2024屆廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班沖刺訓(xùn)練題（一）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3廣東省廣州市2024屆普通高中畢業(yè)班沖刺訓(xùn)練題（一）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，因此?故選：C.2.若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值為（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閮绾瘮?shù)在上增函數(shù)，所以，解得.故選：A.3.下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)據(jù)，1，2，4，5，6，8，9的下四分位數(shù)是7B.已知隨機(jī)變量，若，則C.若隨機(jī)變量滿足，則D.若隨機(jī)事件，滿足，則〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，8個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，所以下四分位數(shù)即第25百分位數(shù)，，所以應(yīng)該是第二個(gè)與第三個(gè)的平均數(shù)，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)椋瑒t，則，故B不正確；對(duì)于C，隨機(jī)變量滿足，則，故C不正確；對(duì)于D，若，則，獨(dú)立，從而，獨(dú)立，所以，故D正確.故選：D.4.記為等差數(shù)列前項(xiàng)和，若，則使成立的最大正整數(shù)的值為（）A.17 B.18 C.19 D.20〖答案〗B〖解析〗由知，，故當(dāng)時(shí)均有.故，且當(dāng)時(shí)有.故選：B.5.已知球內(nèi)切于圓臺(tái)（即球與該圓臺(tái)的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，且，則圓臺(tái)的體積與球的體積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖：為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，設(shè)圓與梯形的腰相切于點(diǎn)，與上、下底的分別切于點(diǎn)，，設(shè)球的半徑為，圓臺(tái)上下底面的半徑為，.注意到與均為角平分線，因此，從而，故.設(shè)圓臺(tái)的體積為，球的體積為，則.故選：B.6.一個(gè)盒子里裝有3個(gè)黑球，2個(gè)白球，它們除顏色外完全相同.現(xiàn)每次從袋中不放回地隨機(jī)取出一個(gè)球，記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗依次一個(gè)一個(gè)地往外取球（不放回）的試驗(yàn)，基本事件總數(shù)是，它們等可能，對(duì)于A，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，A正確；對(duì)于В，，，В正確；對(duì)于C，有，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，有，D正確.故選：C7.已知為銳角，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)闉殇J角，所以，，又，所以，而，所以，所以，因此.故選：D．8.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，均有成立，若，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，則，則在上單調(diào)遞增.由，為奇函數(shù)，得，則，從而原不等式可化為，即，此即為.由于在上單調(diào)遞增，故這等價(jià)于，所以不等式的解集為.故選：D.二、選擇題9.已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（）A. B.若，則C.若，則 D.若，，則為純虛數(shù)〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，設(shè)，對(duì)應(yīng)的向量分別為，，則由向量三角不等式得，所以恒成立，故A正確；對(duì)于B，取，，但，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，，而，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確；故選：AD.10.已知，且，則下列結(jié)論成立的是（）A. B.C.存在，使得 D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，由及，得，所以，A正確.對(duì)于B，由及，得，所以.同理可得.又，所以，所以，B正確.對(duì)于C，由及，得，所以，得，所以，得，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，由，得，所以.因?yàn)椋?，所以，所以，D正確.故選：ABD.11.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，若點(diǎn)為四邊形內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則平面截正方體所得截面的面積為B.若直線與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線C.若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.若正方體以直線為軸，旋轉(zhuǎn)后與其自身重合，則的最小值是120〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，若，顯然平面截正方體所得截面為，所以，截面面積為，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，若與所成的角為，則點(diǎn)在以為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐（無(wú)底）的表面上，而平面，所以則點(diǎn)的軌跡為雙曲線，所以B正確；對(duì)于C，若，則在以、為焦點(diǎn)的橢球上且，，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)為四邊形內(nèi)，該橢球被平面截得的在四邊形內(nèi)的部分為半圓，且半徑為，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，平面，且為正三角形，若正方體繞旋轉(zhuǎn)后與其自身重合，只需要旋轉(zhuǎn)后能和自身重合即可，所以D正確.故選：ABD.三、填空題12.若向量在向量上的投影為，且，則______.〖答案〗〖解析〗在上的投影為，，則，即又，平方得，則即．故〖答案〗為：．13.如圖，畫一個(gè)正三角形，不畫第三邊；接著畫正方形，對(duì)這個(gè)正方形，不畫第四邊；接著畫正五邊形，對(duì)這個(gè)正五邊形，不畫第五邊；接著畫正六邊形，……，這樣無(wú)限畫下去，形成一條無(wú)窮伸展的等邊折線.設(shè)線段與線段所夾的角為，則______，滿足的最小值為_(kāi)_____.〖答案〗1712〖解析〗由題意得，，由此類推，，，，，，，，，，…，觀察規(guī)律，三角形會(huì)有1個(gè)相等的角，并且角的度數(shù)恰好是其內(nèi)角的度數(shù)，正方形有2個(gè)，正五邊形有3個(gè)，正六邊形有4個(gè)，…，所以正多邊形有個(gè).令，解得，所以的最小值為61，即滿足條件的角至少要在正61邊形中，所以，即的最小值為1712.故〖答案〗為：，1712.14.在中，是邊上一點(diǎn)，，若，且的面積為，則______.〖答案〗〖解析〗作的角平分線,由得,故是的角平分線，根據(jù)等面積法可得,由于,所以，又，所以，，所以，所以，因此，故為等邊三角形，所以，，故〖答案〗為：四、解答題15.已知函數(shù).（1）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）將函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再將其向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.若，函數(shù)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，可得：，再將其向右平移，可得：，即函數(shù)，因?yàn)?，所以，在給定區(qū)間的正弦函數(shù)的零點(diǎn)是，再由函數(shù)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.16.已知四棱錐的底面是正方形，給出下列三個(gè)條件：①；②；③平面.（1）從①②③中選取兩個(gè)作條件，證明另一個(gè)成立；（2）在（1）的條件下，若，當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.解：（1）①②③，連接，相交于，連接，由于底面是正方形，所以，又，，，平面，故平面，平面，故，由于，，，故，因此，，，平面，故平面，（可得四棱錐是正四棱錐）平面，故，又，，，平面，故平面.②③①連接，相交于，連接，由于底面是正方形，所以，又，，，平面，故平面，平面，故，又平面，平面，故，，，平面，故平面，結(jié)合底面是正方形，是正方形的中心，所以四棱錐是正四棱錐，故，①③②連接，相交于，連接，平面，平面，故，由于，，故，又，，，故，故，因此，，，，平面，故平面，故四棱錐是正四棱錐，由于，又，，，平面，故平面，平面，故，（2）無(wú)論選擇哪兩個(gè)條件，都可以推出四棱錐是正四棱錐，設(shè)四棱錐的底邊邊長(zhǎng)為，則四，所以，故，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)四棱錐的底邊邊長(zhǎng)為時(shí)，四棱錐體積的最大值為.（法一）因?yàn)榈酌?，由點(diǎn)向作垂線，垂足為，連接，又因?yàn)榈酌妫?，所以為二面角的平面角，，，，即二面角的余弦值?（法二）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，設(shè)面的法向量為，則即，不妨取，則，，所以，易得平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，即二面角的余弦值為.17.已知，，平面上有動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之積為1.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.（2）過(guò)點(diǎn)A的直線與交于點(diǎn)（在第一象限），過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)（在第三象限），記直線，的斜率分別為，，且.試判斷與的面積之比是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）設(shè)，，由題意可得：，整理得，故求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由題意可知：，且，可得，顯然直線MN的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程，消去x得，則，，可得，則，整理可得，則，因?yàn)椋瑒t，可得，整理可得，所以直線方程為，即直線過(guò)定點(diǎn)，則，此時(shí)，，所以為定值.18.甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3，則甲將球保留繼續(xù)投擲骰子；當(dāng)球在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙.初始時(shí)，球在甲手中.（1）求三次投擲骰子后球在甲手中的概率；（2）投擲次骰子后，記球在乙手中的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求證：.（1）解：依題意，球在甲手中時(shí)，保留在自己手中的概率為，傳給乙的概率為；球在乙手中時(shí)，傳給甲的概率為，傳給丙的概率為；球在丙手中時(shí)，傳給甲和丙的概率都是.則三次投擲骰子后球在甲手中包括四類的情況，第一類情況：甲→甲→甲→甲，概率為；第二類情況：甲→乙→甲→甲，概率為；第三類情況：甲→乙→丙→甲，概率為；第四類情況：甲→甲→乙→甲，概率為由互斥事件的概率加法公式，三次投擲骰子后球在甲手中的概率為.（2）解：由于投擲次骰子后球不在乙手中的概率為，此時(shí)無(wú)論球在甲手中還是球在丙手中，均有的概率傳給乙，故有，變形為.又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（3）證明：由（2）可得，則①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，因是單調(diào)增函數(shù)，故，則，于是，，故；②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，因是單調(diào)減函數(shù)，故，則，于是，，故.綜上，.19.若集合的非空子集滿足：對(duì)任意給定的，若，有，則稱子集是的“好子集”.記為的好子集的個(gè)數(shù).例如：的7個(gè)非空子集中只有不是好子集，即.記表示集合的元素個(gè)數(shù).（1）求的值；（2）若是的好子集，且.證明：中元素可以排成一個(gè)等差數(shù)列；（3）求的值.解：（1）的全部非空子集為，，，，，，，，，，，，，，，其中好子集有，，，，，，，，，，，共有11個(gè).所以.（2）將的元素從小到大排列，即，，其中.首先對(duì)任意的，若和奇偶性相同，則，所以，而，集合中和中間沒(méi)有項(xiàng)，故產(chǎn)生矛盾!即對(duì)任意的，和奇偶性相反，則對(duì)任意的，和奇偶性必相同，于是由題意，因，則，而且，所以.即對(duì)任意的，，即.由的任意性知，是一個(gè)等差數(shù)列.（3）記.首先證明中包含1的好子集個(gè)數(shù)為.的好子集分為兩類：包含1的和不包含1的.因?yàn)橹胁话?的好子集每個(gè)元素均減去1即為的好子集，的每個(gè)好子集每個(gè)元素均加上1即為的好子集，所以的不包含1的好子集與的好子集一一對(duì)應(yīng)，其個(gè)數(shù)為.故包含1的好子集個(gè)數(shù)為.同理可證：中包含1的好子集個(gè)數(shù)為，這也恰是中包含1但不包含的好子集個(gè)數(shù).于是中包含1且包含的好子集的個(gè)數(shù)為故題目所求的為的包含1，2024的所有好子集的個(gè)數(shù).顯然，是好子集.若好子集中除了1，2024外至少還有一個(gè)元素，則由（2）可知，中元素從小到大排列可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)為.設(shè)公差為，因?yàn)?，而，所以為的小于的正約數(shù)，故.而每一個(gè)都唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)的包含1，2024的好子集，這樣的子集有5個(gè).因此.廣東省廣州市2024屆普通高中畢業(yè)班沖刺訓(xùn)練題（一）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，因此?故選：C.2.若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值為（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閮绾瘮?shù)在上增函數(shù)，所以，解得.故選：A.3.下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)據(jù)，1，2，4，5，6，8，9的下四分位數(shù)是7B.已知隨機(jī)變量，若，則C.若隨機(jī)變量滿足，則D.若隨機(jī)事件，滿足，則〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，8個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，所以下四分位數(shù)即第25百分位數(shù)，，所以應(yīng)該是第二個(gè)與第三個(gè)的平均數(shù)，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，則，則，故B不正確；對(duì)于C，隨機(jī)變量滿足，則，故C不正確；對(duì)于D，若，則，獨(dú)立，從而，獨(dú)立，所以，故D正確.故選：D.4.記為等差數(shù)列前項(xiàng)和，若，則使成立的最大正整數(shù)的值為（）A.17 B.18 C.19 D.20〖答案〗B〖解析〗由知，，故當(dāng)時(shí)均有.故，且當(dāng)時(shí)有.故選：B.5.已知球內(nèi)切于圓臺(tái)（即球與該圓臺(tái)的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，且，則圓臺(tái)的體積與球的體積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖：為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，設(shè)圓與梯形的腰相切于點(diǎn)，與上、下底的分別切于點(diǎn)，，設(shè)球的半徑為，圓臺(tái)上下底面的半徑為，.注意到與均為角平分線，因此，從而，故.設(shè)圓臺(tái)的體積為，球的體積為，則.故選：B.6.一個(gè)盒子里裝有3個(gè)黑球，2個(gè)白球，它們除顏色外完全相同.現(xiàn)每次從袋中不放回地隨機(jī)取出一個(gè)球，記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗依次一個(gè)一個(gè)地往外取球（不放回）的試驗(yàn)，基本事件總數(shù)是，它們等可能，對(duì)于A，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，A正確；對(duì)于В，，，В正確；對(duì)于C，有，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，有，D正確.故選：C7.已知為銳角，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)闉殇J角，所以，，又，所以，而，所以，所以，因此.故選：D．8.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，均有成立，若，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，則，則在上單調(diào)遞增.由，為奇函數(shù)，得，則，從而原不等式可化為，即，此即為.由于在上單調(diào)遞增，故這等價(jià)于，所以不等式的解集為.故選：D.二、選擇題9.已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（）A. B.若，則C.若，則 D.若，，則為純虛數(shù)〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，設(shè)，對(duì)應(yīng)的向量分別為，，則由向量三角不等式得，所以恒成立，故A正確；對(duì)于B，取，，但，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，，而，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確；故選：AD.10.已知，且，則下列結(jié)論成立的是（）A. B.C.存在，使得 D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，由及，得，所以，A正確.對(duì)于B，由及，得，所以.同理可得.又，所以，所以，B正確.對(duì)于C，由及，得，所以，得，所以，得，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，由，得，所以.因?yàn)?，，所以，所以，D正確.故選：ABD.11.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，若點(diǎn)為四邊形內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則平面截正方體所得截面的面積為B.若直線與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線C.若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.若正方體以直線為軸，旋轉(zhuǎn)后與其自身重合，則的最小值是120〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，若，顯然平面截正方體所得截面為，所以，截面面積為，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，若與所成的角為，則點(diǎn)在以為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐（無(wú)底）的表面上，而平面，所以則點(diǎn)的軌跡為雙曲線，所以B正確；對(duì)于C，若，則在以、為焦點(diǎn)的橢球上且，，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)為四邊形內(nèi)，該橢球被平面截得的在四邊形內(nèi)的部分為半圓，且半徑為，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，平面，且為正三角形，若正方體繞旋轉(zhuǎn)后與其自身重合，只需要旋轉(zhuǎn)后能和自身重合即可，所以D正確.故選：ABD.三、填空題12.若向量在向量上的投影為，且，則______.〖答案〗〖解析〗在上的投影為，，則，即又，平方得，則即．故〖答案〗為：．13.如圖，畫一個(gè)正三角形，不畫第三邊；接著畫正方形，對(duì)這個(gè)正方形，不畫第四邊；接著畫正五邊形，對(duì)這個(gè)正五邊形，不畫第五邊；接著畫正六邊形，……，這樣無(wú)限畫下去，形成一條無(wú)窮伸展的等邊折線.設(shè)線段與線段所夾的角為，則______，滿足的最小值為_(kāi)_____.〖答案〗1712〖解析〗由題意得，，由此類推，，，，，，，，，，…，觀察規(guī)律，三角形會(huì)有1個(gè)相等的角，并且角的度數(shù)恰好是其內(nèi)角的度數(shù)，正方形有2個(gè)，正五邊形有3個(gè)，正六邊形有4個(gè)，…，所以正多邊形有個(gè).令，解得，所以的最小值為61，即滿足條件的角至少要在正61邊形中，所以，即的最小值為1712.故〖答案〗為：，1712.14.在中，是邊上一點(diǎn)，，若，且的面積為，則______.〖答案〗〖解析〗作的角平分線,由得,故是的角平分線，根據(jù)等面積法可得,由于,所以，又，所以，，所以，所以，因此，故為等邊三角形，所以，，故〖答案〗為：四、解答題15.已知函數(shù).（1）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）將函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再將其向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.若，函數(shù)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，可得：，再將其向右平移，可得：，即函數(shù)，因?yàn)?，所以，在給定區(qū)間的正弦函數(shù)的零點(diǎn)是，再由函數(shù)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.16.已知四棱錐的底面是正方形，給出下列三個(gè)條件：①；②；③平面.（1）從①②③中選取兩個(gè)作條件，證明另一個(gè)成立；（2）在（1）的條件下，若，當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.解：（1）①②③，連接，相交于，連接，由于底面是正方形，所以，又，，，平面，故平面，平面，故，由于，，，故，因此，，，平面，故平面，（可得四棱錐是正四棱錐）平面，故，又，，，平面，故平面.②③①連接，相交于，連接，由于底面是正方形，所以，又，，，平面，故平面，平面，故，又平面，平面，故，，，平面，故平面，結(jié)合底面是正方形，是正方形的中心，所以四棱錐是正四棱錐，故，①③②連接，相交于，連接，平面，平面，故，由于，，故，又，，，故，故，因此，，，，平面，故平面，故四棱錐是正四棱錐，由于，又，，，平面，故平面，平面，故，（2）無(wú)論選擇哪兩個(gè)條件，都可以推出四棱錐是正四棱錐，設(shè)四棱錐的底邊邊長(zhǎng)為，則四，所以，故，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)四棱錐的底邊邊長(zhǎng)為時(shí)，四棱錐體積的最大值為.（法一）因?yàn)榈酌?，由點(diǎn)向作垂線，垂足為，連接，又因?yàn)榈酌妫?，所以為二面角的平面角，，，，即二面角的余弦值?（法二）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，設(shè)面的法向量為，則即，不妨取，則，，所以，易得平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，即二面角的余弦值為.17.已知，，平面上有動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之積為1.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.（2）過(guò)點(diǎn)A的直線與交于點(diǎn)（在第一象限），過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)（在第三象限），記直線，的斜率分別為，，且.試判斷與的面積之比是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）設(shè)，，由題意可得：，整理得，故求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由題意可知：，且，可得，顯然直線MN的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程，消去x得，則，，可得，則，整理可得，則，因?yàn)椋瑒t，可得，整理可得，所以直線方程為，即直線過(guò)定點(diǎn)，則，此時(shí)，，所以為定值.18.甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3，則甲將球保留繼續(xù)投擲骰子；當(dāng)球在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙.初始時(shí)，球在甲手中.（1）求三次投擲骰子后球在甲手中的概率；（2）投擲次骰子后，記球在乙手中的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求證：.（1）解：依題意，球在甲手中時(shí)，保留在自己手中的概率為，傳給乙的概率為；球在乙手中時(shí)，傳給甲的概率為，傳給丙的概率為；球在丙手中時(shí)，傳給甲和丙的