2023-2024學(xué)年遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗.故選：.2.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，即，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：.3.已知是可導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)于恒成立，則（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，即，整理得，，即，整理得，故選：D．4.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，，則的值為（）A.50 B.70 C.90 D.110〖答案〗B〖解析〗由等比數(shù)列的片段和性質(zhì)得，，成等比數(shù)列所以所以，解得.故選：B.5.已知某種零件的尺寸（單位：）在內(nèi)的為合格品．某企業(yè)生產(chǎn)的該種零件的尺寸服從正態(tài)分布，且，則估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的2000個(gè)該種零件中合格品的個(gè)數(shù)為（）A.1700 B.1600 C.1400 D.600〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，且，所以該企業(yè)生產(chǎn)的該種零件合格的概率，所以估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的2000個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)為，故選：C．6.一袋中裝有10個(gè)球，其中3個(gè)黑球、7個(gè)白球，從中先后隨意各取一球(不放回)，則第二次取到是黑球的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，可得，則.故選：B.7.在某次美術(shù)專業(yè)測(cè)試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)的概率分別是0.6，0.8和0.5，且三人的測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立，則測(cè)試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級(jí)的前提條件下，乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級(jí)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)分別為事件、、，則，且，，相互獨(dú)立，設(shè)甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級(jí)為事件，則，設(shè)乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級(jí)為事件，則，所以.故選：B.8.已知數(shù)列滿足，對(duì)任意都有，且對(duì)任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閷?duì)任意都有，所以數(shù)列在上是遞減數(shù)列，因?yàn)閷?duì)任意都有，所以數(shù)列在上是遞增數(shù)列，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，錯(cuò)選得0分.）9.下列結(jié)論正確的是（）A.標(biāo)準(zhǔn)差越大，則反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度越小.B.在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，則預(yù)報(bào)變量減少0.8個(gè)單位C.在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說(shuō)明模型的擬合程度越好.D.對(duì)分類變量和來(lái)說(shuō)，它們的隨機(jī)變量的觀測(cè)值越大，“與有關(guān)系”的把握程度越小〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于，標(biāo)準(zhǔn)差越大，則反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度越大，故不正確；對(duì)于，在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，則預(yù)報(bào)變量減少0.8個(gè)單位，故正確；對(duì)于，在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說(shuō)明模型的擬合程度越好，故正確；對(duì)于，對(duì)分類變量和來(lái)說(shuō)，它們的隨機(jī)變量的觀測(cè)值越大，“與有關(guān)系”的把握程度越大，故不正確.故選：.10.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，，則（）A.數(shù)列的公差小于0B.C.的最小值是D.使成立的的最小值是4045〖答案〗BD〖解析〗在等差數(shù)列中，由，得，即，因此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，公差大于0，A錯(cuò)誤；又，即，整理得，因此，，的最小值是，B正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以使成立的n的最小值是4045，D正確.故選：BD11.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，記n次傳球后球在甲手中的概率為，則（）A.B.數(shù)列為等比數(shù)列C.D.第4次傳球后球在甲手中的不同傳球方式共有6種〖答案〗ABD〖解析〗由題意可知，要使得n次傳球后球在甲手中，則第次球必定不在甲手中，所以，，即，因?yàn)?，則，所以，，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故B正確；則，即，故C錯(cuò)誤；且，故A正確；若第4次傳球后球在甲手中，則第3次傳球后球必不在甲手中，設(shè)甲，乙，丙對(duì)應(yīng)，則，，，，，，所以一共有六種情況，故D正確；故選：ABD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則__________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.13.已知，則曲線在點(diǎn)處切線方程為__________.〖答案〗〖解析〗，所以，且，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為，即.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，由，則在上有解．令，因?yàn)?，所以只需或，即或，解得．所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟）15.有甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負(fù)，本局比賽結(jié)束后，負(fù)的一方下場(chǎng).第1局由甲，乙對(duì)賽，接下來(lái)丙上場(chǎng)進(jìn)行第2局比賽，來(lái)替換負(fù)的那個(gè)人，每次比賽負(fù)的人排到等待上場(chǎng)的人之后參加比賽，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求前3局比賽甲都取勝的概率；（2）用表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）前3局甲都獲勝的概率為；（2）所有可能取值為.其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙輸，則；表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局是乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局是乙贏，則；所以的分布列為：0123故的數(shù)學(xué)期望為.16.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝·an(n∈N*).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝，若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和是Tn，求證：Tn＜2.解：（1）由題設(shè)得，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，所以，（2）由（1）知，因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以，所以故Tn＜2成立17.已知函數(shù)f(x)＝x2＋alnx．（1）當(dāng)a＝－2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)g(x)＝f(x)＋在[1,＋∞)上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域是，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞減區(qū)間是，∴的單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），，由題意當(dāng)時(shí)，恒成立，或恒成立．若，則恒成立，當(dāng)時(shí)，，即的最大值為0，∴；若，，當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值，∴不可能恒成立；綜上．18.清明小長(zhǎng)假期間，大連市共接待客流322.11萬(wàn)人次，游客接待量與收入達(dá)到同期歷史峰值，其中到東港旅游的人數(shù)達(dá)到百萬(wàn)之多.現(xiàn)對(duì)到東港旅游的部分游客做問(wèn)卷調(diào)查，其中的人只游覽東方水城，另外的人游覽東方水城和港東五街.若某位游客只游覽東方水城，記1分，若兩項(xiàng)都游覽，記2分.視頻率為概率，解答下列問(wèn)題.（1）從到東港旅游的游客中隨機(jī)抽取3人，記這3人的合計(jì)得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）從到東港旅游的游客中隨機(jī)抽取人，記這人的合計(jì)得分恰為分的概率為，求；（3）從到東港旅游的游客中隨機(jī)抽取10人，其中兩處景點(diǎn)都去的人數(shù)為.記兩處景點(diǎn)都去的人數(shù)為的概率為，寫出的表達(dá)式，并求出當(dāng)為何值時(shí)，最大？解：（1）的可能取值為，則，，所以的分布列為：3456數(shù)學(xué)期望.（2）由人的合計(jì)得分為分，得其中只有1人兩項(xiàng)都游覽，則，設(shè)，則，兩式相減得，所以.（3）依題意，，設(shè)最大，則，即，整理得，即，解得，而，因此，所以當(dāng)時(shí)，.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：．（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以求在處的切線方程為：．（2），若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)，，即對(duì)于恒成立，令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故．（3）法一：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，即在上總成立，令得，，化簡(jiǎn)得：，所以，，累加得，即，命題成立．法二：可設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)也成立，所以，本題即證，以下證明同法一．法三：（i）當(dāng)時(shí)，左式，右式顯然成立；（ii）假設(shè)當(dāng)不等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，左式，證明，即需證，設(shè)，則，即只需證，即，設(shè)所以在單調(diào)遞增，，可知不等式是也成立，綜上可知，不等式對(duì)于任意正整數(shù)都成立．注意：中，寫成或都可以．遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗.故選：.2.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，即，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：.3.已知是可導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)于恒成立，則（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，即，整理得，，即，整理得，故選：D．4.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，，則的值為（）A.50 B.70 C.90 D.110〖答案〗B〖解析〗由等比數(shù)列的片段和性質(zhì)得，，成等比數(shù)列所以所以，解得.故選：B.5.已知某種零件的尺寸（單位：）在內(nèi)的為合格品．某企業(yè)生產(chǎn)的該種零件的尺寸服從正態(tài)分布，且，則估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的2000個(gè)該種零件中合格品的個(gè)數(shù)為（）A.1700 B.1600 C.1400 D.600〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，且，所以該企業(yè)生產(chǎn)的該種零件合格的概率，所以估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的2000個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)為，故選：C．6.一袋中裝有10個(gè)球，其中3個(gè)黑球、7個(gè)白球，從中先后隨意各取一球(不放回)，則第二次取到是黑球的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，可得，則.故選：B.7.在某次美術(shù)專業(yè)測(cè)試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)的概率分別是0.6，0.8和0.5，且三人的測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立，則測(cè)試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級(jí)的前提條件下，乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級(jí)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)分別為事件、、，則，且，，相互獨(dú)立，設(shè)甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級(jí)為事件，則，設(shè)乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級(jí)為事件，則，所以.故選：B.8.已知數(shù)列滿足，對(duì)任意都有，且對(duì)任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閷?duì)任意都有，所以數(shù)列在上是遞減數(shù)列，因?yàn)閷?duì)任意都有，所以數(shù)列在上是遞增數(shù)列，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，錯(cuò)選得0分.）9.下列結(jié)論正確的是（）A.標(biāo)準(zhǔn)差越大，則反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度越小.B.在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，則預(yù)報(bào)變量減少0.8個(gè)單位C.在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說(shuō)明模型的擬合程度越好.D.對(duì)分類變量和來(lái)說(shuō)，它們的隨機(jī)變量的觀測(cè)值越大，“與有關(guān)系”的把握程度越小〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于，標(biāo)準(zhǔn)差越大，則反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度越大，故不正確；對(duì)于，在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，則預(yù)報(bào)變量減少0.8個(gè)單位，故正確；對(duì)于，在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說(shuō)明模型的擬合程度越好，故正確；對(duì)于，對(duì)分類變量和來(lái)說(shuō)，它們的隨機(jī)變量的觀測(cè)值越大，“與有關(guān)系”的把握程度越大，故不正確.故選：.10.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，，則（）A.數(shù)列的公差小于0B.C.的最小值是D.使成立的的最小值是4045〖答案〗BD〖解析〗在等差數(shù)列中，由，得，即，因此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，公差大于0，A錯(cuò)誤；又，即，整理得，因此，，的最小值是，B正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以使成立的n的最小值是4045，D正確.故選：BD11.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，記n次傳球后球在甲手中的概率為，則（）A.B.數(shù)列為等比數(shù)列C.D.第4次傳球后球在甲手中的不同傳球方式共有6種〖答案〗ABD〖解析〗由題意可知，要使得n次傳球后球在甲手中，則第次球必定不在甲手中，所以，，即，因?yàn)?，則，所以，，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故B正確；則，即，故C錯(cuò)誤；且，故A正確；若第4次傳球后球在甲手中，則第3次傳球后球必不在甲手中，設(shè)甲，乙，丙對(duì)應(yīng)，則，，，，，，所以一共有六種情況，故D正確；故選：ABD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則__________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.13.已知，則曲線在點(diǎn)處切線方程為__________.〖答案〗〖解析〗，所以，且，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為，即.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，由，則在上有解．令，因?yàn)?，所以只需或，即或，解得．所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟）15.有甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負(fù)，本局比賽結(jié)束后，負(fù)的一方下場(chǎng).第1局由甲，乙對(duì)賽，接下來(lái)丙上場(chǎng)進(jìn)行第2局比賽，來(lái)替換負(fù)的那個(gè)人，每次比賽負(fù)的人排到等待上場(chǎng)的人之后參加比賽，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求前3局比賽甲都取勝的概率；（2）用表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）前3局甲都獲勝的概率為；（2）所有可能取值為.其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙輸，則；表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局是乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局是乙贏，則；所以的分布列為：0123故的數(shù)學(xué)期望為.16.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝·an(n∈N*).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝，若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和是Tn，求證：Tn＜2.解：（1）由題設(shè)得，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，所以，（2）由（1）知，因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以，所以故Tn＜2成立17.已知函數(shù)f(x)＝x2＋alnx．（1）當(dāng)a＝－2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)g(x)＝f(x)＋在[1,＋∞)上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域是，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞減區(qū)間是，∴的單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），，由題意當(dāng)時(shí)，恒成立，或恒成立．若，則恒成立，當(dāng)時(shí)，，即的最大值為0，∴；若，，當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值，∴不可能恒成立；綜上．18.清明小長(zhǎng)假期間，大連市共接待客流322.1