三角函數(shù)與相似（真題21模擬24）-2023年中考數(shù)學(xué)歷年真題+1年模擬新題分項(xiàng)詳解（重慶專用）【解析版】-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)歷年真題+1年模擬新題分項(xiàng)詳解（重

慶專用）專題11三角函數(shù)與相似

歷年中考真題

1.（2021?重慶）如圖，相鄰兩個(gè)山坡上，分別有垂直于水平面的通信基站MA和ND甲

在山腳點(diǎn)C處測(cè)得通信基站頂端M的仰角為60°,測(cè)得點(diǎn)C距離通信基站MA的水平

距離CB為30以；乙在另一座山腳點(diǎn)F處測(cè)得點(diǎn)F距離通信基站ND的水平距離FE為

50m,測(cè)得山坡OF的坡度i=l：1.25.若ND=8OE,點(diǎn)C,B,E,尸在同一水平線上，

8

則兩個(gè)通信基站頂端M與頂端N的高度差為（參考數(shù)據(jù)：1.41,1.73）（）

A.9.0mB.128"C.13.1/HD.22.1m

【分析】根據(jù)正切的定義求出MB,根據(jù)坡度的概念求出DE,進(jìn)而求出ND,結(jié)合圖形

計(jì)算，得到答案.

【解析】解：在中，ZMCB=60°,CB=30m,tan

CB

，MB=CB.tanNMCB=30X百七51.9Cm）,

:山坡OF的坡度i=l：1.25,EF=50"?,

：.DE=40（,”），

"：ND=^-DE,

8

：.ND=25（加，

.??兩個(gè)通信基站頂端M與頂端N的高度差=40+25-51.9=13.1（M,

故選：C.

2.（2021?重慶）如圖，在建筑物A3左側(cè)距樓底B點(diǎn)水平距離150米的C處有一山坡，斜

坡CO的坡度（或坡比）為i=l：2.4,坡頂。到BC的垂直距離OE=50米（點(diǎn)A,B,

C,D,E在同一平面內(nèi)），在點(diǎn)。處測(cè)得建筑物頂點(diǎn)A的仰角為50°,則建筑物A8的

高度約為（）

（參考數(shù)據(jù)：sin50°"0.77；cos50°七0.64；tan50°g1.19）

A.69.2米B.73.1米C.80.0米D.85.7米

【分析】利用斜坡CO的坡度（或坡比）為i=l：2.4,求出CE的長(zhǎng)，從而得出BE,再

利用tan50°即可求出AB的長(zhǎng).

【解析】解：；斜坡C。的坡度（或坡比）為i=1：2.4,

:.DE：CE=5：12,

；OE=50米，

.,.CE=120米，

；8C=150米，

.,.￡?￡=150-120=30（米）,

.*.A8=lan50°X30+50

比85.7（米）.

故選：D.

3.（2020?重慶）如圖，垂直于水平面的5G信號(hào)塔AB建在垂直于水平面的懸崖邊B點(diǎn)處，

某測(cè)量員從山腳C點(diǎn)出發(fā)沿水平方向前行78米到。點(diǎn)（點(diǎn)A,B,C在同一直線上），

再沿斜坡OE方向前行78米到E點(diǎn)（點(diǎn)A,B,C,D,E在同一平面內(nèi)），在點(diǎn)E處測(cè)

得5G信號(hào)塔頂端A的仰角為43°,懸崖BC的高為144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）

/=1：2.4,則信號(hào)塔48的高度約為（）

（參考數(shù)據(jù)：sin43°^0.68,cos43°80.73,tan43°g0.93）

A.23米B.24米C.24.5米D.25米

【分析】過(guò)點(diǎn)E作EFA.DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)E作EMVAC于點(diǎn)M,根據(jù)斜

坡力E的坡度（或坡比）/=1：2.4可設(shè)EF=x,則DF=2Ax,利用勾股定理求出x的值，

進(jìn)而可得出EF與。尸的長(zhǎng)，故可得HICF的長(zhǎng).由矩形的判定定理得出四邊形EFCM是

矩形，故可得出CM=EF,再由銳角三角函數(shù)的定義求出AM的長(zhǎng)，進(jìn)而可得

出答案.

【解析】解：過(guò)點(diǎn)E作EF_L￡>C交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)E作4c于點(diǎn)M,

二?斜坡DE的坡度（或坡比）i=l：2.4,OE=CD=78米，

/.&EF=x,貝iJOF=2.4x.

在RtZ\OEF中，

,：EF2+DF2^DEi,即x2+（2.4A）2=782,

解得，x=30,

.?.EF=30米，OF=72米，

:.CF=DF+DC=12+78=150米.

\'EM±AC,ACLCD,EFLCD,

；?四邊形EFCM是矩形，

，后用=（7尸=150米，。知=￡：尸=3（）米.

在Rt/XAEM中，

VZAEA/=43°,

,AA/=tan43°-150X0.93=139.5米,

：.AC=AM+CM^139.5+30=169.5米.

，A8=AC-8G169.5-144.5=25米.

故選：D.

4.（2020?重慶）如圖，在距某居民樓A8樓底B點(diǎn)左側(cè)水平距離60機(jī)的C點(diǎn)處有一個(gè)山坡，

山坡C￡>的坡度（或坡比）i=l：0.75,山坡坡底C點(diǎn)到坡頂。點(diǎn)的距離C￡>=45m,在

坡頂。點(diǎn)處測(cè)得居民樓樓頂A點(diǎn)的仰角為28°,居民樓AB與山坡CD的剖面在同一平

面內(nèi)，則居民樓AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin28°^0.47,cos28°七0.88,tan28°以

0.53）（）

CB

A.76.9"?B.82.1/TIC.94.8mD.112.6/H

【分析】構(gòu)造直角三角形，利用坡比的意義和直角三角形的邊角關(guān)系，分別計(jì)算出DE.

EC、BE、DF、AF,進(jìn)而求出A8.

【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。尺LAB,垂足為凡作。E_L8C交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

由題意得，ZAQF=28°,CD=45m,BC=60m,

在RtADEC中，

?山坡CD的坡度i=l：0.75,

.DE_1_4

"EC0.75京，

設(shè)DE=4x,則EC=3x,由勾股定理可得CD=5x,

又CD=45,即5x=45,

.*.JC=9,

：.EC=3x=21（〃?），￡>￡=4x=36（w）=FB,

；.8E=8C+EC=60+27=87Cm）=DF,

在RtZiA。尸中，

AF=tan28°X￡>F^0.53X87^46.11(〃?),

A8=AF+FB=46.11+36382.1(m),

故選：B.

（2019?重慶）如圖，AB是垂直于水平面的建筑物.為測(cè)量的高度，小紅從建筑物底

端8點(diǎn)出發(fā),沿水平方向行走了52米到達(dá)點(diǎn)C,然后沿斜坡CD前進(jìn),到達(dá)坡頂D點(diǎn)處，

DC=BC.在點(diǎn)。處放置測(cè)角儀，測(cè)角儀支架DE高度為0.8米，在E點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂

端A點(diǎn)的仰角NAE尸為27°（點(diǎn)A,B,C,D,E在同一平面內(nèi)）.斜坡CO的坡度（或

坡比）i=l：2.4,那么建筑物A3的高度約為（）

(參考數(shù)據(jù)sin27°七0.45,cos27°弋0.89,tan27°=?0.51)

A.65.8米B.71.8米C.73.8米D.119.8米

【分析】過(guò)點(diǎn)E作與點(diǎn)M,根據(jù)斜坡CD的坡度（或坡比）i=l：2.4可設(shè)C。

=x,則CG=2.4x,利用勾股定理求出x的值，進(jìn)而可得出CG與DG的長(zhǎng)，故可得出

EG的長(zhǎng).由矩形的判定定理得出四邊形EG8M是矩形，故可得出EM=BG,BM=EG,

再由銳角三角函數(shù)的定義求出4M的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【解析】解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)M,延長(zhǎng)EQ交BC于G,

?斜坡CD的坡度（或坡比）i=I：2,4,8c=8=52米，

.,.設(shè)QG=x,貝IJCG=2.4x.

在RtACDG中，

'：DG2+CG2=DC2,即/+（2.4%）2=522,解得x=20,

.?.OG=20米，CG=48米，

；.EG=20+0.8=20.8米，8G=52+48=100米.

'：EM±AB,ABLBG,EGLBG,

四邊形EG3M是矩形，

：.EM=BG=\00米，BM=EG=20.8米.

在RtAAEM中，

：.AM=EM'tan21°g100X0.51=51米，

.?.AB=AM+8M=51+20.8=71.8米.

故選：B.

6.（2019?重慶）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，某森林保護(hù)區(qū)開展了尋找

古樹活動(dòng).如圖，在一個(gè)坡度（或坡比）i=l：2.4的山坡AB上發(fā)現(xiàn)有一棵古樹CD.測(cè)

得古樹底端C到山腳點(diǎn)A的距離AC=26米，在距山腳點(diǎn)A水平距離6米的點(diǎn)E處，測(cè)

得古樹頂端。的仰角NAED=48°（古樹CD與山坡A8的剖面、點(diǎn)E在同一平面上，

古樹C。與直線AE垂直），則古樹CO的高度約為（）

（參考數(shù)據(jù)：sin480-0.73,cos48°?0.67,tan48°

A.17.0米B.21.9米C.23.3米D.33.3米

【分析】如圖，根據(jù)已知條件得到受=1：2.4=巨，設(shè)CF=5k,AF=l2k,根據(jù)勾股

AF12

定理得到47=在環(huán)薪5=13%=26,求得AF=24,CF=10,得到EF=6+24=30,

根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

【解析】解：如圖，設(shè)CO與EA交于F,

,f=1：24=今

.設(shè)CF=5A,AF=\2k,

?￡=加「2+女尸2=13%=26,

.k—1,

.A尸=24,CF=10,

'AE=C>,

?￡F=6+24=30,

-ZDEF=48°,

而48。=器=器=】"，

.。尸=33.3,

?C￡)=33.3-10=23.3(米),

答：古樹CD的高度約為23.3米,

7.（2018?重慶）如圖，旗桿及升旗臺(tái)的剖面和教學(xué)樓的剖面在同一平面上，旗桿與地面垂

直，在教學(xué)樓底部E點(diǎn)處測(cè)得旗桿頂端的仰角ZAEO=58°,升旗臺(tái)底部到教學(xué)樓底部

的距離QE=7米，升旗臺(tái)坡面CQ的坡度i=l：0.75,坡長(zhǎng)CD=2米，若旗桿底部到坡

面的水平距離BC=1米，則旗桿4B的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin58°心0.85,

cos58°g0.53,tan58°31.6)

A

教

學(xué)

樓

DE

A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米

【分析】如圖延長(zhǎng)A8交ED的延長(zhǎng)線于仞，作C/_LOM于J.則四邊形8位/C是矩形.在

RtZ\CD/中求出C/、DJ,再根據(jù)，tan/AEM=@［構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

EM

【解析】解：如圖延長(zhǎng)AB交ED的延長(zhǎng)線于M,作CJ1DM于則四邊形BMJC是矩

形.

A

教

學(xué)

樓

MjDE

在RtZXCJO中，CL=-1—=匹，設(shè)C/=4k,DJ=3k,

D.T0.753

則有9乒+16乒=4,

：.k=—,

5

:.BM=CJ=宜,BC=MJ=1,川=旦，EM=MJ+DJ+DE=2

555

在RtaAEM中，tan/A￡M=@L

EM

AB哈

5

解得A8-13.1（米）,

故選：B.

8.（2018?重慶）如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同學(xué)從建筑物底端B出發(fā)，先

沿水平方向向右行走20米到達(dá)點(diǎn)C,再經(jīng)過(guò)一段坡度（或坡比）為i=l：0.75、坡長(zhǎng)為

10米的斜坡CO到達(dá)點(diǎn)。，然后再沿水平方向向右行走40米到達(dá)點(diǎn)E（A,B,C,D,E

均在同一平面內(nèi)）.在E處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為24°,則建筑物A3的高度約為（參

考數(shù)據(jù):sin24°=0.41,cos24°七0.91,tan24°=0.45)()

A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米

［分析］作BM上ED交ED的延長(zhǎng)線于M,CNLDM于N.首先解直角三角形Rl/XCDN,

求出CMDN,再根據(jù)tan24°=幽，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題：

EM

【解析】解：作交的延長(zhǎng)線于M,CNLDM于N.

在RtZ\C￡W中，：型==—=三，設(shè)CN=4k,DN=3k,

DN0.753

.,.CD=10,

(3k)2+(4k)2=100,

:?k=2,

:,CN=8,DN=6,

???四邊形8MNC是矩形，

：?BM=CN=8,BC=MN=23EM=MN+DN+DE=66,

在RtZXAEM中，tan240=幽，

EM

；.AB=21.7（米），

故選：A.

9.（2017?重慶）如圖，已知點(diǎn)C與某建筑物底端B相距306米（點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一水平

面上），某同學(xué)從點(diǎn)C出發(fā)，沿同一剖面的斜坡CZ）行走195米至坡頂。處，斜坡CQ的

坡度（或坡比）i=l：2.4,在。處測(cè)得該建筑物頂端A的俯角為20°,則建筑物AB的

高度約為（精確至IJ0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin20°七0.342,cos20°^0.940,tan20°心0.364）

()

A.29.1米B.31.9米C.45.9米D.95.9米

【分析】根據(jù)坡度，勾股定理，可得DE的長(zhǎng)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得N1,根據(jù)同

角三角函數(shù)關(guān)系，可得N1的坡度，根據(jù)坡度，可得的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得答

案.

設(shè)OE=A7"，CE=2Axm,由勾股定理，得

?+(2.4%)2=1952,

解得產(chǎn)q5加，

DE=75m,CE=2.4x=180〃?，

(方法二：由i=l：2.4=5：12,設(shè)。E=5x〃?，CE=\2xm,

由勾股定理，得C￡>=13x,

13x=195,

；.x=15,:.DE=15m,CE=180/n)

EB=BC-C￡=306-180=1267n.

'.'AF//DG,

N1=/AOG=20°,

sin2Q

tanZl^tanZADG^o=0.364.

cos20

AF=EB=\2()m,

DF

tanZl=—=0.364,

AF

/)尸=0.3644/=0.364義126=45.9,

AB=FE=DE-DF=15-45.9^29.1/n,

故選：A.

10.(2017?重慶)如圖，小王在長(zhǎng)江邊某瞭望臺(tái)。處，測(cè)得江面上的漁船A的俯角為40°,

若QE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB,迎水坡3C的坡度i=l：0.75,坡長(zhǎng)8C=

10米，則此時(shí)AB的長(zhǎng)約為()(參考數(shù)據(jù)：sin40°^0.64,cos40°^0.77,tan40°

=0.84).

A.5.1米B.6.3米C.7.1米D.9.2米

【分析】延長(zhǎng)QE交A8延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,作CQLAP,可得CE=PQ=2、CQ=PE,由i

=￡2=_L_=_l可設(shè)CQ=4x、BQ=3x,根據(jù)8Q2+C°2=BC2求得x的值，即可知OP

BQ0.753

=11,由AP=—嗎一=—三一結(jié)合AB=AP-BQ-PQ可得答案.

tanZAtan40

【解析】解：如圖，延長(zhǎng)OE交48延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,作CQLAP于點(diǎn)Q,

VCE//AP,

J.DPLAP,

四邊形CEPQ為矩形，

：.CE=PQ=2,CQ=PE,

..._CQ_1_4

?BQ0.753"

.?.設(shè)CQ=4x、BQ=3x,

EtlB^+C（^—BC2nJ（4x）2+（3x）2=102,

解得：x=2或x=-2（舍），

則CQ=PE=8,BQ=6,

：.DP=DE+PE=\\,

在RtZXAZ）「中，'：AP=―叫一=——^^-^13.1,

tanZ.Atan40

：.AB=AP-BQ-PQ=13.1-6-2=5.1,

故選：A.

11.（2019?重慶）如圖，XABOsXCDO,若30=6,00=3,CD=2,則A5的長(zhǎng)是（）

BD

C

A.2B.3C.4D.5

【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系進(jìn)而得出答案.

【解析】解：

?.?‘BO■-_—A—B—■,

DODC

,:BO=6,00=3,8=2,

?.?-6--_A--B-，

32

解得：AB—4.

故選：C.

12.（2018?重慶）要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架，其中一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5cm,

6c772和I9c?b另一個(gè)三角形的最短邊長(zhǎng)為2.5C、《7,則它的最長(zhǎng)邊為（）

A.3cmB.4cmC.4.5c/nD.5cm

【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解可得.

【解析】解：設(shè)另一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為X?！保?/p>

根據(jù)題意，得：工=9,

2.5x

解得：x=4.5,

即另一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為4.5cm,

故選：C.

13.（2017?重慶）已知△ASCSAOEF,且相似比為1：2,則△A8C與△。所的面積比為

（）

A.1：4B.4：1C.1：2D.2：1

【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方計(jì)算即可.

【解析】解：：△A8CsZ\￡）Ef,且相似比為1：2,

.,.△ABC與△￡）￡；廠的面積比為1：4,

故選：A.

14.（2017?重慶）若AABCSADEF,相似比為3：2,則對(duì)應(yīng)高的比為（）

A.3：2B.3：5C.9：4D.4：9

【分析】直接利用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比進(jìn)而得出答案.

【解析】解：?.?△ABCSAOEF,相似比為3：2,

...對(duì)應(yīng)高的比為：3：2.

故選：A.

15.（2011?江津區(qū)）已知如圖：（1）、（2）中各有兩個(gè)三角形，其邊長(zhǎng)和角的度數(shù)已在圖上

標(biāo)注，圖（2）中AB、C。交于。點(diǎn)，對(duì)于各圖中的兩個(gè)三角形而言，下列說(shuō)法正確的

是（）

A.都相似B.都不相似

C.只有（1）相似D.只有（2）相似

【分析】圖（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求得8c的第三角，由有兩角對(duì)應(yīng)相

等的三角形相似，即可判定（1）中的兩個(gè)三角形相似；

圖（2）根據(jù)圖形中的已知條件，即可證得她，G,又由對(duì)頂角相等，即可根據(jù)對(duì)應(yīng)邊

0D0B

成比例且夾角相等的三角形相似證得相似.

【解析】解：如圖（1）；/A=35°,NB=75°,

AZC=1800-ZA-ZB=70°,

；NE=75°,/F=70°,

：.ZB=ZE,ZC=ZF,

如圖（2）：O4=4,00=3,OC=8,08=6,

?.?OAOC,

ODOB

???ZAOC=ZDOB,

/./\AOC^/\DOB.

故選：A.

16.（2010?江津區(qū)）如圖，在RtZXABC中，AB=AC,。、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且/ZME

=45°,將△AOC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AfB,連接EF,下列結(jié)論中正確

的個(gè)數(shù)有（）

①/EAF=45°；

②△ABEs/XACO；

③AE平分NCAF；

④B修+Dd=DE2.

C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知NCA￡）=N8AF,因?yàn)镹84C=90°,ZDAE=45°,所以

ZCAD+ZBAE^45°,可得NEAF=45°；

②因?yàn)?CAO與NBAE不一定相等，所以△ABE與△ACQ不一定相似:

③根據(jù)&4S可證△/!￡)￡：絲△AFE,得/AE￡>=/AEEDE=EF；

④BF=CD,EF=DE,NFBE=90°,根據(jù)勾股定理判斷.

【解析】解：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知NC4D=/5A立

VZBAC=90°,ZDAE=45°,

：.ZCAD+ZBAE=45°.

.../必尸=45°,故①正確;

②因?yàn)镹CAO與/BAE不一定相等，所以△A8E與△ACO不一定相似，故②錯(cuò)誤;

@"：AF=AD,ZFAE^ZDAE=45a,AE=AE,

：.^ADE^/\AFE,^ZAED=ZAEF,

即AE平分/D4F,故③錯(cuò)誤;

?'：ZFBE=45°+45°=90°,

：.BE1+BF2=EF2（勾股定理）,

:△AOC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB,：.^AFB^/\ADC,；.BF=CD,

又,：EF=DE,

：.BE1+CD2=DE1（等量代換）.故④正確.

故選:B.

17.（2013?重慶）如圖，在平行四邊形A8CQ中，點(diǎn)E在AO上，連接CE并延長(zhǎng)與34的

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,若AE=2ED,CD=3cm,則4尸的長(zhǎng)為（）

A.5cmB.6cmC.1cmD.Scm

【分析】由邊形ABC。是平行四邊形，可得AB〃CD,即可證得△AFEs^OEC,然后

由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案.

【解析】解：I?四邊形A8CD是平行四邊形，

J.AB//CD,

...△AFEs/XOEC,

：.AE-.DE=AF：CD,

；AE=2ED,CD=3cm,

：.AF=2CD=6cm.

故選：B.

18.（2016?重慶）ZSABC與△DEF的相似比為1：4,則△4BC與△Off'的周長(zhǎng)比為（）

A.1：2B.1：3C.I：4D.1：16

【分析】由相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比即可得出結(jié)果.

【解析】解：'.,△ABC與△OEF的相似比為1：4,

.?.△ABC與△OEF的周長(zhǎng)比為1：4；

故選：C.

二.填空題（共1小題）

19.（2015?重慶）已知ZVIBC與△￡>￡尸的相似比為4：1,則△48。與4

OEF對(duì)應(yīng)邊上的高之比為4：1.

【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相似比得出即可.

【解析】解：,:△ABCs/XDEF、ZVIBC與△￡）￡：/的相似比為4：1,

.'.△ABC與對(duì)應(yīng)邊上的高之比是4：1,

故答案為：4：1.

三.解答題（共2小題）

20.（2022?重慶）湖中小島上碼頭C處一名游客突發(fā)疾病，需要救援.位于湖面B點(diǎn)處的

快艇和湖岸A處的救援船接到通知后立刻同時(shí)出發(fā)前往救援.計(jì)劃由快艇趕到碼頭C接

該游客，再沿C4方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉(zhuǎn)運(yùn)到救援船上.已知C在A的

北偏東30°方向上，B在A的北偏東60°方向上，且在C的正南方向900米處.

（1）求湖岸A與碼頭C的距離（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：巡仁1.732）；

（2）救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，在接到通知后，快

艇能否在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船？請(qǐng)說(shuō)明理由.（接送游客上下船的時(shí)間忽略不計(jì)）

【分析】（1）延長(zhǎng)C8到D,則CDLAD于點(diǎn)D,根據(jù)題意可得NNAC=/CA8=30°,

8c=900米，BC//AN,所以/C=/M4c=30°然后根據(jù)含30度角的直角三

角形即可解決問(wèn)題；

（2）設(shè)快艇在x分鐘內(nèi)將該游客送上救援船，根據(jù)救援船的平均速度為150米/分，快艇

的平均速度為400米/分，列出方程150x+（400X-900）=1559,進(jìn)而可以解決問(wèn)題.

【解析】解：（1）如圖，延長(zhǎng)CB到Z）,則CZ）_LAZ）于點(diǎn)

根據(jù)題意可知：/NAC=NC4B=30°,BC=900米，BC//AN,

：.ZC=ZNAC=30Q=NBAD,

：.AB=BC=900米，

VZBAD=30°,

，80=450米，

:.AD=MBD=45QM（米），

，AC=2AQ=900愿七1559（米）

答：湖岸A與碼頭C的距離約為1559米；

（2）設(shè)快艇在x分鐘內(nèi)將該游客送上救援船，

:救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，

150x+（400x-900）=1559,

.?.X24.5,

答：快艇能在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船.

21.（2022?重慶）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步

道.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向，AC=200米.點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向.點(diǎn)B,D

在點(diǎn)C的正北方向,80=100米.點(diǎn)8在點(diǎn)A的北偏東30°,點(diǎn)。在點(diǎn)E的北偏東45°.

（1）求步道。E的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）：

（2）點(diǎn)。處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)8到達(dá)點(diǎn)也

可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D.請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明他走哪一條路較近？

（參考數(shù)據(jù)：&七1.414,向比1.732）

【分析】（1）過(guò)。作。eLAE于尸，由己知可得四邊形ACQF是矩形，貝IDF=AC=200

米，根據(jù)點(diǎn)。在點(diǎn)￡的北偏東45°,即得。E=&。尸=200283（米）；

（2）由△DEF是等腰直角三角形,￡>E=283米，可得EF=CF=200米，而NA8C=30°,

即得A8=2AC=400米，8C={AB2_AC2=20（）V^米,又8力=100米，即可得經(jīng)過(guò)點(diǎn)

8到達(dá)點(diǎn)。路程為AB+B￡>=500米，CD=BC+BD=（200我+100）米，從而可得經(jīng)過(guò)

點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D路程為AE+DE=20043-100+200加p529米，即可得答案.

【解析】解：（1）過(guò)。作。FLAE于F,如圖：

由已知可得四邊形ACDF是矩形，

.^.。尸=AC=200米，

?.?點(diǎn)。在點(diǎn)E的北偏東45°,即/。EF=45°,

...△DE尸是等腰直角三角形，

ADE=42DF=200V2^283（米）；

（2）由（1）知是等腰直角三角形，￡）E=283米,

；.EF=。尸=200米，

?.?點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°,即NE4B=30°,

AZABC=3QQ,

：AC=200米，

，A8=2AC=400米，BC=QAB2-AC2=200毒米,

?.,80=100米,

經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D路程為AB+BD=400+l()0=5(X)米，

CD=BC+BD=(200V3+100)米，

：.AF=CD=(200V3+100)米，

；.AE=AF-EF=(2OOV3+1OO)-200=(200愿-100)米，

...經(jīng)過(guò)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)。路程為4E+￡>E=2()0愿-100+20()72^529米,

V529>500,

經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D較近.

一年模擬新題

一.選擇題（共17小題）

1.（2022?興義市模擬）如圖，某中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組選定測(cè)量學(xué)校前面小河對(duì)岸大樹

BC的高度，他們?cè)谛逼律?。處測(cè)得大樹頂端B的仰角是30°,朝大樹方向下坡走6米

到達(dá)坡底A處，在A處測(cè)得大樹頂端B的仰角是48°.若斜坡FA的坡比i=l:M，則

大樹8c的高度為（）

（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin48°g0.74,cos48°^0.67,tan48°^1.11,盜取

1.73）

B

EAV=========7C

A.12.5米B.12.3米C.12.2米D.11.8米

【分析】首先過(guò)點(diǎn)D作DM±BC于點(diǎn)M,DNLAC于點(diǎn)N,由次的坡比/=I：北，

DA=6,可求得AN與。N的長(zhǎng)，然后設(shè)大樹的高度為x,又由在斜坡上A處測(cè)得大樹頂

端8的仰角是48°,nJ^AC=—^—,又由在△氏?/中，典"2,可得x-3=（3j§

1.11DM3

?近，繼而求得答案.

1.113

【解析】解：過(guò)點(diǎn)〃作。仞，BC于點(diǎn)M,DNLAC于點(diǎn)、N,

則四邊形。MCN是矩形,

；￡）A=6,斜坡陰的坡比i=l：V3,

：.DN=^AD=3,AN=AD-cos30Q=6X返=3料，

22

設(shè)大樹的高度為x,

V在斜坡上4處測(cè)得大樹頂端B的仰角是48°,

；.tan48°=星旬」1,

AC

DM=CN=AN+AC=3yf3+——，

1.11

:在△8DM中，

DM3

BM=J^DM,

3

；.x-3=（3愿+^—）?叵，

1.113

解得：x-12.5.

...樹高8C約12.5米.

2.（2022?柳城縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,4）,那么cosa的

值是（）

y

【分析】作軸于8,先利用勾股定理計(jì)算出04=5,然后在Rt^AOB中利用余弦

的定義求解即可.

【解析】解：作AB_Lx軸于8,如圖，

?.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,4）,

：.0B=3,AB=4,

OA—J§2+42=5,

在RtA40B中，cosa=e^-=2.

OA5

故選：C.

yA

3.（2022?永川區(qū)模擬）國(guó)家近年來(lái)實(shí)施了新一輪農(nóng)村電網(wǎng)改造升級(jí)工程，解決了農(nóng)村供電

“最后1公里”問(wèn)題，電力公司在改造時(shí)把某一輸電線鐵塔建在了一個(gè)坡度為1：0.75

的山坡CD的平臺(tái)8c上（如圖），測(cè)得/AEC=52°,8C=5米，CC=35米，DE=19

米，則鐵塔AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin52°^0.79,tan520*=1.28）（）

C.36.6米D.57.6米

【分析】延長(zhǎng)A8交￡?于G,過(guò)C作CF_LZ）E于F,得到GF=8C=5,設(shè)OF=3k,CF

=4k,解宜角三角形得到結(jié)論.

【解析】解：延長(zhǎng)A8交EO于G,過(guò)C作CF_LOE于凡

：.GF=BC=5,

?.?山坡CD的坡度為1：0.75,

.?.設(shè)/）尸=3鼠CF=4k,

:.CD=5k=35,

:.k=7,

：.DF=2\,BG=CF=2S,

：.EG=GF+DF+DE=5+21+19=45,

VZA￡D=52°,

."G=EG”an52°=45X1.28=57.6,

；.AB=29.6米，

答：鐵塔A3的高度約為29.6米.

4.（2022?商河縣一模）如圖，為測(cè)量學(xué)校旗桿42的高度，小明從旗桿正前方3米處的點(diǎn)C

出發(fā)，沿坡度為i=l：?的斜坡C。前進(jìn)蓊米到達(dá)點(diǎn)。，在點(diǎn)力處放置測(cè)角儀，測(cè)

得旗桿頂部A的仰角為37°,量得測(cè)角儀。E的高為1.5米，A、B、C,D、E在同一平

面內(nèi)，且旗桿和測(cè)角儀都與地面垂直.則旗桿AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin37°

A.6.8米B.7.5米C.7.7米D.8.5米

（分析】延長(zhǎng)ED交射線BC于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)E作EF1AB于凡則四邊形BHEF是矩形,

想辦法求出AF,8F即可解決問(wèn)題；

【解析】解：延長(zhǎng)ED交射線8c于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)E作EF1AB于F.

由題意得。8c.

在RtZ^CQH中，NOHC=9（r,ian/OCH=i=l：焉

：.ZDCH=30Q.

:.CD=2DH.

V00=273）

:.DH=M，CH=3.

'：EF±AB,AB1BC,ED1BC,

:.NBFE=NB=NBHE=90°.

，四邊形為矩形.

：.EF=BH=BC+CH=6.

FB=EH=ED+DH=1.5+^3.

在RtZ\AEF中，ZAF￡=90°,AF=EFtanNAEF=6X0.75=4.5.

：.AB=A尸+尸8=6+愿=6+1.73~7.7.

旗桿AB的高度約為7.7米.

故選：C.

5.（2022?西青區(qū)二模）tan60°的值等于（）

A.—B.近C.近

D.M

232

【分析】求得60°的對(duì)邊與鄰邊之比即可.

【解析】解：在直角三角形中，若設(shè)30°對(duì)的直角邊為1,則60。對(duì)的直角邊為北,

tan60°

故選：D.

6.(2022?河西區(qū)模擬)2sin60°的值等于()

A.1B.V2c.aD-H

【分析】根據(jù)sin60。=退■解答即可.

2

【解析】解:2sin600=2X近=心

2

故選：C.

7.（2022?大足區(qū)模擬）若且相似比為1：4,則△ABC與的面積比

為（）

A.1：4B.4：1C.1：16D.16：1

【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方計(jì)算即可.

【解析】解：；且相似比為1：4,

.,.△ABC與△￡>￡■尸的面積比為1：16,

故選：C.

8.（2022?大渡口區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)A（1,7）,B（1,1）,C（4,1）,D（6,1）,若△CQE

與△A8C相似，那么在下列選項(xiàng)中，點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是（）

【分析】根據(jù)相似三角形的判定：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似即可判斷.

【解析】解：△48C中，NABC=90°,4B=6,3c=3,AB：BC=2.

A.當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6,2）時(shí)，ZECD=90°,CD=2,DE=\,則AB：BC=CD-.

DE,ACDEs^ABC,故本選項(xiàng)不符合題意；

B.當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6,3）時(shí)，ZCD￡=90°,CO=2,OE=2,則AB：BCWCD：

DE,△（7￡>￡與AABC不相似，故本選項(xiàng)符合題意；

C.當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6,5）時(shí)，ZCDE=90",CD=2,DE=4,則AB：BC=DE：CD,

△EDCsXNBC'故本選項(xiàng)不符合題意；

D.當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4,2）時(shí)，ZCDE=90Q,CO=2,CE=1,則AB：BCWCD：

CE,△￡>CES/\A8C,故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

9.（2021?南明區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊。C上，DE：EC=3：1,

連接AE交BQ于點(diǎn)F,則△QEF的面積與△D4F的面積之比為（）

A.9：16B.3：4C.9：4D.3：2

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CZ）,AB//CD,則。E：A8=3：4,再證明

/\DEF^/\BAF,利用相似比得到空=3,然后根據(jù)三角形面積公式求的面積與

AF4

△D4尸的面積之比.

【解析】解：；四邊形48co為平行四邊形，

.".AB=CD,AB//CD,

,:DE：EC=3：I,

:.DE：AB=DE：DC=3：4,

?:DEaAB,

:.△DEFs^BAF,

.EF=DE=3_

"AFAB了

...△DEF的面積與△D4F的面積之比=EF：AF=3：4.

故選：B.

10.（2021?安慶模擬）如圖，在大小為4X4的正方形網(wǎng)格中，是相似三角形的是（）

A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④

【分析】本題主要應(yīng)用兩三角形相似的判定定理，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似,

即可完成題目.

【解析】解：①和③相似，

???由勾股定理求出①的三角形的各邊長(zhǎng)分別為2、&、A/10;

由勾股定理求出③的各邊長(zhǎng)分別為2&、2、2遙，

.2=近

vTo_V2

2V5工

即，_=返_=叵，

2V222V5

...兩三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例,

，①③相似.

故選：C.

11.（2020?岳麓區(qū)模擬）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則下列圖中的三角形（陰影部分）

與aABC相似的是（）

A.m

【分析】由圖可得NACB=135°,AC=近,BC=2,然后分別求得A,B,C,。中各

三角形的最大角，繼而求得答案.

【解析】解：如圖：NACB=135°,AC=近,BC=2,

4、最大角=135°,對(duì)應(yīng)兩邊分別為：1,加,

VA/2：1=2：V2.

此圖與8c相似;

8、??,最大角＜135°,

:.與AABC不相似；

C、:最大角＜135°,

.?.與△ABC不相似；

。、?.?最大角＜135°,

...與△ABC不相似.

故選：A.

12.（2017?合川區(qū)校級(jí)模擬）下列說(shuō)法：①所有等腰三角形都相似；②有一個(gè)底角相等的兩

個(gè)等腰三角形相似；③有一個(gè)角相等的等腰三角形相似；④有一個(gè)角為60°的兩個(gè)直角

三角形相似，其中正確的說(shuō)法是（）

A.②④B.①③C.①②④D.②③④

【分析】考查相似三角形的判定問(wèn)題，對(duì)應(yīng)角相等即為相似三角形.

【解析】解：①中等腰三角形角不確定，所以①錯(cuò)；

②中有一個(gè)底角相等即所有角都對(duì)應(yīng)相等，②對(duì)；

③中可能是以底角和一頂角相等，所以③錯(cuò)；

④中兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，所以相似，④對(duì)

故選：A.

13.（2022?兩江新區(qū)模擬）如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E是對(duì)角線上一點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)

交CD于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)E作EGA-AE交BC于點(diǎn)G,若AB=8,AD=6,BG=2,則AE=

A4后BC7AD8g

'5'5'5'5

【分析】過(guò)點(diǎn)E作ENLBC,垂足為N,延長(zhǎng)NE交AD于點(diǎn)M,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得

AD=BC—6,ZDAB—ZABC-90',,從而可得四邊形AWNB是矩形，進(jìn)而可得

=90°,AB=MN=8,AM=BN,MN//AB,然后設(shè)則EN=MN-EM=8-x,

再證明A字模型相似三角形△CMESAZMS,并利用相似三角形的性質(zhì)求出DM,從而

求出AM,GN的長(zhǎng)，最后證明一線三等角模型相似三角形△AMEs^ENG,利用相似三

角形的性質(zhì)列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可求出ME,AM的長(zhǎng)，從而在RtZiA/E中，

利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.