第25講直線與圓的方程的實際應用（兩大題型歸納分層練）

第25講直線與圓的方程的實際應用【人教A版選修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01圓的方程的實際應用 1題型02直線與圓的方程的實際應用 6分層練習 12夯實基礎 12能力提升 22創(chuàng)新拓展 32題型01圓的方程的實際應用【解題策略】建立適當的直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何要素，通過代數運算，解決幾何問題．【典例分析】課本例3如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖．圓拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度(精確到0.01m)．解建立如圖所示的直角坐標系，使線段AB所在直線為x軸，O為坐標原點，圓心在y軸上．由題意，點P，B的坐標分別為(0,4)，(10,0)．設圓心坐標是(0，b)，圓的半徑是r，那么圓的方程是x2＋(y－b)2＝r2.下面確定b和r的值．因為P，B兩點都在圓上，所以它們的坐標(0,4)，(10,0)都滿足方程x2＋(y－b)2＝r2.于是，得到方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(02＋4－b2＝r2，,102＋0－b2＝r2.))解得b＝－10.5，r2＝14.52.所以，圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.把點P2的橫坐標x＝－2代入圓的方程，得(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52，即y＋10.5＝eq\r(14.52－－22)(P2的縱坐標y>0，平方根取正值)．所以y＝eq\r(14.52－－22)－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m)．答：支柱A2P2的高度約為3.86m.【例1】（2024高二上·全國·專題練習）如圖，圓弧形拱橋的跨度米，拱高|米，則拱橋的直徑為（）A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米【答案】B【分析】利用勾股定理求得圓的半徑，進而求得圓的直徑.【詳解】設圓心為，半徑為，連接，如下圖所示，，則由勾股定理得，即，解得，所以拱橋的直徑為13米.故選：B.【變式演練】【變式1】（2324高二上·山東聊城·期中）2023年第19屆亞運會在中國浙江杭州舉行，杭州有很多圓拱的懸索拱橋，經測得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時每隔5米需用一根支柱支撐，則與相距30米的支柱的高度是米.（注意：）【答案】【分析】以點為坐標原點，所在直線為軸，過點且平行于的直線為軸，建立平面直角坐標系，求得點的坐標，設所求圓的半徑為，由勾股定理可列等式求得的值，進而可求得圓的方程，然后將代入圓的方程，求出點的縱坐標，進而即可計算出的長．【詳解】以點為坐標原點，所在直線為軸，過點且平行于的直線為軸，建立平面直角坐標系，由題意可知，點的坐標為，設圓拱橋弧所在圓的半徑為，由勾股定理可得，又，即，解得，所以圓心的坐標為，則圓的方程為，將代入圓的方程得，又，解得，所以(米)．故答案為：【變式2】（2324高二上·天津河西·期中）如圖，隧道的截面是半徑為的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛，假設貨車的最大寬度為，那么要正常駛入該隧道，貨車的限高為多少.

【答案】【分析】畫出如圖的貨車截面圖矩形，在圓上時，貨車最高，求出的長即得．【詳解】如圖，矩形是貨車截面圖，，則，故答案為：．【變式3】（2324高二上·河北·期中）如圖，這是某圓弧形山體隧道的示意圖，其中底面AB的長為16米，最大高度CD的長為4米，以C為坐標原點，AB所在的直線為x軸建立直角坐標系．

(1)求該圓弧所在圓的方程；(2)若某種汽車的寬約為2.5米，高約為1.6米，車輛行駛時兩車的間距要求不小于0.5米以保證安全，同時車頂不能與隧道有剮蹭，則該隧道最多可以并排通過多少輛該種汽車？（將汽車看作長方體）【答案】(1)(2)4輛【分析】（1）根據圓的幾何性質確定圓心的位置，結合垂徑定理與勾股定理求圓心與半徑，即可圓弧所在圓的方程；（2）確定汽車通過的最大寬度，再分析可得最多可以并排通過該種汽車數量.【詳解】（1）由圓的對稱性可知，該圓弧所在圓的圓心在y軸上，設該圓的半徑為r米，則，解得，故該圓弧所在圓的方程為．（2）設與該種汽車等高且能通過該隧道的最大寬度為d米，則，解得．若并排通過5輛該種汽車，則安全通行的寬度為，故該隧道不能并排通過5輛該種汽車．若并排通過4輛該種汽車，則安全通行的寬度為．隧道能并排通過4輛該種汽車．綜上所述，該隧道最多可以并排通過4輛該種汽車題型02直線與圓的方程的實際應用【解題策略】解決直線與圓的實際應用題的步驟(1)審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知．(2)建系：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示幾何模型中的基本元素．(3)求解：利用直線與圓的有關知識求出未知．(4)還原：將運算結果還原到實際問題中去．【典例分析】課本例4一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)域內．已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處．如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險？解以小島的中心為原點O，東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標系．為了運算的簡便，我們取10km為單位長度，則港口所在位置的坐標為(0,3)，輪船所在位置的坐標為(4,0)．這樣，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應的圓的方程為x2＋y2＝4；輪船航線所在直線l的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1，即3x＋4y－12＝0.聯(lián)立直線l與圓O的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－12＝0，,x2＋y2＝4.))消去y，得25x2－72x＋80＝0.由Δ＝(－72)2－4×25×80<0，可知方程組無解．所以直線l與圓O相離，輪船沿直線返港不會有觸礁危險．【例2】如圖，某海面上有O，A，B三個小島(面積大小忽略不計)，A島在O島的北偏東45°方向距O島40eq\r(2)千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系．圓C經過O，A，B三點．(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？解(1)由題意，得A(40,40)，B(20,0)，設過O，A，B三點的圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,402＋402＋40D＋40E＋F＝0，,202＋20D＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－20，,E＝－60，,F＝0，))∴圓C的方程為x2＋y2－20x－60y＝0.(2)該船初始位置為點D，則D(－20，－20eq\r(3))，且該船航線所在直線l的斜率為1，故該船航行方向為直線l：x－y＋20－20eq\r(3)＝0，由(1)得圓C的圓心為C(10,30)，半徑r＝10eq\r(10)，由于圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|10－30＋20－20\r(3)|,\r(12＋12))＝10eq\r(6)<10eq\r(10)，故該船有觸礁的危險．【變式演練】【變式1】（2324高二上·吉林長春·期末）某市為了改善城市中心環(huán)境,計劃將市區(qū)某工廠向城市外圍遷移,需要拆除工廠內一個高塔,施工單位在某平臺O的北偏東方向處設立觀測點A,在平臺O的正西方向240m處設立觀測點B,以O為坐標原點,O的正東方向為x軸正方向,建立如圖所示的平面直角坐標系.已知經過O,A,B三點的圓為圓C.(1)求圓C的方程.(2)規(guī)定圓C及其內部區(qū)域為安全預警區(qū),經觀測發(fā)現(xiàn),在平臺O的正南方向200m的P處,有一輛小汽車沿北偏西方向行駛,小汽車會不會進入安全預警區(qū)?說明理由.【答案】(1)；（或）(2)小次車會進入安全預警區(qū)，理由見解析【分析】（1）設圓的一般方程用待定系數法將三個點代入求解.（2）根據題意寫出小汽車行駛軌跡的直線方程，求出圓心到直線的距離與半徑做比較并判斷直線與圓的位置關系，從而得到答案.【詳解】（1）由題意得,,設圓C的方程為,因為圓C經過O,A,B三點,所以解得所以圓C的方程為；（或）（2）圓C化成標準方程為,圓心為C,半徑,因圓C到直線的距離.所以直線與圓C相交,即小次車會進入安全預警區(qū)【變式2】（2324高二上·重慶云陽·階段練習）如圖，已知一艘海監(jiān)船上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東的處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北的處島嶼，速度為.(1)求外籍船航行路徑所在的直線方程；(2)這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時間多長？【答案】(1)；(2)能，小時.【分析】（1）首先以為原點，東西方向為軸，南北方程為軸，建立平面直角坐標系，再利用截距式求解直線方程即可；（2）利用直線與圓的位置關系和弦長公式即可得到答案.【詳解】（1）以為原點，東西方向為軸，南北方程為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示:則，則直線，即，外籍船航行路徑所在的直線方程為:;（2）點到直線的距離，所以外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到；檢測路線的長度，則檢測時間，所以外籍輪船被監(jiān)測到的持續(xù)時間為小時【變式3】（2324高二上·安徽阜陽·期中）某公園有一圓柱形建筑物，底面半徑為1米，在其南面有一條東西走向的觀景直道（圖中用實線表示），建筑物的東西兩側有與直道平行的兩段輔道（圖中用虛線表示），觀景直道與輔道距離米.在建筑物底面中心的北偏東方向米的點處，有一臺全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物高度.請建立恰當的平面直角坐標系，并解決問題：(1)在西輔道上與建筑物底面中心距離2米處的游客，是否在攝像頭監(jiān)控范圍內？(2)求觀景直道不在攝像頭的監(jiān)控范圍內的長度.【答案】(1)游客在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(2)4.375米【分析】（1）建立坐標系，利用直線和圓的位置關系可以判斷；（2）根據直線和圓相切求出切線，利用切線和觀景直道所在直線的交點可得范圍.【詳解】（1）設為原點，正東方向為軸，建立平面直角坐標系，，因為，則，依題意得，游客所在位置為，即，則直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，所以游客在該攝像頭的監(jiān)控范圍內.（2）由圖知，過的直線與圓相切或相離時，攝像頭監(jiān)控不會被建筑物擋住，所以設直線過點且和圓相切，①若直線垂直于軸，則直線不會和圓相切；②若直線不垂直于軸，設，整理得，所以圓心到直線的距離為，解得或，所以或，即或，觀景直道所在直線方程為，設兩條直線與的交點為，由，解得，由，解得，所以，即觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內的長度為4.375米.【夯實基礎】一、單選題1．（2223高二上·浙江杭州·階段練習）已知點，，為直線上一動點，當最大時，點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過作圓與直線相切于，在直線上任取一點，連接交圓于，由得點即為所求點，利用幾何關系求點坐標即可.【詳解】如圖所示過作圓與直線相切于，在直線上任取一點，連接交圓于，因為，所以切點即為所求點，因為點坐標為，所以由切割線定理得，又由直線的傾斜角為可得，且由余弦定理可得.所以軸，所以點橫坐標為3，代入直線方程得點坐標為，故選：B2．（2223高二下·廣東·階段練習）一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內，已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處，如果輪船沿直線返港，不會有觸礁危險，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據題意得到，解得答案.【詳解】小島到航線的距離為，解得.故選：C3．（2324高二上·江蘇揚州·開學考試）一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內，已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處，如果輪船沿直線返港，不會有觸礁危險，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立平面直角坐標系，寫出輪船沿直線返港時直線的方程及暗礁分布的圓形區(qū)域的邊界的方程，由輪船沿直線返港不會有觸礁危險可得直線與相離，進而可求得結果.【詳解】以小島中心為原點O，東西方向為x軸，南北方向為y軸建立平面直角坐標系，則設輪船所在位置為點B，港口所在位置為點A，如圖所示，

則，（），暗礁分布的圓形區(qū)域的邊界的方程為，所以輪船沿直線返港時直線的方程為，即，又因為輪船沿直線返港不會有觸礁危險，所以直線與相離，即圓心O到直線的距離（），解得.故選：A.4．（2223高二上·云南昆明·期中）如圖是某圓拱橋的示意圖，水面跨度為16米，拱橋頂點離河面4米，當水面上漲2米后，水面寬為（

）米A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】利用圓的幾何性質結合勾股定理及圓的弦長公式即可得解.【詳解】如圖所示，設弦為水上升前的水面，弦為水上升后的水面，為圓拱橋對應圓的圓心，為弦的中點，為弦的中點，設圓的半徑為，則，則，解得，所以，所以，即當水面上漲2米后，水面寬為米.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：將已知條件建立數學模型，結合圓的幾何性質及圓的弦長公式是解決本題的關鍵.二、多選題5．（2324高二上·河北·階段練習）某市為了改善城市中心環(huán)境，計劃將市區(qū)某工廠向城市外圍遷移，需要拆除工廠內一個高塔，施工單位在某平臺的北偏東方向處設立觀測點，在平臺的正西方向處設立觀測點，已知經過三點的圓為圓，規(guī)定圓及其內部區(qū)域為安全預警區(qū).以為坐標原點，的正東方向為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系.經觀測發(fā)現(xiàn)，在平臺的正南方向的處，有一輛小汽車沿北偏西方向行駛，則（

）

A．觀測點之間的距離是B．圓的方程為C．小汽車行駛路線所在直線的方程為D．小汽車會進入安全預警區(qū)【答案】BD【分析】根據兩點距離公式計算判斷A，設圓C的方程，將三點的坐標代入求解判斷B，代入點斜式直線方程計算判斷C，利用直線與圓的位置關系判斷D.【詳解】由題意，得，所以，即觀測點之間的距離是，故A錯誤；設圓的方程為，因為圓經過三點，所以，解得，所以圓的方程為，故B正確；小汽車行駛路線所在直線的斜率為，又點的坐標是，所以小汽車行駛路線所在直線的方程為，故C錯誤；圓化成標準方程為，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，即小汽車會進入安全預警區(qū)，故D正確.故選：BD.三、填空題6．（2223高二上·浙江寧波·期末）如圖1，某圓拱形橋一孔圓拱的平面示意圖，已知圓拱跨度，拱高，建造時每間隔需要用一根支柱支撐，則支柱的高度等于m（精確到）．若建立如圖2所示的平面直角坐標系，則圓拱所在圓的標準方程是．（可用參考數據：．）【答案】3.32【分析】設拱形所在圓的圓心為H，半徑為r，由題意圓心H在y軸上，由可求得，圓心，可得圓的方程；由題意設，代入圓的方程可求支柱的高度．【詳解】設拱形所在圓的圓心為H，半徑為r，由題意圓心H在y軸上，如圖，則，則圓的標準方程為：．由題意設，代入圓的方程得，解得，即，則.故答案為：3.32；.7．（2223高二上·廣東廣州·期末）如圖是某圓拱形橋的示意圖，雨季時水面跨度AB為6米，拱高(圓拱最高點到水面的距離)為1米．旱季時水位下降了1米，則此時水面跨度增大到米．【答案】8【分析】畫出圓拱圖示意圖，構建直角坐標系，列出雨季和旱季時水位方程即可求出圓的半徑，旱季時水面跨度.【詳解】畫出圓拱圖示意圖，設圓半徑為,雨季時水位方程，解得；旱季時水位方程，解得，所以此時水面跨度為.所以答案為8.8．（2223高二·江蘇·假期作業(yè)）據氣象臺預報：在A城正東方300km的海面B處有一臺風中心，正以每小時40km的速度向西北方向移動，在距臺風中心250km以內的地區(qū)將受其影響．從現(xiàn)在起經過約h，臺風將影響A城，持續(xù)時間約為h(結果精確到0.1h)．【答案】2.06.6【分析】以B為原點，正東方向所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則臺風中心的移動軌跡方程是，可得受臺風影響的區(qū)域邊界的曲線方程是，再由可得答案.【詳解】以B為原點，正東方向所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則臺風中心的移動軌跡方程是，設臺風中心為，受臺風影響的區(qū)域邊界的曲線方程是，由，可得，解得，令，當時，∴，，∴從現(xiàn)在起經過約h，臺風將影響A城，持續(xù)時間約為h．故答案為：①；②.

四、解答題9．（2324高二上·四川成都·階段練習）某圓拱橋的水面跨度16m，拱高4m，現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高3m，問這條船能否通過?【答案】這條船不能通過.【分析】根據題設，建立以水面作為軸的坐標系，并求出圓拱所在圓的方程，判斷時水面上方點值與的大小關系即可.【詳解】以水面作為軸建立直角坐標系如下，且，令圓拱的半徑為，則，可得，故圓心為，所以圓拱所在圓為，則時，如下圖，要使寬10m，水面以上高3m的船能通過，只需即可，則，即，顯然不成立，故這條船不能通過.

10．（2324高二上·湖北武漢·期末）為了保證海上平臺的生產安全，海事部門在某平臺的正東方向設立了觀測站，在平臺的正北方向設立了觀測站，它們到平臺的距離分別為12海里和海里，記海平面上到觀測站和平臺的距離之比為2的點的軌跡為曲線，規(guī)定曲線及其內部區(qū)域為安全預警區(qū)．

(1)如圖，以為坐標原點，，為，軸的正方向，建立平面直角坐標系，求曲線的方程；(2)海平面上有漁船從出發(fā)，沿方向直線行駛，為使?jié)O船不進入預警區(qū)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1），有，化簡并整理即可求解.（2）直線截距式方程為，結合點到直線的距離公式列出不等式求解即可.【詳解】（1）根據已知條件設且，，由，有，，，，整理有，它是以為圓心，8為半徑的圓．所以曲線的方程為：．（2）

，過的直線不過坐標原點且不與坐標軸垂直，所以直線截距式方程為，化為一般式方程為，根據題意，且，解得，所以綜上可知的取值范圍為．11．（2324高二上·浙江臺州·期中）如圖，某海面有O，A，B三個小島（小島可視為質點，不計大?。珹島在O島正東方向距O島20千米處，B島在O島北偏東45°方向距O島千米處．以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，10千米為一個單位長度，建立平面直角坐標系．圓C經過O，A，B三點．

(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內有未知暗礁，現(xiàn)有一漁船D在O島的南偏東30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東30°方向行駛，若不改變方向，試問該漁船是否有觸礁的危險？請說明理由．【答案】(1)；(2)沒有觸礁危險，理由見解析.【分析】（1）根據已知確定，，，再設圓的方程，將所過的點代入求參數，即得方程；（2）該船航線所在直線l與圓心C的距離，判斷其與半徑的大小，即可得結論.【詳解】（1）由已知，，．法1：設圓C的一般方程為，將O，A，B三點代入得，解得，∴圓C的方程為法2：設圓C方程為，將O，A，B三點代入得，解得，∴圓C的方程為（2）由已知該船初始位置為點，且該船航線所在直線l的斜率為．∴海船行駛路線l:即，圓心到l的距離，∵，∴沒有觸礁危險【能力提升】一、單選題1．（2122高二上·全國·課后作業(yè)）一輛平頂車篷的卡車寬2.7米，要經過一個半徑為4.5米的半圓形隧道(雙車道，不得違章)，則這輛卡車的篷頂距離地面的高度不得超過（

）A．1.4米 B．3.0米C．3.6米 D．4.5米【答案】C【分析】根據題意作出示意圖，由垂直條件對應的勾股定理求解出結果.【詳解】可畫出示意圖如圖所示，通過勾股定理解得米．故選：C.2．（2122高二上·貴州畢節(jié)·期末）某考點配備的信號檢測設備的監(jiān)測范圍是半徑為100米的圓形區(qū)域，一名工作人員持以每分鐘50米的速度從設備正東方向米的處出發(fā)，沿處西北方向走向位于設備正北方向的處，則這名工作人員被持續(xù)監(jiān)測的時長為（

）A．1分鐘 B．分鐘C．2分鐘 D．分鐘【答案】C【分析】以設備的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系，求得直線和圓的方程，利用點到直線的距離公式和圓的弦長公式，求得的長，進而求得持續(xù)監(jiān)測的時長.【詳解】以設備的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，可得，圓．記從處開始被監(jiān)測，到處監(jiān)測結束，因為到的距離為米，所以米，故監(jiān)測時長為分鐘．故選：C.3．（2223高二上·江西·階段練習）臺風中心從地以每小時的速度向西北方向移動，離臺風中心內的地區(qū)為危險地區(qū)，城市在地正西方向處，則城市處于危險區(qū)內的時長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立直角坐標系，數形結合求直線與圓相交的弦長，進而可得城市處于危險區(qū)內的時長.【詳解】如圖所示，以點為坐標原點建立直角坐標系，則，以為圓心，為半徑作圓，則圓的方程為，當臺風進入圓內，則城市處于危險區(qū)，又臺風的運動軌跡為，設直線與圓的交點為，，圓心到直線的距離，則，所以時間，故選：C.4．（2021高二上·安徽池州·期中）一艘海監(jiān)船上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為26km的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處出發(fā)徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼，船速為10km/h這艘外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到且持續(xù)時間長約為（

）小時A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根據題意建立合適平面直角坐標系，將問題轉化為求直線被圓所截得的弦長問題，然后根據弦長對應的距離求解出監(jiān)測時間.【詳解】根據題意以海監(jiān)船的位置為坐標原點，其正東方向為軸，正北方向為軸，所以，圓，記從處開始被監(jiān)測，到處監(jiān)測結束，所以，即，因為到的距離為，所以，所以監(jiān)測時間持續(xù)小時，故選：B.【點睛】思路點睛：建立平面直角坐標系求解直線與圓的有關問題的思路：（1）選擇合適坐標原點（方便求解直線、圓的方程），建立平面直角坐標系；（2）根據題意寫出直線與圓的方程；（3）根據直線與圓的位置關系，采用幾何法計算相關長度，完成問題的求解.二、填空題5．（2223高二上·北京·期中）如圖所示，一隧道內設雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形構成．已知隧道總寬度AD為m，行車道總寬度BC為m，側墻EA、FD高為2m，弧頂高MN為5m．為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m．請計算車輛通過隧道的限制高度是．【答案】/【分析】通過已知數據求出圓弧的半徑，再通過由半徑算弦心距的方法求出最大高度，最后減去安全高度差即可.【詳解】如下圖，圓弧的圓心O在直線MN上，過B作，交圓弧于點G，作于點H，連接OE、OG.由題可知，，，設，則在中，有即，解得故車輛通過隧道的限制高度是.故答案為：6．（2122高二·全國·課后作業(yè)）某圓拱橋的水面跨度是20m，拱高為4m．現(xiàn)有一船寬9m，在水面以上部分高3m，通行無阻．近日水位暴漲了1.5m，為此，必須加重船載，降低船身，當船身至少降低m時，船才能安全通過橋洞．(結果精確到0.01m)【答案】1.22【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，再根據圓的方程即可求解.【詳解】以水位未漲前的水面AB的中點為原點，建立平面直角坐標系，如圖所示，設圓拱所在圓的方程為，∵圓經過點，∴解得：∴圓的方程是，令，得，故當水位暴漲1.5m后，船身至少應降低，船才能安全通過橋洞.故答案為：1.227．（2223高三上·廣東東莞·期末）已知點P為直線上一動點，過點P作圓的切線，切點分別為A、B，且，則動點P的軌跡的長度為．【答案】【分析】由圓切線的性質，將轉化為,由此求得點橫坐標的范圍,進而得動點的軌跡的長度.【詳解】因為,所以,所以，解得,設點的坐標為,所以,解得,所以動點的軌跡的長度為.故答案為：.三、解答題8．（2223高二上·四川綿陽·期中）如圖，某海面上有O、A、B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東方向距O島千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系圓C經過O、A、B三點．(1)求圓C的標準方程；(2)若圓C區(qū)域內有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西方向距O島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？【答案】(1)(2)該船沒有觸礁的危險【分析】（1）由圖中坐標系得坐標，設出圓的一般方程，代入三點坐標求解，然后把一般方程配方得標準方程；（2）先求出航行方向所在直線方程，再求出圓心到直線的距離，與半徑比較可得．【詳解】（1）如圖所示，，設過O、A、B三點的圓C的方程為，得：，解得，故所以圓C的方程為，圓心為，半徑，（2）該船初始位置為點D，則，且該船航線所在直線l的斜率為,故該船航行方向為直線，由于圓心C到直線l的距離，故該船沒有觸礁的危險9．（2223高二下·上海靜安·期中）如圖是某圓拱橋的一孔圓弧拱的示意圖，該圓弧拱跨度米，每隔5米有一個垂直地面的支柱，中間的支柱米.(1)建立適當的坐標系求該圓拱橋所在曲線的方程;(2)求其它支柱的高度（精確到0.01米）．【答案】(1)(2)3.11米．【分析】（1）建立如圖所示的直角坐標系，設圓拱所在圓的方程為，進而待定系數法求解即可；（2）點的橫坐標代入這個圓的方程并解方程即可得答案.【詳解】（1）解：建立如圖所示的坐標系，設該圓拱所在圓的方程為，由于圓心在軸上，所以，那么方程即為.因為都在圓上，所以它們的坐標都是這個圓的方程的解，于是有方程組，解得

所以，這個圓的方程是．（2）解：由題知點的橫坐標為.所以，把點的橫坐標代入這個圓的方程，得，所以，因為的縱坐標，故應取正值，所以，（米）．

所以，支柱的高度約為3.11米.10．（2324高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）一個火山口的周圍是無人區(qū)，無人區(qū)分布在以火山口中心為圓心，半徑為400km的圓形區(qū)域內，一輛運輸車位于火山口的正東方向600km處準備出發(fā)，若運輸車沿北偏西60°方向以每小時km的速度做勻速直線運動：(1)運輸車將在無人區(qū)經歷多少小時？(2)若運輸車仍位于火山口的正東方向，且按原來的速度和方向前進，為使該運輸車成功避開無人區(qū)，求至少應離火山口多遠出發(fā)才安全？【答案】(1)5小時(2)800km【分析】（1）根據題意，以火山口的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向，建立平面直角坐標系，結合點到直線的距離公式求得弦長，即可得到結果；（2）根據題意，由直線與圓相切，即可得到結果.【詳解】（1）以火山口的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向，建立平面直角坐標系，如圖所示，記運輸車從出發(fā)，點處開始進入無人區(qū)，到處離開無人區(qū)，則圓方程為，由運輸車沿北偏西60°方向運動，可得直線的斜率，則，即，因為到的距離為,則，所以經歷時長為小時.（2）設運輸車至少應離火山口出發(fā)才安全，此時運輸車的行駛直線剛好與圓相切，且直線方程為，即，則到直線的距離，解得，即運輸車至少應離火山口出發(fā)才安全【創(chuàng)新拓展】一、單選題1．（2324高二上·江蘇淮安·期末）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，的方程為，射線繞點從軸正半軸逆時針勻速旋轉到軸正半軸，所掃過的內部圖形（圖中陰影部分）面積可表示為時間的函數，則下列圖象中與圖象類似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通過觀察面積的變化量的變化情況可得答案.【詳解】當射線繞點從軸正半軸逆時針勻速旋轉射線時，所掃過的內部圖形面積在變大，而且根據圖象顯示，變化量也在變大，當射線從射線逆時針勻速旋轉到軸正半軸時，所掃過的內部圖形面積在變大，而且根據圖象顯示，變化量在變小，綜合選項可得，選線A符合，故選：A.二、填空題2．（2122高二上·浙江溫州·期中）已知某隧道內設雙行線公路，車輛只能在道路中心線一側行駛，隧道截面是半徑為4米的半圓，若行駛車輛的寬度為米，則車輛的最大高度為米．【答案】【分析】建立如圖所示的平面直角坐標系，得出半圓方程，設，求出點處半圓的高度即可得．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，是圓心，，半圓方程為（），在半圓上，且軸，則，，故答案為：．三、解答題3．（2324高二上·廣東深圳·期中）如圖，是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖．圓拱跨度：，拱高，建造時每間隔需要用一根支柱支撐，易知.

(1)建立如圖所示的坐標系，求圓拱所在圓的方程；

(2)求支柱的高度（精確到）