【變式1-3】（2023·河南濮陽·統(tǒng)考一模）如圖，在扇形AOB中，圓心角∠AOB=60°，AO=2，分別以OA，OB的中點E，F(xiàn)為圓心12

【答案】2π【分析】如圖所示，連接CE，CF，證明四邊形OECF是菱形，得到∠OEC=120°，再利用弧長公式求出【詳解】解：如圖所示，連接CE，由題意得，OE=CE=CF=OF=1∴四邊形OECF是菱形，∴∠OEC=180°?∠EOF=120°，∴CF=同理CE=∴圖中陰影部分的周長為1+1+π故答案為：2π3

【點睛】本題主要考查了求弧長，菱形的性質與判定，正確做出輔助線是解題的關鍵．【題型2利用弧長及扇形面積公式求半徑】【例2】（2023春·山西·九年級專題練習）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，M是“不倒翁”與水平面的接觸點，PA，PB分別與AMB所在圓相切于點A，B．將“不倒翁”向右作無滑動滾動，使點B與水平面接觸，如圖3.若∠P=60°，水平面上點M與點B之間的距離為4π，則AMB所在圓的半徑是（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】如圖：過A、B作PA,PB的垂線交于點O，O即為圓心；再根據題意可得∠AOB的度數，然后可得得到優(yōu)弧AMB對應的圓心角，再根據弧長公式計算即可．【詳解】解：如圖：過A、B作PA,PB的垂線交于點O，設圓的半徑為r∵PA，PB分別與AMB所在圓相切于點A，B，∴O為圓心，∵∠P=60°，∴∠AOB=120°，∴∠MOB=120°，∵水平面上點M與點B之間的距離為4π，∴MB∴120°×2πr360°解得：r=6．故選B．【點睛】本題主要考查弧長的計算、切線的性質等知識點，解答本題的關鍵是求出優(yōu)弧MB的圓心角．【變式2-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）若弧長為4πcm的扇形的面積為8πcm2，則該扇形的半徑為【答案】4【分析】由一個扇形的弧長是4πcm，扇形的面積為8πcm2，根據扇形的面積等于弧長與半徑積的一半，即可求得答案．【詳解】設半徑是rcm，∵一個扇形的弧長是4πcm，扇形的面積為8πcm2，∴8π=12解得r=4．故答案為：4．【點睛】此題考查了扇形面積公式．此題比較簡單，解題的關鍵是熟記扇形的公式．【變式2-2】（2023春·湖北黃石·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，∠BAC=60°，BC的長是4π3，則⊙O的半徑是【答案】2【分析】連接OB、OC，利用弧長公式轉化為方程求解即可；【詳解】連接OB、OC．∵∠BOC=2∠BAC=120°，BC的長是4π3∴120?π?r180=4π∴r=2．故答案為2．

．【點睛】考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，弧長的計算等知識，解題的關鍵是熟練掌握弧長公式．【變式2-3】（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑的圓恰好與CD相切于點C，交AD于點E，若CE的長為2π，則⊙A的半徑為．【答案】8【分析】連接AC，根據平行四邊形的性質得出AD∥BC，AB∥CD，求出∠DAC=45°，根據弧長公式求出即可．【詳解】連接AC，∵CD切⊙A于C，∴AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠ACD=90°，∠DAC=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°=∠DAC，∵CE的長為2π，∴45π×AC180解得：AC=8，即⊙A的半徑是8，故答案為8．【點睛】本題考查了切線的性質，平行四邊形的性質，弧長公式等知識點，能求出∠DAC的度數是解此題的關鍵．【題型3利用弧長及扇形面積公式求圓心角】【例3】（2023春·云南紅河·九年級?？茧A段練習）將一個圓分割成三個扇形，它們的面積之比為2:3:4，則這三個扇形的圓心角的度數為（

）A．80°、120°、160° B．60°、120°、180°C．50°、100°、150° D．30°、60°、90°【答案】A【分析】根據一個圓分割成三個扇形，它們的面積之比為2:3:4，可得這三個扇形的圓心角的度數之比為2:3:4，可設這三個扇形的圓心角的度數分別為2x,3x,4x，從而得到2x+3x+4x=360°，即可求解．【詳解】解：∵一個圓分割成三個扇形，它們的面積之比為2:3:4，∴這三個扇形的圓心角的度數之比為2:3:4，設這三個扇形的圓心角的度數分別為2x,3x,4x，根據題意得：2x+3x+4x=360°，解得：x=40°，∴這三個扇形的圓心角的度數分別為80°,120°,160°．故選：A．【點睛】本題主要考查了求扇形的圓心角，根據題意得到這三個扇形的圓心角的度數之比為2:3:4是解題的關鍵．【變式3-1】（2023·吉林·統(tǒng)考一模）圖1是等邊三角形鐵絲框ABC，按圖2方式變形成以A為圓心，AB長為半徑的扇形（圖形周長保持不變），則所得扇形ABC的圓心角的度數是（

）A．45°． B．60°． C．90°π． D．180°【答案】D【分析】根據題意BC的長就是邊BC的長，由弧長公式nπR180【詳解】解：設AB=BC=x，∴C∴nπx解得：n=180∴圓心角的度數為：180°故選：D．【點睛】本題考查了弧長公式的應用，掌握公式和理解圖形變化前后對應關系是解題的關鍵．【變式3-2】（2023·內蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考二模）如圖1，點C是半圓AB上一個動點，點C從點A開始向終點B運動的整個過程中，AC的弧長l與時間t（秒）的函數關系如圖2所示，則點C運動至5秒時，∠AOC的度數為（

）

A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】C【分析】根據圖像可知半圓的周長為10π進而得到半圓的半徑為10，再根據題意得到弧長l與時間t（秒）的函數關系式及弧長公式即可解答．【詳解】解：設半圓的半徑為R，∠AOC=n，根據圖像可知半圓的周長為10π，∴πR=10π，∴R=10，設弧長l與時間t（秒）的函數關系式：l=ktk≠0∵圖像經過20，10π，∴k=π∴弧長l與時間t（秒）的函數關系式為l=π∴當x=5秒時，l=5π∴根據弧長公式可知：nπ×10180∴n=45°,故選C．【點睛】本題考查了一次函數與幾何圖形關系，弧長公式，一次函數圖像與性質，掌握一次函數與幾何圖形關系是解題的關鍵．【變式3-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）一個扇形的面積為10π，弧長為10π3，則該扇形的圓心角的度數為【答案】100°/100度【分析】根據弧長和扇形面積關系可得S=12lR【詳解】∵一個扇形的弧長是10π3，面積是10π∴S=12lR，即10π=∴S=10π=nπ×62故答案為：100°．【點睛】本題考查了扇形面積的計算；弧長的計算．熟記公式，理解公式間的關系是關鍵.【題型4求某點的弧形運動路徑長度】【例4】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，OA⊥OB，C，D分別是射線OA，OB上的動點，CD的長始終為8，點E為CD的中點，則點E的運動路徑長為

【答案】2π【分析】根據垂直的定義可知△AOB是直角三角形，再根據直角三角形的性質可知OE=CE=DE=1【詳解】解：連接OC，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴△AOB是直角三角形，∵CD=8，∴OE=CE=DE=1∴點E的運動路徑長為弧GD，∴弧GD的長度：90°×π×4180°故答案為2π．

【點睛】本題考查了垂直的定義，直角三角形的性質，弧長公式，掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．【變式4-1】（2023春·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊AB重合（AB=6），其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，射線CP從CA處出發(fā)沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉，CP與量角器的半圓弧交于點E，第20秒時點E在量角器上運動路徑長是．

【答案】2π【分析】首先連接OE，由∠ACB=90°，易得點E，A，B，C共圓，然后由圓周角定理，求得點E【詳解】解：連接OE，

∵∠ACB=90°∴A，B，C在以點O為圓心，AB為直徑的圓上，∴點E，A，B，C共圓，∵∠ACE=3×20°=60°∴∠AOE=2∴點E在量角器上運動路徑長=120π·3180故答案為：2π．【點睛】本題考查的是圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．【變式4-2】（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，把一個含30°角的直角三角板ABC在桌面上沿著直線l無滑動的翻滾一周，若BC=1，∠A=30°，則點A運動的路徑長是．

【答案】8+3【分析】根據題意，可知點A的運動路徑為AD和A'D，然后根據含30度角的直角三角形的特點求出【詳解】解：根據題意，可知點A的運動路徑為AD和A'D，∠ACD=90在Rt△ABC中∴AC=CD=3，D∴點A運動的路徑長為90180故答案為：8+33

【點睛】本題主要考查了求動點的運動軌跡長，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，確定出點A的運動軌跡是解題的關鍵．【變式4-3】（2023春·四川廣元·九年級?？茧A段練習）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點E、F是以斜邊AB為直徑的半圓的三等分點，點P是EF上一動點，連接PC，點M為PC的中點．當點P從點E運動至點F時，點M運動的路徑長為．【答案】23π【分析】令AB、AC、BC的中點分別為點O、G、H，連接OP、OC、OG、OH、OM，易證△COP為等腰三角形，根據三線合一可得，則點M的運動路徑為以GH中點為圓心，以12GH為半徑，圓心角為【詳解】解：令AB、AC、BC的中點分別為點O、G、H，連接OP、OC、OG、OH、OM，∵AB為⊙O直徑，點O為AB中點，∴OA=OP，∵∠ACB=90°，點O為AB中點，∴OC=1∴△COP為等腰三角形，∵點M為PC的中點，∴OM⊥PC，則∠OMC=90°，∵點E、F是以斜邊AB為直徑的半圓的三等分點，∴點M的運動路徑為以GH中點為圓心，以12GH為半徑，圓心角為∵點G、O、H、分別為AC、BC、AB中點，AC=BC=4，∴GO∥BC，GO=1∵∠ACB=90°，∴四邊形GCHO為正方形，GH=2∴OC=GH,∠GOH=90°，∴點M的運動路徑長為60180故答案為：23【點睛】本題主要考查了求點的運動軌跡，解題的關鍵是正確作出輔助線，根據等腰三角形的性質，正方形的性質以及圓周角確定點M的運動軌跡為以GH為直徑的半圓．【題型5直接求扇形面積】【例5】（2023·云南臨滄·統(tǒng)考三模）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，其半徑為1，作OF⊥BC交⊙O于點F，則圖中陰影部分的面積為（

）

A．π3 B．2π5 C．3π10【答案】C【分析】連接OA、OB、OC，求出∠AOF，再利用扇形公式進行計算．【詳解】解：連接OA、OB、OC，∵正五邊形ABCDE，∴∠AOB=∠BOC=360°÷5=72°，OB=OC，∵OF⊥BC，∴∠BOF=1∴∠AOF=108°，∴S=108°×π

故選：C．【點睛】本題考查正多邊形和圓，掌握扇形面積公式和求出AC所對的圓心角度數是解題的關鍵．【變式5-1】（2023·吉林·九年級校聯(lián)考學業(yè)考試）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△OAB是等邊三角形，AB=4，分別以點B，D為圓心，AO長為半徑畫弧，與該矩形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為．（結果保留π）

【答案】8【分析】由矩形ABCD，△OAB是等邊三角形，AB=4，可得∠ABC=90°，∠ABO=60°，OB=AB=4，則∠OBC=30°，根據S陰影【詳解】解：∵矩形ABCD，△OAB是等邊三角形，AB=4，∴∠ABC=90°，∠ABO=60°，OB=AB=4，∴∠OBC=30°，∴S陰影故答案為：83【點睛】本題考查了矩形的性質，等邊三角形的性質，扇形面積．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式5-2】（2023春·江蘇連云港·九年級?？茧A段練習）如圖，已知半徑為1的⊙O上有三點A、B、C，OC與AB交于點D，∠ADO=85°，∠CAB=20°，則陰影部分的扇形OAC面積是．

【答案】5π36【分析】根據三角形外角的性質得到∠C=∠ADO?∠CAB=65°，根據等腰三角形的性質得到∠AOC=50°，由扇形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：∵∠ADO=85°，∠CAB=20°，∴∠C=∠ADO?∠CAB=65°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=65°，∴∠AOC=50°，∴陰影部分的扇形OAC面積=50故答案為：5π【點睛】本題考查了扇形面積的計算，由等腰三角形的性質和三角形的內角和求出∠AOC=50°是解題的關鍵．【變式5-3】（2023春·江蘇·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD是長方形，以BC為直徑的半圓與AD邊只有一個交點，且AB=x，則陰影部分的面積為．

【答案】π【分析】作OF⊥AD，則三角形BOP與三角形DEP全等，那么陰影部分的面積=扇形BOF的面積．依此根據面積公式計算．【詳解】解：作OF⊥AD

∵OB=DF∠FDB=∠OBD∠FPD=∠BPO∴△DFP≌△BOP∴根據扇形面積公式得：陰影部分面積=90π×故答案為：πx【點睛】本體考查了求不規(guī)則圖形的面積，解題的關鍵是看出陰影部分的面積是由哪幾部分組成的．然后根據面積公式計算．【題型6求圖形旋轉后掃過的面積】【例6】（2023春·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習）如圖，已知A、D是⊙O上任意兩點，且AD=6，以AD為邊作正方形ABCD，若AD邊繞點O旋轉一周，則BC邊掃過的面積為．

【答案】9π【分析】如圖所示，連接OD、OC，過點O作OE⊥AD于點E，延長OE交BC于點F．則BC邊掃過的面積為以OC為外圓半徑、OF為內圓半徑的圓環(huán)面積，利用垂徑定理即可得出DE=AE=3，進而可得出CF=DE=3，再根據圓環(huán)的面積公式結合勾股定理即可得出BC邊掃過的面積．【詳解】解：如圖所示，連接OD、OC，過點O作OE⊥AD于點E，延長OE交BC于點F．

∵AD為弦，OE⊥AD，∴由垂徑定理可得DE=AE=1∵四邊形ABCD為正方形，∴BC∥AD，AD=BC=6，∴∠CFO=∠DEO=90°，∴四邊形DEFC為矩形，CF=DE=3．∵AD邊繞點O旋轉一周，則BC邊掃過的圖形為以OC為外圓半徑，OF為內圓半徑的圓環(huán)，∴圓環(huán)面積為S=π?OC故答案為：9π．【點睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理，平行線的性質以及圓環(huán)的面積公式，結合AD邊的旋轉，找出BC邊旋轉過程中掃過的區(qū)域的形狀是解題的關鍵．【變式6-1】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸的正半軸上，OA=1，將OA繞點O順時針旋轉45°到OA1，掃過的面積記為S1，A1A2⊥OA1交x軸于點A2；將OA2繞點O順時針旋轉45°到OA3，掃過的面積記為S2，A3A4⊥OA3交y【答案】2【分析】根據等腰直角三角形的性質可得出扇形的半徑，寫出部分Sn的值，根據數的變化找出變化規(guī)律S【詳解】由題意△A1OA2、△∴OA2=2，OA∴S1=45π×12360=18∴Sn∴S2022故答案為：2【點睛】本題考查了坐標與圖形性質旋轉，等腰直角三角形的性質以及扇形的面積，解題的關鍵是找出規(guī)律Sn【變式6-2】（2023春·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，△ABC的位置如圖所示．（每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形）

(1)畫出△ABC關于原點對稱的△A(2)將△ABC繞點B逆時針旋轉90°，畫出旋轉后得到的△A2BC2【答案】(1)見詳解(2)見詳解，13【分析】（1）分別作出點A、B、C關于原點對稱的對稱點，再順次連接可得；（2）分別作出點A、C繞點B逆時針旋轉90°得到的對應點，再順次連接可得△A【詳解】（1）解：如下圖，△A

（2）如圖，△A由圖可知，AB=3則線段BA掃過的區(qū)域的面積為S=90°【點睛】本題主要考查了作圖﹣中心對稱變換和旋轉變換、勾股定理以及扇形面積公式等知識，解題的關鍵是根據中心對稱和旋轉的性質作出變換后的對應點．【變式6-3】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在平面內，將小棒AB經過適當的運動，使它調轉方向(調轉前后的小棒不一定在同一條直線上)，那么小棒掃過區(qū)域的面積如何盡可能地小呢？已知小棒長度為4，寬度不計．方案1：將小棒繞AB中點O旋轉180°到B'A'方案2：將小棒先繞A逆時針旋轉60°到AC，再繞C逆時針旋轉60°到CB，最后繞B逆時針旋轉60°到B'A'

(1)①S1=______，S2②比較S1與S2的大?。?參考數據：π≈3.14，(2)方案2可優(yōu)化為方案3：首次旋轉后，將小棒先沿著小棒所在的直線平移再分別進行第2、3次旋轉，三次旋轉掃過的面積會重疊更多，最終小棒掃過的區(qū)域是一個等邊三角形．①補全方案3的示意圖；②設方案3中小棒掃過區(qū)域的面積為S3，求S(3)設計方案4，使小棒掃過區(qū)域的面積S4小于S【答案】(1)①4π，8π?83；②(2)①見解析；②S(3)見解析【分析】（1）①利用圓的面積公式計算S1，利用方案2掃過區(qū)域為三個圓心角為60°且半徑為4的扇形面積減去兩倍△ABC的面積計算S②利用參考數據計算近似值再比較即可；（2）①依題意補全方案3的示意圖即可；②利用等邊三角形的高是4，計算出底邊，再利用面積公式計算即可；（3）作等邊△ABC，首先讓點B在BC上運動，點A在CB的延長線上，運動，使得AB的長度保持不變，當點B運動到點C時，由此AB邊調轉到ACA'B'邊，接著兩次同樣的方式旋轉到BCA【詳解】（1）解：①由依題意得：AB=2r=4，∴r=2，∴S又依題意得：方案2掃過區(qū)域為三個圓心角為60°且半徑為4的扇形面積減去兩倍△ABC的面積．等邊三角形的面積公式：S=34a∴S故答案是：4π，8π?83②∵S1=4π≈4×3.14=12.56，S2∴S1（2）①依題意補全方案3的示意圖如下：

②連接EM，M為切點，則AA'

設AM=x，則AE=2x，由勾股定理得：AM2+E解得：x=4∴AA∴S3（3）設計方案4：如下圖，△ABC是等邊三角形，首先讓點B在BC上運動，點A在CB的延長線上運動，使得AB的長度保持不變，當點B運動到點C時，由此AB邊調轉到ACA'B'邊，接著兩次同樣的方式旋轉到

對于第一次旋轉，當旋轉AB旋轉到DH時，此時DH⊥BC，又作DE平行AB依題意得：陰影部分比等邊三角形ABC多三塊全等的圖形，記每塊面積為a，則有a<S△ADF，F(xiàn)為∵S△ADF∴S△ADF∴a<S∴S4【題型7求弓形面積】【例7】（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，BD⊥CE于點D，BC平分∠ABD．(1)求證：直線CE是⊙O的切線；(2)若∠ABC=30°,⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）連接OC，根據OB=OC，以及BC平分∠ABD推導出∠OCB=∠DCB，即可得出BD∥OC，從而推出（2）過點O作OF⊥CB于F，利用S陰影【詳解】（1）證明：連接OC，如圖，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC=∠DCB，∴∠OCB=∠DCB，∴BD∥∵BD⊥CE于點D，∴OC⊥DE，∴直線CE是⊙O的切線；（2）過點O作OF⊥CB于F，如圖，∵∠ABC=30°，OB=2，∴OF=1，BF=OB?cos∴BC=2BF=23∴S△OBC∵∠BOF=90°?30°=60°，∴∠BOC=2∠BOF=120°，∴S扇形∴S陰影【點睛】本題考查了圓的綜合問題，包括垂徑定理，圓的切線，扇形的面積公式等，熟練掌握以上性質并正確作出輔助線是本題的關鍵．【變式7-1】（2023春·九年級課時練習）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，若CD=23，CB＝2，則陰影部分的面積是【答案】2π【分析】連接OC，設CD與AB的交點為E，利用垂徑定理、勾股定理判定△OBC是等邊三角形，運用扇形的面積減去△OBC的面積即可．【詳解】連接OC，設CD與AB的交點為E，∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，CD=23，CB∴CE=3，BE=∴∠ECB=30°，∠CBE=60°，∵CO=BO，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC=60°，OC=OB=2，∴S=2π3故答案為：2π3【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，扇形的面積公式，等邊三角形的判定和性質，熟練掌握垂徑定理，扇形的面積公式是解題的關鍵．【變式7-2】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，將半徑為5cm的扇形OAB沿西北方向平移2cm，得到扇形O'A'B'【答案】25π+10【分析】設AB分別與O'A'、O'B'交于F、E，延長【詳解】解：設AB分別與O'A'、O'B'交于F、由題意得O'E=O∴S陰影故答案為：25π+102【點睛】本題主要考查了求不規(guī)則圖形的面積，平移的性質，正確理解題意得到S陰影【變式7-3】（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，已知⊙O的半徑為1，△ABC內接于⊙O，∠ACB=150°，則弓形ACB（陰影部分）的面積為．（結果保留π或根號）【答案】π【分析】在弦AB把⊙O分成的優(yōu)弧上取一點D，連接OA，OB，AD，BD，過點O作OE⊥AB于E．根據圓內接四邊形的性質和圓周角定理確定∠AOB=60°，進而求出扇形OAB的面積，根據等邊三角形的判定定理和性質求出AB的長度，根據等腰三角形的性質和勾股定理求出OE的長度，進而根據三角形面積公式求出△OAB的面積，最后用扇形OAB的面積減去△OAB的面積即可求出弓形OAB的面積．【詳解】解：如下圖所示，在弦AB把⊙O分成的優(yōu)弧上取一點D，連接OA，OB，AD，BD，過點O作OE⊥AB于E．∵四邊形ACBD內接于⊙O，∴∠ACB+∠ADB=180°．∵∠ACB=150°，∴∠ADB=180°-∠ACB=30°．∵∠AOB和∠ADB分別是AB所對的圓心角和圓周角，∴∠AOB=2∠ADB=60°．∵⊙O的半徑是1，∴OA=OB=1．∴△OAB是等邊三角形，S扇形OAB=60×π×∴AB=OA=1．∵OE⊥AB，∴AE=BE．∴AE=1∴OE=O∴S△OAB∴S弓形OAB=S扇形OAB?S故答案為：π6【點睛】本題考查圓內接四邊形的性質，圓周角定理，等邊三角形的判定定理和性質，等腰三角形的性質，勾股定理，三角形面積公式，扇形面積公式，綜合應用這些知識點是解題關鍵．【題型8求其他不規(guī)則圖形的面積】【例8】（2023·山西長治·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在△ABC中，CA=CB，AB=4，點D是AB的中點，分別以點A、B、C為圓心，AD的長為半徑畫弧，交線段AC、BC于點E、F、G、H，若點E、F是線段AC的三等分點時，圖中陰影部分的面積為（

）

A．82?2π B．162?4π【答案】A【分析】連接CD，由等腰三角形的性質可得CD⊥AB，AD=BD=2，由題意可得AC=BC=3AD=6，由勾股定理可得CD=42，再由S【詳解】解：如圖，連接CD，

，∵CA=CB，AB=4，點D是AB的中點，∴CD⊥AB，AD=BD=2，∵分別以點A、B、C為圓心，AD的長為半徑畫弧，交線段AC、BC于點E、F、G、H，點E、F是線段AC的三等分點，∴AC=BC=3AD=6，∴CD=A∴=1==8=82故選：A．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質、勾股定理、扇形面積的計算，熟練掌握等腰三角形的性質、勾股定理、扇形的面積公式是解題的關鍵．【變式8-1】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°,BC=6，將四邊形ABCD繞點A逆時針旋轉30°至AB'C'D

【答案】3π【分析】根據直角三角形的性質求出AN及AB的長，再由三角形的面積公式求出△ABC的面積，由扇形的面積公式得出扇形BAB及扇形CAC'的面積，由【詳解】解：連接AC∵在四邊形ABCD中，∠ABC=90°,BC=6，∠BAC=30°，∴AC=12，AB=122?∴BAB∴S1∵S△AB'∴S2∴S陰影故答案為：3π．

【點睛】本題考查了直角三角形的性質，勾股定理，旋轉的性質，扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關鍵．【變式8-2】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，扇形OAB的半徑OA=2cm，∠AOB=120°，則以AB為直徑的半圓與AB圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積是cm

【答案】π+6【分析】根據垂直的定義及直角三角形的性質可知OP=12OA=1【詳解】解：過點O作OP⊥AB于點P，∴AP=BP，∵OA=OB，OA=2cm∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠OAP=30°，∴OP=1在Rt△AOP中，由勾股定理得：AP=∴AB=2AP=23∴S△AOB∴S半圓∵扇形OAB的半徑OA=2cm，∠AOB=120°∴S△OAB∴S陰影===π+6∴陰影部分的面積是π+63故答案為：π+63

【點睛】本題考查了垂直的定義，直角三角形的性質，勾股定理，扇形的面積，掌握垂直的定義及直角三角形的性質是解題的關鍵．【變式8-3】（2023·山西太原·山西實驗中學?？寄M預測）如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于點D，E是邊BC的中點，連接DE．若AD，AB的長是方程x2?6x+8=0

A．83?4π3 B．43?【答案】B【分析】連接OD，BD，OE．根據直徑所對的圓周角為90°得出∠ADB=90°，根據因式分解法解方程求出AD=2，AB=4，并判定△AOD為等邊三角形，再根據扇形的面積公式即可求出S扇形BOD=4π3，根據含30度角的直角三角形的性質、勾股定理以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得出BC=43，然后利用【詳解】解：連接OD，BD，OE．

∵AB是直徑，∴∠ADB=90°．∵AD，AB的長是方程x2?6x+8=0的兩個根，解得x1∴AD=2，AB=4，∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．∵AO=DO，∴∠AOD=60°，∴∠BOD=120°，△AOD為等邊三角形∴OB=OA=AD=2∴S扇形∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠ACB=30°．在Rt△ADB中，由勾股定理得BD=∴BC=43，CD=6∵E是BC的中點，∴DE=BE=BD=23在△ODE和△OBE中OD=OB∴△ODE≌△OBESSS∴S陰影=2×=43故選B．【點睛】本題考查了圓周角定理、全等三角形的判定及性質、扇形的面積公式、直角三角形斜邊上的中線性質、含30度角的直角三角形的性質、勾股定理、等邊三角形的判定及性質，綜合性比較強，數量掌握性質定理是解題的關鍵．【題型9求圓錐側面積】【例9】（2023春·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖等邊△ABC內接于⊙O，若⊙O的半徑為1，以陰影部分為側面圍成一個圓錐，從剩余部分剪出一個圓作為圓錐底面，則圓錐的全面積為．【答案】49π【分析】先求出陰影部分的面積和AC的長，再求出所圍圓錐的底面半徑，求出底面積即可．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°．∴∠AOC=120°，∴S扇形OAC=設圓錐的底面半徑為r，則2πr=2π∴r=1∴圓錐的底面積=π×1∴圓錐的全面積=1故答案為：49【點睛】本題考查了圓錐的計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的側面積等于扇形的面積，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．【變式9-1】（2023·福建南平·校聯(lián)考模擬預測）如圖，要用一個扇形紙片圍成一個無底的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為10πcm,扇形的圓心角的度數是120°，則圓錐的側面積為（結果保留π

【答案】75π．【分析】由題意可知圓錐展開后的側面扇形的弧長為10πcm，設扇形的半徑為r，根據扇形的弧長公式可得r=15【詳解】解：∵圓錐的底面圓周長為10πcm∴圓錐展開后的側面扇形的弧長為10π設扇形的半徑為r，由題意可得：120°×2πr360°=10π，解得：則扇形的面積為：120°×π×15故答案為75π．【點睛】本題主要考查的是圓錐的計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵．【變式9-2】（2023·河北廊坊·統(tǒng)考一模）如圖1，冰激凌的外殼（不計厚度）可近似的看作圓錐，其母線長為12cm，底面圓直徑長為8（1）這個冰激凌外殼的側面展開圖的形狀是；（2）當冰激凌被吃掉一部分后，其外殼仍可近似的看作圓錐，如圖2，其母線長為9cm，則此時冰激凌外殼的側面積為cm2．（結果保留【答案】扇形27π【分析】（1）由圓錐的性質可知其展開圖是扇形；（2）根據圓錐側面積計算公式求解即可．【詳解】解：（1）有圓錐的性質可知其展開圖是扇形；（2）圖1圓錐展開圖對應扇形所對圓心角與半徑12cm的圓的圓心角比為：8π母線長為9cm，則此時冰激凌外殼的側面積為：9故答案為：扇形；27π．【點睛】本題主要考查扇形的性質及圓錐側面積的求解，掌握相關計算公式是解題的關鍵．【變式9-3】（2023春·江蘇·九年級專題練習）如圖是一張直角三角形卡片，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D、E分別在邊AB、AC上，AD＝2cm，DB＝4cm，DE⊥AB．若將該卡片繞直線DE旋轉一周，則形成的幾何體的表面積為cm2．

【答案】16π＋162π．【分析】根據旋轉得到若將該卡片繞直線DE旋轉一周，則形成的幾何體是一個以BD為底面圓半徑的圓臺，上面去掉一個以CF為底面，高為EF的圓錐，利用圓的面積公式，圓錐側面的面積公式計算即可.【詳解】∵AD＝2cm，DB＝4cm，∴AB=6cm，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CH=3cm，過點C作CF⊥直線DE于F，作CH⊥AB于H，則四邊形CFDH是矩形，∴DF=CH=3cm，∵DE⊥AB，∴DE=AD=2cm，∠CEF=∠AED=45°，∴CF=EF=DF-DE=1cm，∵若將該卡片繞直線DE旋轉一周，則形成的幾何體是一個以BD為底面圓半徑的圓臺，上面去掉一個以CF為底面，高為EF的圓錐，如圖，底面圓的面積=π?4外側面積=π×4×42上面圓錐側面面積=π×1×2∴形成的幾何體的表面積為16π+15故答案為：16π+162

【點睛】此題考查平面圖形旋轉得到幾何體，考查空間想象能力，考查了圓的面積公式，圓錐的側面面積公式，此題能根據圖形利用空間想象能力得到旋轉后的幾何體為上面去掉一個圓錐的圓臺由此進行計算是解題的關鍵.【題型10求圓錐底面半徑】【例10】（2023·內蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以點A為圓心，AB為半徑畫弧BF，得到扇形BAF（陰影部分）．若扇形BAF正好是一個圓錐的側面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是．

【答案】2【分析】首先確定扇形的圓心角的度數，然后利用圓錐的底面圓周長是扇形的弧長計算即可．【詳解】解：∵正六邊形的外角和為360°，∴每一個外角的度數為360°÷6=60°，∴正六邊形的每個內角的度數為180°?60°=120°，設這個圓錐底面圓的半徑是r，根據題意得，2πr=120π×2解得r=2故答案為：23【點睛】本題考查正多邊形和圓及圓錐的計算，解題的關鍵是求得正六邊形的內角的度數，并理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．【變式10-1】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖漏斗，圓錐形內壁的母線OB長為6cm，開口直徑為6cm．（1）因直管部分堵塞，漏斗內灌滿了水，則水深cm；（2）若將貼在內壁的濾紙（忽略漏斗管口處）展開，則展開濾紙的圓心角為．【答案】33180°【分析】（1）勾股定理求出圓錐的高即可；（1）利用圓錐底面周長等于扇形的弧長，列式計算即可．【詳解】解：（1）由題意，得，圓錐的底面半徑為62∴圓錐的高為62即：水深33故答案為：33（2）由題意，得：nπ180∴n=180，∴展開濾紙的圓心角為180°；故答案為：180°．【點睛】本題考查求圓錐的高，以及求扇形的圓心角．熟練掌握扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，是解題的關鍵．【變式10-2】（2023·內蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以點A為圓心，AB為半徑畫弧BF，得到扇形BAF（陰影部分）．若扇形BAF正好是一個圓錐的側面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是．

【答案】2【分析】首先確定扇形的圓心角的度數，然后利用圓錐的底面圓周長是扇形的弧長計算即可．【詳解】解：∵正六邊形的外角和為360°，∴每一個外角的度數為360°÷6=60°，∴正六邊形的每個內角的度數為180°?60°=120°，設這個圓錐底面圓的半徑是r，根據題意得，2πr=120π×2解得r=2故答案為：23【點睛】本題考查正多邊形和圓及圓錐的計算，解題的關鍵是求得正六邊形的內角的度數，并理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．【變式10-3】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在正方形網格圖中建立一直角坐標系，一條圓弧經過網格點A、B、C，請在網格中進行下列操作：(1)請在圖中確定該圓弧所在圓心D點的位置，D點坐標為______；(2)連接AD、CD，則⊙D的半徑為______；扇形DAC的圓心角度數為______；(3)若扇形DAC是某一個圓錐的側面展開圖，求該圓錐的底面半徑．【答案】(1)畫圖見解析，2(2)25，(3)5【分析】（1）找到AB，BC的垂直平分線的交點D，設D2，y（2）利用勾股定理求出AD，AC得長，即可得到圓的半徑長，再根據勾股定理的逆定理證明△ADC是直角三角形，即∠ADC=90°，則扇形DAC的圓心角度數為（3）先求得扇形弧長，除以2π即為圓錐的底面半徑．【詳解】（1）解：作AB、BC的垂直平分線相交于點D．設D2∵AD=CD，∴22解得：y=0，∴D2（2）解：如圖所示，連接AC，由（1）得AD=A∴⊙D的半徑為25∵AC=6?0∴AD∴△ADC是直角三角形，即∠ADC=90°，∴扇形DAC的圓心角度數為90°，故答案為：25，90°（3）解：由題意得，該圓錐的底面半徑為90×π×25【點睛】本題考查了垂徑定理的推論以及圓錐的有關計算，勾股定理和勾股定理得逆定理．用到的知識點為：非直徑的弦的垂直平分線經過圓心；圓錐的側面展開圖的弧長等于底面圓周長．【題型11求圓錐的高】【例11】（2023春·山東濟寧·九年級濟寧學院附屬中學?？计谀┤鐖D，正六邊形ABCDEF的邊長為12，連接AC，以點A為圓心，AC為半徑畫弧CE，得扇形ACE，將扇形ACE圍成一個圓錐，則圓錐的高為（

）

A．35 B．63 C．105 【答案】D【分析】求得弧CE的長即為圓錐的底面周長，求得底面半徑再由勾股定理解答即可．【詳解】解：過B作BP⊥AC于點P，連接CE，

∵正六邊形的每個內角都是120°，每條邊都相等，∴∠ABP=60°，AC=AE=CE∴AC=2AP=2AB?sin60°=123∴∠CAE=60°，∵CE的圓心角為60°，∴CE的長為60π∴圓錐底面半徑r=4∴圓錐高為AC故選：D．【點睛】本題考查了正六邊形的性質，三角函數，弧長公式，勾股定理，圓錐的側面展開：如果把圓錐的側面沿著它的一條母線剪開，那么它的側面展開圖是一個扇形，這個扇形的半徑是圓錐的母線長，弧長是圓錐底面圓的周長，圓錐的側面積等于扇形的面積．【變式11-1】（2023春·云南·九年級專題練習）如圖，矩形紙片ABCD中，AD=12cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為同一個圓錐的側面和底面，則該圓錐的高為cm【答案】2【分析】根據題意可得AF的長度與⊙O的周長相等，設BF=x，則CF=12?x，列出方程求解，再根據BF為圓錐的母線，圓錐的母線，圓錐的高，圓錐的底面半徑構成直角三角形，最后根據勾股定理求解即可．【詳解】解：設BF=x，則CF=12?x，12?xπ=解得：x=8，∴CF=12?8=4cm∴圓錐的底面半徑為4×12根據勾股定理可得：該圓錐的高為=8故答案為：215【點睛】本題考查了圓錐、矩形的性質，解題關鍵在于理解圓錐的側面展開圖與圓錐底面圓之間的關系，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．【變式11-2】（2023春·九年級課前預習）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6，以頂點A為圓心，AB的長為半徑畫圓，用圖中陰影部分圍成一個圓錐的側面（接縫忽略不計），則該圓錐的高為（

）A．4 B．32 C．42 【答案】C【分析】先計算出扇形的弧長，即圓錐的底面周長，從而得到圓錐的底面半徑，然后利用勾股定理求出圓錐的高．【詳解】解：∵正六邊形的外角和為360°，∴正六邊形的每個外角的度數為360°÷6=60°，∴正六邊形的每個內角的度數為180°?60°=120°，設該圓錐的底面半徑為r，則2πr=120解得r=2，∴該圓錐的高為62故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形與圓及圓錐的相關計算，以及勾股定理的應用，熟練掌握扇形與扇形所圍圓錐側面之間的等量關系是解題的關鍵．【變式11-3】（2023春·貴州貴陽·九年級貴陽市第二實驗中學?？茧A段練習）如圖，正六邊形ABCDEF紙片中，AB=6，分別以B、E為圓心，以6為半徑畫AC、DF．小欣把扇形BAC與扇形EDF剪下，并把它們粘貼為一個大扇形（B與E重合，F(xiàn)與A重合），她接著用這個大扇形作一個圓錐的側面，則這個圓錐的高為．【答案】2【分析】根據正六邊形的性質和弧長的公式即可得到結論?！驹斀狻空呅蜛BCDEF紙片中，∠ABC=∠DEF=120°，lAC圓錐的底面半徑為8π圓錐的高為62故答案為25【點睛】本題考查正多邊形和圓，勾股定理，弧長的計算，正確的理解題意是解題的關鍵．【題型12求圓錐側面展開圖的圓心角】【例12】（2023春·全國·九年級專題練習）圓錐的底面半徑為40cm，母線長80cm，則它的側面展開圖的圓心角度數是（A．180° B．150° C．120° D．90°【答案】A【分析】根據圓錐的底面半徑求得圓錐的側面展開扇形的弧長，再利用已知的母線長求得圓錐的側面展開扇形的面積，再利用扇形的另一種面積的計算方法求得圓錐的側面展開圖的圓心角即可.【詳解】∵圓錐的底面半徑為40∴圓錐的側面展開扇形的弧長為2πr=2×40π∵母線長80∴圓錐的側面展開扇形的面積為1∴nπ×解得，n∴側面展開圖的圓心角度數為180°故答案選A．【點睛】本題考查圓錐的底面半徑，側面積，明確圓錐的側面展開扇形與圓錐的側面關系解題的關鍵．【變式12-1】（2023春·九年級課時練習）圓錐的底面積是側面積的18，則該圓錐側面展開圖的圓心角度數是【答案】45【分析】設圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，該圓錐側面展開圖的圓心角度數為n°，先根據扇形的面積公式和已知得到πr2=18×1【詳解】解：設圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，該圓錐側面展開圖的圓心角度數為n°，根據題意得πr解得l=8r，因為2πr=n即2πr=n解得n=45，即該圓錐側面展開圖的圓心角度數為45°．故答案為：45．【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，熟練掌握圓錐的基本性質是解題關鍵．【變式12-2】（2023春·云南昆明·九年級?？计谥校┤鐖D，要用一個扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為20πcm，側面積為240πcm2，則這個扇形的圓心角的度數是（）度．A．120° B．135° C．150° D．160°【答案】C【分析】先設圓錐的母線長為lcm,由于圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則根據扇形的面積公式得到12×20π×l=240π，解得l=24，然后設這個扇形的圓心角的度數是n°，利用弧長公式得到20π=【詳解】解：設圓錐的母線長為lcm，則12×20π×l＝240π解得l＝24，設這個扇形的圓心角的度數是n°，根據題意得20π=n×π×24解得n＝150，即這個扇形的圓心角的度數是150°．故選：C．【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了弧長公式．【變式12-3】（2023·內蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）圓錐的高為22，母線長為3，沿一條母線將其側面展開，展開圖（扇形）的圓心角是度，該圓錐的側面積是（結果用含π【答案】1203π【分析】根據勾股定理，先求出圓錐底面半徑，進而得出底面周長，即圓錐展開圖的弧長，根據圓錐母線為圓錐的側面展開圖的半徑，結合扇形弧長公式和面積公式，即可求解．【詳解】解：根據勾股定理可得：圓錐底面半徑=3∴該圓錐底面周長=2π，∵圓錐母線長為3，∴該圓錐的側面展開圖的半徑為3，∴nπ×3180=2π，解得：即展開圖（扇形）的圓心角是120度，圓錐的側面積=1故答案為：120，3π．【點睛】本題主要考查了求圓錐地面半徑，扇形面積公式和弧長公式，解題的關鍵是掌握弧長l=nπr180，扇形面積【題型13圓錐的實際問題】【例13】（2023·安徽·校聯(lián)考二模）《九章算術》中有如下問題：“在屋內墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆高5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有斛．

【答案】22【分析】根據米堆的底部的弧度即底面圓周的四分之一為8尺，可求出圓錐的底面半徑，從而計算出米堆的體積，用體積除以每斛的體積即可求得斛數．【詳解】解：設米堆所在圓錐的底面半徑為r尺，由題意，得：14∴r=16∴米堆的體積為：14∴米堆的斛數為：35.561.62故答案為：22．【點睛】本題考查了圓錐的計算及弧長的計算，解題的關鍵是從實際問題中抽象出圓錐的知識，難度不大．【變式13-1】（2023春·全國·九年級專題練習）圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝雷要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC，將扇形EAF圍成圓錐時，AE，AF恰好重合，已知圓錐的底面圓直徑ED=6cm，母線長AD=12cm．(1)求這種加工材料的頂角∠BAC的大?。?2)求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結果保留π）【答案】(1)∠BAC=90°(2)144?36【分析】（1）設∠BAC=n，根據圓錐側面展開圖的扇形面積公式，即可求解；（2）分別求得△ABC和扇形AEF的面積，進而即可求解．【詳解】（1）解