湖北省高中名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期8月第一次聯(lián)考 數(shù)學(xué)

湖北省高中名校聯(lián)盟2025屆高三第一次聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷本試卷共5頁，19題．滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．考試時(shí)間：2024年8月21日下午15：00—17：00注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.32 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可根據(jù)模長(zhǎng)公式求解.【詳解】由可得，所以，故選：C2.已知集合，則包含的元素個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】由一元二次不等式化簡(jiǎn)集合，即可由交集的定義求解.【詳解】由，解得或，所以或，故，故選：B3.長(zhǎng)江被稱為黃金水道，而三峽大壩則是長(zhǎng)江上防洪發(fā)電的國之重器.三峽大壩壩前正常蓄水位為海拔175米，而壩下通航最低水位為海拔62米.為了改善船舶的通航條件，常常會(huì)通過修建階梯船閘來實(shí)現(xiàn)，船只只需要像爬樓梯一樣，以實(shí)現(xiàn)上升或者下降.假設(shè)每個(gè)閘室之間的水位差均可控制在15至25米之間，則要保證全年通航，那么三峽大壩船閘至少需要修建閘室的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】由已知，水位差為米，每個(gè)閘室之間的水位差均可控制在15至25米之間，由，可知船閘至少需要修建閘室5個(gè).【詳解】因?yàn)槿龒{大壩壩前正常蓄水位為海拔175米，而壩下通航最低水位為海拔62米,所以水位差為米，又每個(gè)閘室之間的水位差均可控制在15至25米之間，則，所以船閘至少需要修建閘室5個(gè).故選：B.4.若則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式即可代入求解.【詳解】故選：C5.已知一組數(shù)據(jù)34，36，39，41，44，45，x，50的第65百分位數(shù)是45，那么實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)可得第65百分位是第6位，可得的范圍.【詳解】因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)是第6項(xiàng)數(shù)據(jù)45，則.故選：A6.已知函數(shù)的部分圖象如下，與其交于A，B兩點(diǎn)．若，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】首先解方程，結(jié)合圖象，求得方程的實(shí)數(shù)根，即可求解的值.【詳解】令，則，，，則，且，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，正確求解兩點(diǎn)的坐標(biāo).7.長(zhǎng)方體中，與平面所成角為，與所成的角為，則下列關(guān)系一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面角以及線線角的定義可得，即可由銳角三角函數(shù)表示結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由于平面，故,故由于的大小不確定，所以無法確定的大小，故的大小不確定，A錯(cuò)誤，由于,故，由于均為銳角，所以也是銳角，故，即.故選：D8.設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過拋物線C上的點(diǎn)P作C的切線交x軸于點(diǎn)M，若，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)Px0,y0，求出過點(diǎn)P拋物線C的切線方程，令，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式表示出，，由拋物線定義得到，在中，由余弦定理得，，代入化簡(jiǎn)，解方程可得，即可得到.【詳解】由已知，，設(shè)Px0,y由，即，則，所以過點(diǎn)P拋物線C的切線的斜率為，則切線方程為，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，又，則在中，由余弦定理得，，則，整理得，解得，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)Px0,y0，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式和拋物線定義，得到，，，在中，由余弦定理建立方程，解出，即可求得.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知無窮數(shù)列和的各項(xiàng)均為整數(shù)，和是非常數(shù)數(shù)列，且和中存在大小相等的項(xiàng)，則下列說法一定正確的是（）A.若和是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，如果所有相等的項(xiàng)不止一項(xiàng)，則這些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列B.若和{是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，如果所有相等的項(xiàng)不止一項(xiàng)，則這些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列C.若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則所有相等的項(xiàng)不止一項(xiàng)D.若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則所有相等的項(xiàng)可能只有一項(xiàng)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等差和等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解AB，舉例即可說明CD.【詳解】對(duì)于A，由于an，b若an，bn公共項(xiàng)的最小的一項(xiàng)記為于，且an，bn若的最小公倍數(shù)為，則均為an，bn的公共項(xiàng),且構(gòu)成等差，故A正確.對(duì)于B，由于an，b若an，bn公共項(xiàng)的最小的一項(xiàng)記為于，且an，bn則均為an，bn的公共項(xiàng)，且構(gòu)成等比，故B對(duì)于C，若，，則an，bn只有1項(xiàng)是公共項(xiàng)，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，若，由于，則an，bn公共項(xiàng)只有，故D正確故選：ABD10.如圖，造型為“∞”的曲線C稱為雙紐線，其對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿足到點(diǎn)和的距離之積為定值a，則（）A.點(diǎn)在曲線C上B.曲線C的方程為(C.曲線C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為D.若點(diǎn)在C上，則【答案】AC【解析】【分析】由已知得，設(shè)曲線與x軸正半軸相交于，可解得，則可判斷A；由C上的點(diǎn)滿足到點(diǎn)和的距離之積為定值a，可得方程，化簡(jiǎn)可判斷B；，由得，則可判斷C；由可得成立，則可判斷D.【詳解】由原點(diǎn)在曲線上得，選項(xiàng)A．設(shè)曲線與x軸正半軸相交于，則，解得，故A正確.選項(xiàng)B，設(shè)曲線C上任一點(diǎn)坐標(biāo)為，則，得，則，所以，即，故B錯(cuò)誤．選項(xiàng)C，由，得，由，得，所以，則，故C正確．選項(xiàng)D，由，得，故點(diǎn)C上時(shí)有成立，故D錯(cuò)誤．故選：AC.11.類比平面上的三角形是由三條線段首尾順次相接構(gòu)成的封閉圖形，我們把球面上三條大圓的劣弧首尾順次相接構(gòu)成的封閉圖形稱為球面三角形．如圖所示，分別連接球心與不在同一大圓上三點(diǎn)，定義球面的三個(gè)內(nèi)角分別為二面角的平面角．則下列說法正確的是（）A.若球的半徑為2，則B.存在球面三角形，使得C.若球的半徑為2，，那么球面三角形ABC的面積為D.若是銳角且，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解A，根據(jù)二面角的幾何角定義即可求解B，根據(jù)，可得球面三角形占半徑為2的球面的比例為，即可由球的表面積公式求解C，根據(jù)二面角的定義，結(jié)合弧長(zhǎng)公式即可求解D.【詳解】選項(xiàng)A，根據(jù)弧長(zhǎng)公式所以A正確；選項(xiàng)B，當(dāng)兩兩垂直時(shí)，此時(shí)二面角的平面角均為直角，根據(jù)定義得所以B正確；選項(xiàng)C，∵，所以球面三角形占半徑為2的球面的比例為根據(jù)球的面積公式，球面的面積為故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，如圖所示，連接，設(shè)所在平面為．作，連接．由三垂線定理可得,結(jié)合，，且都是銳角，，所以，所以D正確故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量的夾角為30°，且，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】，故答案為：13.的展開式中的系數(shù)為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征即可求解.【詳解】，故的系數(shù)為，故答案為：14.已知函數(shù)其中，當(dāng)兩函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)曲線存在2條公切線時(shí)則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，先求解兩曲線相切時(shí)的臨界情況時(shí)的值，利用相切和導(dǎo)數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，即可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】令則，令，則，由于函數(shù)互為反函數(shù)，故圖象關(guān)于對(duì)稱，因此只需要考慮兩曲線相切時(shí)的臨界情況，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，由故，即，所以，設(shè)，則，，故有，兩邊取對(duì)并移項(xiàng)，記函數(shù)，易知在1,+∞上單調(diào)遞增,因?yàn)?，所以，此時(shí)，所以的取值范圍是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)兩函數(shù)在相切的的臨界情況，設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，得，求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在平面四邊形中，（1）若與交于點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)；（2）求四邊形周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理可得，即可利用等面積法求解,進(jìn)而由勾股定理即可求解，（2）由基本不等式即可求解.【小問1詳解】中,由余弦定理得,所以因?yàn)?，，所以由可?,所以【小問2詳解】因?yàn)?所以,,故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故周長(zhǎng)的最大值為16.已知橢圓Γ經(jīng)過點(diǎn)A(1,32)，右焦點(diǎn)為F(1,0)（1）求橢圓Γ方程；（2）若直線l與Γ交于兩點(diǎn)，且直線與的斜率互為相反數(shù)，求的中點(diǎn)與的最小距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上以及焦點(diǎn)即可聯(lián)立方程求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，從而判斷在直線上，即可由點(diǎn)到直線距離公式求解.【小問1詳解】由已知解得所以橢圓方程為【小問2詳解】由于的斜率互化相反數(shù)，不妨設(shè)的斜率為，的斜率為.則的方程為，聯(lián)立，故，又，所以，進(jìn)而,用代入可得,所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為由于,所以在直線上，所以點(diǎn)與最小距離即是點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，17.如圖，直角梯形ACDE中，、M分別為AC、ED邊的中點(diǎn)，將△ABE沿BE邊折起到△A'BE的位置，N為邊A'C的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面A'BE；（2）當(dāng)三棱錐的體積為，且二面角為銳二面角時(shí)，求平面NBM與平面BEDC夾角的正切值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位線定理在平面中找到和直線平行的直線，利用直線和平面平行的判定定理即可證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件利用等體積法，進(jìn)而求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用平面的法向量計(jì)算平面的夾角的正切值.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，由題意知，，直角梯形中，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形，，平面，不在面內(nèi)，平面.【小問2詳解】連接，則，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，面，平面，，，，，為等邊三角形，則，設(shè)為平面的法向量，為平面的法向量，，令，令，設(shè)平面與平面的夾角為，由題可知為銳角，，平面與平面的夾角的正切值為.18.為抽查車輛文明駕駛情況，在某路口設(shè)有高清攝像頭，對(duì)經(jīng)過的車輛進(jìn)行抓拍．抓拍系統(tǒng)設(shè)定：經(jīng)過該路口的每一輛車被抓拍的概率均為但為保證抽查量，設(shè)定前2輛車經(jīng)過該路口都沒有被抓拍時(shí)，第3輛車必被抓拍．假設(shè)汽車依次通過該路口．（1）從某一時(shí)刻開始，記第n輛車經(jīng)過該路口時(shí)被抓拍的概率為求（2）當(dāng)任意連續(xù)有2輛車經(jīng)過該路口時(shí)，表示2輛車均未被抓拍的概率，表示第1輛車未被抓拍，且第2輛車被抓拍的概率，表示第1輛車被抓拍，且第2輛車未被抓拍的概率，表示2輛車均被抓拍的概率．①試用和表示②求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解.（2）根據(jù)全概率公式即可列出關(guān)系式，聯(lián)立即可求解，【小問1詳解】記事件“第輛車經(jīng)過路口時(shí)被抓拍”為則【小問2詳解】①由已知對(duì)應(yīng)事件“2兩輛車均未被抓拍”的前一狀態(tài)只能為所對(duì)應(yīng)事件，故，同樣可得②由全概率公式可得又，解得19.牛頓法(Newton'smethod)是牛頓在17世紀(jì)提出的一種用導(dǎo)數(shù)求方程近似解的方法，其過程如下：如圖，設(shè)r是的根，選取x．作為r的初始近似值，過點(diǎn)作曲線的切線L，L的方程為.如果，則L與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為，稱為r的一階近似值．再過點(diǎn)作曲線的切線，并求出切線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)記為，稱為r的二階近似值．重復(fù)以上過程，得r的近似值序列：，根據(jù)已有精確度，當(dāng)時(shí)，給出近似解．對(duì)于函數(shù)，已知.（1）若給定，求r的二階近似值；（2）設(shè)①試探求函數(shù)h(x)的最小值m與r的關(guān)系；②證明：.【答案】（1）；（2）①；②證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定方法，求出的導(dǎo)數(shù)，依次求出即可.（2）①求出函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最小值，結(jié)合求出m與r的關(guān)系；②由①的