MATLAB數(shù)學(xué)實驗全套課件電子教案板

MATLAB數(shù)學(xué)實驗2024/9/152第一章Matlab入門第一章MATLAB入門1.1MATLAB桌面1.2數(shù)據(jù)和變量1.3數(shù)組及其運算1.4字符串、元胞和結(jié)構(gòu)

2024/9/153第一章Matlab入門1.1MATLAB桌面最小安裝：MATLAB2013a，CurveFittingToolbox，OptimizationToolbox，SymbolicMathToolbox工具條：Home,Plots,Apps等窗口:指令(CommandWindow)當(dāng)前文件夾(CurrentDirectory)工作空間(Workspace)指令歷史(CommandHistory)例:a=1;b=2;c=a+b(不輸入提示符>>)2024/9/154第一章Matlab入門1.2數(shù)據(jù)和變量P4例1.1球的體積計算表達式分號(;),逗號(,),省略號(...)。歷史指令調(diào)用科學(xué)記數(shù)法數(shù)據(jù)顯示格式Shortlongrational顯示格式與計數(shù)精度區(qū)別2024/9/155第一章Matlab入門1.2數(shù)據(jù)和變量復(fù)數(shù)i,j注意(-8)^(1/3)預(yù)定義變量pi圓周率3.1415…

eps浮點數(shù)識別精度2.22×10-16realmin最小正實數(shù)2.2251×10-308realmax最大正實數(shù)1.7977×10308

Inf無窮大NaN不定值注意e在MATLAB中只是普通變量

2024/9/156第一章Matlab入門1.2數(shù)據(jù)和變量用戶變量命名規(guī)則：字母開頭，由字母、數(shù)字或下劃線組成（不得使用減號、空格等

），區(qū)分大小寫防止與系統(tǒng)的預(yù)定義變量名(如i,j,pi,eps等)，函數(shù)名(如who,length等)，保留字(for,if,while,end等)沖突。特殊變量ans

是系統(tǒng)本身一個特殊變量名，若運算結(jié)果沒有賦于任何變量，系統(tǒng)將其賦予ansclear

清除(注意ClearWorkspace與ClearCommandWindow的區(qū)別.)2024/9/157第一章Matlab入門1.2數(shù)據(jù)和變量數(shù)據(jù)Mat文件實現(xiàn)與外部數(shù)據(jù)文件交換:mat,txt等菜單方式：SaveWorkspace和ImportData例:save-clear-import指令方式：save和loadMATLAB還提供了方便的工具來導(dǎo)入外部數(shù)據(jù)文件，包括文本文件、Excel(Spreadsheets)文件、圖像文件等，以便與其它應(yīng)用程序交換數(shù)據(jù)，我們將在第二章介紹。

2024/9/158第一章Matlab入門1.3數(shù)組及其運算a=[123;456;780]變量編輯器(Variables)和剪貼板的使用數(shù)組的輸入和分析中括號[]表示矩陣，同行無素間用空格或逗號分隔，不同行間用分號或回車分隔。冒號運算函數(shù)linspace(x1,x2,n)生成x1與x2間的n維等距行向量,即將[x1,x2]n-1等分length,size編址：不能為0，按列編址,如a(6)2024/9/159第一章Matlab入門1.3數(shù)組及其運算數(shù)組的抽取和統(tǒng)計

分塊矩陣a([1,3],1:3)sum,prod,min,max按列計算例如[x,y]=max([-13;5-6;24])x=54y=232024/9/1510第一章Matlab入門1.3數(shù)組及其運算數(shù)組運算

A+B與A-B加與減

k*A或A*k數(shù)乘矩陣

k+A與k-Ak加(減)A的每個元素A.^k,k.^A數(shù)組乘方

A.*B數(shù)組乘數(shù)組

k./A數(shù)除以數(shù)組左除A.\B=右除B/.A數(shù)組除法

點運算就是對應(yīng)元素的運算P12例（注意點運算與矩陣運算的區(qū)別）2024/9/1511第一章Matlab入門1.3數(shù)組及其運算數(shù)學(xué)函數(shù)矩陣的數(shù)學(xué)函數(shù)也是按元素的運算，使用通常的函數(shù)號，如sin(A),cos(A),asin(A),acos(A),tan(A),cot(A),exp(A),sqrt(A)等。fix向0取整floor向下取整ceil向+取整mod模余rem除法余數(shù)abs絕對值(模）real復(fù)數(shù)實部imag復(fù)數(shù)虛部angle復(fù)數(shù)幅角conj復(fù)數(shù)共軛log

自然對數(shù)ln

log10以10為底對數(shù)2024/9/1512第一章Matlab入門1.3數(shù)組及其運算4、關(guān)系與邏輯運算

<、<=小于、小于等于

>、>=大于、大于等于

==、~=等于、不等于&（與）、|（或）、~（非）any、all、find“真(true)”用1表示，“假(false)”用0.邏輯運算中，所有非零元素作為1處理.P15例子小結(jié)：Matlab中的三類運算函數(shù)按元素運算（數(shù)學(xué)函數(shù)）：如sin(A),log(A),find(A)按列運算（統(tǒng)計函數(shù)）：如sum(A),prod(A),min(A),max(A),any(A),all(A)按矩陣運算（矩陣函數(shù)）：如size(A),length(A),det(A)2024/9/1514第一章Matlab入門1.4字符串、元胞和結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)類型：數(shù)值(Double)邏輯(Logical)字符(Char)

元胞(Cell)

結(jié)構(gòu)(Structure)2024/9/1515第一章Matlab入門1.4字符串、元胞和結(jié)構(gòu)字符串（P17例）單引號(英文半角輸入狀態(tài)！)中文字符不要在word中輸入后copy引號內(nèi)字符顯示應(yīng)為淡紫色字符串拼接字符串轉(zhuǎn)化double,char,num2str,str2num比較：a=’12’,b=double(a),c=str2num(a)Eval執(zhí)行字符串書寫的指令(P18例)2024/9/1516第一章Matlab入門1.4字符串、元胞和結(jié)構(gòu)

元胞和結(jié)構(gòu)（P18例）字符矩陣char數(shù)值與字符混合元胞{}結(jié)構(gòu):域的概念struct2cell和cell2struct2024/9/1517第一章Matlab入門習(xí)題P20ex1,ex2,ex3,ex4MATLAB數(shù)學(xué)實驗第二章MATLAB編程與作圖2024/9/1519第二章MATLAB編程與作圖第二章MATLAB編程與作圖2.1程序設(shè)計2.2作圖

2.3在線幫助和文件管理2024/9/1520第二章MATLAB編程與作圖2.1程序設(shè)計循環(huán)語句for循環(huán)變量=初值:增量:終值,語句；endwhile（條件式）,語句；end分支語句if（條件式）,語句;endif（條件式1),語句1;elseif（條件式2),

語句2;……;else,語句;endswitch(分支變量)case(值1),語句1;case(值2),語句2;……;otherwise語句;end其它：pause,break,return,error2024/9/1521第二章MATLAB編程與作圖2.1程序設(shè)計?s=0;forn=1:100,s=s+1/n/n;end；s?clear;s=0;n=1;whilen<=100,s=s+1/n/n;n=n+1;end;s強行中斷：Ctrl+C

2024/9/1522第二章MATLAB編程與作圖2.1程序設(shè)計M腳本文件eg2_1在Editor窗口文件名一律以字母開頭，以字母、數(shù)字或下劃線組成。注意不要含有空格、減號等.!!!常見錯誤：用1或eg2-1作為文件名

M文件名一般都用小寫字母注意：必須保存在當(dāng)前目錄(CurrentDirectory)或matlab路徑中2024/9/1523第二章MATLAB編程與作圖2.1程序設(shè)計M函數(shù)文件function輸出變量=函數(shù)名(輸入變量)

語句;eg2_1fM函數(shù)調(diào)用必須給予輸入?yún)?shù)值M函數(shù)中變量為局部變量2024/9/1524第二章MATLAB編程與作圖2.1程序設(shè)計M函數(shù)文件M函數(shù)在edit窗口編寫，在command窗口調(diào)用!!!常見錯誤：將function寫在commond窗口M函數(shù)是以該函數(shù)的磁盤文件主名調(diào)用，而不是文件中的函數(shù)名稱!!!常見錯誤：錯誤用文件中的函數(shù)名稱調(diào)用，卻與磁盤文件主名不同2024/9/1525第二章MATLAB編程與作圖2.1程序設(shè)計函數(shù)句柄(handle)編寫M函數(shù)eg2_1f.m函數(shù)句柄fname=@eg2_1f;feval(fname,1000)或者fname(1000)注意feval與eval的區(qū)別>>m=1000;>>str='sum(1./(1:m).^2';>>eval(str)2024/9/1526第二章MATLAB編程與作圖inline函數(shù)與匿名函數(shù)Inline函數(shù)(即將被淘汰)fun=inline(‘函數(shù)表達式’,‘自變量’)>>fname=inline('sum(1./(1:m).^2)','m')>>fname(1000)匿名函數(shù)fun=@(自變量)函數(shù)表達式匿名函數(shù)的參數(shù)傳遞更靈活>>k=2;fname=@(m)sum(1./(1:m).^k)>>fname(1000)2024/9/1527第二章MATLAB編程與作圖2.1程序設(shè)計注釋：%開頭，對本行后面字符起作用，不參與運算。

對話：input，disp

全程變量與局部變量

nargin、nargout和varargin

子函數(shù)和嵌套函數(shù)提高速度2024/9/1528第二章MATLAB編程與作圖2.1程序設(shè)計普通編程functions=f(m)s=0;forn=1:ms=s+1/n/n;end向量化編程functions=f(m)n=1:m;s=sum(1./n.^2);盡量少用for語句2024/9/1529第二章MATLAB編程與作圖本書配套工具箱的使用主要內(nèi)容教材所有程序；數(shù)學(xué)實驗常用Matlab指令的中文幫助安裝步驟1.將ME.rar解壓縮至matlab\toolbox\;2.啟動Matlab,利用File菜單中的Setpath將matlab\toolbox\me增至path中,放在最底部，并保存設(shè)置；3.回到你的工作目錄?，F(xiàn)在ME已成為一個普通的工具箱了。2024/9/1530第二章MATLAB編程與作圖2.1程序設(shè)計

例2.4編一M函數(shù),對任意輸入的向量x,可計算分段函數(shù)值構(gòu)成的向量。分量方式eg2_4a，慢向量方式eg2_4b,eg2_4c,快數(shù)組預(yù)分配y=zeros(size(x))2024/9/1531第二章MATLAB編程與作圖2.2作圖曲線圖plot(x,y)

以數(shù)據(jù)(x(i),y(i))為節(jié)點的折線圖,其中x,y為同長度的向量

plot(x1,y1,x2,y2,...)

多組數(shù)據(jù)折線圖

fplot(fun,[a,b])

函數(shù)fun在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)圖

plot3(x,y,z)

空間曲線圖,其中x,y,z為同長度的向量圖形導(dǎo)出到word線型與標(biāo)記P31表eg2_5

曲線圖y=x3-x-1和y=|x|0.2sin(5x)

2024/9/1532第二章MATLAB編程與作圖2.2作圖曲面圖[x,y]=meshgrid(xa,ya)當(dāng)xa,ya分別為m維和n維行向量，得到x和y均為n行m列矩陣。meshgrid常用于生成X-Y平面上的網(wǎng)格數(shù)據(jù)。[x,y]=ndgrid(xa,ya)與meshgrid類似，但得到的x和y均為m行n列矩陣

mesh(x,y,z)

繪制網(wǎng)面圖，是最基本的曲面圖形命令,其中x,y,z是同階矩陣，表示曲面三維數(shù)據(jù)。surf(x,y,z)

繪制曲面圖，與mesh用法類似。2024/9/1533第二章MATLAB編程與作圖meshgrid解釋xa=6:8;ya=1:4;[x,y]=meshgrid(xa,ya)%生成X-Y面上網(wǎng)格z=x.^2+y.^2%計算XY面各格點的z軸高度xyz6781113750656782224053686783334558736784445265802024/9/1534第二章MATLAB編程與作圖ngrid解釋xa=6:8;ya=1:4;[x,y]=ngrid(xa,ya)%生成X-Y面上網(wǎng)格z=x.^2+y.^2%計算XY面各格點的z軸高度xyz666612343740455277771234505358658888123465687380eg2_6二元函數(shù)圖z=xexp(-x2-y2)2024/9/1535第二章MATLAB編程與作圖2024/9/1536第二章MATLAB編程與作圖2.2作圖圖形說明和定制title標(biāo)題說明；xlabel，ylabel，zlabel說明坐標(biāo)軸x,y,z;holdon/holdoff

保留/釋放現(xiàn)有圖形axis([a,b,c,d])確定坐標(biāo)軸范圍a<x<b,c<y<daxis([a,b,c,d,e,f])定制3維坐標(biāo)軸范圍figure\close開\關(guān)一個新圖形窗口subplot(m,n,k)

將圖形窗口分為m*n個子圖,指向第k幅圖legend(str1,str2,...)圖例eg2_7空間曲線2024/9/1537第二章MATLAB編程與作圖2.2作圖圖形窗口菜單和工具欄

圖形編輯2024/9/1538第二章MATLAB編程與作圖2.3在線幫助和文件管理在線幫助helphelp子目錄名help命令或函數(shù)doc命令或函數(shù)(超文本幫助)lookfor關(guān)鍵字docsearch關(guān)鍵字

(超文本搜索)

typeM文件主名whichM文件主名2024/9/1539第二章MATLAB編程與作圖2.3在線幫助和文件管理文件和文件夾管理MATLAB接受到一個命令的搜索過程初學(xué)者在M文件的保存上常出現(xiàn)幾種錯誤

設(shè)置你自己的工作目錄

(Currentdirectory)

設(shè)置MATLAB默認搜索路徑(Path)隊列2024/9/1540第二章MATLAB編程與作圖2.3在線幫助和文件管理讀寫外部數(shù)據(jù)文件save存為Mat數(shù)據(jù)文件loadMat數(shù)據(jù)文件載入xlswrite數(shù)據(jù)寫入Excel文件xlsread讀取Excel文件dlmwrite,fprintf寫入文本文件dlmread,textscan,textread,fscanf讀取文本文件imread讀取圖像文件importdata導(dǎo)入各種數(shù)據(jù)文件工具條Home:Importdata2024/9/1541第二章MATLAB編程與作圖2.3在線幫助和文件管理P42例：Excel文件的調(diào)用>>[Grade,Name,Raw]=xlsread('c:\grade.xls','Sheet1','a2:d3')>>Total=Grade(:,1)+Grade(:,2)+Grade(:,3);>>xlswrite('c:\grade.xls',Total,'Sheet1','e2:e3')>>xlswrite('c:\grade.xls',{'總分'},'Sheet1','e1')2024/9/1542第二章MATLAB編程與作圖習(xí)題P46ex2,ex3,ex5,ex6(單號)MATLAB數(shù)學(xué)實驗第三章

矩陣代數(shù)

2024/9/1544第三章矩陣代數(shù)第三章

矩陣代數(shù)3.1預(yù)備知識：線性代數(shù)3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令3.3計算實驗：線性方程組的通解3.4建模實驗：投入產(chǎn)出分析和基因遺傳2024/9/1545第三章矩陣代數(shù)3.1預(yù)備知識：線性代數(shù)線性方程組記為Ax=b2024/9/1546第三章矩陣代數(shù)3.1預(yù)備知識：線性代數(shù)線性方程組若秩(A)

秩(A,b)，則無解；若秩(A)=秩(A,b)=n,存在唯一解；若秩(A)=秩(A,b)<n,存在無窮多解；通解是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系與Ax=b的一個特解之和。2024/9/1547第三章矩陣代數(shù)3.1預(yù)備知識：線性代數(shù)逆矩陣方陣A稱為可逆的，如果存在方陣B，使AB=BA=E，記B=A-1方陣A可逆的充分必要條件:

A

0A-1=A*/|A|這里A*為A的伴隨矩陣（AE）行變換（EA-1）2024/9/1548第三章矩陣代數(shù)3.1預(yù)備知識：線性代數(shù)特征值與特征向量對于方陣A，若存在數(shù)

和非零向量x使Ax=

x，則稱

為A的一個特征值，x為A的一個對應(yīng)于特征值

的特征向量。特征值計算歸結(jié)為特征多項式的求根。特征向量計算：齊次線性方程組

(A-

E)x=0的所有一組線性無關(guān)解。2024/9/1549第三章矩陣代數(shù)3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令運算符A’(共軛)轉(zhuǎn)置,A.’

轉(zhuǎn)置A+B與A-B

加與減k+A與k-A

數(shù)與矩陣加減k*A或A*k

數(shù)乘矩陣 A*B

矩陣乘法A^k

矩陣乘方左除A\B

為AX=B的解右除B/A

為XA=B的解 與數(shù)組運算不同與數(shù)組運算相同2024/9/1550第三章矩陣代數(shù)3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令矩陣運算與數(shù)組運算的區(qū)別數(shù)組運算按元素定義，矩陣運算按線性代數(shù)定義矩陣的加、減、數(shù)乘等運算與數(shù)組運算是一致的

注意：矩陣的乘法、乘方、除法與數(shù)組乘法、乘方、除法不同！數(shù)與矩陣加減、矩陣除法在數(shù)學(xué)上是沒有意義的。但在MATLAB中有定義。

例子P51-522024/9/1551第三章矩陣代數(shù)3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令特殊矩陣生成zeros(m,n)m行n列的零矩陣;ones(m,n)m行n列的元素全為1的陣;eye(n)n階單位矩陣;rand(m,n)m行n列[0,1]上均勻分布隨機數(shù)矩陣舉例說明2024/9/1552第三章矩陣代數(shù)3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令矩陣處理

trace(A)跡(對角線元素的和)diag(A)

A對角線元素構(gòu)成的向量;diag(x)

向量x的元素構(gòu)成的對角矩陣.tril(A)A的下三角部分triu(A)A的上三角部分flipud(A)矩陣上下翻轉(zhuǎn)fliplr(A)矩陣左右翻轉(zhuǎn)reshape(A,m,n)

矩陣A的元素重排成m行n列矩陣

2024/9/1553第三章矩陣代數(shù)3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令矩陣分析

rank(A)

秩det(A)

行列式;inv(A)

逆矩陣;null(A)

Ax=0的基礎(chǔ)解系；null(A,’r’)基礎(chǔ)解系的有理(整數(shù)或分數(shù))形式orth(A)

A列向量正交規(guī)范化norm(x)向量x的范數(shù)（長度，模）norm(A)矩陣A的范數(shù)2024/9/1554第三章矩陣代數(shù)3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令特征值與標(biāo)準(zhǔn)形p=poly(A)

返回方陣A的特征多項式eig(A)

方陣A的特征值[V,D]=eig(A)返回方陣A的特征值和特征向量。其中D為的特征值構(gòu)成的對角陣，每個特征值對應(yīng)的V的列為屬于該特征值的一個特征向量。[V,J]=jordan(A)返回A的相似變換矩陣和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形(A的相似對角化)

例子P56-572024/9/1555第三章矩陣代數(shù)3.3計算實驗：線性方程組求解

矩陣除法

(1)當(dāng)A為方陣，A\B結(jié)果與inv(A)*B一致；(2)當(dāng)A不是方陣,AX=B存在唯一解,A\B將給出這個解；(3)當(dāng)A不是方陣,AX=B為不定方程組(即無窮多解)，A\B將給出一個具有最多零元素的特解；(4)當(dāng)A不是方陣,AX=B若為超定方程組（即無解）,A\B給出最小二乘意義上的近似解，即使得向量AX－B的范數(shù)達到最小。

2024/9/1556第三章矩陣代數(shù)3.3計算實驗：線性方程組求解例3.1解方程組

2024/9/1557第三章矩陣代數(shù)3.3計算實驗：線性方程組求解例3.2線性方程組通解用rref化為行最簡形以后求解用除法求出一個特解，再用null求得一個齊次組的基礎(chǔ)解系用符號數(shù)學(xué)工具箱中的solve求解(第七章)

2024/9/1558第三章矩陣代數(shù)3.3計算實驗：線性方程組求解相似對角化及應(yīng)用

如果n階方陣A有n個線性無關(guān)的特征向量，則必存在正交矩陣P,使得P-1AP=

,其中

是A的特征值構(gòu)成的對角矩陣，P的列向量是對應(yīng)的n個正交特征向量。使用MATLAB函數(shù)eig求得的每個特征向量都是單位向量(即模等于1)，并且屬于同一特征值的線性無關(guān)特征向量已正交化，所以由此容易進行相似對角化。

2024/9/1559第三章矩陣代數(shù)3.3計算實驗：線性方程組求解例3.3

用相似變換矩陣P將A相似對角化，并求>>A=[11/40;01/20;01/41];[P,T]=eig(A)AP=PT

P-1AP=T

A=PTP-1An=PTP-1PTP-1……PTP-1=PTnP-12024/9/1560第三章矩陣代數(shù)3.4建模實驗設(shè)有n個經(jīng)濟部門，xi為部門i的總產(chǎn)出，cij為部門j單位產(chǎn)品對部門i產(chǎn)品的消耗，di為外部對部門i的需求，fj為部門j新創(chuàng)造的價值。分配平衡方程組(部門i產(chǎn)品=內(nèi)部需求+外部需求)消耗平衡方程組(部門j產(chǎn)值=生產(chǎn)消耗+新創(chuàng)造價值)

2024/9/1561第三章矩陣代數(shù)列昂杰夫Leontief,Nobel經(jīng)濟學(xué)獎

1973年W.W.LeontiefwasaRussian-Americaneconomistnotableforhisresearchonhowchangesinoneeconomicsectormayhaveaneffectonothersectors.LeontiefwontheNobelMemorialPrizeinEconomicSciencesin1973,andthreeofhisdoctoralstudentshavealsobeenawardedtheprize(PaulSamuelson1970,RobertSolow1987,VernonSmith2002).2024/9/1562第三章矩陣代數(shù)投入產(chǎn)出分析令C=（cij），X=(x1,…,xn)’,D=(d1,…,dn)’，F(xiàn)=(f1,…,fn)’,則分配平衡方程組X=CX+D令A(yù)=E－C，E為單位矩陣，則

AX=DC稱為直接消耗矩陣A稱為列昂杰夫矩陣。2024/9/1563第三章矩陣代數(shù)Y=[1,1,…,1]B（B各列的和）Y表示各部門的總投入(消耗)。新創(chuàng)造價值F=X–Y'B=CB表示各部門間的投入產(chǎn)出關(guān)系，稱為投入產(chǎn)出矩陣。注：bij=cijxj2024/9/1564第三章矩陣代數(shù)投入產(chǎn)出關(guān)系表(行：分配平衡，列：消耗平衡)

消耗部門外界需求總產(chǎn)出123生產(chǎn)部門1b11b12b13d1x12b21b22b23d2x23b31b32b33d3x3新創(chuàng)造價值f1f2f3

總產(chǎn)出x1x2x3注：bij=cijxj2024/9/1565第三章矩陣代數(shù)投入產(chǎn)出平衡行：分配平衡X=B各行之和+外界需求列：消耗平衡X=B各列之和+新創(chuàng)造價值2024/9/1566第三章矩陣代數(shù)投入產(chǎn)出分析

例3.4某地有三個產(chǎn)業(yè)，一個煤礦，一個發(fā)電廠和一條鐵路，開采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費及0.25元的運輸費;

生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠要支付0.65元的煤費，0.05元的電費及0.05元的運輸費;

創(chuàng)收一元錢的運輸費,鐵路要支付0.55元的煤費和0.10元的電費，在某一周內(nèi)煤礦接到外地金額50000元定貨，發(fā)電廠接到外地金額25000元定貨，外界對地方鐵路沒有需求。2024/9/1567第三章矩陣代數(shù)解：這是一個投入產(chǎn)出分析問題。設(shè)x1為本周內(nèi)煤礦總產(chǎn)值，x2為電廠總產(chǎn)值,x3為鐵路總產(chǎn)值,則問三個企業(yè)間一周內(nèi)總產(chǎn)值多少才能滿足自身及外界需求？三個企業(yè)間相互支付多少金額？三個企業(yè)各創(chuàng)造多少新價值?2024/9/1568第三章矩陣代數(shù)直接消耗矩陣C=外界需求向量D=產(chǎn)出向量X=則原方程為(E-C)X=D投入產(chǎn)出矩陣為

B=C*diag(X)總投入向量

Y=ones(1,3)*B新創(chuàng)造價值向量

F=X-Y’2024/9/1569第三章矩陣代數(shù)表3.3投入產(chǎn)出分析表(單位：元)

消耗部門外界需求總產(chǎn)出煤礦電廠鐵路生產(chǎn)部門煤礦0365061558250000102088電廠25522280828332500056163鐵路2552228080028330新創(chuàng)造價值51044140419915

總產(chǎn)出10208856163283302024/9/1570第三章矩陣代數(shù)例5設(shè)金魚某種遺傳病染色體的正?；驗锳，異?；驗閍,那么AA，Aa，aa分別表示正常金魚，隱性患者，顯性患者。設(shè)初始分布為90%正常金魚，10%的隱性患者，無顯性患者?？紤]下列兩種配種方案對后代該遺傳病基因型分布的影響方案一：同類基因結(jié)合，均可繁殖；方案二：顯性患者不允許繁殖，隱性患者必須與正常金魚結(jié)合繁殖2024/9/1571第三章矩陣代數(shù)后代基因型的概率后代是從父母體的基因?qū)χ懈骼^承一個基因，形成自己的基因型。2024/9/1572第三章矩陣代數(shù)第一種方案同類基因結(jié)合，均可繁殖；2024/9/1573第三章矩陣代數(shù)第二種方案顯性患者不允許繁殖，隱性患者必須與正常金魚結(jié)合繁殖2024/9/1574第三章矩陣代數(shù)基因遺傳矩陣表示2024/9/1575第三章矩陣代數(shù)解設(shè)初始分布X(1)=(0.90.10)’,第n代分布為X(n)=方案一：X(n)=Mn-1X(1)方案二：X(n)=Nn-1X(1)2024/9/1576第三章矩陣代數(shù)結(jié)論計算方法：取n足夠大，如n=20方案一：Mn-1X(1)

[0.95,0,0.05]’存在5%的顯性患者方案二：Nn-1X(1)

[1,0,0]’顯性患者和隱性患者都消失本例說明了雜交的優(yōu)勢另一計算方法：用矩陣相似對角化2024/9/1577第三章矩陣代數(shù)習(xí)題P65ex2,ex3,ex4,ex5,ex6,ex102024/9/1578第三章矩陣代數(shù)習(xí)題4轉(zhuǎn)移矩陣表示2024/9/1579第三章矩陣代數(shù)習(xí)題5投入產(chǎn)出關(guān)系

消耗部門外界需求總產(chǎn)出123生產(chǎn)部門1c11x1c12x2c13x3d1x12c21x1c22x2c23x3d2x23c31x1c32x2c33x3d3x3

注：bij=cijxjMATLAB數(shù)學(xué)實驗第四章函數(shù)和方程第四章函數(shù)和方程4.1預(yù)備知識：零點、極值和最小二乘法4.2函數(shù)零點、極值和最小二乘擬合的MATLAB指令4.3計算實驗：迭代法4.4建模實驗：購房貸款的利率4.1預(yù)備知識：零點非線性方程

f(x)=0若對于數(shù)

有f(

)=0,則稱

為方程的解或根，也稱為函數(shù)f(x)的零點非線性方程求解通常用數(shù)值方法求近似解.非線性方程（組）f(x)=0，其中x=(x1,x2,…,xn),f=(f1,f2,…,fm)

4.1預(yù)備知識：極值設(shè)x為標(biāo)量或向量，y=f(x)是x

D上的標(biāo)量值函數(shù)。如果對于包含x=a的某個鄰域

,有f(a)f(x)

(f(a)f(x))對任意x

成立,則稱a為f(x)的一個局部極小(大)值點。。如果對任意x

D，有f(a)f(x)（f(a)f(x)）成立，則稱a為f(x)在區(qū)域D上的一個全局極小(大)值點。4.1預(yù)備知識：極值4.1預(yù)備知識：最小二乘擬合4.1預(yù)備知識：最小二乘擬合成績選手國籍日期13秒24米爾布恩美國1972年9月7日13秒21卡薩那斯古巴1977年8月21日13秒16內(nèi)赫米亞美國1979年4月14日13秒00內(nèi)赫米亞美國1979年5月6日12秒93內(nèi)赫米亞美國1981年8月19日12秒92金多姆美國1989年8月16日12秒91杰克遜英國1993年8月20日12秒88劉翔中國2006年7月12日12秒87羅伯斯古巴2008年6月12日12秒80梅里特美國2012年9月7日數(shù)據(jù)：男子110米欄記錄問題：估計什么時候突破12秒50？4.1預(yù)備知識：最小二乘擬合4.1預(yù)備知識：最小二乘擬合假設(shè)已知經(jīng)驗公式y(tǒng)=f(c,x)(c為參數(shù),x為自變量),要求根據(jù)一批有誤差的數(shù)據(jù)(xi,yi),i=0,1,…,n,確定參數(shù)c.這樣的問題稱為數(shù)據(jù)擬合。最小二乘法：求c使得平方誤差最小化

Q(c)=4.2函數(shù)零點MATLAB指令多項式y(tǒng)=polyval(p,x)求得多項式p在x處的值y，x可以是一個或多個點p3=conv(p1,p2)返回多項式p1和p2的乘積[p3,r]=deconv(p1,p2)p3返回多項式p1除以p2的商，r返回余項x=roots(p)求得多項式p的所有復(fù)根.p=polyfit(x,y,k)用k次多項式擬合向量數(shù)據(jù)(x,y),返回多項式的降冪系數(shù)MATLAB中一個多項式用系數(shù)降冪排列向量來表示。例2.用2次多項式擬合下列數(shù)據(jù).

x0.10.20.150-0.20.3

y0.950.840.861.061.500.72M文件eg4_2.m例1.求多項式x3+2x2-5的根

?p=[120-5];x=roots(p),polyval(p,x)Fun=@Mfun定義一個函數(shù)句柄，這里Mfun是函數(shù)的M文件表達方式Fun=@(var)funstr

定義匿名函數(shù)，其中var是變量名,funstr是函數(shù)的表達式非線性函數(shù)的MATLAB表達

x=fzero(Fun,x0)

返回一元函數(shù)Fun的一個零點.x0為標(biāo)量時,

x

返回函數(shù)在x0附近的零點；

x0為向量[a,b]時,

x

返回在[a,b]中的零點(兩端函數(shù)異號)

4.2函數(shù)零點MATLAB指令[x,f,h]=fsolve(Fun,x0)x:

返回多元函數(shù)Fun在x0附近的一個零點，其中x,x0均為向量;f:

返回Fun在零點的函數(shù)值,應(yīng)該接近0;h:

返回值如果大于零，說明計算結(jié)果可靠，否則計算結(jié)果不可靠。例3求函數(shù)y=xsin(x2-x-1)在(-2,-0.1)內(nèi)的零點

>>fun=@(x)x*sin(x^2-x-1)>>fzero(fun,[-2-0.1])>>

fplot(fun,[-2,-0.1]),gridon;>>fzero(fun,[-2,-1.2]),fzero(fun,[-1.2,-0.1])>>fzero(fun,-1.6),fzero(fun,-0.6)例4求方程組在原點附近的解xx(1)yx(2)functionf=eg4_4fun(x)f(1)=4*x(1)-x(2)+exp(x(1))/10-1;f(2)=-x(1)+4*x(2)+x(1)^2/8;>>[x,f,h]=fsolve(@eg4_4fun,[00])使用函數(shù)句柄%使用匿名函數(shù)fun=@(x)[4*x(1)-x(2)+exp(x(1))/10-1,-x(1)+4*x(2)+x(1)^2/8];[x,f,h]=fsolve(fun,[00])

min(y)

返回向量y的最小值max(y)

返回向量y的最大值[x,f]=fminbnd(fun,a,b)

x返回一元函數(shù)fun在[a,b]內(nèi)的局部極小值點,f返回局部極小值[x,f]=fminsearch(fun,x0)

x返回多元函數(shù)fun在初始值x0

附近的局部極小值點,f返回局部極小值.

x,x0均為向量。4.2函數(shù)極值MATLAB指令例5.求二元函數(shù)f(x,y)=5-x4-y4+4xy在原點附近的極大值。解：maxfmin(-f)x

x(1),y

x(2)>>fun=@(x)x(1)^4+x(2)^4-4*x(1)*x(2)-5;>>[x,g]=fminsearch(fun,[0,0])注：在使用fsolve,fminsearch等指令時，多變量必須合寫成一個向量變量，如用x(1),x(2),…。4.2最小二乘擬合MATLAB指令假設(shè)已知經(jīng)驗公式y(tǒng)=f(c,x)(c為參數(shù),x為自變量),要求根據(jù)一批有誤差的數(shù)據(jù)(xi,yi),i=0,1,…,n,確定參數(shù)c.這樣的問題稱為數(shù)據(jù)擬合。最小二乘法就是求c使得平方誤差最小化

Q(c)=基本格式:c=lsqcurvefit(Fun,c0,x,y)

這里Fun(c,x)為兩個輸入變量的函數(shù)句柄或匿名函數(shù)，c0為參數(shù)c的預(yù)估值，作為迭代初值，x,y為數(shù)據(jù)向量

完整格式：[c,Q]=lsqcurvefit(Fun,c0,x,y,lb,ub)

lb和ub分別表示c的下界和上界。c返回參數(shù)值，Q返回誤差平方和。自變量x可以是多變量，這時第三輸入?yún)?shù)x應(yīng)為矩陣。

最小二乘擬合函數(shù)類型的選擇根據(jù)物理或數(shù)學(xué)機理作圖看趨勢常用直線、二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)等參數(shù)初始值的選擇根據(jù)參數(shù)的實際意義由數(shù)據(jù)估計網(wǎng)格化搜索常用原點男子110欄問題Matlab程序clear;closeall;data=[13.2413.2113.1613.0012.9312.9212.9112.8812.8712.80];year=[1972197719791979198119891993200620082012];plot(year,data,'o');y=data;x=year-1972;fun=@(c,x)c(1)*exp(-c(2)*x);c=lsqcurvefit(fun,[13,(13.24-12.80)/40],x,y)fun2=@(x)c(1)*exp(-c(2)*x)-12.5;x2=fsolve(fun2,50)%初估50年后，

%計算得73年以后，即2045年xx=0:75;yy=fun(c,xx);figure;plot(year,data,'o',xx+1972,yy);gridon;男子110欄問題的求解模型估計大約2045年突破12秒50

迭代法是從解的初始近似值x0(簡稱初值)開始，利用某種迭代格式xk+1=g(xk),求得一近似值序列x1,x2,…,xk,xk+1,…逐步逼近于所求的解

(稱為不動點)。最常用的迭代法是牛頓迭代法，其迭代格式為

1迭代法4.3計算實驗：迭代法Newton法幾何意義：切線法切線代替曲線牛頓法程序newton.mfunctionx=newton(fname,dfname,x0,e)ifnargin<4,e=1e-4;end%默認精度x=x0;x0=x+2*e;%使while成立，且進入while后x0得到賦值whileabs(x0-x)>ex0=x;x=x0-fname(x0)/dfname(x0);end例6

求方程x2-3x+ex=2的正根(要求精度

=10-6)解令f(x)=x2-3x+ex-2,f(0)=-1,f(2)>0,所以根在[0,2]內(nèi)。M文件eg4_6先用圖解法找初值，再用牛頓法程序newton.m求解。2．線性化擬合例7.用函數(shù)y=aebx

擬合例2的數(shù)據(jù)方法一：非線性擬合，記a=c(1),b=c(2)>>fun=@(c,x)c(1)*exp(c(2)*x;>>x=…;y=…;[c,Q]=lsqcurvefit(fun,[0,0],x,y)方法二：線性化擬合，兩邊取對數(shù)得z=lny=lna+bx轉(zhuǎn)化為線性擬合。M文件eg4_7不難算出，你向銀行總共借了25.2萬，30年內(nèi)共要還51.696萬，這個案例中貸款年利率是多少呢？

例8.下面是《新民晚報》2000年3月30日上的一則房產(chǎn)廣告：4.4建模實驗：購房貸款的利率解設(shè)xk為第k個月的欠款數(shù)，

a為月還款數(shù),r為月利率。xk+1=(1+r)xk-a那么

xk=(1+r)xk-1-a=(1+r)2xk-2–(1+r)a–a=……=(1+r)kx0

–a[1+(1+r)+……+(1+r)k-1]=(1+r)kx0

–a[(1+r)k-1]/r根據(jù)a=0.1436,x0=25.2,x360=0得到25.2(1+r)360

–0.1436[(1+r)360-1]/r=0很難用roots求解！常識上，r應(yīng)比當(dāng)時活期存款月利率略高一些。我們用活期存款月利率0.0198/12作為迭代初值，用fzero求解>>clear;fun=@(r)25.2*(1+r)^360-((1+r)^360-…1)/r*0.1436;>>r=fzero(fun,0.0198/12);>>R=12*r得年利率為5.53%.(你知道最新利率嗎？)分期付款月還款公式方程(1+r)Nx0–a[(1+r)N-1]/r=0月還款計算x0剩余借款額；N剩余月數(shù)；r月利率=年利率/12線性迭代xk+1=axk+b

收斂：當(dāng)|a|<1,收斂于它的不動點x=b/(1-a)，不收斂：當(dāng)|a|>1,趨于無窮大。

4.4建模實驗：混沌不收斂的非線性迭代可能會趨于無窮大，趨于一個周期解，在一個有限區(qū)域內(nèi)雜亂無章地游蕩，這類由確定性運動導(dǎo)致的貌似隨機的現(xiàn)象稱為混沌現(xiàn)象

4.4建模實驗：混沌例（混沌）：昆蟲數(shù)量的Logistic模型xk+1=axk(1-xk), 0

a

4xk表示第k代昆蟲數(shù)量(1表示理想資源環(huán)境最大可能昆蟲數(shù)量)。a為資源系數(shù).0

a

4保證了xk在區(qū)間(0,1)上封閉。當(dāng)0

a<1,在[0，1]內(nèi)有一個不動點0，且由|g’(0)|=a<1,可知它是穩(wěn)定的,

說明資源匱乏時,昆蟲趨于消亡;對于Logistic模型解得有兩個不動點0和1-1/a當(dāng)a>1,不動點0不再穩(wěn)定;當(dāng)1<a

3，由|g’(1-1/a)|=|2-a|<1可知不動點1-a-1穩(wěn)定，說明資源適當(dāng)時，昆蟲穩(wěn)定于一定數(shù)量。a>3，出現(xiàn)兩個周期2解，且3<a<1+

周期2軌道穩(wěn)定。迭代開始發(fā)生所謂倍周期分岔，從周期2,周期4,…,周期2n,…

直到a

=3.569945672…。

說明a在[3，a

]取值時，昆蟲數(shù)量呈現(xiàn)規(guī)律性振蕩。a>a

迭代序列幾乎雜亂無章，即所謂混沌。分岔圖程序clear;close;a=0:0.01:4;M=length(a);K=1000;x=zeros(K,M);x(1,:)=rand(1,M);form=1:M,fork=1:K-1x(k+1,m)=a(m)*x(k,m)*(1-x(k,m));end,endfork=1:20,plot(a,x(k,:),'.');title(['k=',int2str(k)]);pause(1);end;plot(a,x(900:K,:),'.');holdoff;分岔圖*混沌的特征

(i)初值敏感性:

兩個任意近的點出發(fā)的兩條軌跡遲早會分得很開;蝴蝶效應(yīng)(Lorenz1963)：一只南美熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可能在兩周后在美國德克薩斯引起一場龍卷風(fēng)。

(ii)遍歷性:

任意點出發(fā)的軌跡總會進入

[0,1]內(nèi)任意小的開區(qū)間。例9（蛛網(wǎng)圖）我們用蛛網(wǎng)圖來顯示混沌的遍歷性。

yk=axk(1-xk), xk+1=yk蛛網(wǎng)圖正好顯示迭代計算x0,y0,x1,y1,……的一系列變化過程。

eg4_9.m蛛網(wǎng)圖M函數(shù)eg4_9.mfunctionf=eg4_9(a,x0,m,n)x=0:0.01:1;y=a*x.*(1-x);plot(x,x,'r',x,y,'r');holdon;clearx,y;x(1)=x0;y(1)=a*x(1)*(1-x(1));x(2)=y(1);ifm<2,plot([x(1),x(1),x(2)],[0,y(1),y(1)]);endfori=2:ny(i)=a*x(i)*(1-x(i));x(i+1)=y(i);ifi>m,plot([x(i),x(i),x(i+1)],[y(i-1),y(i),y(i)]);endendholdoff;習(xí)題ex1,ex2,ex6,ex8(1)ex9,ex10(1)(3)ex12，ex13ex13圖thR10MATLAB數(shù)學(xué)實驗第五章應(yīng)用微積分第五章應(yīng)用微積分5.1預(yù)備知識：微積分的基本概念5.2數(shù)值微積分MATLAB指令5.3計算實驗：數(shù)值微積分5.4建模實驗：奶油蛋糕、作案時間1.極限和連續(xù)數(shù)列極限:

>0,

N>0，使當(dāng)n>N時有

xn-a

<

，則函數(shù)極限:如果當(dāng)x

x0時有f(x)

A，則連續(xù):如果當(dāng)x

x0時，有f(x)

f(x0)

則稱f(x)在x0連續(xù)。結(jié)論：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必有最大值(全局極大值)和最小值(全局極小值)

。5.1預(yù)備知識：微積分2.微分與導(dǎo)數(shù)函數(shù)f(x)在點x=x0的導(dǎo)數(shù)為當(dāng)f’(x0)>0,函數(shù)在x0點附近是上升的；當(dāng)f’(x0)<0,函數(shù)在x0點附近是下降的；當(dāng)f’(x0)=0,x0為駐點（很可能是極值點）函數(shù)可導(dǎo)連續(xù)幾何意義：切線的斜率當(dāng)n=0得微分中值定理

f(x)-f(x0)=f’(

)(x-x0)

其中

是x0與x之間的某個點。Taylor公式:當(dāng)f(x)在含有x0某個開區(qū)間內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，Taylor展開的幾何解釋任意函數(shù)的局部多項式逼近3.多元函數(shù)微分學(xué)

設(shè)f(x,y)在點(x0,y0)附近有定義，當(dāng)(x,y)以任何方式趨向于(x0,y0)時，f(x,y)趨向于一個確定的常數(shù)A，則二重極限若A=f(x0,y0),稱f(x,y)在(x0,y0)點連續(xù)f(x,y)在點(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)Taylor公式

函數(shù)極值一元可微f(x)在內(nèi)點x0取得局部極值必要條件是f’(x0)=0.局部極大充分條件是f’(x0)=0,f’’(x0)<0局部極小充分條件是f’(x0)=0,f’’(x0)>0.函數(shù)極值二元可微f(x,y)在內(nèi)點(x0,y0)取得局部極大或極小的必要條件是梯度

f(x0,y0)=0,局部極大(或局部極小)充分條件是

f(x0,y0)=0且下列Hesse矩陣負定（或正定）。梯度

f=(),Hesse矩陣多元函數(shù)極值也有類似的結(jié)果。4.積分

函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分其中a=x0<x1<…<xn=b,

xi=xi-xi-1,

i

(xi-1,xi),i=1,2,…,n幾何意義：曲邊梯形的面積牛頓-萊布尼茲公式：若在[a,b]上,F’(x)=f(x),則二重積分定義曲線&曲面平面曲線(x(t),y(t)),a<t<b的長度為空間曲線(x(t),y(t),z(t)),a<t<b的長度為曲面z=z(x,y),(x,y)

G的面積為1.數(shù)值差分

n維向量x=(x1,x2,

,xn)的差分定義為n-1維向量

x=(x2-x1,x3-x2,

,xn-xn-1)。diff(x)如果x是向量，返回向量x的差分如果x是矩陣，則按各列作差分。diff(x,k)k階差分，即差分k次5.2數(shù)值微積分MATLAB指令2.數(shù)值導(dǎo)數(shù)和梯度q=polyder(p)

求得由向量p表示的多項式導(dǎo)函數(shù)的向量表示q.Fx=gradient(F,x)

返回向量F表示的一元函數(shù)沿x方向的導(dǎo)函數(shù)F’(x).

其中x是與F同維數(shù)的向量.[Fx,Fy]=gradient(F,x,y)

返回矩陣F表示的二元函數(shù)的數(shù)值梯度(F’x,F’y),當(dāng)F為m×n

矩陣時,x,y分別為n維和m維的向量.例子?clear;x=[11.11.21.3];y=x.^3;?3*x.^2?dy=diff(y)./diff(x)?dy=gradient(y,x)注意(1)gradient內(nèi)點用中心差商精度高，兩端用向前或向后差商精度低；(2)計算精度隨著步長變小而提高。3.梯形積分法

z=trapz(x,y)

返回積分的近似值，其中x表示積分區(qū)間的離散化向量;y是與x同維數(shù)的向量,表示被積函數(shù)。例1解?clear;x=-1:0.1:1;y=exp(-x.^2);

?trapz(x,y)注意：積分時被積函數(shù)要用數(shù)組運算!!4.高精度數(shù)值積分

z=quadl(Fun,a,b).z=integral(Fun,a,b)不是數(shù)字1，是字母！>>z=quadl(@(x)exp(-x.^2),-1,1)>>z=integral(@(x)exp(-x.^2),-1,1)注意：積分中fun里用數(shù)組運算!!>>fun=@(x)exp(-x.^2).*log(x).^2;>>q=integral(fun,0,Inf)%integral能求反常積分

5.

重積分z=dblquad(Fun,a,b,c,d)

求得二元函數(shù)Fun(x,y)在矩形區(qū)域的重積分.z=triplequad(Fun,a,b,c,d,e,f)求得三元函數(shù)Fun(x,y,z)在長方體區(qū)域上的三重積分。z=quad2d(Fun,a,b,cx,dx)求得二元函數(shù)Fun(x,y)的一般區(qū)域重積分。a,b為變量x的下、上限；cx,dx為變量y的下、上限函數(shù)(自變量為x)z=integral2(Fun,a,b,cx,dx)類似quad2dz=integral3(Fun,a,b,cx,dx,exy,fxy)求得三元函數(shù)Fun(x,y,z)一般區(qū)域的三重積分例5.2計算重積分fun=@(z,x,y)log(3+x+y+z)+z.^2.*cos(x);xmin=@(z)-sqrt(1-z.^2);xmax=@(z)sqrt(1-z.^2);ymin=@(z,x)-sqrt(1-x.^2-z.^2);ymax=@(z,x)sqrt(1-x.^2-z.^2);q=integral3(fun,0,1,xmin,xmax,ymin,ymax)fun=@(x,y)1./(sqrt(x+y).*(1+x+y).^2);q=integral2(fun,0,1,0,@(x)1-x)1.數(shù)值微分若f(x)在x=a可導(dǎo),設(shè)h>0且足夠小稱為向前差商向后差商中心差商5.3計算實驗：數(shù)值微積分差商公式比較中心差商精度比較高自動步長的中心差商程序：deriv.mfunctiond=deriv(fname,a,h0,e)h=h0;d=(fname(a+h)-fname

(a-h))/2/h;d0=d+2*e;%為了保證abs(d-d0)>e成立whileabs(d-d0)>ed0=d;h0=h;h=h0/2d=(fname(a+h)-fname(a-h))/2/h;end>>deriv(@(x)sin(x),pi/6,0.1,1e-4)例5.4（奶油蛋糕）某數(shù)學(xué)家的學(xué)生要送一個特大的蛋糕來慶賀他90歲生日。為了紀(jì)念他提出的口腔醫(yī)學(xué)的懸鏈線模型，學(xué)生們要求蛋糕店老板將蛋糕邊緣半徑作成下列懸鏈線函數(shù)

r=2-(exp(2h)+exp(-2h))/5,0<h<1(單位：米)。問如何計算重量？5.4建模實驗：解設(shè)高為H，半徑r,比重為k若蛋糕是單層圓盤的，則蛋糕的重量為：

W=k

Hr2rHr1r2若蛋糕是雙層的，每層高H/2，下層半徑r1,上層半徑r2，則

W=k

H(r12+r22)/2如果蛋糕是n層的，每層高H/n，半徑分別r1,…,rn,則fun=@(h)(2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5);n=5;h=0.1:0.2:0.9;r=fun(h);W=pi*1/n*sum(r.^2)計算結(jié)果5.4327當(dāng)n

，fun2=@(h)(2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5).^2;pi*integral(fun2,0,1)計算結(jié)果5.4171即旋轉(zhuǎn)體體積公式解：t=0時z=R.考慮在時間dt內(nèi)水面變化dz，漏水的體積為

uAdt=-

x2dz其中u為出水速度，A為小孔面積，x為高度z水面的半徑5m0.5m0例5.5（作案時間）鍋爐房中發(fā)生一起命案，球形鍋爐底部有個彈孔在漏水。鍋爐半徑R=5m，平時充滿了水，測得底部小孔半徑b=0.1m，此時水面已將下降至離底部0.5m。推測槍擊是多長時間以前發(fā)生的?分析：求時間t與水面高度z的對應(yīng)關(guān)系。z表示從球心測量的水面高度A=

b2,x2=R2-z2注意：水從孔漏出的速度u不是常數(shù)！zxt=0時z=R.

在頂部水降到0.5m時，z=0.5-R，從而

t=0+5m0.5m0u由下列能量方程決定mg(z+R)=mu2/2

m是質(zhì)量，g為重力加速度。%M腳本eg5_6.mclear;R=5;b=0.1;g=9.81;z1=0.5-R;z2=R;n=100;h=(z2-z1)/n;z=z1:h:z2;f=(R^2-z.^2)./(b^2*sqrt(2*g*(z+R)));I=trapz(z,f)/60/60結(jié)果為0.5144小時。Page101習(xí)題ex4ex5(2)(4)(6)(7)(8)ex6ex10ex12ex13MATLAB數(shù)學(xué)實驗

第六章常微分方程第六章常微分方程6.1預(yù)備知識：常微分方程6.2解常微分方程的MATLAB指令6.3計算實驗：Euler法和剛性方程組6.4建模實驗:導(dǎo)彈系統(tǒng)的改進1.微分方程的概念常微分方程:f(t,y,y’,y’’,…,y(n))=0常微分方程的解:函數(shù)y(t).6.1預(yù)備知識：常微分方程微分方程組:聯(lián)系一些未知函數(shù)x(t),y(t),z(t),…的一組微分方程.偏微分方程:含有偏導(dǎo)數(shù)的微分方程.其解為多元函數(shù)u(t,x,y,z)。6.1預(yù)備知識：常微分方程2.常微分方程解析求解：某些特殊的方程(1)初等積分法例如y’=ty,y(0)=1.分離變量dy/y=tdt,lny=t2/2+c,由初始值得c=0,所以y(t)=exp(t2/2)（2）線性常系數(shù)微分方程的特征根法線性方程:y(n)+a1(t)y(n-1)+…+an-1(t)y’+an(t)y=b(t)常系數(shù)方程:

若ai(t)(i=1,…,n)與t無關(guān)。齊次方程:

若b(t)=0。

y(n)+a1y(n-1)+…+an