2024屆山東省臨沂市高三下學(xué)期5月高考模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3山東省臨沂市2024屆高三下學(xué)期5月高考模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知為虛數(shù)單位，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，則，故.故選：B.2.若，，則的元素個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，可得集合或，，則，所以的元素個數(shù)為2個.故選：C3.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，則該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)中位數(shù)的定義，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，根據(jù)極差的定義，該組數(shù)據(jù)的極差是，依題意得，，解得，，根據(jù)百分位數(shù)的定義，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是從小到大排列的第個數(shù)，即.故選：A4.若有2名女生和4名男生到“山東旅發(fā)”大會的兩個志愿服務(wù)站參加服務(wù)活動，分配時每個服務(wù)站均要求既有女生又有男生，則不同的分配方案種數(shù)為（）A.16 B.20 C.28 D.40〖答案〗C〖解析〗第一步，先分組，分為一組2人，另一組4人，有種；分為每組各3人，有種，分組方法共有種.第二步，將兩組志愿者分配到兩個服務(wù)站共有種.所以，總分配方案有種.故選：C.5.已知函數(shù)（）圖象的一個對稱中心為，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.是圖象的一條對稱軸C.在上的值域為D.將圖象上的所有點向左平移個長度單位后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱〖答案〗D〖解析〗由題意可得，解得，又，故，即；對A：當(dāng)時，，由函數(shù)在上不為單調(diào)遞增，故在區(qū)間上不為單調(diào)遞增，故A錯誤；對B：當(dāng)時，，由不是函數(shù)的對稱軸，故不是圖象對稱軸，故B錯誤；對C：當(dāng)時，，則，故C錯誤；對D：將圖象上的所有點向左平移個長度單位后，可得，該函數(shù)關(guān)于y軸對稱，故D正確.故選：D.6.若實數(shù)，，滿足，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，又，則，且，即，因為，所以，所以.故選：A.7.已知正方體中，M，N分別為，的中點，則（）A.直線MN與所成角的余弦值為 B.平面與平面夾角的余弦值為C.在上存在點Q，使得 D.在上存在點P，使得平面〖答案〗C〖解析〗以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為1，所以，，，對于A，，，直線MN與所成角余弦值為，故A錯誤；對于B，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，平面與平面夾角余弦值為：，故B錯誤；對于C，因為Q在上，設(shè)，所以，，則，所以，所以，，所以，解得：.故上存在點，使得，故C正確；對于D，因為，所以四點共面，而平面，所以上不存在點P，使得平面，故D錯誤.故選：C.8.橢圓（）的左、右焦點分別為，，P為橢圓上第一象限內(nèi)的一點，且，與y軸相交于點Q，離心率，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)、，則有，，則，即，則，即，即，，則，由，則有，整理得，即.故選：B.二、選擇題9.已知是等差數(shù)列，是其前n項和，則下列命題為真命題的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若和都為遞增數(shù)列，則〖答案〗BC〖解析〗對于A中，由，，可得，所以，又由，所以A錯誤；對于B中，由，所以B正確；對于C中，由，所以，又因為，則，所以C正確；對于D中，因為為遞增數(shù)列，可得公差，因為為遞增數(shù)列，可得，所以對任意的，但的正負不確定，所以D錯誤．故選：BC.10.設(shè)，是拋物線C：上兩個不同的點，以A，B為切點的切線交于點.若弦AB過焦點F，則（）A. B.若PA的方程為，則C.點P始終滿足 D.面積的最小值為16〖答案〗ACD〖解析〗依題意設(shè)，，由方程，可得，則，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為，同理直線的斜率為，可得A處的切線方程為：，即，化簡可得，所以直線的方程為，同理可得：直線BP的方程為，聯(lián)立兩直線方程得，，則，因為，解得，，即，所以A正確；若PA的方程為，根據(jù)直線的方程為，可得，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，則，且，，所以，，所以B錯誤；因為，所以，故C正確；取的中點，連接，根據(jù)中點坐標(biāo)公式得，從而平行軸，由前可知，所以因為，，所以，，代入可得，當(dāng)時，，所以D正確.故選：ACD.11.已知定義在上的函數(shù)滿足，，且，則（）A.的最小正周期為4 B.C.函數(shù)是奇函數(shù) D.〖答案〗AB〖解析〗對于A，因為，所以，，所以，故的最小正周期為4，A正確；對于B，因為，令，則，所以，由A可知，，故B正確；對于C，因為，①令，則，所以，所以，②由①②，所以，即，故為奇函數(shù)，若函數(shù)是奇函數(shù)，則，所以，即，所以，所以的最小正周期為2，與選項A矛盾，故C錯誤；對于D，因為為奇函數(shù)，且，所以，又因為的最小正周期為4，所以，因為所以，，所以，，以此類推，所以，故D錯誤.故選：AB.三、填空題12.展開式中項的系數(shù)為___________.〖答案〗42〖解析〗對，有，則有.故〖答案〗為：.13.若直線與曲線相切，則的取值范圍為___________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點為，所以，則，即又因為在上，所以，所以，即，所以，所以，令，，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.當(dāng)趨近正無窮時，趨近正無窮.所以的取值范圍為：.故〖答案〗為：.14.根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，某種植物感染病毒之后，其存活日數(shù)X滿足：對于任意的，的樣本在的樣本里的數(shù)量占比與的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均等于，即，則__________，設(shè)，的前n項和為，則___________.〖答案〗〖解析〗，因為，所以，將換成，此時，兩式相減可得，即，又，所以對任意都成立，此時是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，故，，，兩式作差得，故〖答案〗為：，四、解答題15.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知．（1）求C；（2）若點D在線段AB上，且，求的最大值.解：（1）由得，∴，即，由正弦定理邊化角得，因為，所以，∴，又∵，∴.（2）∵D點在線段AB上，且，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．∴．即的最大值為．16.“趕大集”出圈彰顯了傳統(tǒng)民俗的獨特魅力.為了解年輕人對“趕大集”的態(tài)度，隨機調(diào)查了200位年輕人，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下面的不完整的2×2列聯(lián)表所示（單位：人）.非常喜歡感覺一般合計男性3t100女性t合計60（1）求t的值，試根據(jù)小概率的獨立性檢驗，能否認為年輕人對“趕大集”的態(tài)度與性別有關(guān)；（2）從樣本中篩選出5名男性和3名女性共8人作為代表，這8名代表中有2名男性和2名女性非常喜歡“趕大集”.現(xiàn)從這8名代表中任選3名男性和2名女性進一步交流，記X為這5人中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.0.10.050.01…2.7063.8416.635…解：（1）由題意可知：，解得，2×2列聯(lián)表如下：

非常喜歡感覺一般合計男性6040100女性8020100合計14060200.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為年輕人對“趕大集”的態(tài)度與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.（2）設(shè)進一步交流的男性中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)為m，女性中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)為n，則，且X的所有可能取值為1，2，3，4.，，，.所以X的分布列為X1234P所以.17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形,,平面AMHN，點M，N，H分別在棱PB，PD，PC上，且．（1）證明：；（2）若H為PC的中點，，PA與平面PBD所成角為60°，四棱錐被平面截為兩部分，記四棱錐體積為，另一部分體積為，求.（1）證明：連接AC交BD于點O，連接OP，∵平面AMHN，且平面平面，平面，∴．∵，∴，∵四邊形為菱形，∴，，∵，且平面PAC，∴平面PAC，又平面PAC，∴，∴．（2）解：∵，且O為AC中點，∴，由（1）得，，平面ABCD，∴平面ABCD，令，又四邊形為菱形，，，，．，且都在平面PBD內(nèi)，平面PBD，又PA與平面PBD所成角為60°，∴，，∴，∴又H為PC中點，且，∴，在△PAC中，記，易知點G在MN上，且點G為△PAC重心，，又∵，∴，由（1）知平面PAC，∴平面PAC，又，∴，∴，∴．18.已知向量，，點，，直線PD，QD的方向向量分別為，，其中，記動點D的軌跡為E.（1）求E的方程；（2）直線l與E相交于A，B兩點，（i）若l過原點，點C為E上異于A，B的一點，且直線AC，BC的斜率，均存在，求證：為定值；（ii）若l與圓O：相切，點N為AB的中點，且，試確定圓O的半徑r.（1）解：設(shè)，則，，又∵，，∴，，由已知得，，消得：，∴點D的軌跡方程為．（2）（i）證明：設(shè)直線l與E的兩個交點為，，∵直線l過原點，∴點A，B關(guān)于原點成中心對稱．設(shè)，∴，由，得，∴．（ii）解：∵N為AB的中點，且，∴.①當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為，此時點A，B關(guān)于x軸對稱，不妨設(shè)點A在第一象限，∴，∵，∴，∴．②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為，由，得，∴，，∵，∴，即，整理得：．又∵l與圓相切，∴．綜上可得，∴圓O的半徑是．19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求證：存在唯一的極大值點，且；（2）若存在兩個零點，記較小的零點為，t是關(guān)于x的方程的根，證明：.證明：（1）當(dāng)時，，，∴，易知在上單調(diào)遞減，且，，則，使得當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，即，即，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴存在唯一的極大值點，而，∴．（2）令，得，設(shè)，顯然在定義域上單調(diào)遞增，而，則有，∴．依題意，方程有兩個不等的實根，即函數(shù)在定義域上有兩個零點，顯然，當(dāng)時，的定義域為，在上單調(diào)遞增，最多一個零點，不合題意，∴，的定義域為，∴求導(dǎo)，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，要使有兩個零點，必有，即，此時，即在有一個零點，，令，，求導(dǎo)得，顯然在上單調(diào)遞增，∴，∴在上單調(diào)遞增，，∴，則函數(shù)在上存在唯一零點．由為的兩個根中較小的根，得，，又由已知得，從而，∵，∴，∴．設(shè)（），當(dāng)時，，，則符合題意，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，∴不合題意，∴∴設(shè)，．求導(dǎo)，得，當(dāng)時，令，，則，，∴，在上單調(diào)遞增，從而，，即，，從而，即在單調(diào)遞增，則，于是，即，即．山東省臨沂市2024屆高三下學(xué)期5月高考模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知為虛數(shù)單位，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，則，故.故選：B.2.若，，則的元素個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，可得集合或，，則，所以的元素個數(shù)為2個.故選：C3.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，則該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)中位數(shù)的定義，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，根據(jù)極差的定義，該組數(shù)據(jù)的極差是，依題意得，，解得，，根據(jù)百分位數(shù)的定義，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是從小到大排列的第個數(shù)，即.故選：A4.若有2名女生和4名男生到“山東旅發(fā)”大會的兩個志愿服務(wù)站參加服務(wù)活動，分配時每個服務(wù)站均要求既有女生又有男生，則不同的分配方案種數(shù)為（）A.16 B.20 C.28 D.40〖答案〗C〖解析〗第一步，先分組，分為一組2人，另一組4人，有種；分為每組各3人，有種，分組方法共有種.第二步，將兩組志愿者分配到兩個服務(wù)站共有種.所以，總分配方案有種.故選：C.5.已知函數(shù)（）圖象的一個對稱中心為，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.是圖象的一條對稱軸C.在上的值域為D.將圖象上的所有點向左平移個長度單位后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱〖答案〗D〖解析〗由題意可得，解得，又，故，即；對A：當(dāng)時，，由函數(shù)在上不為單調(diào)遞增，故在區(qū)間上不為單調(diào)遞增，故A錯誤；對B：當(dāng)時，，由不是函數(shù)的對稱軸，故不是圖象對稱軸，故B錯誤；對C：當(dāng)時，，則，故C錯誤；對D：將圖象上的所有點向左平移個長度單位后，可得，該函數(shù)關(guān)于y軸對稱，故D正確.故選：D.6.若實數(shù)，，滿足，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，又，則，且，即，因為，所以，所以.故選：A.7.已知正方體中，M，N分別為，的中點，則（）A.直線MN與所成角的余弦值為 B.平面與平面夾角的余弦值為C.在上存在點Q，使得 D.在上存在點P，使得平面〖答案〗C〖解析〗以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為1，所以，，，對于A，，，直線MN與所成角余弦值為，故A錯誤；對于B，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，平面與平面夾角余弦值為：，故B錯誤；對于C，因為Q在上，設(shè)，所以，，則，所以，所以，，所以，解得：.故上存在點，使得，故C正確；對于D，因為，所以四點共面，而平面，所以上不存在點P，使得平面，故D錯誤.故選：C.8.橢圓（）的左、右焦點分別為，，P為橢圓上第一象限內(nèi)的一點，且，與y軸相交于點Q，離心率，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)、，則有，，則，即，則，即，即，，則，由，則有，整理得，即.故選：B.二、選擇題9.已知是等差數(shù)列，是其前n項和，則下列命題為真命題的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若和都為遞增數(shù)列，則〖答案〗BC〖解析〗對于A中，由，，可得，所以，又由，所以A錯誤；對于B中，由，所以B正確；對于C中，由，所以，又因為，則，所以C正確；對于D中，因為為遞增數(shù)列，可得公差，因為為遞增數(shù)列，可得，所以對任意的，但的正負不確定，所以D錯誤．故選：BC.10.設(shè)，是拋物線C：上兩個不同的點，以A，B為切點的切線交于點.若弦AB過焦點F，則（）A. B.若PA的方程為，則C.點P始終滿足 D.面積的最小值為16〖答案〗ACD〖解析〗依題意設(shè)，，由方程，可得，則，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為，同理直線的斜率為，可得A處的切線方程為：，即，化簡可得，所以直線的方程為，同理可得：直線BP的方程為，聯(lián)立兩直線方程得，，則，因為，解得，，即，所以A正確；若PA的方程為，根據(jù)直線的方程為，可得，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，則，且，，所以，，所以B錯誤；因為，所以，故C正確；取的中點，連接，根據(jù)中點坐標(biāo)公式得，從而平行軸，由前可知，所以因為，，所以，，代入可得，當(dāng)時，，所以D正確.故選：ACD.11.已知定義在上的函數(shù)滿足，，且，則（）A.的最小正周期為4 B.C.函數(shù)是奇函數(shù) D.〖答案〗AB〖解析〗對于A，因為，所以，，所以，故的最小正周期為4，A正確；對于B，因為，令，則，所以，由A可知，，故B正確；對于C，因為，①令，則，所以，所以，②由①②，所以，即，故為奇函數(shù)，若函數(shù)是奇函數(shù)，則，所以，即，所以，所以的最小正周期為2，與選項A矛盾，故C錯誤；對于D，因為為奇函數(shù)，且，所以，又因為的最小正周期為4，所以，因為所以，，所以，，以此類推，所以，故D錯誤.故選：AB.三、填空題12.展開式中項的系數(shù)為___________.〖答案〗42〖解析〗對，有，則有.故〖答案〗為：.13.若直線與曲線相切，則的取值范圍為___________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點為，所以，則，即又因為在上，所以，所以，即，所以，所以，令，，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.當(dāng)趨近正無窮時，趨近正無窮.所以的取值范圍為：.故〖答案〗為：.14.根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，某種植物感染病毒之后，其存活日數(shù)X滿足：對于任意的，的樣本在的樣本里的數(shù)量占比與的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均等于，即，則__________，設(shè)，的前n項和為，則___________.〖答案〗〖解析〗，因為，所以，將換成，此時，兩式相減可得，即，又，所以對任意都成立，此時是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，故，，，兩式作差得，故〖答案〗為：，四、解答題15.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知．（1）求C；（2）若點D在線段AB上，且，求的最大值.解：（1）由得，∴，即，由正弦定理邊化角得，因為，所以，∴，又∵，∴.（2）∵D點在線段AB上，且，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．∴．即的最大值為．16.“趕大集”出圈彰顯了傳統(tǒng)民俗的獨特魅力.為了解年輕人對“趕大集”的態(tài)度，隨機調(diào)查了200位年輕人，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下面的不完整的2×2列聯(lián)表所示（單位：人）.非常喜歡感覺一般合計男性3t100女性t合計60（1）求t的值，試根據(jù)小概率的獨立性檢驗，能否認為年輕人對“趕大集”的態(tài)度與性別有關(guān)；（2）從樣本中篩選出5名男性和3名女性共8人作為代表，這8名代表中有2名男性和2名女性非常喜歡“趕大集”.現(xiàn)從這8名代表中任選3名男性和2名女性進一步交流，記X為這5人中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.0.10.050.01…2.7063.8416.635…解：（1）由題意可知：，解得，2×2列聯(lián)表如下：

非常喜歡感覺一般合計男性6040100女性8020100合計14060200.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為年輕人對“趕大集”的態(tài)度與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.（2）設(shè)進一步交流的男性中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)為m，女性中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)為n，則，且X的所有可能取值為1，2，3，4.，，，.所以X的分布列為X1234P所以.17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形,,平面AMHN，點M，N，H分別在棱PB，PD，PC上，且．（1）證明：；（2）若H為PC的中點，，PA與平面PBD所成角為60°，四棱錐被平面截為兩部分，記四棱錐體積為，另一部分體積為，求.（1）證明：連接AC交BD于點O，連接OP，∵平面AMHN，且平面平面，平面，∴．∵，∴，∵四邊形為菱形，∴，，∵，且平面PAC，∴平面PAC，又平面PAC，∴，∴．（2）解：∵，且O為AC中點，∴，由（1）得，，平面ABCD，∴平面ABCD，令，又四邊形為菱形，，，，．，且都在平面PBD內(nèi)，平面PBD，又PA與平面PBD所成角為60°，∴，，∴，∴又H為PC中點，且，∴，在△PAC中，記，易知點G在MN上，且點G為△