2023-2024學(xué)年浙江省臺州市十校聯(lián)盟高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2浙江省臺州市十校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第二象限.故選：B.2.已知三角形中，角A，B，C的對邊分別為，若，則=（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C．3.內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意可得.故選：B.4.已知向量，且，則實數(shù)=（）A. B.0 C.3 D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，因為，所以，解得.故選：C.5.如圖所示，矩形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形的面積是（）.A.12 B.12C.6 D.〖答案〗D〖解析〗因為，由斜二測畫法可知，則，故等腰直角三角形，故，故矩形的面積為，所以原圖形的面積是.故選：D.6.已知圓錐的底面圓半徑為，側(cè)面展開圖是一個半圓面，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，由于圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓面，則，所以，所以圓錐的高，圓錐的體積為.故選：C.7.窗戶，在建筑學(xué)上是指墻或屋頂上建造的洞口，用以使光線或空氣進入室內(nèi).如圖1，這是一個外框為正八邊形，中間是一個正方形的窗戶，其中正方形和正八邊形的中心重合，正方形的上?下邊與正八邊形的上?下邊平行，邊長都是4.如圖2，是中間正方形的兩個相鄰的頂點，是外框正八邊形上的一點，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗記正八邊形右下角的兩個頂點分別為，連接，由題意易得是等腰直角三角形，，則，不妨設(shè)，由于題目要求的最大值，故只考慮的情況，過作，垂足為，則，又，所以，顯然，當(dāng)點與點重合時，取得最大值，所以的最大值為.故選：A.8.在銳角中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，由正弦定理得，即有，而，則，又，由正弦定理?余弦定理得，，化簡得：，由正弦定理有：，即，，是銳角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在復(fù)平面內(nèi)，下列說法正確的是（）A. B.C.若，則 D.若復(fù)數(shù)滿足，則是純虛數(shù)〖答案〗AD〖解析〗對于A，，故A正確；對于B，，故B不正確；對于C，兩個虛數(shù)不能比較大小，故C不正確；對于D，設(shè)，則，，則，解得，故是虛數(shù)，故D正確.故選：AD.10.設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C若，則D.若，則為等腰三角形或直角三角形〖答案〗BD〖解析〗對于A，，而，故A選項錯誤；對于B，中，若，則，由正弦定理得：，為的外接圓半徑，故，B選項正確；對于C，由正弦定理，得，由，則或，C選項錯誤；對于D，若，則，即，得或，故或，為等腰三角形或直角三角形，D選項正確.故選：BD.11.在正四面體中，若，為的中點，下列結(jié)論正確的是（）A.正四面體的體積為B.正四面體外接球的表面積為C.如果點在線段上，則的最小值為D.正四面體內(nèi)接一個圓柱，使圓柱下底面在底面上，上底圓面與面、面、面均只有一個公共點，則圓柱的側(cè)面積的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗由正四面體各棱都相等，即各面都正三角形，故棱長為2，如下圖示，為底面中心，則共線，為體高，故，所以，故正四面體的體積為，A錯誤；由題設(shè)，外接球球心在上，且半徑，所以，則，故外接球的表面積為，B正確；由題意知：將面與面沿翻折，使它們在同一個平面，如下圖示，所以且，，又，而，要使最小，只需共線，則，所以，C正確；如下圖，棱錐中一個平行于底面的截面所成正三角形的內(nèi)切圓為正四面體內(nèi)接一個圓柱的上底面，若截面所成正三角形邊長為，則圓柱體的高，圓柱底面半徑為，所以其側(cè)面積，故當(dāng)時，，D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分（12題第一空2分第二空3分）．12.平面向量中，已知，，且，則與的夾角為______，向量的坐標(biāo)為______.〖答案〗〖解析〗因為，所以，又，且，設(shè)與的夾角為，則，解得，又，所以，即與的夾角為，所以與共線同向，又，所以為方向上的單位向量，即.故〖答案〗為：.13.若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為_______.〖答案〗〖解析〗復(fù)數(shù)滿足，即，即復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到點的距離滿足，設(shè)，表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到點的距離，數(shù)形結(jié)合可知的最大值.故〖答案〗為：.14.若為的重心，，則的最小值為_______.〖答案〗〖解析〗如圖，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù).（1）若，求復(fù)數(shù)和；（2）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求實數(shù)的值.解：（1）因為，由，得.所以，.（2）因為是純虛數(shù)，所以，解得.16.已知向量，，，且，．（1）求與；（2）若，，求向量與的夾角的大?。猓海?）由得，，所以，即，由得，，所以，即.（2）由（1）得，，所以，，，所以，所以向量，的夾角為.17.如圖，AB是圓柱一條母線，BC過底面圓心O，D是圓O上一點．已知，（1）求該圓柱的表面積；（2）將四面體ABCD繞母線AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，求的三邊在旋轉(zhuǎn)過程中所圍成的幾何體的體積．解：（1）由題意知AB是圓柱的一條母線，BC過底面圓心O，且，可得圓柱的底面圓的半徑為，則圓柱的底面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以圓柱的表面積為．（2）由線段AC繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以BC為底面半徑，以AB為高的圓錐，線段AD繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為BD為底面半徑，以AB為高的圓錐，所以以繞AB旋轉(zhuǎn)一周而成的封閉幾何體的體積為：．18.在中，設(shè)A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）求的大??；（2）若，求邊長的取值范圍；（3）若，求面積的最大值．解：（1）在中，，由正弦定理得：，因為，所以，所以可化為，即．因為，所以，所以．因為，所以．（2）由三角形兩邊之和大于第三邊可得：，即．由余弦定理得：，即．由基本不等式可得：，所以即，所以．綜上所述：．所以邊長的取值范圍為．（3）由余弦定理得，由重要不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，即最大值.19.如圖，點P，Q分別是矩形ABCD的邊DC，BC上的兩點，，．（1）若，，，求的范圍；（2）若，求的最小值；（3）若，連接AP交BC的延長線于點T，Q為BC的中點，試探究線段AB上是否存在一點H，使得最大．若存在，求BH的長；若不存在，說明理由．解：（1）由，，故，，則，，由，故.（2）如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即的最小值為.（3）如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，為軸，建立直角坐標(biāo)系，由題意可得，，，即，假設(shè)存在點H，使得最大，由，即有最大，設(shè)，當(dāng)時，角度為，此時不可能最大，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即存在，且.浙江省臺州市十校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第二象限.故選：B.2.已知三角形中，角A，B，C的對邊分別為，若，則=（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C．3.內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意可得.故選：B.4.已知向量，且，則實數(shù)=（）A. B.0 C.3 D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，因為，所以，解得.故選：C.5.如圖所示，矩形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形的面積是（）.A.12 B.12C.6 D.〖答案〗D〖解析〗因為，由斜二測畫法可知，則，故等腰直角三角形，故，故矩形的面積為，所以原圖形的面積是.故選：D.6.已知圓錐的底面圓半徑為，側(cè)面展開圖是一個半圓面，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，由于圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓面，則，所以，所以圓錐的高，圓錐的體積為.故選：C.7.窗戶，在建筑學(xué)上是指墻或屋頂上建造的洞口，用以使光線或空氣進入室內(nèi).如圖1，這是一個外框為正八邊形，中間是一個正方形的窗戶，其中正方形和正八邊形的中心重合，正方形的上?下邊與正八邊形的上?下邊平行，邊長都是4.如圖2，是中間正方形的兩個相鄰的頂點，是外框正八邊形上的一點，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗記正八邊形右下角的兩個頂點分別為，連接，由題意易得是等腰直角三角形，，則，不妨設(shè)，由于題目要求的最大值，故只考慮的情況，過作，垂足為，則，又，所以，顯然，當(dāng)點與點重合時，取得最大值，所以的最大值為.故選：A.8.在銳角中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，由正弦定理得，即有，而，則，又，由正弦定理?余弦定理得，，化簡得：，由正弦定理有：，即，，是銳角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在復(fù)平面內(nèi)，下列說法正確的是（）A. B.C.若，則 D.若復(fù)數(shù)滿足，則是純虛數(shù)〖答案〗AD〖解析〗對于A，，故A正確；對于B，，故B不正確；對于C，兩個虛數(shù)不能比較大小，故C不正確；對于D，設(shè)，則，，則，解得，故是虛數(shù)，故D正確.故選：AD.10.設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C若，則D.若，則為等腰三角形或直角三角形〖答案〗BD〖解析〗對于A，，而，故A選項錯誤；對于B，中，若，則，由正弦定理得：，為的外接圓半徑，故，B選項正確；對于C，由正弦定理，得，由，則或，C選項錯誤；對于D，若，則，即，得或，故或，為等腰三角形或直角三角形，D選項正確.故選：BD.11.在正四面體中，若，為的中點，下列結(jié)論正確的是（）A.正四面體的體積為B.正四面體外接球的表面積為C.如果點在線段上，則的最小值為D.正四面體內(nèi)接一個圓柱，使圓柱下底面在底面上，上底圓面與面、面、面均只有一個公共點，則圓柱的側(cè)面積的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗由正四面體各棱都相等，即各面都正三角形，故棱長為2，如下圖示，為底面中心，則共線，為體高，故，所以，故正四面體的體積為，A錯誤；由題設(shè)，外接球球心在上，且半徑，所以，則，故外接球的表面積為，B正確；由題意知：將面與面沿翻折，使它們在同一個平面，如下圖示，所以且，，又，而，要使最小，只需共線，則，所以，C正確；如下圖，棱錐中一個平行于底面的截面所成正三角形的內(nèi)切圓為正四面體內(nèi)接一個圓柱的上底面，若截面所成正三角形邊長為，則圓柱體的高，圓柱底面半徑為，所以其側(cè)面積，故當(dāng)時，，D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分（12題第一空2分第二空3分）．12.平面向量中，已知，，且，則與的夾角為______，向量的坐標(biāo)為______.〖答案〗〖解析〗因為，所以，又，且，設(shè)與的夾角為，則，解得，又，所以，即與的夾角為，所以與共線同向，又，所以為方向上的單位向量，即.故〖答案〗為：.13.若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為_______.〖答案〗〖解析〗復(fù)數(shù)滿足，即，即復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到點的距離滿足，設(shè)，表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到點的距離，數(shù)形結(jié)合可知的最大值.故〖答案〗為：.14.若為的重心，，則的最小值為_______.〖答案〗〖解析〗如圖，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù).（1）若，求復(fù)數(shù)和；（2）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求實數(shù)的值.解：（1）因為，由，得.所以，.（2）因為是純虛數(shù)，所以，解得.16.已知向量，，，且，．（1）求與；（2）若，，求向量與的夾角的大?。猓海?）由得，，所以，即，由得，，所以，即.（2）由（1）得，，所以，，，所以，所以向量，的夾角為.17.如圖，AB是圓柱一條母線，BC過底面圓心O，D是圓O上一點．已知，（1）求該圓柱的表面積；（2）將四面體ABCD繞母線AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，求的三邊在旋轉(zhuǎn)過程中所圍成的幾何體的體積．解：（1）由題意知AB是圓柱的一條母線，BC過底面圓心O，且，可得圓柱的底