人教版2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)同步講義專題22.2二次函數(shù)的圖象【八大題型】(學(xué)生版+解析)

專題22.2二次函數(shù)的圖象【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二次函數(shù)的配方法】 1【題型2五點(diǎn)繪圖法作二次函數(shù)的圖象】 2【題型3二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征】 4【題型4二次函數(shù)圖象的平移】 5【題型5二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換】 6【題型6二次函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)變換】 6【題型7二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系】 8【題型8二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)圖象共存問(wèn)題】 9知識(shí)點(diǎn)1：一元二次方程的定義y==ax2=ax=ax+=ax+二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=ax2+bx+ca≠0配方成頂點(diǎn)式y(tǒng)=【題型1二次函數(shù)的配方法】【例1】（23-24九年級(jí)·山東德州·階段練習(xí)）將二次函數(shù)y=x2?4x+5化為y=x??2+k的形式，則?=【變式1-1】（23-24九年級(jí)·廣東江門·期中）已知二次函數(shù)y=x2?4x?1，用配方法化為y=a【變式1-2】（23-24九年級(jí)·廣西賀州·期末）把二次函數(shù)y=2x2?8x+3用配方法化成y=aA．y=2(x?2)2+5 C．y=2(x?2)2?5【變式1-3】（23-24九年級(jí)·河北承德·期末）學(xué)完一元二次方程和二次函數(shù)后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)一元二次方程的解法有配方法，二次函數(shù)也可以用配方法把一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x??)2兩位同學(xué)做法正確的是（

）A．甲正確，乙不正確 B．甲不正確，乙正確C．甲、乙都正確 D．甲、乙都不正確知識(shí)點(diǎn)2：五點(diǎn)繪圖法作二次函數(shù)的圖象利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).【題型2五點(diǎn)繪圖法作二次函數(shù)的圖象】【例2】（23-24九年級(jí)·四川自貢·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=x?1(1)作出函數(shù)的圖象；(2)求此函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；(3)根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)y>0時(shí)和當(dāng)y<0時(shí)，x的取值范圍．【變式2-1】（23-24九年級(jí)·福建漳州·期中）已知二次函數(shù)y=x(1)用配方法將解析式化為y=a(x??)(2)二次函數(shù)y=x2?2x?3中的xx…?10123…y…0?3?4?3m…求m的值；(3)在給定的直角坐標(biāo)系中，直接畫出這個(gè)函數(shù)的大致圖象．【變式2-2】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象：①y=x2；②y=2x2；③從圖象對(duì)比，說(shuō)出解析式中二次項(xiàng)系數(shù)a對(duì)拋物線的形狀有什么影響？【變式2-3】（23-24九年級(jí)·河南南陽(yáng)·期末）已知二次函數(shù)y=x(1)用配方法將二次函數(shù)的表達(dá)式化為y=(x??)(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；(3)結(jié)合圖象直接回答：當(dāng)0<x<3時(shí)，則y的取值范圍是____________．【題型3二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征】【例3】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）若二次函數(shù)y=mx2+x+mm?2的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則A．2 B．1 C．0或2 D．1或2【變式3-1】（23-24九年級(jí)·廣東湛江·期中）拋物線y=x2?x?1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,0)，則代數(shù)式【變式3-2】（23-24九年級(jí)·湖北咸寧·期末）下列各點(diǎn)中，一定不在拋物線y=mx2?2mx+2A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3）【變式3-3】（23-24九年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期中）已知點(diǎn)M(m,n)，N(4?m,n)是二次函數(shù)y＝ax2+bx+2知識(shí)點(diǎn)3：二次函數(shù)圖象的平移方法一：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．任意拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k可以由拋物線y＝ax2經(jīng)過(guò)平移得到，具體平移方法如下：方法二：⑴沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）⑵沿x軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或）【題型4二次函數(shù)圖象的平移】【例4】（23-24九年級(jí)·山東淄博·期中）已知二次函數(shù)y=?x(1)請(qǐng)利用配方法推導(dǎo)出它的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如果將該二次函數(shù)向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，平移后的函數(shù)的對(duì)稱軸為y軸，求m的值．【變式4-1】（23-24九年級(jí)·浙江杭州·期中）已知二次函數(shù)y=2x2，若其圖象拋物線不動(dòng)，把x軸、y軸分別向上、向右平移2個(gè)單位，那么在新坐標(biāo)系下該拋物線的解析式是【變式4-2】（23-24九年級(jí)·福建廈門·期中）拋物線y=x2+x+1A．y=x2 B．y=x2?4 【變式4-3】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期中）如圖，將函數(shù)y=12x?22+1的圖象沿y軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象，其中點(diǎn)A1,m，B4,n平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A

A．y=12x?2C．y=12x?2【題型5二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換】【例5】（23-24九年級(jí)·四川達(dá)州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?(x+1)2+2A．y=?(x?1)2+2C．y=(x+1)2?2【變式5-1】（23-24九年級(jí)·安徽淮北·階段練習(xí)）求拋物線y=x2?2x?1【變式5-2】（23-24九年級(jí)·黑龍江綏化·期中）將函數(shù)y=15x+22的圖像沿x軸翻折后得到的函數(shù)解析式是；將函數(shù)y=1【變式5-3】（23-24·湖北武漢·一模）直線y=m是平行于x軸的直線，將拋物線y=－12x2-4x在直線y=m上側(cè)的部分沿直線y=m翻折，翻折后的部分與沒有翻折的部分組成新的函數(shù)圖像，若新的函數(shù)圖像剛好與直線y=－x有3個(gè)交點(diǎn)，則滿足條件的m的值為【題型6二次函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)變換】【例6】（23-24·廣東中山·一模）如圖，一段拋物線y=?x2+8x(0≤x≤8)記為C1，它與x軸交于點(diǎn)O，A1兩點(diǎn)；將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于點(diǎn)A2；將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得到CA．?8 B．8 C．?7 D．7【變式6-1】（23-24九年級(jí)·山東濟(jì)南·期中）將二次函數(shù)y=x?22+1的圖象繞點(diǎn)2,1旋轉(zhuǎn)180°A．y=x?22+1C．y=?x?22+1【變式6-2】（23-24九年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）拋物線y=?12xA．y=?12xC．y=?12x【變式6-3】（23-24·陜西榆林·二模）二次函數(shù)y=mx+32?3（m為常數(shù)且m≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A．將該二次函數(shù)的圖象以原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的圖像與y軸交于點(diǎn)B，若AB=12，則mA．1或?13 B．1或?3 C．3 知識(shí)點(diǎn)4：二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1、a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大小．2、b的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說(shuō)就是“左同右異”3、c決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置字母的符號(hào)圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bb＝0對(duì)稱軸為y軸ab＞0(a與b同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a與b異號(hào))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc＝0經(jīng)過(guò)原點(diǎn)c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負(fù)半軸相交【題型7二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系】【例7】（23-24九年級(jí)·福建福州·期末）如圖，拋物線y=ax2+bx+ca≠0過(guò)點(diǎn)A?1,0，與y軸的交點(diǎn)C在0,3①abc>0；②3a+c=0；③拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于4小于163其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【變式7-1】（23-24九年級(jí)·浙江溫州·期末）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖所示，則點(diǎn)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式7-2】（23-24九年級(jí)·廣東汕尾·期中）如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象中，有以下信息：①c>0；②abc<0；③a?b+c>0；④b2>4ac

【變式7-3】（23-24九年級(jí)·云南昭通·期末）如圖，是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對(duì)稱軸是直線x=?1，且過(guò)點(diǎn)?3,0，下列說(shuō)法：①bc<0；②2a?b=0；③若?4,yA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型8二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)圖象共存問(wèn)題】【例8】（23-24·河南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）一次函數(shù)y=ax+b的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=ax2+bx

B．

C．

D．

【變式8-1】（23-24九年級(jí)·福建福州·期末）如圖，已知拋物線y=ax2+bx，則直線y=ax+b【變式8-2】（23-24·四川德陽(yáng)·二模）二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=x+b【變式8-3】（23-24·四川德陽(yáng)·三模）在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=?ax+b與二次函數(shù)y=ax2?b(a≠0)A． B． C． D．專題22.2二次函數(shù)的圖象【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二次函數(shù)的配方法】 1【題型2五點(diǎn)繪圖法作二次函數(shù)的圖象】 3【題型3二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征】 9【題型4二次函數(shù)圖象的平移】 12【題型5二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換】 14【題型6二次函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)變換】 16【題型7二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系】 19【題型8二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)圖象共存問(wèn)題】 23知識(shí)點(diǎn)1：一元二次方程的定義y=ax2=ax=ax+=ax+二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=ax2+bx+ca≠0配方成頂點(diǎn)式y(tǒng)=【題型1二次函數(shù)的配方法】【例1】（23-24九年級(jí)·山東德州·階段練習(xí)）將二次函數(shù)y=x2?4x+5化為y=x??2+k的形式，則【答案】21【分析】利用配方法將函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式即可解答．【詳解】解：∵y=x∴?=2,k=1．故答案為①2，②1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了將二次函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式，掌握配方法是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（23-24九年級(jí)·廣東江門·期中）已知二次函數(shù)y=x2?4x?1，用配方法化為y=a【答案】y=【分析】本題考查了二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式，利用配方法先提出二次項(xiàng)系數(shù)，再加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來(lái)湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，注意加了多少就要減去多少．【詳解】解：y===x?2故答案為：y=x?2【變式1-2】（23-24九年級(jí)·廣西賀州·期末）把二次函數(shù)y=2x2?8x+3用配方法化成y=aA．y=2(x?2)2+5 C．y=2(x?2)2?5【答案】C【分析】本題考查的是二次函數(shù)的三種形式，正確利用配方法把二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．利用配方法把二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式．【詳解】解：y=2=2=2(=2(x?2)故選：C．【變式1-3】（23-24九年級(jí)·河北承德·期末）學(xué)完一元二次方程和二次函數(shù)后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)一元二次方程的解法有配方法，二次函數(shù)也可以用配方法把一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x??)2兩位同學(xué)做法正確的是（

）A．甲正確，乙不正確 B．甲不正確，乙正確C．甲、乙都正確 D．甲、乙都不正確【答案】C【分析】此題根據(jù)配方的步驟結(jié)合利用到的等式性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：兩位同學(xué)做法都正確，甲同學(xué)利用配方的要求只對(duì)函數(shù)式右邊的整式同時(shí)加或者減同一個(gè)數(shù)原式結(jié)果不變進(jìn)行配方；乙同學(xué)對(duì)利用等式的性質(zhì)對(duì)函數(shù)式兩邊同時(shí)進(jìn)行加減配方，故都正確；故答案選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的實(shí)際配方過(guò)程，涉及到等式性質(zhì)，難度一般．知識(shí)點(diǎn)2：五點(diǎn)繪圖法作二次函數(shù)的圖象利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).【題型2五點(diǎn)繪圖法作二次函數(shù)的圖象】【例2】（23-24九年級(jí)·四川自貢·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=x?1(1)作出函數(shù)的圖象；(2)求此函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；(3)根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)y>0時(shí)和當(dāng)y<0時(shí)，x的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)?1,0和3,0；(3)當(dāng)y>0時(shí)，自變量x的取值范圍是x<?1或x>3；當(dāng)y<0時(shí)，自變量x的取值范圍是?1<x<3．【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，畫二次函數(shù)圖象等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)五點(diǎn)法畫出圖象即可；（2）令y=0，求出x的值，即得出該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）由當(dāng)y>0時(shí)，自變量x的取值范圍，即求該二次函數(shù)圖象在x軸上方時(shí)x的取值范圍，再結(jié)合圖象即可解答；由當(dāng)y<0時(shí)，自變量x的取值范圍，即求該二次函數(shù)圖象在x軸下方時(shí)x的取值范圍，再結(jié)合圖象即可解答．【詳解】（1）解：二次函數(shù)y=x?1∴該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,?4；令y=0，則x?12解得：x1∴該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為?1,0和3,0；令x=0，則y=?3；令x=2∴該二次函數(shù)還經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,?3和2,?3，∴在坐標(biāo)系中畫出圖象如下：；（2）解：令y=0，則x?12解得：x1∴該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為?1,0和3,0；（3）解：當(dāng)y>0時(shí)，自變量x的取值范圍，即求該二次函數(shù)圖象在x軸上方時(shí)x的取值范圍，∵該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為?1,0和3,0，∴當(dāng)x<?1或x>3時(shí)，二次函數(shù)圖象在x軸上方，∴當(dāng)y>0時(shí)，自變量x的取值范圍是x<?1或x>3；當(dāng)y<0時(shí)，自變量x的取值范圍，即求該二次函數(shù)圖象在x軸下方時(shí)x的取值范圍，∵該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為?1,0和3,0，∴當(dāng)?1<x<3時(shí)，二次函數(shù)圖象在x軸下方，∴當(dāng)y<0時(shí)，自變量x的取值范圍是?1<x<3．【變式2-1】（23-24九年級(jí)·福建漳州·期中）已知二次函數(shù)y=x(1)用配方法將解析式化為y=a(x??)(2)二次函數(shù)y=x2?2x?3中的xx…?10123…y…0?3?4?3m…求m的值；(3)在給定的直角坐標(biāo)系中，直接畫出這個(gè)函數(shù)的大致圖象．【答案】(1)y=x?1(2)m=0；(3)見解析【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．（1）通過(guò)配方法求解；（2）將x=3代入解析式求解；（3）根據(jù)（2）的表格描點(diǎn)、連線作圖．【詳解】（1）解：y=x（2）解：當(dāng)x=3時(shí)，y=3?1∴m=0；（3）解：描點(diǎn)、連線，作圖如下：【變式2-2】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象：①y=x2；②y=2x2；③從圖象對(duì)比，說(shuō)出解析式中二次項(xiàng)系數(shù)a對(duì)拋物線的形狀有什么影響？【答案】作圖見解析，a的絕對(duì)值相同，兩條拋物線的形狀就相同；a越大，開口越小【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作圖．根據(jù)描點(diǎn)法，可得函數(shù)圖象，觀察圖象即可得出二次項(xiàng)系數(shù)a對(duì)拋物線的形狀有什么影響．【詳解】解：列表如下：x?2?1012y=41014y=282028y=??4?10?1?4y=?2?8?20?2?8描點(diǎn)：見表中的數(shù)據(jù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中描出，連線：用平滑的線連接，如圖所示：由圖象可知：a的絕對(duì)值相同，兩條拋物線的形狀就相同；a越大，開口越?。咀兪?-3】（23-24九年級(jí)·河南南陽(yáng)·期末）已知二次函數(shù)y=x(1)用配方法將二次函數(shù)的表達(dá)式化為y=(x??)(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；(3)結(jié)合圖象直接回答：當(dāng)0<x<3時(shí)，則y的取值范圍是____________．【答案】(1)y=(x?2)2(2)見解析(3)1≤y<5【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）利用配方法把二次函數(shù)解析式配成頂點(diǎn)式；（2）利用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)圖象；（3）利用二次函數(shù)的圖象求解．【詳解】（1）解：∵y=x∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)；（2）解：列表：x?01235?y?52125?根據(jù)描點(diǎn)法畫二次函數(shù)圖象如下：；（3）解：由圖象可知：當(dāng)0<x<3時(shí)，1≤y<5．故答案是：1≤y<5．【題型3二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征】【例3】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）若二次函數(shù)y=mx2+x+mm?2的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則A．2 B．1 C．0或2 D．1或2【答案】A【分析】本題中已知了二次函數(shù)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0，0)，即mm?2=0，由此可求出【詳解】解：∵二次函數(shù)y=mx∴mm?2∴m=0或m=2，∵二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，所以m=2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)不能為0是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（23-24九年級(jí)·廣東湛江·期中）拋物線y=x2?x?1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,0)，則代數(shù)式【答案】2024【分析】考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．把(m,0)代入y=x2?x?1【詳解】解：拋物線y=x2?x?1與x則m2∴m2∴m2故答案為：2024．【變式3-2】（23-24九年級(jí)·湖北咸寧·期末）下列各點(diǎn)中，一定不在拋物線y=mx2?2mx+2A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3）【答案】C【分析】分別計(jì)算出x=1或x=2時(shí)的函數(shù)值，從而求得m的值，然后根據(jù)二次函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：當(dāng)x=1時(shí)，y=?m+2=∴點(diǎn)（1，1）可以在拋物線y=mx當(dāng)x=2時(shí)，y=4m?4m+2=2，∴點(diǎn)（2，2）在拋物線y=mx當(dāng)x=1時(shí)，y=?m+2=∴點(diǎn)（1，2）一定不在拋物線y=mx當(dāng)x=1時(shí)，y=?m+2=∴點(diǎn)（1，3）可以在拋物線y=mx故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式并且理解二次函數(shù)解析式中二次項(xiàng)系數(shù)不能為零是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24九年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期中）已知點(diǎn)M(m,n)，N(4?m,n)是二次函數(shù)y＝ax2+bx+2【答案】2【分析】根據(jù)M、N橫坐標(biāo)不同縱坐標(biāo)相同，可得關(guān)于對(duì)稱軸的等式x=?b2a=m+(4?m)2，當(dāng)x=4時(shí)，正好等于m+(4?m)=?ba【詳解】解：∵當(dāng)x=m和x=4?m時(shí)，y的值相等，∴二次函數(shù)對(duì)稱軸x=?b當(dāng)x=4時(shí)，即x=m+(4?m)=?b則y=a(?∴當(dāng)x=4時(shí)，二次函數(shù)的值為2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等得二次函數(shù)的對(duì)稱軸，用對(duì)稱軸表示x的值代入二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)3：二次函數(shù)圖象的平移方法一：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．任意拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k可以由拋物線y＝ax2經(jīng)過(guò)平移得到，具體平移方法如下：方法二：⑴沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）⑵沿x軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或）【題型4二次函數(shù)圖象的平移】【例4】（23-24九年級(jí)·山東淄博·期中）已知二次函數(shù)y=?x(1)請(qǐng)利用配方法推導(dǎo)出它的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如果將該二次函數(shù)向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，平移后的函數(shù)的對(duì)稱軸為y軸，求m的值．【答案】(1)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=m2(2)m=?2【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的性質(zhì)；（1）通過(guò)配方法將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而求解；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得出新拋物線的解析式為y=?x?m2?12【詳解】（1）解：配方：y=?=?x所以二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=m2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2）由題意得：平移后的二次函數(shù)表達(dá)式為y=?x?所以對(duì)稱軸為x=m因?yàn)槠揭坪蟮亩魏瘮?shù)對(duì)稱軸是y軸，所以m2解得m=?2．【變式4-1】（23-24九年級(jí)·浙江杭州·期中）已知二次函數(shù)y=2x2，若其圖象拋物線不動(dòng)，把x軸、y軸分別向上、向右平移2個(gè)單位，那么在新坐標(biāo)系下該拋物線的解析式是【答案】y=2【分析】先確定出原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平移確定出新平面直角坐標(biāo)系中拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)平移只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)寫出解析式即可．本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用頂點(diǎn)的變化解答拋物線的變化，準(zhǔn)確找出新坐標(biāo)系中頂點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：拋物線y=2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為∵x軸、y軸分別向上、向右平移2個(gè)單位，∴新平面直角坐標(biāo)系中拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為?2，?2，∴新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是y=2x+2故答案為y=2x+2【變式4-2】（23-24九年級(jí)·福建廈門·期中）拋物線y=x2+x+1A．y=x2 B．y=x2?4 【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移，熟練通過(guò)配方法，將一般式化成頂點(diǎn)式是解答本題的關(guān)鍵．由平移的性質(zhì)可知：拋物線經(jīng)過(guò)平移后，a的值不變．將y=x2+x+1化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=x+1【詳解】解：A．∵y=x2+x+1=x+122+34，B．∵y=x2+x+1=x+122+34，C．∵y=x2+x+1=x+122+34，D．y=7x2+x+1，由平移的性質(zhì)，a故選D．【變式4-3】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期中）如圖，將函數(shù)y=12x?22+1的圖象沿y軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象，其中點(diǎn)A1,m，B4,n平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A

A．y=12x?2C．y=12x?2【答案】D【分析】曲線段AB掃過(guò)的面積=xB?【詳解】解：曲線段AB掃過(guò)的面積=x則AA'=3，故拋物線向上平移3個(gè)單位，則y=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換以及平行四邊形面積求法等知識(shí)，根據(jù)已知得出AA【題型5二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換】【例5】（23-24九年級(jí)·四川達(dá)州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?(x+1)2+2A．y=?(x?1)2+2C．y=(x+1)2?2【答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用原拋物線上的關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征：縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)就可以解答．【詳解】解：拋物線y=?(x+1)2+2關(guān)于即解析式為：y=?(x?1)故選：A．【變式5-1】（23-24九年級(jí)·安徽淮北·階段練習(xí)）求拋物線y=x2?2x?1【答案】y=【分析】先求出拋物線y=x2?2x?1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到它關(guān)于直線x=?1【詳解】解：配方得y=x?1其頂點(diǎn)為1,?2，它關(guān)于直線x=?1的對(duì)稱點(diǎn)為?3,?2，所以，所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x+32?2【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像的軸對(duì)稱變換，求出二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)，是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（23-24九年級(jí)·黑龍江綏化·期中）將函數(shù)y=15x+22的圖像沿x軸翻折后得到的函數(shù)解析式是；將函數(shù)y=1【答案】y=?15【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，根據(jù)關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)進(jìn)行解答即可．解題的關(guān)鍵是抓住關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，即關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．【詳解】解：∵關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴函數(shù)y=15x+22的圖象沿∵關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴函數(shù)y=15x+22的圖象沿故答案為：y=?15x+2【變式5-3】（23-24·湖北武漢·一模）直線y=m是平行于x軸的直線，將拋物線y=－12x2-4x在直線y=m上側(cè)的部分沿直線y=m翻折，翻折后的部分與沒有翻折的部分組成新的函數(shù)圖像，若新的函數(shù)圖像剛好與直線y=－x有3個(gè)交點(diǎn)，則滿足條件的m的值為【答案】6或25【分析】根據(jù)題意直線y=-x與拋物線y=－12x2-4x相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，6），m=6時(shí)滿足條件，當(dāng)翻折后的拋物線與直線y=-x【詳解】解：根據(jù)題意∵y=-12x2-4x=-12（x+4）∴頂點(diǎn)為（-4，8），∴在直線y=m上側(cè)的部分沿直線y=m翻折，翻折后的部分的頂點(diǎn)為（-4，-8+2m），∵直線y=-x與拋物線y=-12x2-4x∴y=?xy=?解得，x1=?6y∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，6），（0，0）∴m=6時(shí)，新的函數(shù)圖象剛好與直線y=-x有3個(gè)交點(diǎn)翻折后的拋物線的解析式為y=12（x+4）2-8+2m由題意：y＝消去y得到：x2+10x+4m=0，由題意Δ=0時(shí)，滿足條件，∴100-16m=0，∴m=254綜上所述，m=6或254【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)翻折的特征求得翻折后的部分的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【題型6二次函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)變換】【例6】（23-24·廣東中山·一模）如圖，一段拋物線y=?x2+8x(0≤x≤8)記為C1，它與x軸交于點(diǎn)O，A1兩點(diǎn)；將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于點(diǎn)A2；將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得到CA．?8 B．8 C．?7 D．7【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．從圖象看，可以把0≤x≤16當(dāng)成一個(gè)周期，則2023÷16=126余7，即可求解．【詳解】解：∵一段拋物線C1∴圖象C1與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：(0,0)，(8,0)∵將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，交x∴拋物線C2從圖象看，可以把0≤x≤16當(dāng)成一個(gè)周期，則2023÷16=126余7，當(dāng)x=7時(shí)，y=?x即m=7，故選：D．【變式6-1】（23-24九年級(jí)·山東濟(jì)南·期中）將二次函數(shù)y=x?22+1的圖象繞點(diǎn)2,1旋轉(zhuǎn)180°A．y=x?22+1C．y=?x?22+1【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用頂點(diǎn)的變化確定函數(shù)解析式的變化更簡(jiǎn)便．求出原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及繞點(diǎn)(2,1)旋轉(zhuǎn)180°后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)后拋物線開口方向向下，利用頂點(diǎn)式解析式寫出即可．【詳解】解：∵拋物線y=x?22+1∴繞點(diǎn)(2,1)旋轉(zhuǎn)180°后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)，開戶口向下，∴所得到的圖象的解析式為y=?x?2故選：C．【變式6-2】（23-24九年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）拋物線y=?12xA．y=?12xC．y=?12x【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，通過(guò)了解經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱后過(guò)程，得到二次函數(shù)平移過(guò)程中不改變開口大小，所以a不變，選出答案即可．【詳解】解：拋物線y=?12x而D選項(xiàng)中a=?1，不可能是經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱得到，故選：D．【變式6-3】（23-24·陜西榆林·二模）二次函數(shù)y=mx+32?3（m為常數(shù)且m≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A．將該二次函數(shù)的圖象以原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的圖像與y軸交于點(diǎn)B，若AB=12，則mA．1或?13 B．1或?3 C．3 【答案】A【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，中心對(duì)稱的性質(zhì)，先求解A的坐標(biāo)，再求解旋轉(zhuǎn)后的解析式及B的坐標(biāo)，再利用AB=12，再建立方程求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=mx+32?3（m為常數(shù)且m≠0）的圖象與y∴當(dāng)x=0時(shí)，y=9m?3，∴A0,9m?3∵二次函數(shù)y=mx+32?3∴旋轉(zhuǎn)后的解析式為：?y=m?x+32?3當(dāng)x=0時(shí)，y=?9m+3，∴B0,?9m+3∵AB=12，∴9m?3??9m+3=12，即解得：m=1或m=?1故選A知識(shí)點(diǎn)4：二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1、a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大小．2、b的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說(shuō)就是“左同右異”3、c決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置字母的符號(hào)圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bb＝0對(duì)稱軸為y軸ab＞0(a與b同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a與b異號(hào))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc＝0經(jīng)過(guò)原點(diǎn)c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負(fù)半軸相交【題型7二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系】【例7】（23-24九年級(jí)·福建福州·期末）如圖，拋物線y=ax2+bx+ca≠0過(guò)點(diǎn)A?1,0，與y軸的交點(diǎn)C在0,3①abc>0；②3a+c=0；③拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于4小于163其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．根據(jù)所給函數(shù)圖象可得出a，b，c的正負(fù)，再結(jié)合拋物線的對(duì)稱性及增減性即可解決問(wèn)題．【詳解】解：由所給二次函數(shù)圖象開口向下，與y軸交于正半軸，∴a<0，又∵對(duì)稱軸是直線x=?b∴b=?2a>0．∴abc<又拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，且過(guò)點(diǎn)A?1,0∴a?b+c=0，即a??2a∴3a+c=0，故②正確．∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,a+b+c，又b=?2a，3a+c=0，∴a=?c3，∴a+b+c=4∵3<c<4，∴4<4∴拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于4小于163故選：B．【變式7-1】（23-24九年級(jí)·浙江溫州·期末）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖所示，則點(diǎn)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】此題考查了二次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系．注意二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0系數(shù)符號(hào)由拋物線開口方向、對(duì)稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)拋物線確定的．由開口向下，可得a<0，由拋物線與y軸交于正半軸，可得c>0，又由對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，即可得【詳解】解：∵開口向下，∴a<0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c>0，∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴a，b異號(hào)，即b>0，∴b+c>0，∴點(diǎn)Aa,b+c故選：B．【變式7-2】（23-24九年級(jí)·廣東汕尾·期中）如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象中，有以下信息：①c>0；②abc<0；③a?b+c>0；④b2>4ac

【答案】③④⑤【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系，觀察圖象判斷圖象開口方向、對(duì)稱軸所在位置、與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得出二次函數(shù)系數(shù)滿足條件．由拋物線的開口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：①由拋物線交y軸于負(fù)半軸，則c<0，故①錯(cuò)誤；②由拋物線的開口方向向上可推出a>0；∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，對(duì)稱軸為x=?b又∵a>0，∴b<0；故abc>0，故②錯(cuò)誤；③結(jié)合圖象得出x=?1時(shí)，對(duì)應(yīng)y的值在x軸上方，故y>0④由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)可以推出b2⑤由圖象可知：對(duì)稱軸為x=?b2a=故正確的有：③④⑤．故答案為：③④⑤．【變式7-3】（23-24九年級(jí)·云南昭通·期末）如圖，是