九年級數(shù)學核心知識點與常見題型通關講解練（滬教版）重難點專項突破06相似三角形中的“手拉手”旋轉模型（原卷版）

重難點專項突破06相似三角形中的“手拉手”旋轉模型【知識梳理】“手拉手”旋轉型模型展示：如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來.Com]【考點剖析】例1.如圖，直角梯形ABCD中，，AD//BC，BC=CD，E為梯形內一點， 且，將繞點C旋轉90°使BC與DC重合，得到，聯(lián)結EF 交CD于M．已知BC=5，CF=3，則DM:MC的值為（） A． B． C． D．AABCDEFM例2、如圖，D為△ABC內一點，E為△ABC外一點，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求證：(1)△ABD∽△CBE；(2)△ABC∽△DBE.例3.把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D 與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB 相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．（1）如圖1，當射線DF經過點B，即點Q與點B重合時，易證∽，則 此時______；（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時間方向旋轉，設旋轉角為．其 中，問的值是否改變？請說明理由．FFAB(Q)CD(O)EPPABCD(O)ABCD(O)QPQEFEF圖1圖2圖3例4.如圖，已知和是兩個全等的等腰直角三角形，且 ，的頂點E與的斜邊BC的中點重合．將繞 點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于 點Q．（1）如圖1，當點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：≌；（2）如圖2，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：∽；并求當BP=a， 時，P、Q兩點間的距離（用含a的代數(shù)式表示）．AABCDEFABCDEFPPQ圖1圖2Q例5.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點P是平面內不與點A，C重合的任意一點．連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當α＝60°時，的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是．（2）類比探究如圖2，當α＝90°時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．（3）解決問題當α＝90°時，若點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時的值．【過關檢測】一．填空題（共1小題）1．（2022秋?黃浦區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，過點D作對角線AC的垂線，垂足為E，過點E作BE的垂線，交邊AD于點F，如果AB＝3，BC＝5，那么DF的長是．二．解答題（共7小題）2．（2022秋?楊浦區(qū)期中）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在邊AC上，聯(lián)結BD，以BD為斜邊作等腰直角三角形BDE（點E在直線BD右側），聯(lián)結CE．（1）如果∠A＝45°，求證：△ABD∽△CBE；（2）如果BC＝12，CD＝5，求線段CE的長．3．（2021春?徐匯區(qū)校級期末）如圖，∠1＝∠2，AD＝AE，∠B＝∠ACE，且B、C、D三點在一條直線上，若∠B＝60°．（1）△BAD與△CAE是否全等，請說明理由；（2）△ABC是否是等邊三角形，如果是．請說明理由；（3）CE＝AC+CD是否成立，如果成立請說明理由．4．（2022?靜安區(qū)二模）如圖①，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，AD＝6，BC＝7，點P是邊AD上的動點，聯(lián)結BP，作∠BPF＝∠ADC，設射線PF交線段BC于E，交射線DC于F．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）如果射線PF經過點C（即點E、F與點C重合，如圖②所示），求AP的長；（3）設AP＝x，DF＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．5．（2023?靜安區(qū)校級一模）在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，點D為射線CB上一動點（點D不與點B、C重合），以AD為腰且在AD的右側作等腰直角△ADF，∠ADF＝90°，射線AB與射線FD交于點E，聯(lián)結BF．（1）如圖所示，當點D在線段CB上時，①求證：△ACD∽△ABF；②設CD＝x，tan∠BFD＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（2）當AB＝2BE時，求CD的長．6．（2021秋?靜安區(qū)期末）如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AE交邊BC于點E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB?AD，且DC∥AE．（1）求證：DE2＝AE?DC；（2）如果BE＝9，求四邊形ABCD的面積；（3）如圖2，延長AD、BC交于點F，設BE＝x，EF＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．7．（虹口區(qū)期中）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．（