數(shù)列導(dǎo)數(shù)圓錐曲線綜合題含答案

1、設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，對(duì)任意的SKIPIF1<0NSKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0SKIPIF1<0為常數(shù)，且SKIPIF1<0．（1）求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公比，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0NSKIPIF1<0SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．2、已知函數(shù)滿足且有唯一解。（1）求的表達(dá)式；（2）記，且＝，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（3）記，數(shù)列｛｝的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為，求證3、在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（Ⅰ）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0；（Ⅲ）證明存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0對(duì)任意SKIPIF1<0均成立．4、設(shè)數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若存在實(shí)數(shù)t，使得數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0（3）設(shè)5、已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極值點(diǎn)，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值；(3)在(2)的條件下，是否存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象恰有SKIPIF1<0個(gè)交點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；若不存在，試說(shuō)明理由．6、已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程；（2）當(dāng)m=1時(shí)，求方程f(x)=g(x)實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)；（3）若SKIPIF1<0時(shí)，不等式SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.7、已知函數(shù)SKIPIF1<0（Ⅰ）求函數(shù)SKIPIF1<0的極值；（Ⅱ）求證：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；（Ⅲ）如果SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．8、設(shè)函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，（）．（1）證明：；（2）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由；（3）證明：（）．9、已知橢圓的左，右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、．曲線是以、兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為的雙曲線．設(shè)點(diǎn)在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，證明：；（3）設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積分別為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍。10、設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀;（2）已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;(3)已知,設(shè)直線與圓C:(1<R<2)相切于A1,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,當(dāng)R為何值時(shí),|A1B1|取得最大值?并求最大值.1、解：（1）證明：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得．………………1分當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．……………2分即SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0為常數(shù)，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0．………3分∴數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列．…………………4分（2）解：由（1）得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．……………5分∵SKIPIF1<0，………………6分∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0．……………7分∴SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為1的等差數(shù)列．……………8分∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．…………9分（3）解：由（2）知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．……………10分所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，①……11分則SKIPIF1<0，②……12分②－①得SKIPIF1<0，………………13分故SKIPIF1<0．……14分2、解：(1)由即有唯一解，又，……4分(2)由…………6分又，數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列……8分………10分(3)由…………12分=………14分3、（Ⅰ）解法一：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由此可猜想出數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0．…………1分以下用數(shù)學(xué)歸納法證明．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，等式成立．…………2分（2）假設(shè)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等式成立，即SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．這就是說(shuō)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，等式SKIPIF1<0對(duì)任何SKIPIF1<0都成立．…………4分解法二：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，…………2分所以SKIPIF1<0為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，…………3分故SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0．…………4分（Ⅱ）解：設(shè)SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0②…………5分當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，①式減去②式，得SKIPIF1<0，…………6分SKIPIF1<0．…………7分這時(shí)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．…………8分當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．這時(shí)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．……9分（Ⅲ）證明：通過(guò)分析，推測(cè)數(shù)列SKIPIF1<0的第一項(xiàng)SKIPIF1<0最大，下面證明：SKIPIF1<0．③…………10分由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，要使③式成立，只要SKIPIF1<0，…………11分因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0…………12分SKIPIF1<0．…………13分所以③式成立．因此，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0對(duì)任意SKIPIF1<0均成立．…………14分4、解：（1）由已知得（2）（3）5、解：(1)SKIPIF1<0…………1分SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是增函數(shù)，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，…………2分則必有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.………………4分(2)依題意，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，…………5分∴SKIPIF1<0、令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0……………6分當(dāng)x變化時(shí)，變化情況…………8分∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值是SKIPIF1<0.………………10分(3)函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象恰有SKIPIF1<0個(gè)交點(diǎn)，即方程SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0個(gè)不等實(shí)根．…………11分∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是其中一個(gè)根，……12分∴方程SKIPIF1<0有兩個(gè)非零不等實(shí)根．∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.………………14分∴存在滿足條件的SKIPIF1<0值，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.6、解：（1）SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0、切點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，∴切線方程為SKIPIF1<0；………………4分（2）SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0……6分∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù).…………7分又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且只有一個(gè)零點(diǎn)、∴方程SKIPIF1<0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；（或說(shuō)明SKIPIF1<0也可以）；……………8分（3）由題意知，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，`SKIPIF1<0則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，………10分令SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0、則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時(shí)遞減，…………12分SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時(shí)的最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.……14分7、解⑴∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．…2分SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋0－SKIPIF1<0↗極大值SKIPIF1<0↘∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得極大值SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．…4分⑵SKIPIF1<0,……………5分則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．……………6分當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，……………7分∴SKIPIF1<0＞0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是增函數(shù)．……………8分SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0……………9分⑶∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)是增函數(shù)，在SKIPIF1<0內(nèi)是減函數(shù)．……………10分∴當(dāng)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．∴SKIPIF1<0，……………11分由⑵的結(jié)論知SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0＞0，∴SKIPIF1<0．……………12分∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．……………13分又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0……………14分8、（1）證明：設(shè)，所以．……………1分當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得唯一極小值，………2分因?yàn)椋詫?duì)任意實(shí)數(shù)均有．即，所以．………3分（2）解：當(dāng)時(shí)，．……………4分用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，由（1）知．②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，對(duì)任意均有，……………5分令，，因?yàn)閷?duì)任意的正實(shí)數(shù)，，由歸納假設(shè)知，．……………6分即在上為增函數(shù)，亦即，因?yàn)?，所以．從而?duì)任意，有．即對(duì)任意，有．這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，也有．由①、②知，當(dāng)時(shí)，都有．……8分（3）證明1：先證對(duì)任意正整數(shù)，．由（2）知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)，都有．令，得．所以．……9分再證對(duì)任意正整數(shù)，．要證明上式，只需證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立．即要證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）成立．……………10分以下分別用數(shù)學(xué)歸納法和基本不等式法證明不等式（*）：方法1（數(shù)學(xué)歸納法）：①當(dāng)時(shí)，成立，所以不等式（*）成立．②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，不等式（*）成立，即．……………………11分則．，…………………………12分所以．………13分這說(shuō)明當(dāng)時(shí)，不等式（*）也成立．由①、②知，對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）都成立．綜上可知，對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立．………………14分方法2（基本不等式法）：因?yàn)?，…………………?1分，……，，將以上個(gè)不等式相乘，得．…………………13分所以對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）都成立．綜上可知，對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立．……………14分9、（1）解：依題意可得，．……………1分設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即．所以雙曲線的方程為．……………3分（2）證法1：設(shè)點(diǎn)（，，）直線斜率為（），則直線的方程為，………………4分聯(lián)立方程組…………………5分整理，得，解得或．所以．…………6分同理可得，．……………7分所以．……………………8分證法2：設(shè)點(diǎn)、（，，）