人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二十八章：銳角三角函數(shù)(全章教案)

第二十八章銳角三角函數(shù)教材簡(jiǎn)析本章的內(nèi)容主要包括：銳角三角函數(shù)的概念；30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；利用計(jì)算器求任意銳角的三角函數(shù)值及根據(jù)三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角；利用銳角三角函數(shù)解直角三角形及三角函數(shù)的應(yīng)用．在學(xué)生掌握了直角三角形邊、角之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上，引入了銳角三角函數(shù)的概念，進(jìn)而學(xué)習(xí)解直角三角形，是中學(xué)幾何的重點(diǎn)與難點(diǎn)．本章是中考的必考內(nèi)容，主要考查特殊銳角三角函數(shù)值的計(jì)算和解直角三角形及其應(yīng)用．教學(xué)指導(dǎo)【本章重點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的概念和直角三角形的解法．【本章難點(diǎn)】綜合運(yùn)用直角三角形的邊邊關(guān)系、邊角關(guān)系來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．【本章思想方法】1．體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想．如：在理解和應(yīng)用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，即需根據(jù)實(shí)際問(wèn)題畫(huà)出幾何圖形，并根據(jù)圖形尋找直角三角形中邊、角之間的關(guān)系．2．體會(huì)轉(zhuǎn)化思想．如：(1)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題：把實(shí)際問(wèn)題的情境轉(zhuǎn)化為幾何圖形；把題中的已知條件轉(zhuǎn)化為示意圖中的邊、角或它們之間的關(guān)系．(2)把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題，如果示意圖不是直角三角形，需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造出直角三角形．3．體會(huì)方程思想．如：在解決直角三角形的實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常設(shè)出未知數(shù)來(lái)表示某一個(gè)量，并利用直角三角形的邊、角關(guān)系建立方程，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程的解．課時(shí)計(jì)劃28．1銳角三角函數(shù)4課時(shí)28．2解直角三角形及其應(yīng)用3課時(shí)

28．1銳角三角函數(shù)第1課時(shí)正弦教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)【知識(shí)與技能】1．利用相似的直角三角形，探索直角三角形的銳角確定時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是固定值，從而引出正弦的概念．2．理解銳角的正弦的概念，并能根據(jù)正弦的概念進(jìn)行計(jì)算．【過(guò)程與方法】通過(guò)探究銳角的正弦的概念的形成，體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的歸納、推理能力．【情感態(tài)度與價(jià)值觀】讓學(xué)生在通過(guò)探索、分析、論證、總結(jié)獲取新知識(shí)的過(guò)程中體驗(yàn)成功的快樂(lè)，感悟數(shù)學(xué)的實(shí)用性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】理解正弦的意義，會(huì)求銳角的正弦值．【教學(xué)難點(diǎn)】理解直角三角形的銳角確定時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是固定值．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【5min閱讀】閱讀教材P61～P63的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半.2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，∠A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，即sinA＝eq\f(a,c).3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a＝3，b＝4，則sinB＝eq\f(4,5).環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)要求sinA和sinB的值，需要分別找出∠A、∠B的對(duì)邊和斜邊的比．【解答】詳細(xì)解答過(guò)程見(jiàn)教材P63例1.【例2】已知等腰三角形的一腰長(zhǎng)為25cm，底邊長(zhǎng)為30cm，求底角的正弦值．【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)轉(zhuǎn)化法：將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何示意圖，再作出輔助線構(gòu)造出直角三角形求解．【解答】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D.∵AB＝AC＝25cm，BC＝30cm，AD為底邊上的高，∴BD＝eq\f(1,2)BC＝15cm，∴在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝eq\r(AB2－BD2)＝20cm，∴sin∠ABC＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(20,25)＝eq\f(4,5).即底角的正弦值為eq\f(4,5).【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))求三角函數(shù)值一定要在直角三角形中求，當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高構(gòu)造直角三角形解答．活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．如圖，sinA等于(C)A．2 B．eq\f(\r(5),5)C.eq\f(1,2) D．eq\r(5)2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝eq\f(2,3)，則AB的長(zhǎng)為(B)A.eq\f(8,3) B．6C．12 D．83．如圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinB的值為eq\f(\r(2),2).4．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，若AD＝9，DC＝5，E為AC的中點(diǎn)，求sin∠EDC的值．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∵AD＝9，DC＝5，∴AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝eq\r(92＋52)＝eq\r(106).∵E為AC的中點(diǎn)，∴DE＝AE＝EC＝eq\f(1,2)AC，∴∠EDC＝∠C，∴sin∠EDC＝sinC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(9,\r(106))＝eq\f(9\r(106),106).活動(dòng)3拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué))【例3】如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，求sin∠ABD的值．【互動(dòng)探索】首先根據(jù)垂徑定理得出∠ABD＝∠ABC，然后由直徑所對(duì)的圓周角是直角，得出∠ACB＝90°，從而由勾股定理算出斜邊AB的長(zhǎng)，再根據(jù)正弦的定義求出sin∠ABC的值，進(jìn)而得出sin∠ABD的值．【解答】∵AB是⊙O的直徑，CD是弦，且CD⊥AB，∴eq\o\ac(AC,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(AD,\s\up10(︵))，∴∠ABD＝∠ABC.∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝eq\r(BC2＋AC2)＝10，∴sin∠ABD＝sin∠ABC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(4,5).【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))求三角函數(shù)值時(shí)必須在直角三角形中．在圓中，由直徑所對(duì)的圓周角是直角可構(gòu)造出直角三角形．環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))1．如圖，sinA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,斜邊).2．求一個(gè)銳角的正弦值一定要放到直角三角形中，若沒(méi)有直角三角形，可通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形．練習(xí)設(shè)計(jì)請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！

第2課時(shí)銳角三角函數(shù)教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)【知識(shí)與技能】1．掌握余弦、正切的定義．2．了解銳角∠A的三角函數(shù)的定義．3．能運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值．【過(guò)程與方法】通過(guò)銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)，體會(huì)函數(shù)的變化與對(duì)應(yīng)的思想，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力．【情感態(tài)度與價(jià)值觀】通過(guò)觀察、思考、交流、總結(jié)等數(shù)學(xué)活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿著探索與發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生積極思考，勇于探索的精神．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】余弦、正切的概念，并會(huì)求指定銳角的余弦值、正切值．【教學(xué)難點(diǎn)】利用銳角三角函數(shù)的定義解決有關(guān)問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【5min閱讀】閱讀教材P64～P65的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c.(1)∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，即cosA＝eq\f(b,c)；(2)∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，即tanA＝eq\f(a,b).2．銳角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的銳角三角函數(shù).3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a＝3，b＝4，則cosB＝eq\f(3,5)，tanB＝eq\f(4,3).環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA.【溫馨提示】詳細(xì)解答過(guò)程見(jiàn)教材P65例2.【例2】如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝eq\f(3,4)，求cosC的值．【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)觀察圖形，cosC＝eq\f(DC,AC)，所以需要通過(guò)tan∠BAD＝eq\f(3,4)和已知條件求出DC、AC的長(zhǎng)度，再代入求值．【解答】∵在Rt△ABD中，tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(3,4)，∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×eq\f(3,4)＝9，∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(122＋52)＝13，∴cosC＝eq\f(DC,AC)＝eq\f(5,13).【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))在不同的直角三角形中，要根據(jù)三角函數(shù)的定義分清它們的邊角關(guān)系，再根據(jù)勾股定理解答．活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，則cosA＝(C)A.eq\f(5,13) B．eq\f(5,12)C.eq\f(12,13) D．eq\f(12,5)2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq\f(4,3)，BC＝8，則AC等于(A)A．6 B．eq\f(32,3)C．10 D．123．如圖所示，將∠AOB放在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，則tan∠AOB＝eq\f(1,2).4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC邊上一點(diǎn)，AC＝2，CD＝1，設(shè)∠CAD＝α.(1)求sinα、cosα、tanα的值；(2)若∠B＝∠CAD，求BD的長(zhǎng)．解：在Rt△ACD中，∵AC＝2，DC＝1，∴AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝eq\r(5).(1)sinα＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(AC,AD)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，tanα＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(1,2).(2)在Rt△ABC中，∵tanB＝eq\f(AC,BC)，而∠B＝∠CAD，∴tanα＝eq\f(2,BC)＝eq\f(1,2)，∴BC＝4，∴BD＝BC－CD＝4－1＝3.活動(dòng)3拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué))【例3】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)三角函數(shù)定義嘗試說(shuō)明：(1)sin2A＋cos2A＝1；(2)sinA＝cosB；(3)tanA＝eq\f(sinA,cosA).【互動(dòng)探索】用定義表示出sinA、cosA、cosB、tanA→計(jì)算等式的左邊與右邊→得出結(jié)論．【證明】(1)由勾股定理，得a2＋b2＝c2，而sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，∴sin2A＋cos2A＝eq\f(a2,c2)＋eq\f(b2,c2)＝eq\f(c2,c2)＝1.(2)∵sinA＝eq\f(a,c)，cosB＝eq\f(a,c)，∴sinA＝cosB.(3)∵tanA＝eq\f(a,b)，eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\f(a,c),\f(b,c))＝eq\f(a,b)，∴tanA＝eq\f(sinA,cosA).【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．題目中的三個(gè)結(jié)論應(yīng)熟記．環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))銳角三角函數(shù)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正弦→對(duì)比斜,余弦→鄰比斜,正切→對(duì)比鄰))練習(xí)設(shè)計(jì)請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！

第3課時(shí)特殊角的三角函數(shù)值教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)【知識(shí)與技能】1．掌握30°，45°，60°角的三角函數(shù)值，能夠用它們進(jìn)行計(jì)算．2．能夠根據(jù)30°，45°，60°角的三角函數(shù)值說(shuō)出相應(yīng)銳角的大?。具^(guò)程與方法】1．通過(guò)探索特殊角的三角函數(shù)值的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)的能力．2．通過(guò)推導(dǎo)特殊角的三角函數(shù)值，了解知識(shí)間的聯(lián)系，提升綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．【情感態(tài)度與價(jià)值觀】在探索特殊角的三角函數(shù)值中，學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問(wèn)題的能力．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】根據(jù)30°，45°，60°角的三角函數(shù)值進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．【教學(xué)難點(diǎn)】正確理解與記憶30°，45°，60°角的三角函數(shù)值．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【5min閱讀】閱讀教材P65～P67的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．sin30°＝eq\f(1,2)，cos30°＝eq\f(\r(3),2)，tan30°＝eq\f(\r(3),3).2．sin60°＝eq\f(\r(3),2)，cos60°＝eq\f(1,2)，tan60°＝eq\r(3).3．sin45°＝eq\f(\r(2),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)，tan45°＝1.環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))【例1】求下列各式的值：(1)cos260°＋sin260°；(2)eq\f(cos45°,sin45°)－tan45°.【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)熟記特殊角的三角函數(shù)值→代入算式求值．【解答】(1)cos260°＋sin260°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝1.(2)eq\f(cos45°,sin45°)－tan45°＝eq\f(\r(2),2)÷eq\f(\r(2),2)－1＝0.【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))特殊角的三角函數(shù)值必須熟練記憶，既能由角得值，又能由值得角，記憶這個(gè)結(jié)果，可以結(jié)合直角三角形三邊的大小關(guān)系，也可以結(jié)合數(shù)值的特征，30°，45°，60°的正弦值分母都是2，分子分別為eq\r(1)，eq\r(2)，eq\r(3)，而它們的余弦值分母都是2，分子正好相反，分別為eq\r(3)，eq\r(2)，eq\r(1)；其正切值分別為1÷eq\r(3)，1,1×eq\r(3).【例2】數(shù)學(xué)拓展課程《玩轉(zhuǎn)學(xué)具》課堂中，小陸同學(xué)發(fā)現(xiàn)：一副三角板中，含45°的三角板的斜邊與含30°的三角板的長(zhǎng)直角邊相等，于是，小陸同學(xué)提出一個(gè)問(wèn)題：如圖，將一副三角板直角頂點(diǎn)重合拼放在一起，點(diǎn)B、C、E在同一直線上，若BC＝2，求AF的長(zhǎng)．請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決這個(gè)問(wèn)題．【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)根據(jù)正切的定義求出AC→根據(jù)正弦的定義求出CF→AF＝AC－FC.【解答】在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝eq\f(BC,tanA)＝2eq\r(3)，∴EF＝AC＝2eq\r(3).∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sinE＝eq\r(6)，∴AF＝AC－FC＝2eq\r(3)－eq\r(6).【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的概念、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．若eq\r(3)tan(α＋10°)＝1，則銳角α的度數(shù)是(A)A．20° B．30°C．40° D．50°2．若∠A為銳角，且tan2A＋2tanA－3＝0，則∠A＝45度．3．計(jì)算．(1)2sin30°－eq\r(2)cos45°；(2)tan30°－sin60°·sin30°；(3)eq\r(1－3tan30°2).解：(1)0.(2)eq\f(\r(3),12).(3)eq\r(3)－1.4．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是邊AB上一點(diǎn)，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的長(zhǎng)．解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD為等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，∵tanA＝tan30°＝eq\f(BC,AB)，∴eq\f(BC,BC＋4)＝eq\f(\r(3),3)，解得BC＝2(eq\r(3)＋1)．活動(dòng)3拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué))【例3】已知△ABC中的∠A與∠B滿足(1－tanA)2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinB－\f(\r(3),2)))＝0，試判斷△ABC的形狀．【互動(dòng)探索】根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求出tanA及sinB的值→根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A及∠B的度數(shù)→判斷△ABC的形狀．【解答】∵(1－tanA)2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinB－\f(\r(3),2)))＝0，∴1－tanA＝0，sinB－eq\f(\r(3),2)＝0，∴tanA＝1，sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是銳角三角形．【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值和偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對(duì)值或偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0.環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))特殊角的三角函數(shù)值：30°45°60°sinαeq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)cosαeq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)tanαeq\f(\r(3),3)1eq\r(3)練習(xí)設(shè)計(jì)請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！

第4課時(shí)用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值及銳角教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)【知識(shí)與技能】1．能利用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值．2．已知銳角三角函數(shù)值，能用計(jì)算器求相應(yīng)的銳角．3．能用計(jì)算器輔助解決含三角函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題．【過(guò)程與方法】使用計(jì)算器可以解決部分復(fù)雜問(wèn)題，通過(guò)求值探討三角函數(shù)問(wèn)題的某些規(guī)律，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力．【情感態(tài)度與價(jià)值觀】通過(guò)計(jì)算器的使用，了解科學(xué)在人們?nèi)粘Ｉ钪械闹匾饔茫?lì)學(xué)生熱愛(ài)科學(xué)、學(xué)好文化知識(shí)．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】運(yùn)用計(jì)算器處理三角函數(shù)中的值或角的問(wèn)題．【教學(xué)難點(diǎn)】用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值時(shí)的按鍵順序．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【5min閱讀】閱讀教材P67～P68的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．用計(jì)算器求sin24°37′18″的值，以下按鍵順序正確的是(A)A.eq\x(sin)eq\x(2)eq\x(4)eq\x(°′″)eq\x(3)eq\x(7)eq\x(°′″)eq\x(1)eq\x(8)eq\x(°′″)eq\x(＝)B.eq\x(2)eq\x(4)eq\x(°′″)eq\x(3)eq\x(7)eq\x(°′″)eq\x(1)eq\x(8)eq\x(°′″)eq\x(sin)eq\x(＝)C.eq\x(2ndF)eq\x(sin)eq\x(2)eq\x(4)eq\x(°′″)eq\x(3)eq\x(7)eq\x(°′″)eq\x(1)eq\x(8)eq\x(°′″)eq\x(＝)D.eq\x(sin)eq\x(2)eq\x(4)eq\x(°′″)eq\x(3)eq\x(7)eq\x(°′″)eq\x(1)eq\x(8)eq\x(°′″)eq\x(2ndF)eq\x(＝)2．使用計(jì)算器求下列三角函數(shù)值．(精確到0.0001)(1)sin24°≈0.4067；(2)cos35°≈0.8192；(3)tan46°≈1.0355.環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))【例1】按要求解決問(wèn)題：(1)求sin63°52′41″的值；(精確到0.0001)(2)求tan19°15′的值；(精確到0.0001)(3)已知tanx＝0.7410，求銳角的值．(精確到1′)【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)熟悉用科學(xué)計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值的操作流程．【解答】(1)在角度單位狀態(tài)設(shè)定為“度”，再按下列順序依次按鍵：eq\x(sin)eq\x(6)eq\x(3)eq\x(°′′′)eq\x(5)eq\x(2)eq\x(°′′′)eq\x(4)eq\x(1)eq\x(°′′′)eq\x(＝)顯示結(jié)果為0.897859012.所以sin63°52′41″≈0.8979.(2)在角度單位狀態(tài)設(shè)定為“度”，再按下列順序依次按鍵：eq\x(tan)eq\x(1)eq\x(9)eq\x(°′′′)eq\x(1)eq\x(5)eq\x(°′′′)eq\x(＝)顯示結(jié)果為0.3492156334.所以tan19°15′≈0.3492.(3)在角度單位狀態(tài)設(shè)定為“度”，再按下列順序依次按鍵：eq\x(SHIFT)eq\x(tan)eq\x(0)eq\x(.)eq\x(7)eq\x(4)eq\x(1)eq\x(0)eq\x(＝)顯示結(jié)果為36.53844577.再按eq\x(°′′′)，顯示結(jié)果為36°32′18.4″.所以x≈36°32′.【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))不同計(jì)算器的按鍵順序是不同的，大體分兩種情況：先按三角函數(shù)鍵，再按數(shù)字鍵；或先輸入數(shù)字后，再按三角函數(shù)鍵，因此使用計(jì)算器時(shí)一定先要弄清輸入順序．【例2】如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求：(1)AB邊上的高(精確到0.01)；(2)∠B的度數(shù)(精確到1′)．【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)觀察圖形→作輔助線→利用相似銳角三角函數(shù)解直角三角形．【解答】(1)作AB邊上的高CH，垂足為H.∵在Rt△ACH中，sinA＝eq\f(CH,AC)，∴CH＝AC·sinA＝9sin48°≈6.69.(2)∵在Rt△ACH中，cosA＝eq\f(AH,AC)，∴AH＝AC·cosA＝9cos48°，∴在Rt△BCH中，tanB＝eq\f(CH,BH)＝eq\f(CH,AB－AH)＝eq\f(9sin48°,8－9cos48°)，∴∠B≈73°32′.【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))利用三角函數(shù)求非直角三角形的邊或角，一般情況下要構(gòu)造直角三角形．活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科學(xué)計(jì)算器求∠A的度數(shù)，并用“度、分、秒”為單位表示出這個(gè)度數(shù)，則下列按鍵順序正確的是()A.eq\x(tan)eq\x(2)eq\x(÷)eq\x(3)eq\x(＝)B.eq\x(tan)eq\x(2)eq\x(÷)eq\x(3)eq\x(DMS)eq\x(＝)C.eq\x(2ndF)eq\x(tan)eq\x()eq\x(2)eq\x(÷)eq\x(3)eq\x()eq\x(＝)D.eq\x(2ndF)eq\x(tan)eq\x()eq\x(2)eq\x(÷)eq\x(3)eq\x()eq\x(DMS)eq\x(＝)2．用計(jì)算器求下列銳角的三角函數(shù)值．(精確到0.0001)(1)tan63°27′；(2)cos18°59′27″；(3)sin67°38′24″；(4)tan24°19′48″.解：(1)2.0013.(2)0.9456.(3)0.9248.(4)0.4521.3．根據(jù)下列條件求銳角A的度數(shù)．(精確到1″)(1)cosA＝0.6753；(2)tanA＝87.54；(3)sinA＝0.4553；(4)sinA＝0.6725.解：(1)47°31′21″.(2)89°20′44″.(3)27°5′3″.(4)42°15′37″.環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))eq\a\vs4\al(用計(jì)算器求銳,角三角函數(shù)值)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(求已知角的三角函數(shù)值,由銳角三角函數(shù)值求銳角))練習(xí)設(shè)計(jì)請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！

28．2解直角三角形及其應(yīng)用28．2.1解直角三角形(第1課時(shí))教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)【知識(shí)與技能】1．了解什么叫解直角三角形．2．掌握解直角三角形的根據(jù)．3．能由已知條件解直角三角形．【過(guò)程與方法】在探索解直角三角形的過(guò)程中，滲透數(shù)形結(jié)合思想．【情感態(tài)度與價(jià)值觀】在探究活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中感受成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】解直角三角形的方法．【教學(xué)難點(diǎn)】會(huì)將求非直角三角形中的邊角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【5min閱讀】閱讀教材P72～P73的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．任何一個(gè)三角形都有六個(gè)元素，三條邊、三個(gè)角，在直角三角形中，已知有一個(gè)角是直角，我們把利用已知的元素求出未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形.2．在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c.(1)兩銳角互余，即∠A＋∠B＝90°；(2)三邊滿足勾股定理，即a2＋b2＝c2；(3)邊與角關(guān)系sinA＝cosB＝eq\f(a,c)，cosA＝sinB＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b)，tanB＝eq\f(b,a).3．Rt△ABC中，若∠C＝90°，sinA＝eq\f(4,5)，AB＝10，那么BC＝8，tanB＝eq\f(3,4).環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))【例1】見(jiàn)教材P73例1.【例2】見(jiàn)教材P73例2.活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，如果a2＋b2＝c2，那么下列結(jié)論正確的是(A)A．csinA＝a B．bcosB＝cC．a(chǎn)tanA＝b D．ctanB＝b2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，則AB的長(zhǎng)為4eq\r(3).3．根據(jù)下列條件解直角三角形．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，c＝8；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝12.解：(1)a＝4eq\r(3)，∠B＝30°，∠A＝60°.(2)∠B＝30°，b＝4eq\r(3)，c＝8eq\r(3).活動(dòng)3拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué))【例3】一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12eq\r(2)，試求CD的長(zhǎng)．【互動(dòng)探索】過(guò)點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，求出BM與CM的長(zhǎng)度，在△EFD中求出∠EDF＝60°，再解直角三角形即可．【解答】如題圖，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M.在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12eq\r(2)，∴BC＝AC＝12eq\r(2).∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠CBA＝45°，∴BM＝BCsin45°＝12eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝eq\f(BM,tan60°)＝4eq\r(3)，∴CD＝CM－MD＝12－4eq\r(3).【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，然后利用所學(xué)的三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答．環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))練習(xí)設(shè)計(jì)請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！

28．2.2應(yīng)用舉例第2課時(shí)利用仰角、俯角解直角三角形教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)【知識(shí)與技能】1．能將直角三角形的知識(shí)與圓的知識(shí)結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題．2．了解仰角、俯角等有關(guān)概念，會(huì)利用解直角三角形的知識(shí)解決有關(guān)仰角和俯角的實(shí)際問(wèn)題．【過(guò)程與方法】通過(guò)探索用解直角三角形知識(shí)解決仰角、俯角等有關(guān)問(wèn)題，經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究過(guò)程，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．【情感態(tài)度與價(jià)值觀】通過(guò)探索三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又應(yīng)用于生活以及勇于探索的創(chuàng)新精神．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】利用解直角三角形解決有關(guān)仰角、俯角的實(shí)際問(wèn)題．【教學(xué)難點(diǎn)】建立合適的三角形模型，解決實(shí)際問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【5min閱讀】閱讀教材P74～P75的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下往上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.2．如圖所示，在建筑物AB的底部a米遠(yuǎn)的C處，測(cè)得建筑物的頂端點(diǎn)A的仰角為α，則建筑物AB的高可表示為atanα米．環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))【例1】2012年6月18日，“神舟”九號(hào)載人航天飛船與“天宮”一號(hào)目標(biāo)飛行器成功實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接．“神舟”九號(hào)與“天宮”一號(hào)的組合體在離地球表面343km的圓形軌道上運(yùn)行，如圖所示，當(dāng)組合體運(yùn)行到地球表面點(diǎn)P的正上方時(shí)，從中能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)在什么位置？最遠(yuǎn)點(diǎn)與點(diǎn)P的距離是多少？(地球半徑約為6400km，π取3.142，結(jié)果取整數(shù))【溫馨提示】詳細(xì)分析與解答見(jiàn)教材P74例3.【例2】如圖，熱氣球探測(cè)器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為30°，看這棟樓底部C處的俯角為60°，熱氣球與樓的水平距離為120m，這棟樓有多高(結(jié)果取整數(shù))?【溫馨提示】詳細(xì)分析與解答見(jiàn)教材P75例4.活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))如圖，為了測(cè)量河的寬度AB，測(cè)量人員在高21m的建筑物CD的頂端D處測(cè)得河岸B處的俯角為45°，測(cè)得河對(duì)岸A處的俯角為30°(A、B、C在同一條直線上)，則河的寬度AB約是多少？(精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)解：由題易知，∠DAC＝∠EDA＝30°.∵在Rt△ACD中，CD＝21m，∴AC＝eq\f(CD,tan30°)＝eq\f(21,\f(\r(3),3))＝21eq\r(3)(m)．∵在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21m，∴AB＝AC－BC＝21eq\r(3)－21≈15.3(m)．即河的寬度AB約是15.3m.活動(dòng)3拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué))【例3】如圖，某大樓頂部有一旗桿AB，甲、乙兩人分別在相距6米的C、D兩處測(cè)得點(diǎn)B和點(diǎn)A的仰角分別是42°和65°，且C、D、E在一條直線上．如果DE＝15米，求旗桿AB的長(zhǎng)大約是多少米？(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，tan42°≈0.9，sin65°≈0.91，tan65°≈2.1)【互動(dòng)探索】要求AB，先求出AE與BE→解直角三角形：Rt△ADE、Rt△BCE.【解答】在Rt△ADE中，∵∠ADE＝65°，DE＝15米，∴tan∠ADE＝eq\f(AE,DE)，即tan65°＝eq\f(AE,15)≈2.1，解得AE≈31.5米．在Rt△BCE中，∵∠BCE＝42°，CE＝CD＋DE＝6＋15＝21(米)，∴tan∠BCE＝eq\f(BE,CE)，即tan42°＝eq\f(BE,21)≈0.9，解得BE≈18.9米．∴AB＝AE－BE＝31.5－18.9≈13(米)．即旗桿AB的長(zhǎng)大約是13米．【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，再解Rt△ADE、Rt△BCE，利用AB＝AE－BE即可求出答案．環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))練習(xí)設(shè)計(jì)請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！

第3課時(shí)利用坡度、方向角解直角三角形教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)【知識(shí)與技能】1．能運(yùn)用解直角三角形解決航行問(wèn)題．2．能運(yùn)用解直角三角形解決斜坡問(wèn)題．3．理解坡度i＝eq\f(坡面的鉛直高度,坡面的水平寬度)＝坡角的正切值．【過(guò)程與方法】1．通過(guò)探究從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．2．通過(guò)將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形中元素之間的關(guān)系，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【情感態(tài)度與價(jià)值觀】在運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程中，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)具有抽象、嚴(yán)謹(jǐn)和應(yīng)用廣泛的特點(diǎn)，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)解決方向角、坡度、坡角等有關(guān)問(wèn)題．【教學(xué)難點(diǎn)】準(zhǔn)確分析問(wèn)題并將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【5min閱讀】閱讀教材P76～P77的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】(一)方向角1．方向角是以觀察點(diǎn)為中心(方向角的頂點(diǎn))，以正北或正南為始邊，旋轉(zhuǎn)到觀察目標(biāo)的方向線所成的銳角，方向角也稱(chēng)象限角．2．如圖，我們說(shuō)點(diǎn)A在O的北偏東30°方向上，點(diǎn)B在點(diǎn)O的南偏西45°方向上，或者點(diǎn)B在點(diǎn)O的西南方向．(二)坡度、坡角1．坡度通常寫(xiě)成1∶m的形式．坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，有i＝eq\f(h,l)＝tanα.2．一斜坡的坡角為30°，則它的坡度為1∶eq\r(3).(三)利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程1．將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題(畫(huà)出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，也就是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型)；2．根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)，運(yùn)用解直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解直角三角形；3．得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；4．得到實(shí)際問(wèn)題的答案．環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))(一)解直角三角形，解決航海問(wèn)題【例1】如圖，海中一小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁，今有貨輪由西向東航行，開(kāi)始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后到達(dá)該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)向東航行，你認(rèn)為貨輪向東航行的途中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)構(gòu)造直角三角形→解直角三角形求出AD的長(zhǎng)并與10海里比較→得出結(jié)論．【解答】如題圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)，∴BD＝AD·tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，∴CD＝AD·tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°，∴AD＝eq\f(20,tan55°－tan25°)≈20.79(海里)．而20.79海里>10海里，∴輪船繼續(xù)向東行駛，不會(huì)遇到觸礁危險(xiǎn)．【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))解決本題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題，通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問(wèn)題轉(zhuǎn)化到這個(gè)直角三角形中解決．應(yīng)先求出點(diǎn)A距BC的最近距離，若大于10海里則無(wú)危險(xiǎn)，若小于或等于10海里則有危險(xiǎn)．(二)解直角三角形，解決坡度、坡角問(wèn)題【例2】如圖，鐵路路基的橫斷面是四邊形ABCD，AD∥BC，路基頂寬BC＝9.8m，路基高BE＝5.8m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.6，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求鐵路路基下底寬AD的值(精確到0.1m)與斜坡的坡角α和β的值(精確到1°)．【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)