浙江省臺州市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE24-浙江省臺州市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）1.已知集合，，若全集，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再結(jié)合補集的運算，即可求解．詳解】由題意，集合，，則全集，所以．故選：A．【點睛】本題主要考查了集合的混合運算，其中解答中熟記集合的交集、并集和補集的概念與運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算實力，屬于基礎(chǔ)題．2.已知，，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)式與對數(shù)的互化，求得，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求解．【詳解】由題意，因為，，所以，所以．故選：B．【點睛】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系，以及對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了推理與運算實力，屬于基礎(chǔ)題．3.已知實數(shù)x，y滿意，則的最大值為（）A.4 B.3 C. D.2【答案】B【解析】【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用的幾何意義，結(jié)合圖象確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解．【詳解】由題意，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)，可化為，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線過點時，此時直線的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為．故選：B．【點睛】本題主要考查簡潔線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算實力．4.二項式的綻開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得二項綻開式的通項，令，即可求解．【詳解】由二項式的綻開式的通項為，令，可得，所以綻開式中的系數(shù)為．故選：C．【點睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項式綻開式的通項，精確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算實力．5.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性和特別點的函數(shù)值的符號，結(jié)合選項，即可求解．【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，解除A、C；當(dāng)時，，解除B．故選：D．【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，其中解答中嫻熟應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)和特別點的函數(shù)值求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與識別實力．6.已知點F為橢圓C：的右焦點，點P為橢圓C與圓的一個交點，則（）A.2 B.4 C.6 D.【答案】A【解析】【分析】求出橢圓的焦點坐標(biāo)，圓的圓心和半徑，利用橢圓的定義進行轉(zhuǎn)化，即可求解．【詳解】由題意，點F為橢圓C：的右焦點，則，左焦點為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為4，可得圓的圓心恰好為橢圓的左焦點，又由P為橢圓C與圓的一個交點，依據(jù)橢圓的定義可得，所以．故選：A．【點睛】本題主要考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡潔的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及計算實力，屬于基礎(chǔ)題．7.已知a，，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由肯定值不等式的基本性質(zhì)，集合充分必要條件的判定方法，即可求解．【詳解】由題意，a，，，可得且，所以充分性是成立的；反之，可得，即，所以必要性是成立的，綜上可得：a，，是成立的充要條件．故選：C．【點睛】本題主要考查了肯定值不等式的基本性質(zhì)，以及充分條件、必要條件的判定方法，其中解答中嫻熟應(yīng)用肯定值不等式的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算實力．8.如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱底面，且則異面直線，所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，得到，再結(jié)合向量的數(shù)量積的運算，求得，得到，即可求解．【詳解】由題意，在中，的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱底面，且,所以，所以，所以異面直線，所成角的大小為．故選：D．【點睛】本題主要考查了利用向量求解異面直線所成的角的方法，以及向量的線性運算和向量的數(shù)量積的運算等學(xué)問的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與運算實力．9.已知雙曲線C的離心率，過焦點F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為M，直線交另一條漸近線于N，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出圖象，利用已知條件、雙曲線的幾何性質(zhì)和點到直線的距離公式，即可求解．【詳解】由題意，雙曲線C的離心率，即，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，如圖所示，可得，則，所以，所以．故選：B．【點睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡潔的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與計算實力．10.已知數(shù)列滿意：，且（），下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C. D.【答案】D【解析】【分析】由，化簡得到，A中，由，得到，求得，即可判定；B中，由，化簡求得，即可判定；C、D中，利用函數(shù)圖象與性質(zhì)，即可判定?！驹斀狻坑深}意，因為，所以，所以，又由，可得，所以，對于A中，若，則，則，所以，所以，所以不正確；對于B中，若，可得，則，所以不正確；對于C中，可考慮函數(shù)，如圖所示，當(dāng)單調(diào)遞減，且越來越小，所以，即，所以C項是錯誤的．對于D中，設(shè)，則，由上圖可知，即，等價于，即，即，而明顯成立，所以D項是正確的．故選：D．【點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的綜合應(yīng)用，同時考查了函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用，著重考查了邏輯推理和運算實力，計算較大，思維要求高，屬于難題．11.已知復(fù)數(shù)z滿意z=（4–i）i，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部為__________，|z|=__________.【答案】(1).1(2).【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)z，再結(jié)合實部概念和復(fù)數(shù)模長公式求解即可【詳解】∵z=（4–i）i=1+4i，∴z的實部為1；|z|=.故答案為：1；.【點睛】本題考查對復(fù)數(shù)實部的理解，復(fù)數(shù)模長的計算，屬于基礎(chǔ)題12.已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時滿意：則______；方程的解的個數(shù)為______.【答案】(1).1(2).5【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的解析式可干脆求解的值，再利用函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求得方程的解的個數(shù)，得到答案．【詳解】由題意，當(dāng)時滿意：，可得；又由方程的解的個數(shù)即為函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，由圖象可知，函數(shù)與的圖象共有5個交點，即方程與的解得個數(shù)為5.故答案為：1，5.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)及函數(shù)值的求解、函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系的綜合應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及計算實力．13.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)幾何體的三視圖，得到該幾何體是底面邊長為2的正三角形，高為2的的一個正三棱柱截去一個底面為邊長為2的正三角形，高為2的三棱錐得到的一個幾何體，利用柱體和椎體的體積公式，即可求求解．【詳解】由題意，依據(jù)幾何體的三視圖可得，該幾何體是底面邊長為2的正三角形，高為2的的一個正三棱柱截去一個底面為邊長為2的正三角形，高為2的三棱錐得到的一個幾何體，其中正三棱柱的體積為，三棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為．故答案為：．【點睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形態(tài)時，要依據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不行見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形態(tài)以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解．14.在我國東漢的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中記載了計算兩個最大公約數(shù)的一種方法，叫做“更相減損法”，它類似于古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得提出的“輾轉(zhuǎn)相除法”.比如求273，1313的最大公約數(shù)：可先用1313除以273，余數(shù)為221（商4）；再用273除以221，余數(shù)為52；再用221除以52，余數(shù)為13；這時發(fā)覺13就是52的約數(shù)，所以273，1313的最大公約數(shù)就是13.運用這種方法，可求得5665，2163的最大公約數(shù)為______.【答案】103【解析】【分析】依據(jù)題意，利用輾轉(zhuǎn)相除法，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，可得，，所以5665，2163的最大公約數(shù)為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了利用輾轉(zhuǎn)相除法求解兩個數(shù)的最大公約數(shù)，其中解答中正確理解題意，利用輾轉(zhuǎn)相除法，逐步計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算實力．15.如圖，點為銳角的終邊與單位圓的交點，逆時針旋轉(zhuǎn)得，逆時針旋轉(zhuǎn)得，……，逆時針旋轉(zhuǎn)得，則______，點的橫坐標(biāo)為______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義，求得的值，在利用二倍角公式求得的值，最終利用誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式，即可求解點的橫坐標(biāo)，得到答案．【詳解】由題意，點為銳角的終邊與單位圓的交點，逆時針旋轉(zhuǎn)得，逆時針旋轉(zhuǎn)得，……，逆時針旋轉(zhuǎn)得，依據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，故，點的橫坐標(biāo)為．故答案為：，．【點睛】本題主要考查了隨意角的三角函數(shù)的定義，二倍角公式、誘導(dǎo)公式，以及兩角和的余弦函數(shù)公式的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與運算實力．16.有2名老師和3名同學(xué)，將他們隨機地排成一行，用表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù)，則對應(yīng)的排法有______種；______；【答案】(1).36(2).；1.【解析】【分析】的可能取值為0，1，2，3，對應(yīng)的排法有：.分別求出，，，，由此能求出.【詳解】解：有2名老師和3名同學(xué)，將他們隨機地排成一行，用表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù)，則的可能取值為0，1，2，3，對應(yīng)的排法有：.∴對應(yīng)排法有36種；，，，，∴故答案為：36；1.【點睛】本題考查了排列、組合的應(yīng)用，離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.17.如圖，已知正方形，點E，F(xiàn)分別為線段，上的動點，且，設(shè)（x，），則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)邊長為1，，建立直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，依據(jù)題設(shè)用表示出，再利用函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，并設(shè)邊長為1，，則，可得，由，可得，解得其中，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，所以的最大值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平面對量的基本定理，向量的坐標(biāo)運算，以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用，其中解答中將平面對量問題坐標(biāo)化，通過數(shù)形結(jié)合求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運算實力．18.如圖，在四邊形中，已知，，，，.（1）求的值；（2）求的長度.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理求得的長，再由正弦定理，即可求解的值；（2）由為銳角，得到，在中，利用余弦定理，即可求得的長度．【詳解】（1）在中，因為，，，，由余弦定理，可得，所以，又由正弦定理可得，所以．（2）由（1），因為銳角，可得，中，依據(jù)余弦定理，可得，所以.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，嫻熟駕馭定理、合理運用是解本題的關(guān)鍵．通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時，運用余弦定理求解.19.如圖，七面體的底面是凸四邊形，其中，，，垂直相交于點O，，棱，均垂直于底面.（1）證明：直線與平面不平行；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）假設(shè)平面，得到平面，得出平面平面，再依據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得到，進而與沖突，即可得到結(jié)論；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點，建系空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．【詳解】（1）假設(shè)平面，因為，平面，所以平面，又因為平面，，所以平面平面，依據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，所以，因為，，所以，這與沖突，所以不平行平面.（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點，建系如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，由，可得，則，取，，所以平面的一個法向量，直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面平行的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象實力和邏輯推理實力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20.設(shè)數(shù)列的前n項和為，對于隨意正整數(shù)n，.遞增的等比數(shù)列滿意：，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列,的通項公式；（2）求證：【答案】（1），；（2）見解析【解析】【分析】（1）利用和的關(guān)系式，即可求得數(shù)列的通項公式，設(shè)等比數(shù)列公比為，依據(jù)題設(shè)條件列出方程，求得，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）方法1、先證得，再利用乘公比錯位相減法和不等式的性質(zhì)，即可求解；方法2、令，運用分析法證得，再由等比數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）由題意，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，適合上式，所以數(shù)列的通項公式為，設(shè)等比數(shù)列公比為（其中），因為，由，可得，解得或（舍去）；所以數(shù)列的通項公式為.（2）解法1：由（1）可得，因為時，，依據(jù)“若，，則”，可得（），所以，令，，兩式相減可得，所以，所以.解法2：令，下一步用分析法證明“”，要證，即證，即證，即證，當(dāng)，明顯成立，所以，所以.【點睛】本題主要考查了數(shù)列的和的關(guān)系式，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，以及乘公比錯位相減法和不等式的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查了化簡、運算實力，以及推理實力，屬于中檔試題．21.如圖，過點作直線l交拋物線C：于A，B兩點（點A在P，B之間），設(shè)點A，B的縱坐標(biāo)分別為，，過點A作x軸的垂線交直線于點D.（1）求證：；（2）求的面積S的最大值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，運用韋達定理，化簡即可得到證明；（2）由，求得的范圍，點A在P、B之間，可得，求得D的坐標(biāo)，運用三角形的面積公式和導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解面積的最大值．【詳解】（1）由題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，可得，所以，則所以．（2）由（1）可得，解得，因為點在P，B之間，所以，所以，由已知可設(shè)點，由點D在直線：上可得，所以的面積，因為，所以，因為，可得時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時，的面積S的最大值.【點睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、以及直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物線聯(lián)立方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解，此類問題易錯點是困難