高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何3空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系課件新人教A版22

8.3

空間點(diǎn)、直線、平面

之間的位置關(guān)系-2-知識梳理雙基自測23416571.平面的基本性質(zhì)公理1:如果一條直線上的

在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2:過

的三點(diǎn),有且只有一個平面.

公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn),那么它們有且只有

過該點(diǎn)的公共直線.

兩點(diǎn)

不在一條直線上

一條

-3-知識梳理雙基自測23416572.直線與直線的位置關(guān)系

平行

相交

任何

(2)異面直線所成的角①定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a'∥a,b'∥b,把a(bǔ)'與b'所成的銳角(或直角)叫做異面直線a,b所成的角(或夾角).-4-知識梳理雙基自測23416573.公理4平行于

的兩條直線互相平行.

同一條直線

-5-知識梳理雙基自測23416574.定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角

.

相等或互補(bǔ)

-6-知識梳理雙基自測23416575.直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有

、

、__________三種情況.

平行

相交

在平面內(nèi)

-7-知識梳理雙基自測23416576.平面與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系有

、

兩種情況.

平行

相交

-8-知識梳理雙基自測23416577.常用結(jié)論(1)唯一性定理①過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.②過直線外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直.③過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行.④過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.(2)異面直線的判定定理經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線.-9-知識梳理雙基自測2341657(3)確定平面的三個推論①推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個平面.②推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.③推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.(4)異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”,實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個平面,因此異面直線既不平行,也不相交.2-10-知識梳理雙基自測34151.下列結(jié)論正確的打“√”,錯誤的打“×”.(1)兩個不重合的平面只能把空間分成四個部分.(

)(2)兩個平面α,β有一個公共點(diǎn)A,就說α,β相交于A點(diǎn),記作α∩β=A.(

)(3)已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b不可能是平行直線.(

)(4)如果兩個不重合的平面α,β有一條公共直線a,那么就說平面α,β相交,并記作α∩β=a.(

)(5)若a,b是兩條直線,α,β是兩個平面,且a?α,b?β,則a,b是異面直線.(

)×

×

√√×

-11-知識梳理雙基自測234152.如圖,平面α∩平面β=直線l,點(diǎn)A,B∈α,點(diǎn)C∈β,且C?l,直線AB∩l=M,過A,B,C三點(diǎn)的平面記作γ,則γ與β的交線必通過(

)A.點(diǎn)A

B.點(diǎn)BC.點(diǎn)C但不過點(diǎn)M

D.點(diǎn)C和點(diǎn)MD-12-知識梳理雙基自測234153.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),則異面直線B1C與EF所成角的大小為(

)°°°°C-13-知識梳理雙基自測234154.設(shè)P表示一個點(diǎn),a,b表示兩條直線,α,β表示兩個平面,給出下列四個命題,其中正確的命題是

.(填序號)

①P∈a,P∈α?a?α;②a∩b=P,b?β?a?β;③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α;④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b③④

-14-知識梳理雙基自測234155.如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),則(1)當(dāng)AC,BD滿足條件

時,四邊形EFGH為菱形;

(2)當(dāng)AC,BD滿足條件

時,四邊形EFGH是正方形.

答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例1如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AA1的中點(diǎn),求證:(1)E,C,D1,F四點(diǎn)共面;(2)CE,D1F,DA三線共點(diǎn).思考如何利用平面的基本性質(zhì)證明點(diǎn)共線和線共點(diǎn)?-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明

(1)如圖,連接EF,CD1,A1B.∵E,F分別是AB,AA1的中點(diǎn),∴EF∥A1B.又A1B∥CD1,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四點(diǎn)共面.(2)∵EF∥CD1,EF<CD1,∴CE與D1F必相交,設(shè)交點(diǎn)為P,則由P∈CE,CE?平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直線DA.∴CE,D1F,DA三線共點(diǎn).-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.點(diǎn)線共面問題的證明方法:(1)納入平面法:先確定一個平面,再證有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi);(2)輔助平面法:先證有關(guān)點(diǎn)、線確定平面α,再證其余點(diǎn)、線確定平面β,最后證明平面α,β重合.2.證明多線共點(diǎn)問題,常用的方法是:先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證交點(diǎn)在第三條直線上.證交點(diǎn)在第三條直線上時,第三條直線應(yīng)為前兩條直線所在平面的交線,可以利用公理3證明.-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練1如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.(1)求證:E,F,G,H四點(diǎn)共面;(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P,求證:P,A,C三點(diǎn)共線.-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明

(1)∵E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),∴EF∥BD.∴GH∥BD,∴EF∥GH.∴E,F,G,H四點(diǎn)共面.(2)∵EG∩FH=P,P∈EG,EG?平面ABC,∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn).又平面ABC∩平面ADC=AC,∴P∈AC,∴P,A,C三點(diǎn)共線.-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例2(1)已知直線a,b分別在兩個不同的平面α,β內(nèi),則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)(2017全國Ⅱ,理10)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(

)思考如何借助空間圖形確定兩直線位置關(guān)系?AC-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)若直線a和直線b相交,則直線a與直線b有一個公共點(diǎn).因?yàn)橹本€a,b分別在兩個不同的平面α,β內(nèi),所以平面α與β必有公共點(diǎn),從而平面α和β相交;反之,若平面α和β相交,則直線a和直線b可能平行、異面、相交,故選A.-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)(方法一)如圖,取AB,BB1,B1C1的中點(diǎn)M,N,P,連接MN,NP,PM,可知AB1與BC1所成的角等于MN與NP所成的角.-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(方法二)把三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如圖,連接C1D,BD,則AB1與BC1所成的角為∠BC1D.-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.解題時一定要注意選項(xiàng)中的重要字眼“至少”“至多”,否則很容易出現(xiàn)錯誤.解決空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系這類問題時一定要萬分小心,除了作理論方面的推導(dǎo)論證外,利用特殊圖形進(jìn)行檢驗(yàn),也可作必要的合情推理.2.常用平移法求異面直線所成的角,步驟如下:一作:即根據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角,平移的方法一般有三種類型:(1)利用圖中已有的平行線平移;(2)利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移;(3)補(bǔ)形平移.二證:即證明作出的角是異面直線所成的角(或其補(bǔ)角);三求:解三角形,求出所作的角,若求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角,若求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角才是要求的角.-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2020重慶沙坪壩區(qū)模擬)已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為菱形,且∠ABC=60°,AB=AA1,則異面直線A1B與D1B1所成角的余弦值為(

)A解析:(1)連接A1D,DB,如圖.∵在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為菱形,∴DB∥D1B1,∴異面直線A1B與D1B1所成的角為∠A1BD或其補(bǔ)角.-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)如圖,G,N,M,H分別是三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則直線GH,MN是異面直線的圖形有

.(填上所有正確答案的序號)

②④

-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:題圖①中,直線GH∥MN;題圖②中,G,H,N三點(diǎn)共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面;題圖③中,連接MG,易知GM∥HN,因此GH與MN共面;題圖④中,G,M,N共面,但H?平面GMN,因此GH與MN異面.所以題圖②,④中GH與MN異面.-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例3設(shè)直線m與平面α相交但不垂直,則下列說法中正確的是(

)A.在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B.過直線m有且只有一個平面與平面α垂直C.與直線m垂直的直線不可能與平面α平行D.與直線m平行的平面不可能與平面α垂直思考如何借助空間圖形確定線面位置關(guān)系?答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得解決這類問題的關(guān)鍵就是熟悉直線與直線、直線與平面、平面與平面的各種位置關(guān)系及相應(yīng)的公理定理,歸納整理平面幾何中成立但立體幾何中不成立的命題,并在解題過程中注意避免掉入由此設(shè)下的陷阱.判斷時可由易到難進(jìn)行,一般是作圖分析,構(gòu)造出符合題設(shè)條件的圖形或反例來判斷.-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練3已知α,β是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m?α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.其中正確的命題有

.(填寫所有正確命題的編號)

答案解析解析關(guān)閉對于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,則α,β的位置關(guān)系無法確定,故錯誤;對于②,因?yàn)閚∥α,所以過直線n作平面γ與平面α相交于直線c,則n∥c.因?yàn)閙⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正確;對于③,由兩個平面平行的性質(zhì)可知正確;對于④,由線面所成角的定義和等角定理可知其正確,故正確命題的編號有②③④.答案解析關(guān)閉②③④-31-思想方法——構(gòu)造模型判斷空間線面的位置關(guān)系空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系是立體幾何的理論基礎(chǔ),高考常設(shè)置選擇題或填空題,考查直線、平面位置關(guān)系的判斷和異面直線所成的角的求法.在判斷線、面位置關(guān)系時,有時可以借助常見的幾何體作出判斷.這類試題一般稱為空間線面位置關(guān)系的組合判斷題,解決的方法是“推理論證加反例推斷”,即正確的結(jié)論需要根據(jù)空間線面位置關(guān)系的相關(guān)定理進(jìn)行證明,錯誤的結(jié)論需要通過舉出反例說明其錯誤,在解題中可以以常見的空間幾何體(如正方體、正四面體等)為模型進(jìn)行推理或者反駁.-32-典例(1)已知空間三條直線l,m,n,若l與m異面,且l與n異面,則(

)A.m與n異面B.m與n相交C.m與n平行D.m與n異面、相交、平行均有可能(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,CC1的中點(diǎn),則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線有

條.

-33-(3)已知m,n是兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,有下列四個命題:①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,則α⊥β;②若m∥α,n∥β,m⊥n,則α∥β;③若m⊥α,n∥β,m⊥n,則α∥β;④若m⊥α,n∥β,α∥β,則m⊥n.其中所有正確的命題的序號是