2024年七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假提升學(xué)與練（滬教版）專題04立方根和開立方、n次方根（2大考點(diǎn)+6種題型）（原卷版）

專題04立方根和開立方、n次方根（2大考點(diǎn)+6種題型）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)與題型分類聚焦考點(diǎn)一、開立方考點(diǎn)二、開次方題型一：立方根概念理解題型二：求一個(gè)數(shù)的立方根題型三：已知一個(gè)數(shù)的立方根，求這個(gè)數(shù)題型四：立方根的實(shí)際應(yīng)用題型五：算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用題型六：n次方根考點(diǎn)一、開立方1、定義：求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開立方．2、如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根，用“”表示，讀作“三次根號(hào)”，中的叫做被開方數(shù)，“3”叫做根指數(shù)．★注意：任意一個(gè)實(shí)數(shù)都有立方根，而且只有一個(gè)立方根；負(fù)數(shù)有立方根；零的立方根是0；一個(gè)數(shù)的立方根是它本身，則這個(gè)數(shù)是0，1和-1．考點(diǎn)二、次方根1、求一個(gè)數(shù)的次方根的運(yùn)算叫做開次方．叫做被開方數(shù)，叫做根指數(shù)．如果一個(gè)數(shù)的次方（是大于1的整數(shù)）等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的次方根．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)為的奇次方根；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)為的偶次方根．★注意：實(shí)數(shù)的奇次方根有且只有一個(gè)，用“”表示．其中被開方數(shù)是任意一個(gè)數(shù)，根指數(shù)是大于1的奇數(shù)；正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，正次方根用“”表示，負(fù)次方根用“”表示．其中被開方數(shù)，根指數(shù)是正偶數(shù)（當(dāng)時(shí)，在中省略）；負(fù)數(shù)的偶次方根不存在；零的次方根等于零，表示為．題型一：立方根概念理解【例1】．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）給出下列四個(gè)說法：①一個(gè)數(shù)的平方等于1，那么這個(gè)數(shù)就是1；②4是8的算術(shù)平方根；③平方根等于它本身的數(shù)只有0；④8的立方根是．其中正確的是（

）A．①④ B．①②③C．②③ D．③【變式1】．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．8的立方根是±2 B．4的算術(shù)平方根是2C．的平方根是±3 D．立方根等于它本身的數(shù)是±1，0【變式2】．（2023上·河北滄州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如果一個(gè)數(shù)的立方等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是（

）A．1 B． C．1或 D．1、或0題型二：求一個(gè)數(shù)的立方根【例2】．（2023上·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）的立方根是（

）A． B． C． D．【變式1】．（2021下·上海徐匯·七年級(jí)?？计谥校┤绻敲矗咀兪?】．（2023上·浙江杭州·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：的值等于．【變式3】．（2023下·上海靜安·七年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥校┮阎钦钠椒礁?，是的立方根，求的立方根的值．【變式4】．（2023下·上海寶山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解方程：【變式5】．（2023下·上海寶山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．題型三：已知一個(gè)數(shù)的立方根，求這個(gè)數(shù)【例3】．（2021下·上海寶山·七年級(jí)?？计谥校?shí)數(shù)a的立方根是，則a＝．【變式1】．（2023下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）4的平方根是；算術(shù)平方根是；是的立方根．【變式2】．（2023下·七年級(jí)單元測試）已知，則【變式3】．（2023下·上海浦東新·七年級(jí)?？计谀┤绻?，那么．【變式4】．（2021下·上海松江·七年級(jí)校考期中）解方程：，則．題型四：立方根的實(shí)際應(yīng)用【例4】．（2022下·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）填寫下表，并回答問題：a…0.0000010.001110001000000………（1）數(shù)a與它的立方根的小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)有何規(guī)律？（2）根據(jù)這個(gè)規(guī)律，若已知，求a的值．【變式1】．（2021下·上海浦東新·七年級(jí)?？计谥校┮阎粋€(gè)正方體的棱長是，要再做一個(gè)正方體，使它的體積是原正方體的體積的倍，求新做的正方體的棱長．【變式2】．（2022下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）【閱讀材料】數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口而出：“39”．鄰座的乘客十分驚奇，忙間其中計(jì)算的奧妙．你知道怎樣迅速準(zhǔn)確的計(jì)算出結(jié)果嗎？請你按下面的步驟試一試：第一步：∵，，，∴．∴能確定59319的立方根是個(gè)兩位數(shù)．第二步：∵59319的個(gè)位數(shù)是9，∴能確定59319的立方根的個(gè)位數(shù)是9．第三步：如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而，則，可得，由此能確定59319的立方根的十位數(shù)是3，因此59319的立方根是39．【解答問題】根據(jù)上面材料，解答下面的問題（1）求110592的立方根，寫出步驟．（2）填空：__________．題型五：算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用【例5】．（2021下·上?！て吣昙?jí)校考期中）求值：．【變式1】．（2023下·七年級(jí)單元測試）若的算術(shù)平方根是7，則的立方根是．【變式2】．（2022上·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算術(shù)平方根是4(1)求a，b的值．(2)求6a+3b的平方根．【變式3】．（2022下·上?！て吣昙?jí)期中）閱讀下列解題過程，并按要求填空：已知：＝1，＝﹣1，求的值．解：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，由＝1，得（2x﹣y）2＝1，2x﹣y＝1第一步根據(jù)立方根的意義，由＝﹣1，得x﹣2y＝﹣1…第二步由①、②，得，解得…第三步把x、y的值分別代入分式中，得＝0

…第四步以上解題過程中有兩處錯(cuò)誤，一處是第步，忽略了；一處是第步，忽略了；正確的結(jié)論是（直接寫出答案）．【變式4】．（2022上·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問題：（1），，，……，，，……由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)______位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向______移動(dòng)______位．（2）已知，，則_____；______．（3），，，……小數(shù)點(diǎn)的變化規(guī)律是_______________________．（4）已知，，則______．題型六：n次方根【例6】．（2022下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）表示的含義是（

）A．a(chǎn)的正的n次方根 B．a(chǎn)的n次方根C．當(dāng)時(shí)，表示a的正的n次方根 D．當(dāng)時(shí)，且n為奇數(shù)時(shí)，表示a的n次方根【變式1】．（2022下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）16的四次方根是（

）A．2 B．-2 C． D．【變式2】．（2022下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）的6次方根是（

）A．2 B．-2 C． D．【變式3】．（2022下·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：（

）A．8 B．-8 C．2 D．-2【變式4】．（2023下·上海奉賢·七年級(jí)?？计谥校┮阎瑒t實(shí)數(shù)．【變式5】．（2023下·上海嘉定·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知與是同一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)不同的平方根．(1)求字母m的值；(2)求x的四次方根．【變式6】．（2022下·上海閔行·七年級(jí)上海市七寶中學(xué)?？计谥校┮阎蟮膎次方根（n為大于1的整數(shù)）一、單選題1．（2022下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）下列運(yùn)算中，正確的是（

）A．＝a﹣b B．C．﹣＝a﹣b D．＝a+b2．（2022下·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）下列各式正確的是（

）A．=a B．a(chǎn)0=1 C．=-4 D．=-53．（2022下·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如果，那么y=（

）A．3 B．-3 C． D．4．（2023上·浙江溫州·七年級(jí)?？计谥校┑牧⒎礁牵?/p>

）A． B．3 C． D．5．（2023上·浙江寧波·七年級(jí)寧波市第七中學(xué)校考期中）如圖為洪濤同學(xué)的小測卷，他的得分應(yīng)是（

）A．25分 B．50分 C．75分 D．100分6．（2023上·山東濟(jì)南·七年級(jí)校考階段練習(xí)）若，則的值為（

）A． B．0 C．或2 D．或二、填空題7．（2023上·黑龍江綏化·七年級(jí)?？计谥校┤粢粋€(gè)數(shù)的算術(shù)平方根和立方根都等于它本身，則這個(gè)數(shù)一定是．8．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）如果是的算術(shù)平方根，是的立方根，那么．9．（2023上·浙江紹興·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知一個(gè)正方體的體積是1000，現(xiàn)在要在它的8個(gè)角上分別截去1個(gè)大小相同的小正方體，截去后余下部分的體積488，則截去的每小正方體的棱長是cm．10．（2023上·浙江紹興·七年級(jí)新昌縣七星中學(xué)?？计谥校┮阎粋€(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，則a的立方根是．11．（2023上·浙江溫州·七年級(jí)?？计谥校┤簦瑒t．12．（2023上·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如果x是9的平方根，y是的立方根，則．13．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，的立方根.14．（2023上·浙江嘉興·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的立方根是3，的算術(shù)平方根是4．則，．15．（2023上·山東淄博·七年級(jí)淄博市淄川實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的立方根是，的平方根是．16．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）已知的平方根是，且4，則的值為．17．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）對于實(shí)數(shù)a，b，定義min{a，b}的含義為：當(dāng)a＜b時(shí)，min{a，b}＝a．例如：min{1，－2}＝－2．已知，，且a和b為兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)，則a－2b的立方根為．18．計(jì)算：．三、解答題19．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．20．（2023下·遼寧營口·七年級(jí)統(tǒng)考期中）求x的值：(1)；(2)．21．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）已知與互為相反數(shù)，求的立方根．22．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知是m＋3的算術(shù)平方根，B＝是n－2的立方根，求A，B的值．23．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果是a－3b的算術(shù)平方根，是的立方根，求2a－3b的立方根．24．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）（1）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根；（2）已知a，b都是有理數(shù)，且，求的平方根．25．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校聯(lián)考期中）閱讀與探究本學(xué)期我們在《實(shí)數(shù)》中，學(xué)習(xí)了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分內(nèi)容．平方根立方根定義一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的平方根或二次方根．這就是說，如果，那么x叫做的平方根．一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根或三次方根這就是說，如果，那么叫做的立方根．運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方．開平方與平方互為逆運(yùn)算．求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方．開立方與立方互為逆運(yùn)算．性質(zhì)正數(shù)有兩個(gè)平方根，他們互為相反數(shù)；的平方根是；負(fù)數(shù)沒有平方根．正數(shù)的立方根是正數(shù)；的立方根是；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)．表示方法正數(shù)的平方根可以用“”表示，讀作“正負(fù)根號(hào)”一個(gè)數(shù)的立方根可以用“”表示，讀作“三次根號(hào)”．今天我們類比平方根和立方根的學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)四次方根．(1)探究定義：類比平方根和立方根的定義，給四次方根下定義：．(2)探究性質(zhì)：①的四次方根是；的四次方根是；（填“有”或“沒有”）四次方根．②類比平方根和立方根的性質(zhì)，歸納四次方根的性質(zhì)：．26．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)校的“數(shù)學(xué)長廊”中展示了他們小組探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，內(nèi)容如