江蘇省揚(yáng)州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期初學(xué)情調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合交集的運(yùn)算可得.【詳解】因，故，故選：C2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得：命題“，”的否定是“，”.故選：D.3.設(shè)集合，，若，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，可得或，分別確定，再進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】因?yàn)?，所?所以或.若，此時(shí)，，不成立，故不合題意；若，此時(shí)，，成立.故.故選：C4.已知a，b，c為實(shí)數(shù)，下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】通過不等式的性質(zhì)和特例可排除ACD，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷B的真假.【詳解】對(duì)A：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)?，所以，故成?故B正確；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，.故C錯(cuò)誤；對(duì)D：若，則.故D錯(cuò)誤.故選：B5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減且對(duì)任意滿足，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由對(duì)任意滿足得出的對(duì)稱軸為直線，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞減得出在上單調(diào)遞增，根據(jù)對(duì)稱性及單調(diào)性求解不等式即可．【詳解】因?yàn)閷?duì)任意滿足，所以的對(duì)稱軸為直線，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以，解得，故選：B．6.若不等式成立的充分條件是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分情況求不等式的解集，再根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)不等式的解集為，，因?yàn)椴坏仁匠闪⒌某浞謼l件是，，所以，所以，所以.由，所以.由可得.故選：D7.已知函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，可得，再結(jié)合基本不等式可求的最小值.【詳解】因?yàn)椋ǎ?當(dāng)時(shí)，f′x>0，所以在0,+∞又.由，所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：A8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A.1 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩邊求導(dǎo)得，再根據(jù)為奇函數(shù)得，由對(duì)稱性得出是周期為2的周期函數(shù)，即可求解．【詳解】由兩邊求導(dǎo)得，，即，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以關(guān)于中心對(duì)稱，所以，變形得，且，由，得，變形得，所以，則，所以是周期為2的周期函數(shù)，則，故選：A．二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.的一個(gè)必要不充分條件是B.若集合中只有一個(gè)元素，則C.若，使得成立是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為D.已知集合，則滿足條件的集合N的個(gè)數(shù)為4【答案】AD【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)及充分條件、必要條件的定義判斷A；舉例說明判斷B；求出的范圍判斷C；利用集合的包含關(guān)系判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，，得；反之若，而，不能判斷與的大小，因此的一個(gè)必要不充分條件是，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，集合只有一個(gè)元素，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，使得成立，即，成立，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，因此，由，使得成立是假命題，得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，由，得有4個(gè)子集，因此集合N的個(gè)數(shù)為4，D正確.故選：AD10.已知，，且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由基本不等式得，即可判斷A；由基本不等式得，即可判斷B；由基本不等式及指數(shù)運(yùn)算即可判斷C；根據(jù)基本不等式“1”的妙用，得出，即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D正確；故選：BCD．11.設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a取值范圍是B.若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是C.設(shè)函數(shù)的3個(gè)零點(diǎn)分別是，，（），則的取值范圍是D.任意實(shí)數(shù)a，函數(shù)在?1,1內(nèi)無最小值【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組求解即可判斷A；由函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，得當(dāng)時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，列出不等式組，求解即可判斷B；根據(jù)B的結(jié)論，結(jié)合韋達(dá)定理，函數(shù)單調(diào)性即可求得的范圍，即可判斷C；分類討論的值，求得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值與時(shí)的最小值比較，即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)，則，所以，故B正確；對(duì)于C，設(shè)函數(shù)的3個(gè)零點(diǎn)分別是，，（），由B知，，，令，解得，即，設(shè)，，得在上單調(diào)遞減，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為直線，①當(dāng)，即時(shí)，，無最小值；②當(dāng)，即時(shí)，，若有最小值，則，解得，與矛盾，故無最小值；綜上任意實(shí)數(shù)a，函數(shù)在內(nèi)無最小值，故D正確；故選：BCD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡中的橫線上．12.已知隨機(jī)變量，且，則的值為________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，即可求解.【詳解】由隨機(jī)變量，且，可得，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得.故答案為：.13.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為________（用“＜”連接）．【答案】【解析】【分析】通過比較和的大小關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)?，所以所以又因?yàn)?，所以所以，所以故答案為?4.若存在正實(shí)數(shù)x，使得不等式成立，則a的最大值為______．【答案】【解析】【分析】利用同構(gòu)法先把不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，再分離參數(shù)得，再求函數(shù)的最大值即可.【詳解】由，又，所以.設(shè)，則，所以在0,+∞上單調(diào)遞增.所以（）.設(shè)（），則，由；由.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以.因?yàn)榇嬖谡龑?shí)數(shù)x，使得不等式成立，所以.即的最大值為：.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，．（1）分別求，；（2）已知集合，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由指數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解集合，再根據(jù)集合間的運(yùn)算求解即可；（2）分類討論，當(dāng)和兩種情況，根據(jù)，即可求解．【小問1詳解】∵，，∴，∴，∴．【小問2詳解】因?yàn)榧?，，?dāng)時(shí)，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，則，即，綜上所述，．16.已知函數(shù)．（1）若不等式的解集為，求的表達(dá)式；（2）解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由不等式的解集為，得出1，2是方程的根且，代入求解即可；（2）分類討論，當(dāng)，，，，，結(jié)合一元一次不等式及一元二次不等式的解法求解即可．【小問1詳解】∵的解集為，∴1，2是方程的根且，∴，∴，∴．小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴；當(dāng)時(shí)，，即，即，當(dāng)時(shí)，，∴或；當(dāng)時(shí)，，（?。┊?dāng)時(shí)，無解；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，；綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．17.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，富裕起來的人們健康意識(shí)日益提升，越來越多的人走向公園、場(chǎng)館，投入健身運(yùn)動(dòng)中，成為一道美麗的運(yùn)動(dòng)風(fēng)景線，某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取500人進(jìn)行調(diào)查，得到如下表的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：周平均鍛煉時(shí)間少于6小時(shí)周平均鍛煉時(shí)間不少于6小時(shí)合計(jì)60歲以下8012020060歲以上（含60）60240300合計(jì)140360500（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)聯(lián)？（2）現(xiàn)從60歲以上（含60）的樣本中按周平均鍛煉時(shí)間是否少于6小時(shí)，用分層隨機(jī)抽樣法抽取10人做進(jìn)一步訪談，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人填寫調(diào)查問卷，記抽取3人中周平均鍛煉時(shí)間不少于6小時(shí)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．α0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】（1）能認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)聯(lián)（2）分布列見解析；期望為【解析】【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)結(jié)合所給公式計(jì)算，再與標(biāo)準(zhǔn)表中對(duì)比即可得到結(jié)果；（2）結(jié)合題意列出X所有可能的取值，分別計(jì)算其概率，列出分布列，再由期望公式求出期望即可；【小問1詳解】提出假設(shè)：周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡無關(guān)聯(lián)，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)聯(lián)；【小問2詳解】抽取的10人中，周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)少于6小時(shí)的有（人），不少于6小時(shí)的有（人），則X所有可能的取值為1，2，3，所以，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為：X123P所以數(shù)學(xué)期望．18如圖，四棱錐中，底面，，，．（1）若，證明：平面；（2）若，且二面角的正弦值為，求．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意推出，再由線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間角的向量求法，列式計(jì)算，可得.答案小問1詳解】因?yàn)槠矫?，而平面，所以，又，，平面，所以，而平面，所以．因?yàn)?，所以，又平面，故，又平面，平面，所以平面．【小?詳解】以，為，軸，過點(diǎn)作平面垂直的線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：令，則，，，，，，設(shè)平面的法向量n1=x1設(shè)，則，，所以，設(shè)平面CPD的法向量為，所以，設(shè)，則，，所以，因?yàn)槎娼茿-CP-D的正弦值為，則余弦值為，又二面角為銳角，所以，解得，所以19.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上的“一階有界函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)和是否為R上的“一階有界函數(shù)”，并說明理由：（2）若函數(shù)為R上的“一階有界函數(shù)”，且在R上單調(diào)遞減，設(shè)A，B為函數(shù)圖象上相異的兩點(diǎn)，直線的斜率為k，試判斷“”是否正確，并說明理由；（3）若函數(shù)為區(qū)間上的“一階有界函數(shù)”，求a的取值范圍．【答案】（1）是R上的“一階有界函數(shù)”；理由見解析（2）正確，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)“一階有界函數(shù)”的定義即可判斷選項(xiàng)；（2）根據(jù)函數(shù)為上的“一階有界函數(shù)”，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)遞增的式子，化簡(jiǎn)判斷；（3）根據(jù)函數(shù)為區(qū)間上的“一階有界函數(shù)”，求得．構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得最小值從而求得．【小問1詳解】，在R上恒成立，故是R上的“一階有界函數(shù)”；，，當(dāng)時(shí)，，故不是R上的“一階有界函