2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（北師大版）第6章 反比例函數(shù)（知識(shí)歸納+題型突破）（原卷版）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（北師大版）

第6章反比例函數(shù)（知識(shí)歸納+題型突破）1．使學(xué)生理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式，能判斷一個(gè)給定函數(shù)是否為反比例函數(shù)；2．能描點(diǎn)畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象，會(huì)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式；3．能根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合地分析并掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，能利用這些性質(zhì)分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.一、反比例函數(shù)的概念一般地，形如(為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).要點(diǎn)：在中，自變量的取值范圍是，()可以寫(xiě)成()的形式，也可以寫(xiě)成的形式.二、反比例函數(shù)解析式的確定反比例函數(shù)解析式的確定方法是待定系數(shù)法.由于反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要知道一對(duì)的對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，從而確定其解析式.三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.反比例函數(shù)的圖象反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限．它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，反比例函數(shù)的圖象與軸、軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交．要點(diǎn)：觀察反比例函數(shù)的圖象可得：和的值都不能為0，并且圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)．①的圖象是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為兩條直線；②的圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為原點(diǎn)（0，0）；③(k≠0)在同一坐標(biāo)系中的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，也關(guān)于軸對(duì)稱.注：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，兩圖象沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.2.反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）圖象位置與反比例函數(shù)性質(zhì)當(dāng)時(shí)，同號(hào)，圖象在第一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，異號(hào)，圖象在第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大.（2）若點(diǎn)()在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)（）也在此圖象上，故反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

（3）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)比較正比例函數(shù)反比例函數(shù)解析式圖像直線有兩個(gè)分支組成的曲線（雙曲線）位置，一、三象限；

，二、四象限，一、三象限

，二、四象限增減性，隨的增大而增大

，隨的增大而減小，在每個(gè)象限，隨的增大而減小

，在每個(gè)象限，隨的增大而增大（4）反比例函數(shù)y＝中的意義①過(guò)雙曲線(≠0)上任意一點(diǎn)作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.②過(guò)雙曲線(≠0)上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為.四、應(yīng)用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題須注意以下幾點(diǎn)

1．反比例函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在，在應(yīng)用反比例函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.2．列出函數(shù)關(guān)系式后，要注意自變量的取值范圍.題型一反比例函數(shù)的定義及有關(guān)概念【例1】下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．下列各點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上的是（

）A． B． C． D．2．下列問(wèn)題中的兩個(gè)變量是成反比例的是（）A．被除數(shù)（不為零）一定，除數(shù)與商 B．貨物的單價(jià)一定，貨物的總價(jià)與貨物的數(shù)量C．等腰三角形的周長(zhǎng)一定，它的腰長(zhǎng)與底邊的長(zhǎng) D．汽車(chē)所行的速度一定，它所行駛的路程與時(shí)間3．下列函數(shù)表達(dá)式中，表示是的反比例函數(shù)的有（

）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．已知關(guān)于x的反比例函數(shù)，則m的值為．5．如果是反比例函數(shù)，那么的值是．題型二反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)【例2】關(guān)于反比例函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．函數(shù)圖像分別位于第一、三象限 B．函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．函數(shù)圖像過(guò)，則 D．函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱鞏固訓(xùn)練：1．在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖像大致是（）A．

B．

C．

D．

2．若點(diǎn)，，是反比例函數(shù)圖像上的三個(gè)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．3．關(guān)于反比例函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) B．函數(shù)圖像位于第一、三象限C．函數(shù)值隨著的增大而增大 D．當(dāng)時(shí)，4．反比例函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)，當(dāng)，則的取值范圍是．5．若反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，則的取值范圍是．6．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于每一象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖像，的值都隨值的增大而增大，則的取值范圍是．7．在函數(shù)(m為常數(shù))的圖象上有三個(gè)點(diǎn)，，，則函數(shù)值的大小關(guān)系是(

)．A． B． C． D．題型三反比例函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題【例3】如圖，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，，交軸、軸于點(diǎn)、，所得矩形的面積為8，則的值是（

）

A．4 B． C．8 D．鞏固訓(xùn)練：1．函數(shù)與的圖象如圖所示，點(diǎn)C是y軸上的任意一點(diǎn)．直線平行于y軸，分別與兩個(gè)函數(shù)圖象交于點(diǎn)A、B，連接．當(dāng)從左向右平移時(shí)，的面積是．

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在y軸上，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B為的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)．若的面積是6，則k的值為．

3．點(diǎn)，是反比例函數(shù)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，平行于軸，交軸于點(diǎn)，平行于軸，交軸于點(diǎn)，設(shè)四邊形的面積為，則（

）

A． B． C． D．4．如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)，點(diǎn)分別在x軸，y軸正半軸上．若四邊形為菱形，軸，，則k的值（

）

A．3 B．6 C．12 D．245．如圖，矩形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)A在軸的正半軸上，，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，，連接，過(guò)點(diǎn)A作交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，連接，．若的面積為4.5，則的值為．

題型四反比例函數(shù)與不等式【例4】．如圖，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與反比例函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為．

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，并在圖中畫(huà)出該一次函數(shù)的圖像；(2)結(jié)合圖像，直接寫(xiě)出不等式組的解集_________．(3)把的圖像向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，若平移后的直線與反比例函數(shù)的圖像在第三象限交于點(diǎn)，求的面積．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象與軸和軸分別交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，，且．(1)直接寫(xiě)出的值以及，的坐標(biāo)；(2)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出：當(dāng)時(shí)x的取值范圍；(3)求的面積．題型五反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合分析【例5】．已知點(diǎn)與點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，()A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則鞏固訓(xùn)練：1．已知點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖象上，，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．如圖，在反比例函數(shù)的圖象上，有點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4，分別過(guò)這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為，則（

）

A．1 B． C． D．23．在同一坐標(biāo)系中，若正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，則與的關(guān)系，下面四種表述：①；②；③；④或．正確的有()A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)題型六反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例6】．某氣球內(nèi)充滿一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)與氣體的體積成反比例．當(dāng)氣體的體積時(shí)，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)．(1)當(dāng)氣體的體積為時(shí)，它的壓強(qiáng)是多少？(2)當(dāng)氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)大于時(shí)，氣球就會(huì)爆炸．問(wèn)：氣球內(nèi)氣體的體積應(yīng)不小于多少氣球才不會(huì)爆炸？題型七反比例函數(shù)綜合解答題【例7】．如圖，已知，是反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出不等式的解集．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)．

(1)求b與m的值；(2)為x軸上一點(diǎn)，連接AP，當(dāng)?shù)拿娣e為9時(shí)，求a的值．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)直線分別交x軸、y軸于兩點(diǎn)．①請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，作出的平分線，交直線于點(diǎn)P；（要求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）②求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．為加強(qiáng)生態(tài)文明建設(shè)，某市環(huán)保局對(duì)一企業(yè)排污情況進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標(biāo)，即硫化物的濃度超過(guò)最高允許的1.0．環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，在15天內(nèi)(含15天)排污達(dá)標(biāo)．整改過(guò)程中，所排污水中硫化物的濃度y與時(shí)間天的變化規(guī)律如圖所示，其中線段表示前3天的變化規(guī)律，第3天時(shí)硫化物的濃度降為4從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時(shí)間x滿足下面表格中的關(guān)系：時(shí)間x(天)3568……硫化物的濃度42.421.5……

(1)在整改過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求硫化物的濃度y與時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式；(2)在整改過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求硫化物的濃度y與時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式；(3)該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度在第幾天降為？4．《見(jiàn)微知著》談到：從一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問(wèn)題出發(fā)，從特殊到一搬，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高維，知識(shí)與方法上的類(lèi)比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門(mén)發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，新結(jié)論的重要方法．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們經(jīng)常會(huì)用到類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，請(qǐng)利用上述有關(guān)思想，解答下列問(wèn)題：

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)在軸負(fù)半軸，頂點(diǎn)在軸正半軸，，分別在的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，連接，，四邊形的面積為．(1)__________________．直線的表達(dá)式為_(kāi)_________________(2)如圖2，為該反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)在（2）的條件下，延長(zhǎng)交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線于，過(guò)點(diǎn)作直線于，試判斷的值是否為定值，若是，請(qǐng)直接寫(xiě)出定值；若不是．請(qǐng)說(shuō)明理由．5．【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，四邊形、、都是邊長(zhǎng)為1的正方形，在下列角中：①∠DAF，②，③