專題14 旋轉(zhuǎn)在幾何模型中的應用（解析版）

數(shù)學八年級下暑假預習專題訓練專題十四旋轉(zhuǎn)在幾何模型中的應用【專題導航】目錄【考點一手拉手模型中的旋轉(zhuǎn)】.......................................1【考點二對角互補模型中的旋轉(zhuǎn)】.....................................14【考點三角含半角模型中的旋轉(zhuǎn)】.....................................27【聚焦考點1】手拉手模型遇見平方等式，要用手拉手模型；構(gòu)造等腰直角三角形，構(gòu)造全等三角形，等量代換是解題三要素。等腰圖形有旋轉(zhuǎn)，辯清共點旋轉(zhuǎn)邊，關(guān)注三邊旋轉(zhuǎn)角，全等思考邊角邊。雞爪圖，三線段，繞著頂點轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn).【典例剖析1】【典例1-1】[問題提出]（1）如圖①，均為等邊三角形，點分別在邊上．將繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，連結(jié)．在圖②中證明．[學以致用]（2）在（1）的條件下，當點在同一條直線上時，的大小為度．[拓展延伸]（3）在（1）的條件下，連結(jié)．若直接寫出的面積的取值范圍．思路點撥】（1）根據(jù)“手拉手”模型，證明即可；（2）分“當點E在線段CD上”和“當點E在線段CD的延長線上”兩種情況，再根據(jù)“手拉手”模型中的結(jié)論即可求得的大?。唬?）分別求出的面積最大值和最小值即可得到結(jié)論【詳解】（1）均為等邊三角形，，，，即在和中；（2）當在同一條直線上時，分兩種情況：①當點E在線段CD上時，如圖，∵是等邊三角形，，，由（1）可知，，，②當點E在線段CD的延長線上時，如圖，是等邊三角形，，由（1）可知，，綜上所述，的大小為或（3）過點A作于點F，當點D在線段AF上時，點D到BC的距離最短，此時，點D到BC的距離為線段DF的長，如圖：是等邊三角形，，，此時；當D在線段FA的延長線上時，點D到BC的距離最大，此時點D到BC的距離為線段DF的長，如圖，是等邊三角形，，，，此時，；綜上所述，的面積S取值是【點評】利用“手拉手”模型，構(gòu)造對應邊“拉手線”組成的兩個三角形全等是解題關(guān)鍵【典例1-2】如圖，正方形和正方形（其中），的延長線與直線交于點H．(1)如圖1，當點G在上時，求證：；(2)將正方形繞點C旋轉(zhuǎn)一周．①如圖2，當點E在直線右側(cè)時，判斷的數(shù)量關(guān)系并證明；②當時，若，請直接寫出線段的長．【答案】(1)證明見解析(2)①，證明見解析；②或【分析】（1）證明，即可得到，再由角的等量代換即可證明；（2）①在線段上截取，連接，證明，得到為等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的邊角性質(zhì)即可；②分兩種情況，一是如圖3所示，當D，G，E三點共線時，，連接．求出BD，設(shè)，則．在中，利用勾股定理列出方程解答；二是如圖4所示，當B，H，G三點共線時，，連接．設(shè)，中利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】（1）證明：如圖1，∵四邊形和均為正方形，∴，，

∴．∴．

又∵，∴．∴．（2）解：①，證明如下：如圖所示，在線段上截取，連接．由（1）可知，，又∵，∴．∴．

∴，即．∴為等腰直角三角形．∴．∴，∴．

②第一種情況：如圖3所示，當D，G，E三點共線時，，此時G、H重合，連接．由①可知，且．又∵，∴．設(shè)，則．∴在中，由勾股定理得．∴，解得（負值舍），∴；第二種情況：如圖4所示，當B，H，G三點共線時，，連接．設(shè)，∵，∴．在中，由勾股定理得．∴．解得，∴∴的長為或．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等知識點，解題的關(guān)鍵是熟知上述知識點，并正確作出輔助線．針對訓練1【變式1-1】如圖，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M（1）如圖1，當α＝90°時，∠AMD的度數(shù)為°（2）如圖2，當α＝60°時，∠AMD的度數(shù)為°（3）如圖3，當△OCD繞O點任意旋轉(zhuǎn)時，∠AMD與α是否存在著確定的數(shù)量關(guān)系？如果存在，請你用表示∠AMD，并圖3進行證明；若不確定，說明理由．【思路點撥】（1）如圖1中，設(shè)OA交BD于K．根據(jù)“手拉手”模型證明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，可得∠AMK=∠BOK=90°；（2）如圖2中，設(shè)OA交BD于K．根據(jù)“手拉手”模型1證明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，推出∠AMK=∠BOK=60°；（3）如圖3中，設(shè)OA交BD于K．根據(jù)“手拉手”模型3證明△BOD≌△AOC，根據(jù)“手拉手”模型中的結(jié)論2可得∠AMD=180°-α.【詳解】（1）如圖1中，設(shè)OA交BD于K．∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，∴∠BOD＝∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，∵∠AKM＝∠BKO，∴∠AMK＝∠BOK＝90°．故答案為90．（2）如圖2中，設(shè)OA交BD于K．∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，∴∠BOD＝∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，∵∠AKM＝∠BKO，∴∠AMK＝∠BOK＝60°．故答案為60．（3）如圖3中，設(shè)OA交BD于K．∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，∴∠BOD＝∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，∵∠AKO＝∠BKM，∴∠AOK＝∠BMK＝α．∴∠AMD＝180°﹣α．【點評】“手拉手”模型中，兩條“拉手線”所在直線的夾角與初始圖形中公共頂點對應的角相等或互補?！咀兪?-2】觀察猜想如圖1，有公共直角頂點A的兩個不全等的等腰直角三角尺疊放在一起，點B在AD上，點C在AE上.（1）在圖1中，你發(fā)現(xiàn)線段BD，CE的數(shù)量關(guān)系是___________，直線BD，CE的位置關(guān)系是________.操作發(fā)現(xiàn)（2）將圖1中的繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個銳角得到圖2，這時（1）中的兩個結(jié)論是否成立？作出判斷并說明理由；拓廣探索（3）如圖3，若只把“有公共直角頂點A的兩個不全等的等腰直角三角尺”改為“有公共頂角為∠A（銳角）的兩個不全等等腰三角形”，繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)任意一個銳角，這時（1）中的兩個結(jié)論仍然成立嗎？作出判斷，不必說明理由.【答案】（1），；（2）將圖1中的繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個銳角時，兩個結(jié)論成立.理由見解析；（3）結(jié)論成立；結(jié)論不成立.【思路點撥】（1）根據(jù)△ABC和△ADE是等腰直角三角形，得到AB=AC，AD=AE，∠A=90°，即可得出結(jié)論；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DAB=∠EAC．根據(jù)“手拉手”模型2證明△ABD≌△ACE，得出BD=CE．再根據(jù)“手拉手”模型2的結(jié)論2可得出．（3）根據(jù)“手拉手”模型3證明△ABD≌△ACE，可得BD=CE成立，再根據(jù)“手拉手”模型3的結(jié)論2可得出BD⊥CE不成立．【詳解】（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠A=90°，∴BD=CE，BD⊥CE．故答案為：BD=CE，BD⊥CE．（2）將圖1中的△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個銳角時，兩個結(jié)論成立．理由如下：由旋轉(zhuǎn)得：∠DAB=∠EAC．又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD=CE．如圖，延長DB，交CE于點F，交AE于點O．∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC．∵∠AOD=∠EOF．∴∠OFE=∠OAD．∵∠OAD=90°，∴∠DFE=90°，即BD⊥CE．（3）結(jié)論BD=CE成立，結(jié)論BD⊥CE不成立．理由如下：由旋轉(zhuǎn)得：∠DAE=∠BAC，∴∠DAB=∠EAC．又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD=CE．延長DB交CE于M，BD與AE交于點N．∵△ABD≌△ACE，∴∠MEA=∠BDA．∵∠ENM=∠DNA，∴∠EMN=∠EAD．∵∠EAD≠90°，∴∠EMN≠90°，∴BD⊥CE不成立．【點評】對于以等腰三角形的頂點為旋轉(zhuǎn)點，進行適當旋轉(zhuǎn)的題目，連接對應點構(gòu)造新的三角形，根據(jù)“手拉手”模型3證明三角形全等即可解決問題【能力提升1】【提升1-1】如圖，在中，，D、E分別是、的中點，.（1）如圖1，若，求的長度（用含a的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，連接、，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，當?shù)耐庑脑谌切蔚耐獠繒r，請直接寫出的取值范圍．【答案】（1）2a；（2）BD=CE，理由見詳解；（3）0°＜α＜60°或90°＜α＜180°．【解析】【分析】（1）由題意直接根據(jù)三角形中位線定理進行分析即可解答；（2）根據(jù)題意先證明△DAB≌△EAC，進而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)分析即可得到答案；（3）根據(jù)題意分∠AEC=90°、∠EAC=90°兩種情況求出α，根據(jù)三角形的外心的概念進行解答．【詳解】解：（1）∵D、E分別是AB，AC的中點，，∴BC=2DE=2a；（2）BD=CE，理由如下：∵D、E分別是AB，AC的中點，AB=AC，∴AD=AE，由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD=CE；（3）當△ACE的外心在三角形的外部時，△ACE為鈍角三角形，當∠AEC=90°時，取AC的中點H，連接EH，則EH=AC=AH，由題意得，AE=AH，∴AE=AH=EH，∴△AEH為等邊三角形，∴∠EAH=60°，∴當0°＜α＜60°時，△ACE為鈍角三角形，當∠EAC=90°時，α=90°，∴90°＜α＜180°時，△ACE為鈍角三角形，綜上所述：當△ACE的外心在三角形的外部時，0°＜α＜60°或90°＜α＜180°．【點評】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和三角形的外心的概念以及全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形的外接圓圓心的概念、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【提升1-2】已知在中，，過點引一條射線，是上一點．【問題解決】（1）如圖1，若，射線在內(nèi)部，，求證：．小明同學展示的做法是：在上取一點使得，通過已知的條件，從而求得的度數(shù)，請你幫助小明寫出證明過程；【類比探究】（2）如圖2，已知．①當射線在內(nèi)，求的度數(shù)；②當射線在下方，如圖3所示，請問的度數(shù)會變化嗎？若不變，請說明理由，若改變，請求出的度數(shù)【詳解】證明：（1）在上取一點使得，∵，∴為等邊三角形，∵∴為等邊三角形，∴，∴≌（），∴，∴；（2）①如圖2，在上取一點，使得，∵，且，∴，∴，∴∴≌（），∴，∴，②會變，如圖3，在延長線上取一點，使得同理可得：≌（），∴，∴．【點評】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形判定，構(gòu)造手拉手模型是解題關(guān)鍵.【聚焦考點2】對角互補模型的特征：外觀呈現(xiàn)四邊形，且對角和為180°。主要：含90°對角互補，含120°的對角互補兩種類型。解決此類題型常用到的輔助線畫法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)法和過頂點作兩垂線?！镜淅饰?】【典例2-1】如圖，在平面直角坐標系xOy中，A,B兩點分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=OB，點C在第一象限，OC=3，連接BC，AC，若∠BCA=90°，則BC+AC的值為_________．【答案】【分析】可將△OBC繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)90°，所得的圖形與△OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜邊CD.【詳解】解：將△OBC繞O點旋轉(zhuǎn)90°，∵OB=OA∴點B落在A處，點C落在D處且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四邊形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三點在同一條直線上，∴△OCD為等要直角三角形，根據(jù)勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD=即BC+AC=.【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應邊相等，對應角相等.要求兩條線段的長，可利用作圖的方法將兩條線段化成一條線段，再求這條線段的長度即可，本題就是利用旋轉(zhuǎn)的方法做到的，但做本題時需注意，一定要證明C、A、D三點在同一條直線上.本題還有一種化一般為特殊的方法，因為答案一定可考慮CB⊥y軸的情況，此時四邊形OACB剛好是正方形，在做選擇或填空題時，也可以起到事半功倍的效果.【典例2-2】感知：如圖①，平分，，．判斷與的大小關(guān)系并證明．探究：如圖②，平分，，，與的大小關(guān)系變嗎？請說明理由．應用：如圖③，四邊形中，，，，則與差是多少（用含的代數(shù)式表示）【答案】感知：，證明見詳解；探究：與的大小關(guān)系不變，理由見詳解；應用：與差是．【分析】感知：根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可求證；探究：過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC，交AC延長線于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DE=DF，由題意可得∠B=∠DCF，進而可證△DEB≌△DFC，然后問題可求證；應用：過點D作DH⊥AB于點H，DG⊥AC，交AC的延長線于點G，連接AD，由題意易證△DHB≌△DGC，則有DH=DG，進而可得AG=AH，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，則有，最后問題可求解．【詳解】感知：，理由如下：∵，，∴，即，∵平分，∴；探究：與的大小關(guān)系不變，還是相等，理由如下：過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC，交AC延長線于點F，則∠DEB=∠DFC=90°，如圖所示：∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF，∴△DEB≌△DFC（AAS），∴；應用：過點D作DH⊥AB于點H，DG⊥AC，交AC的延長線于點G，連接AD，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，∵，，∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB與△DGC都為等腰直角三角形，∴，由勾股定理可得，∴，∴，在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG，∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL），∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵．針對訓練2【變式2-1】已知∠MAN，AC平分∠MAN.（1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，我們可得結(jié)論：AB+AD=AC；在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則上面的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；【解】（2）在圖3中：（只要填空，不需要證明）.①若∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，則AB+AD=AC；②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，則AB+AD=AC（用含α的三角函數(shù)表示）．【答案】（1）成立，證明如下；（2），.【詳解】試題分析：（1）作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得CE=CF，根據(jù)等角的補角相等，得∠CDE=∠ABC，再根據(jù)AAS得到△CDE≌△CBF，則DE=BF．再由∠MAN=120°，AC平分∠MAN，得到∠ECA=∠FCA=30°，從而根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半，得到AE=AC，AF=AC，等量代換后即可證明AD+AB=AC仍成立．試題解析：（1）仍成立．證明：過點C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、F∵AC平分∠MAN∴CE=CF∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°∴∠CDE=∠ABC又∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB（AAS）∵ED=FB，∴AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF∴AE+AF=AC∴AD+AB=AC（2），.【點評】(1)角平分線的性質(zhì)；（2）全等三角形的判定與性質(zhì)；（3）含30度角的直角三角形．【變式2-2】在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，對角線AC平分∠BAD．（1）如圖1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，試探究邊AD、AB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（2）如圖2，若將（1）中的條件“∠B=90°”去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．（3）如圖3，若∠DAB=90°，探究邊AD、AB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】（1）AC=AD+AB；（2）成立；（3）AD+AB=AC．【分析】（1）結(jié)論：AC=AD+AB，只要證明AD=AC，AB=AC即可解決問題；（2）（1）中的結(jié)論成立．以C為頂點，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點E，只要證明△DAC≌△BEC即可解決問題；（3）結(jié)論：AD+AB=AC．過點C作CE⊥AC交AB的延長線于點E，只要證明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解決問題；【詳解】（1）AC=AD+AB．理由如下：如圖1中，在四邊形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴AB=AC，同理AD=AC，∴AC=AD+AB．（2）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：以C為頂點，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點E，如圖2，∵∠BAC=60°，∴△AEC為等邊三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AE=AD+AB．（3）結(jié)論：AD+AB=AC．理由如下：過點C作CE⊥AC交AB的延長線于點E，如圖3，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=90°，∴∠DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°，∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBE=180°，∴∠D=∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD=BE，∴AD+AB=AE．在Rt△ACE中，AC=CE，∴AE==AC，∴AD+AB=AC．【點評】本題是四邊形探究的綜合題，屬于壓軸題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段的和差倍分關(guān)系，對于線段和差問題，常常采用截長法或補短法構(gòu)造輔助線，通過全等三角形來解決．【能力提升2】【提升2-1】如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直線MN是過點A的直線CD⊥MN于點D，連接BD．（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC，AD，BD之間有什么數(shù)量關(guān)系．經(jīng)過觀察思考，小明出一種思路：如圖1，過點B作BE⊥BD，交MN于點E，進而得出：DC+AD=BD．（2）探究證明將直線MN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時線段DC，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（3）拓展延伸在直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，當△ABD面積取得最大值時，若CD長為1，請直接寫B(tài)D的長．【答案】（1）；（2）AD﹣DC=BD；（3）BD=AD=+1．【解析】【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DC，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系（2）過點B作BE⊥BD，交MN于點E．AD交BC于O，證明，得到，，根據(jù)為等腰直角三角形，得到，再根據(jù)，即可解出答案.（3）根據(jù)A、B、C、D四點共圓，得到當點D在線段AB的垂直平分線上且在AB的右側(cè)時，△ABD的面積最大．在DA上截取一點H，使得CD=DH=1，則易證，由即可得出答案.【詳解】解：（1）如圖1中，由題意：，∴AE=CD，BE=BD，∴CD+AD=AD+AE=DE，∵是等腰直角三角形，∴DE=BD，∴DC+AD=BD，故答案為．（2）．證明：如圖，過點B作BE⊥BD，交MN于點E．AD交BC于O．∵，∴，∴．∵，，，∴，∴．又∵，∴，∴，，∴為等腰直角三角形，．∵，∴．（3）如圖3中，易知A、B、C、D四點共圓，當點D在線段AB的垂直平分線上且在AB的右側(cè)時，△ABD的面積最大．此時DG⊥AB，DB=DA，在DA上截取一點H，使得CD=DH=1，則易證，∴．【點評】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及圖形的應用，正確作輔助線和熟悉圖形特性是解題的關(guān)鍵.【提升2-2】如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，點E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．（1）思路梳理將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG，使AB與AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即點F，D，G三點共線，易證△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為__；（2）類比引申如圖2，在圖1的條件下，若點E，F(xiàn)由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB，DC延長線上，∠EAF=∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D，E均在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接寫出DE的長為________________.【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF?BE；證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG，使AB與AD重合，首先證明F，D，G三點共線，求出∠EAF＝∠GAF，然后證明△AFG≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADE'，首先證明E'，D，F(xiàn)三點共線，求出∠EAF＝∠E'AF，然后證明△AFE≌△AFE'，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（3）將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ACD'，使AB與AC重合，連接ED'，同（1）可證△AED≌AED'，求出∠ECD'＝90°，再根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：（1）將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG，使AB與AD重合，∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠FDG＝180°，即點F，D，G三點共線，∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠GAF，在△AFG和△AFE中，，∴△AFG≌△AFE，∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；（2）EF＝DF?BE；證明：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADE'，則△ABE≌ADE'，∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F(xiàn)三點共線，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠E'AF＝∠BAD?（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD?（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD?∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠E'AF，在△AEF和△AE'F中，，∴△AFE≌△AFE'（SAS），∴FE＝FE'，又∵FE'＝DF?DE'，∴EF＝DF?BE；（3）將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ACD'，使AB與AC重合，連接ED'，同（1）可證△AED≌AED'，∴DE＝D'E．∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，∴∠ECD'＝90°，在Rt△ECD'中，ED'＝，即DE＝，故答案為：．【點評】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，靈活運用利用旋轉(zhuǎn)變換作圖、掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【聚焦考點3】角含半角模型角含半角模型，顧名思義即一個角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)目標三角形法和翻折目標三角形法。【典例剖析3】【典例3-1】如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，連接EF，有下列結(jié)論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④【分析】利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得△ABF≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：∵△ADC繞A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，∴△ABF≌△ACD，∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正確，∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正確無法判斷BE＝CD，故①錯誤，故選：C．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【典例3-2】如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，分別連接EF、BD，BD與AF、AE分別相交于點M、N（1）求證：EF＝BE+DF為了證明“EF＝BE+DF”，小明延長CB至點G，使BG＝DF，連接AG，請畫出輔助線并按小明的思路寫出證明過程．（2）若BE＝2，DF＝3，請求出正方形ABCD的邊長．（3）請直接寫出線段BN、MN、DM三者之間的數(shù)量關(guān)系【分析】（1）延長BC到G，使BG＝DF，連接AG，證得△ABG≌△ADF，△AEF≌△AEG，最后利用等量代換求得答案即可；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，設(shè)正方形的邊長為x，列方程可解答；（3）在AG截取AH＝AM，連接NH、BH，證得△ABH≌△ADM，△AMN≌△AHN，最后利用勾股定理求得答案即可．【解析】（1）證明：如圖1，延長CB至點G，使BG＝DF，連接AG，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADF＝∠ABE＝∠ABG＝90°，在△ABG和△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADF∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF＝∠BAG，AF＝AG，∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，在△AEF和△AEG中，AF=AG∠FAE=∠GAE∴△AEF≌△AEG（SAS），∴EF＝EG，∵EG＝BE+BG，∴EF＝BE+DF；（2）解：設(shè)正方形的邊長為x，∵BE＝2，DF＝3，∴CE＝x﹣2，CF＝x﹣3，由（1）得：EF＝BE+DF＝2+3＝5，Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，52＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，解得：x＝6或﹣1（舍），答：正方形ABCD的邊長為6．（3）解：BN2+DM2＝MN2；理由是：如圖2，在AG上截取AH＝AM，連接HN、BH，在△AHB和△AMD中，AB=AD∠HAB=∠MAD∴△AHB≌△AMD（SAS），∴BH＝DM，∠ABH＝∠ADB＝45°，又∵∠ABD＝45°，∴∠HBN＝90°．∴BH2+BN2＝HN2．在△AHN和△AMN中，AH=AM∠HAN=∠MAN∴△AHN≌△AMN（SAS），∴MN＝HN．∴BN2+DM2＝MN2．針對訓練3【變式3-1】閱讀下面材料：小輝遇到這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D，E在邊BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的長．小輝發(fā)現(xiàn)，將△ABD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACF，連接EF（如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及∠DAE＝45°，可證△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的長．請回答：在圖2中，∠FCE的度數(shù)是90°，DE的長為10．參考小輝思考問題的方法，解決問題：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF=12∠BAD．猜想線段BE，EF，【分析】對于圖2，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到∠ACF＝∠B＝45°，CF＝BD，所以∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝90°，然后利用勾股定理計算EF，即可得到DE；對于圖3，將△ABE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，由于∠B+∠ADC＝180°，則∠ADG+∠ADC＝180°，則可判斷點F，D，G在同一條直線上，接著證明△AEF≌△AGF，得到EF＝FG，由于FG＝DG+FD＝BE+DF，于是得到EF＝BE+FD．【解析】如圖2，∵∠ACF＝∠B＝45°，∴∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，在Rt△EFC中，∵CF＝BD＝3，CE＝1，∴EF=C∴DE=10故答案為90°；10；如圖3，猜想：EF＝BE+FD．理由如下：如圖，將△ABE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADG，∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADG+∠ADC＝180°，即點F，D，G在同一條直線上，∵∠DAG＝∠BAE，∴∠GAE＝∠BAD，∵∠EAF=12∠∴∠GAF＝∠EAF，在△AEF和△AGF中，AE=AG∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+FD＝BE+DF，∴EF＝BE+FD．【變式3-2】如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝43，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長為_____．【解析】【分析】將△ACN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，由旋轉(zhuǎn)得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根據(jù)SAS推出△AEM≌△ANM，根據(jù)全等得出MN＝ME，求出MN＝CN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周長＝BD+DC，代入求出即可．【詳解】將△ACN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，如圖：由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三點共線，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△