專(zhuān)題08立體幾何大題?？碱}型歸類(lèi)（考題猜想6題型）

專(zhuān)題08立體幾何大題一．共面、共線(xiàn)、共點(diǎn)的證明1．（2324高二上·北京·月考）如圖，在空間四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，，分別在，上，且.(1)求證：；(2)設(shè)與交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線(xiàn).【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）、分別是、的中點(diǎn)，，，，.（2）因?yàn)?，，平面，所以平面，同理平?所以是平面與平面的公共點(diǎn)，又平面平面，所以，所以三點(diǎn)共線(xiàn)2．（2324高一下·江蘇高郵·月考）如圖，已知空間四邊形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，G，H分別在CD和AD上，且滿(mǎn)足.求證：(1)，，，四點(diǎn)共面；(2)，，三線(xiàn)共點(diǎn)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)?，所?所以，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，即E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．（2）因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以，.由題意知＝，，，所以四邊形為梯形，直線(xiàn)和必相交，設(shè)交點(diǎn)為M，即，因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)平面，可得點(diǎn)平面.又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)直線(xiàn)，所以直線(xiàn)，，三線(xiàn)共點(diǎn)．3．（2324高一下·云南大理·期中）如圖，四邊形和四邊形都是梯形，，且分別為的中點(diǎn).(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)求證：四點(diǎn)共面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，，又因?yàn)?，，則，，所以四邊形是平行四邊形.（2）因?yàn)?，，為中點(diǎn)，則，，可知四邊形為平行四邊形，則，，由（1）知：，，可得，，所以四邊形為平行四邊形，則，即，所以四點(diǎn)共面.4．（2223高一下·四川綿陽(yáng)·月考）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為分別為的中點(diǎn).

(1)已知點(diǎn)滿(mǎn)足，求證四點(diǎn)共面；(2)求三棱柱的表面積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】（1）在正方體中，取中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則，即四邊形是平行四邊形，則有，由，知為的中點(diǎn)，而為中點(diǎn)，于是，即有，所以四點(diǎn)共面.（2）顯然三棱柱是直三棱柱，，上下兩個(gè)底面的面積和為，側(cè)面積，所以三棱柱的表面積.5．（2324高一下·浙江寧波·期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)，分別是棱的中點(diǎn)．(1)證明：三條直線(xiàn)相交于同一點(diǎn)(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)1.【解析】（1）連接，如圖：分別是的中點(diǎn)，，，且，∴四邊形為平行四邊形，，在中，分別是的中點(diǎn)，，，且四點(diǎn)共面，設(shè)，平面，平面，平面，平面，平面平面，三條直線(xiàn)相交于同一點(diǎn)；（2），三棱錐的高為，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，，，．．二．平行與垂直證明綜合1．（2324高一下·河北張家口·月考）在正方體中，O是的中點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若P是的中點(diǎn)，求證：平面平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）連接，因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又平面，平面，所以平面平?2．（2324高一下·天津·月考）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)F.(1)證明：平面；(2)證明：平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）連接，交于，連接．因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，在中，是中位線(xiàn)，所以，而平面且平面，所以，平面.（2）證明：由底面，面，得，因?yàn)榈酌媸钦叫危?，又，平面，所以平面，而平面，所以，因?yàn)?，可知是等腰三角形，而是邊的中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面．3．（2324高一下·四川廣安·月考）如圖，在四棱錐中，底面，在直角梯形中，，，，是中點(diǎn).求證：(1)平面；(2)【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，，，又，，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面.（2）平面，平面，；取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，則，，又，，∴四邊形為正方形，設(shè)，則，，，，；又，平面，平面，平面，.4．（2324高一下·江蘇鹽城·月考）在三棱柱中，側(cè)面底面，，，，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）證明：連接，設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以為的中點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又平面平面，所以平面.（2）證明：在中，由，得，即；在中，同理可得.因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，底面，所以平面又平面，所以，又，平面平面，所以平面5．（2324高一下·安徽·月考）如圖，在直四棱柱中，四邊形為等腰梯形，，，，點(diǎn)E是線(xiàn)段的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）證明：（1）因?yàn)?，點(diǎn)E是線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.同理，，平面，平面，所以平面.又，，平面．所以平面平面.（2）如圖，作，垂足為F.因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以由勾股定理得，所以，所以，因?yàn)槠矫?，所以，又，平面，所以平?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?三．直線(xiàn)與平面所成角求解1．（2324高一下·湖南永州·月考）如圖，在長(zhǎng)方體中，，(1)求證：；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正切值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）連接，由題意可知：為正方體，則，又因?yàn)槠矫?，平面，則，且，平面，可得平面，由平面，可得.（2）由題意可知：平面，則即為直線(xiàn)與平面所成角，又因?yàn)?，則，所以所求角的正切值為2．（2024·上海普陀·二模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，、分別是、的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若二面角的大小為，求直線(xiàn)與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）證明：取線(xiàn)段、的中點(diǎn)分別為、，連接、、，則，，又底面是正方形，即，則，即四邊形為平行四邊形，則，又在平面外，平面，故平面.

（2）取線(xiàn)段的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，又，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，則，且，，又二面角的大小為，即平面平面，又平面，平面平面，則平面，則是直線(xiàn)與平面所成角，在中，，即，故直線(xiàn)與平面所成角的大小為.3．（2324高一下·山西運(yùn)城·月考）如圖，直四棱柱中，底面ABCD為菱形，，，P，M，N分別為CD，，的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）因?yàn)?，分別為線(xiàn)段，的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?

因?yàn)?，分別為線(xiàn)段，的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)?，平面，平面，所以平面平?（2）由題知平面，平面，故，故，因?yàn)樗倪呅问橇庑危?，則，所以.而，故.

設(shè)為點(diǎn)到平面的距離，與平面所成的角為，故.又，而，故，故.

故，即與平面所成角的正弦值為.4．（2324高一下·河北滄州·月考）如圖，在斜三棱柱中，為AC的中點(diǎn)，.(1)證明：.(2)若，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，如圖所示.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以又，所以，因?yàn)椋?，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)榍叶荚诿?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?（2）因?yàn)槠矫妫?，所?又，由，即，因?yàn)?，所以，則由題設(shè)知，因?yàn)椋叶荚趦?nèi)，所以平面，面，所以，且設(shè)到平面的距離為，由，且都在面內(nèi)，故面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，綜上，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則.所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.5．（2324高二上·河南·月考）如圖，已知平面ACD，平面ACD，三角形ACD是正三角形，且，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面CDE；(2)求直線(xiàn)EF與平面CBE所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫鍭CD，平面CDE，所以平面平面ACD．在底面ACD中，，平面平面，由面面垂直的性質(zhì)定理知，平面CDE．取CE的中點(diǎn)M，連接BM，F(xiàn)M，由已知可得且，則四邊形FMBA為平行四邊形，從而．所以平面CDE．又平面BCE，則平面平面CDE．（2）過(guò)F作交CE于N，則平面CBE，連接EF，則就是直線(xiàn)EF與平面CBE所成的角．設(shè)，則，，，，在中，∴．故直線(xiàn)EF與平面CBE所成角的正弦值為．四．空間二面角求解1．（2324高一下·江蘇·月考）如圖，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上靠近的三分點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求二面角的正切值.（先找角再證明最后計(jì)算）【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）已知底面是菱形，如圖，設(shè)其中心為，則是線(xiàn)段和的中點(diǎn).由于是的中點(diǎn)，故，而在平面內(nèi)，不在平面內(nèi)，所以平面.（2）我們有，.而是的中點(diǎn)，所以，，從而二面角的正切值就是.而由于，，故.所以二面角的正切值為.2．（2324高一下·廣西南寧·月考）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求二面角的正切值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且，即，面，所以平面，而平面，所以，又，所以，又，平面，所以平面，面，即，由面，則，又，，，所以，，則，故，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以，即，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.（2）如圖：取中點(diǎn)，連結(jié)BD，取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，面，所以平面，又，，所以，，由題設(shè)易知為正方形，則，且，所以且，則平面，所以平面，平面，所以，所以在直角三角形中，即為二面角的平面角，.3．（2324高一下·河南鄭州·月考）如圖，在四棱錐中，，，，，平面平面.(1)求證：；(2)若，，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）因?yàn)?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以；?）延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，則平面平面，因?yàn)椋?所以是的中點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以為平面與平面所成角的平面角，在中，因?yàn)?，可得，在中，因?yàn)?，可得，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.4．（2324高三下·黑龍江佳木斯·三模）如圖，在四棱錐中，平面平面，，底面為等腰梯形，，且．(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)A到平面PBC的距離為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又平面，，所以平面，又平面，所以，過(guò)C作交于點(diǎn)G，則由題意，所以，，所以，即，又，、平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）過(guò)A作交于點(diǎn)E，由（1）可得平面平面，又平面平面，所以平面，點(diǎn)A到平面PBC的距離為，所以，又由（1）平面可得，所以，所以，延長(zhǎng)交于點(diǎn)S，則平面平面，又由為等腰梯形，且以及，可得，分別為的中點(diǎn)，連接，則，且，又由平面，可得，又，、平面，所以平面，又平面，所以，過(guò)D作，交于點(diǎn)，連接，則由得平面，所以為二面角的的平面角，又在和中，，所以，故，所以.故平面與平面夾角的余弦值為.5．（2324高一下·浙江·月考）如圖，在直三棱柱中，，，四邊形為正方形.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）由平面為正方形，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，，所以，所以，又，且，平面，所以平面，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫?，平面平?（2）因?yàn)橹苯侨切沃校?所以，所以為等邊三角形.又因?yàn)闉榈妊切?所以取得中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，所以為二面角的平面角.因?yàn)橹苯侨切沃校?在等邊三角形中，所以在三角形中，.所以二面角的余弦值為.五．等體積法求點(diǎn)到平面的距離1．（2324高一下·河南周口·月考）如圖，在三棱錐中，，，，為等邊三角形，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段，的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)C到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）∵，，，∴，又為等邊三角形，∴，在中，由余弦定理得，解得，∴，即．∵，，平面，∴平面.（2）取中點(diǎn)，連接，∵為等邊三角形，∴，又由（1）可知平面，平面，∴，又∵，且平面，∴平面.∵為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．在中，可知，在中，可知，∵是的中位線(xiàn)，∴，可得的面積設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐的體積，又的面積，點(diǎn)E到平面的距離為，∴三棱錐的體積.由，得，即點(diǎn)到平面的距離為.2．（2324高一下·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為.(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）如圖，連接，因?yàn)槠矫?，平?則，又因?yàn)椋移矫?，得平面，又平面，所以；因?yàn)槠矫?，平面，則，又因?yàn)槠矫妫云矫?，又平面，所以，又平面，所以平?（2）由為的中點(diǎn)，得，且，所以，由，得，即，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.3．（2024·四川·三模）正方體的棱長(zhǎng)為2，分別是的中點(diǎn).(1)求證：面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）連接，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，由中位線(xiàn)定理得，又，所以，所以四點(diǎn)共面，由于是AD的中點(diǎn)，則且那么四邊形為平行四邊形，從而，又面面故面，（2）由上問(wèn)結(jié)論知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.易得，利用余弦定理得則設(shè)點(diǎn)到平面的距離，利用等體積法，可得，即點(diǎn)到平面的距離為.4．（2324高一下·河南安陽(yáng)·月考）如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)D為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，，，求到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）連接，交于，連接，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)镈為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)?，，D為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，所以，且，，因?yàn)橹崩庵衅矫?，面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，即點(diǎn)到平面的距離為，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)易得，在直角三角形中，，，所以面積，又三角形的面積為.設(shè)到平面的距離為，因?yàn)椋?，所以，解得，即到平面的距離為.5．（2324高一下·福建莆田·期中）正三棱柱的底面正三角形的邊長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，.(1)證明：平面；(2)求到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）連接，設(shè)，連接因?yàn)槭钦庵膫?cè)面，所以為矩形，所以是的中點(diǎn)，所以是的中位線(xiàn)，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)樵谡庵?，底面正三角形的邊長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，，所以，，故，又平面，，所以又，由正三棱柱的性質(zhì)可知，平面平面，又平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.六．立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)探究問(wèn)題1．（2324高一下·安徽阜陽(yáng)·期中）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．(1)求證：‖平面；(2)上是否存在一點(diǎn)，使得平面‖平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，點(diǎn)為的中點(diǎn)【解析】（1）證明：如圖，連接交于，連接．正方體，底面為正方形，，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，是的中位線(xiàn)，‖，又平面，平面，‖平面．（2）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，即滿(mǎn)足平面‖平面，理由如下：連接，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，‖，，四邊形為平行四邊形，‖，又平面，平面，‖平面．由（1）知‖平面，又，，平面，平面‖平面．2．（2324高一下·江蘇南京·月考）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，其中，且，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若為上的動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)N，使得平面?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)N的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)點(diǎn)為的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）取點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)?，且，所以則四邊形是平行四邊形，即，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）存在點(diǎn)為的中點(diǎn)，滿(mǎn)足平面.因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，再由平面，，平面，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平?3．（2023·江西贛州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，且點(diǎn)為棱的中點(diǎn)【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、、，因?yàn)榍遥仕倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則且，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面，因?yàn)椋?、平面，所以，平面平面，因?yàn)槠矫妫势矫?（2）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則，因?yàn)?，則，因?yàn)樗倪?/p>