2025年高考數(shù)學(xué)備考立體幾何壓軸題（八省聯(lián)考新考向）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)立體幾何壓軸題55道（高考高分突破好資料）(尖子班內(nèi)部復(fù)習(xí)資料)在2025年的八省聯(lián)考（教育部命題）的最后一道壓軸題是立體幾何，這是一個(gè)新的考試方向，筆者結(jié)合我們的備考團(tuán)隊(duì)進(jìn)行整理了55道立體幾何壓軸題帶詳細(xì)解答，供高考復(fù)習(xí)參考一、單選題1．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)M、N為正四面體的內(nèi)切球球面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，T為棱AB上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)取最大值時(shí)，（

）A．1 B． C． D．2．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）“長(zhǎng)太息掩涕兮，哀民生之多艱”，端陽(yáng)初夏，粽葉飄香，端午是一大中華傳統(tǒng)節(jié)日.小瑋同學(xué)在當(dāng)天包了一個(gè)具有藝術(shù)感的肉粽作紀(jì)念，將粽子整體視為一個(gè)三棱錐，肉餡可近似看作它的內(nèi)切球（與其四個(gè)面均相切的球，圖中作為球）.如圖：已知粽子三棱錐中，，、、分別為所在棱中點(diǎn)，、分別為所在棱靠近端的三等分點(diǎn)，小瑋同學(xué)切開(kāi)后發(fā)現(xiàn)，沿平面或平面切開(kāi)后，截面中均恰好看不見(jiàn)肉餡.則肉餡與整個(gè)粽子體積的比為（

）.

A． B． C． D．3．（2019·浙江·高考真題）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則A． B．C． D．4．（2024·安徽安慶·三模）如圖，在一個(gè)有蓋的圓錐容器內(nèi)放入兩個(gè)球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑和母線長(zhǎng)都是，則（

）A．這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為B．這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為C．這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為D．這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為5．（2024·江蘇宿遷·三模）若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱(chēng)這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球．在四棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，底面為矩形，且平面平面．若四棱錐存在一個(gè)內(nèi)切球，設(shè)球的體積為，該四棱錐的體積為，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2024·北京西城·三模）中國(guó)古代科學(xué)家發(fā)明了一種三級(jí)漏壺記錄時(shí)間，壺形都為正四棱臺(tái)，自上而下，三個(gè)漏壺的上底寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底寬和深度也依次遞減1寸.設(shè)三個(gè)漏壺的側(cè)面與底面所成的銳二面角依次為，，，則（

）A． B．C． D．二、多選題7．（2021·全國(guó)·高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足BP=λBC+μBB1，其中，，則（

A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面8．（23-24高一下·湖北·期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積為定值B．三棱錐外接球的半徑為C．若與平面，平面，平面所成的角分別為（），則D．若平面與正方體各個(gè)面所在的平面所成的二面角分別為，則9．（23-24高一下·浙江寧波·期末）如圖，已知四面體的各條棱長(zhǎng)均等于2，E，F(xiàn)分別是棱AD，的中點(diǎn).G為平面上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．三棱錐體積為B．線段的最小值為C．當(dāng)G落在直線BD上時(shí)，異面直線與所成角的余弦值最大為D．垂直于的一個(gè)面，截該四面體截得的截面面積最大為110．（23-24高一下·湖北武漢·期末）已知圓錐SO的底面半徑為10cm，其母線SA長(zhǎng)40cm，底面圓周上有一動(dòng)點(diǎn)B，下列說(shuō)法正確的有（

）A．截面SAB的最大面積為B．若，則直線SB與平面SOA夾角的正弦值為C．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為D．若，且，一只小螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)繞側(cè)面一周到達(dá)C點(diǎn)，先上坡后下坡，當(dāng)它爬行的路程最短時(shí)，下坡路段長(zhǎng)為18cm11．（2024·江蘇蘇州·三模）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，OB，OD，OO1所在直線分別為軸、軸、軸，建立如何所示空間直角坐標(biāo)系.若該正方體內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足，則（

）

A．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為 B．的最小值為C． D．三棱錐體積的最小值為12．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在線段上，過(guò)作垂直于的平面，記平面與正方體的截面多邊形的周長(zhǎng)為，面積為，設(shè)，則（

）A．截面可能為四邊形B．和的圖象有相同的對(duì)稱(chēng)軸C．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減D．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減13．（2024·山東·二模）如圖，在直三棱柱中，，分別為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，，，則（

）A．存在使得B．存在使得平面C．若長(zhǎng)度為定值，則時(shí)三棱錐體積最大D．當(dāng)時(shí)，直線與所成角的余弦值的最小值為14．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為，面積為的扇形，則下列論斷正確的是（

）A．圓錐的母線與底面所成角的正弦值為B．圓錐內(nèi)部有一個(gè)圓柱，并使圓柱的一個(gè)底面落在圓錐的底面內(nèi)，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，圓柱的高為C．圓錐內(nèi)部有一個(gè)球，當(dāng)球的半徑最大時(shí)，球的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為D．圓錐內(nèi)部有一個(gè)正方體，并使底面落在圓錐的底面內(nèi)，當(dāng)正方體的棱長(zhǎng)最大時(shí)，正方體的表面上與點(diǎn)距離為的點(diǎn)的集合形成一條曲線，則這條曲線長(zhǎng)度為15．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．若在線段上，則的最小值為B．平面被正方體內(nèi)切球所截，則截面面積為C．若與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為橢圓D．對(duì)于給定的點(diǎn)，過(guò)有且僅有3條直線與直線所成角為16．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱臺(tái)的底面為銳角三角形，點(diǎn)D，H，E分別為棱，，的中點(diǎn)，且，；側(cè)面為垂直于底面的等腰梯形，若該三棱臺(tái)的體積最大值為，則下列說(shuō)法可能但不一定正確的是（

）A．該三棱臺(tái)的體積最小值為 B．C． D．17．（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)圖象如圖1所示，A，B分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過(guò)A，B作x軸的垂線，分別交x軸于，點(diǎn)C為該部分圖象與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為，此時(shí)．將繪有該圖象的紙片沿x軸折成的二面角，如圖2所示，折疊后，則下列四個(gè)結(jié)論正確的有（

）A．B．的圖象在上單調(diào)遞增C．在圖2中，上存在唯一一點(diǎn)Q，使得面D．在圖2中，若是上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足，則的最小值為18．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面與平面平行，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則的最小值為C．底面半徑為且高為的圓柱可以在該正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為19．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知邊長(zhǎng)為l的等邊的三個(gè)頂點(diǎn)到平面α的距離分別為1，2，3，且的重心G到平面α的距離恰有兩個(gè)可能值，則l的取值可以為（

）A． B． C．5 D．620．（2024·遼寧大連·一模）直四棱柱的各頂點(diǎn)都在半徑為2的球O的球面上，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則點(diǎn)共面D．若，則四棱柱體積的最大值為21．（23-24高三下·山東·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M為平面所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則（

）

A．若M在線段上，則的最小值為B．過(guò)M點(diǎn)在平面內(nèi)一定可以作無(wú)數(shù)條直線與垂直C．若平面，則平面截正方體的截面的形狀可能是正六邊形D．若與所成的角為，則點(diǎn)M的軌跡為雙曲線三、填空題22．（2024·上海長(zhǎng)寧·一模）點(diǎn)P、M、N分別位于正方體的面上，，則的最小值是．23．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）金字塔在埃及和美洲等地均有分布，現(xiàn)在的尼羅河下游，散布著約80座金字塔遺跡，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如圖，胡夫金字塔可以近似看做一個(gè)正四棱錐，則該正四棱錐的5個(gè)面所在的平面將空間分成部分（用數(shù)字作答）．24．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系中，,,,,，設(shè)點(diǎn)O關(guān)于所確定的平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，的長(zhǎng)度記為以為自變量的函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，取最小值；這個(gè)最小值為：.25．（2024·貴州遵義·二模）如圖，棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體內(nèi)（含表面）運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)在正方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的面積為；若在正方體內(nèi)有一圓錐，圓錐底面圓內(nèi)切于正方形，圓錐頂點(diǎn)與正方體上底面中心重合，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形截圓錐表面得到的橢圓的離心率為.26．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，平面，為線段的中點(diǎn)，若空間中存在平面滿足，，記平面與直線分別交于點(diǎn)，，則，四邊形的面積為．27．（2023·江西萍鄉(xiāng)·二模）正方體的棱長(zhǎng)為為該正方體側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若分別與直線所成角的正切值之和為，則四棱錐的體積的取值范圍為.28．（2024·遼寧·三模）已知正四面體棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別是，，內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)有下列四個(gè)命題：①對(duì)于任意點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使；②存在，使直線平面；③當(dāng)最小時(shí)，三棱錐的體積為④當(dāng)最大時(shí)，頂點(diǎn)到平面的距離的最大值為．其中正確的有．（填選正確的序號(hào)即可）29．（23-24高一下·湖南衡陽(yáng)·期中）已知三棱錐三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且，，分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度的最小值為．30．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐的各頂點(diǎn)均在半徑為2的球表面上，，，則三棱錐的內(nèi)切球半徑為；若，則三棱錐體積的最大值為．31．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐中，，，，二面角的余弦值是．則當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積是．四、解答題32．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）我們規(guī)定：在四面體中，取其異面的兩條棱的中點(diǎn)連線稱(chēng)為的一條“內(nèi)棱”，三條內(nèi)棱兩兩垂直的四面體稱(chēng)為“垂棱四面體”.

(1)如左圖，在四面體中，分別為所在棱的中點(diǎn)，證明：的三條內(nèi)棱交于一點(diǎn).(2)同左圖，若為垂棱四面體，，求直線與平面所成角的正弦值.(3)如右圖，在空間直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)有橢圓，為其下焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，為平面下方一點(diǎn)，若為垂棱四面體，則其外接球表面積是的函數(shù)，求的定義域與最小值.33．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖（1），已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)C，D為弦AB上任意一點(diǎn)，現(xiàn)將沿CD折成直二面角，如圖（2）．(1)證明：；(2)當(dāng)最小時(shí)，①求，兩點(diǎn)間的最小距離；②當(dāng)，兩點(diǎn)間的距離最小時(shí)，在三棱錐內(nèi)部放一圓柱，使圓柱底面在面BCD上，求圓柱體積的最大值．34．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）如圖：在空間直角坐標(biāo)系中有橢圓與正交，為的右頂點(diǎn)，為上一點(diǎn)，平面內(nèi)的直線經(jīng)過(guò)并與交于兩點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系與中（規(guī)定垂直于平面系觀察時(shí)軸、軸分別為對(duì)應(yīng)平面系的縱軸，正方向豎直向上，橫軸正方向水平向右），不與坐標(biāo)軸平行的直線與的斜率分別為.

(1)若，當(dāng)三棱錐體積取最大值時(shí)，求；(2)探究：是否存在定點(diǎn)使平面平面不論取何值恒成立？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.35．（2024·江蘇南京·二模）如圖，，，點(diǎn)、在平面的同側(cè)，，，，平面平面，.

(1)求證：平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).36．（2024·重慶·三模）已知且，設(shè)是空間中個(gè)不同的點(diǎn)構(gòu)成的集合，其中任意四點(diǎn)不在同一個(gè)平面上，表示點(diǎn)，間的距離，記集合(1)若四面體滿足：，，且①求二面角的余弦值：②若，求(2)證明：參考公式：37．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）柯西是一位偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家，許多數(shù)學(xué)定理和結(jié)論都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在數(shù)學(xué)的眾多分支中有精彩應(yīng)用，柯西不等式的一般形式為：設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)或存在一個(gè)數(shù)，使得時(shí)，等號(hào)成立.(1)請(qǐng)你寫(xiě)出柯西不等式的二元形式；(2)設(shè)P是棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)到四個(gè)面的距離分別為、、、，求的最小值；(3)已知無(wú)窮正數(shù)數(shù)列滿足：①存在，使得；②對(duì)任意正整數(shù)，均有.求證：對(duì)任意，，恒有.38．（2024·遼寧沈陽(yáng)·三模）設(shè)拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且.若拋物線的焦點(diǎn)為，記的面積分別為.

(1)求的最小值.(2)設(shè)點(diǎn)，直線與拋物線的另一交點(diǎn)為，求證：直線過(guò)定點(diǎn).(3)我國(guó)古代南北朝數(shù)學(xué)家祖暅所提出的祖暅原理是“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，記線段與拋物線圍成的封閉圖形為繞軸旋轉(zhuǎn)半周形成的曲面所圍成的幾何體為.試用祖桓原理的數(shù)學(xué)思想求出的體積.39．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)異面直線與所成的角為，公垂線段為，且，、分別直線m、n上的動(dòng)點(diǎn)，且，為線段中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系可確定點(diǎn)的軌跡方程．(1)請(qǐng)根據(jù)自己建立的平面直角坐標(biāo)系求出．(2)為的任意內(nèi)接三角形，點(diǎn)為的外心，若直線的斜率存在，分別為，，，，證明：為定值．40．（2024·山東日照·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），且的周長(zhǎng)為8．將平面沿x軸向上折疊，使二面角為直二面角，如圖所示，折疊后A，B在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，．

(1)當(dāng)時(shí)，①求證：；②求平面和平面所成角的余弦值；(2)是否存在，使得折疊后的周長(zhǎng)為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．41．（2024·江西南昌·一模）如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，已知為棱的中點(diǎn)，在底面的投影為線段的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn).

(1)若，求證：平面；(2)若，確定點(diǎn)的位置，并求二面角的余弦值.42．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，且，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，(1)平面平面(2)若直線與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求二面角的正弦值的最小值43．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，將一個(gè)半徑為的球放在桌面上，桌面上的一點(diǎn)的正上方相距處有一點(diǎn)光源，與球相切于點(diǎn)，也與球相切，點(diǎn)在桌面上，在此點(diǎn)光源的照射下，球在桌面上的影子的邊界就形成某種曲線.設(shè)方程在和時(shí)，對(duì)于每一個(gè)都分別有唯一的值存在，那么就說(shuō)方程在和時(shí)確定一個(gè)隱函數(shù)，其求導(dǎo)法則為（這里表示關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，也是隱函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的斜率）.(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求當(dāng)時(shí)，在此點(diǎn)光源的照射下，球在桌面上的影子的邊界形成的曲線的方程；(2)求證：過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)的切線方程為；(3)若將（1）中所得曲線的中心平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)該曲線內(nèi)切于，且分別與，，相切于點(diǎn)，，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為1,4，點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo).44．（2024·浙江溫州·一模）如圖，在三棱柱中，平面平面，平面.(1)求證：；(2)若二面角的正弦值為，且，求.45．（2023·河北·三模）已知在長(zhǎng)方體中，.(1)若分別在線段和上，求的最小值；(2)若點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.46．（24-25高三上·江西新余·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，，分別為中點(diǎn).(1)證明：平面與平面的交線平面；(2)證明：；(3)若直線與平面的夾角為，二面角的正切值為，求的長(zhǎng).47．（2024高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作.定義與的“向量積”為：是一個(gè)向量，它與向量，都垂直，它的模.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為上一點(diǎn)，.(1)求的長(zhǎng)；(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值；(3)若為上一點(diǎn)，且滿足，求.48．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）一般地，n元有序?qū)崝?shù)對(duì)稱(chēng)為n維向量．對(duì)于兩個(gè)n維向量，，定義兩向量的數(shù)量積為，向量的模，且取最小值時(shí)，稱(chēng)為在上的投影向量．(1)求證：在上的投影向量；(2)某公司招聘時(shí)對(duì)應(yīng)聘者的語(yǔ)言表達(dá)能力（）、邏輯推理能力（）、動(dòng)手操作能力（）進(jìn)行測(cè)評(píng)，每門(mén)總分均為10分，測(cè)評(píng)結(jié)果記為一個(gè)三維向量．而不同崗位對(duì)于各個(gè)能力需求的比重各不相同，對(duì)于每個(gè)崗位均有一個(gè)事先確定的“能力需求向量”（，）．將在上的投影向量的模稱(chēng)為該應(yīng)聘者在該崗位的“適合度”．其中四個(gè)崗位的“能力需求向量”如下：崗位能力需求向量會(huì)計(jì)技工推銷(xiāo)員售后維修員（?。?yīng)聘者小明的測(cè)評(píng)結(jié)果為，試分析小明最適合哪個(gè)崗位．（ⅱ）已知小紅在會(huì)計(jì)，技工和某崗位A的適合度分別為，，（，，2，3）．若能根據(jù)這三個(gè)適合度求出小紅的測(cè)評(píng)結(jié)果，求證：會(huì)計(jì)、技工和崗位A的“能力需求向量”能作為空間中的一組基底．49．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)平行六面體的最長(zhǎng)體對(duì)角線長(zhǎng)度是，證明：該平行六面體的體積．并指出取等條件．50．（2024·新疆·二模）在圓柱中，是圓的一條直徑，是圓柱的母線，其中點(diǎn)與，不重合，，是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，．(1)若平面和平面的交線為，證明：平面；(2)設(shè)平面、平面和底面圓所成的銳二面角分別為和，平面和底面圓所成的銳二面角為，若，求的值．51．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，且平面平面．分別是的中點(diǎn)．．(1)求證：是直角三角形；(2)求四棱錐體積的最大值；(3)求平面與平面的夾角余弦值的范圍．52．（23-24高一下·遼寧·期末）如圖1，在矩形中，是線段上（包括端點(diǎn)）的一動(dòng)點(diǎn)，如圖2，將沿著折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，滿足點(diǎn)平面.

(1)如圖2，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是線段上點(diǎn)的，平面，求的值；(2)如圖2，若點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在線段上.①是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)三棱錐的體積最大值時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.53．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）柯西不等式在數(shù)學(xué)的眾多分支中有精彩應(yīng)用，柯西不等式的n元形式為：設(shè)，，不全為0，不全為0，則，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)數(shù)k，使得時(shí)，等號(hào)成立．(1)請(qǐng)你寫(xiě)出柯西不等式的二元形式；(2)設(shè)P是棱長(zhǎng)為的正四面體ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到四個(gè)面的距離分別為，，，，求的最小值；(3)已知無(wú)窮正數(shù)數(shù)列滿足：①存在，使得；②對(duì)任意正整數(shù)i、，均有.求證：對(duì)任意，，恒有.54．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線段與上，且，.(1)若平面平面，求、的值；(2)若平面，求的最小值.55．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在空間解析幾何中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之間滿足：①曲面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面上，則稱(chēng)曲面的方程為，方程的曲面為.已知空間中某單葉雙曲面的方程為，雙曲面可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面，已知直線過(guò)C上一點(diǎn)，且以為方向向量.(1)指出平面截曲面所得交線是什么曲線，并說(shuō)明理由；(2)證明：直線在曲面上；(3)若過(guò)曲面上任意一點(diǎn)，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面上.設(shè)直線在曲面上，且過(guò)點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：題號(hào)12345678910答案CBBDCDBDACDBCDACD題號(hào)11121314151617181920答案BCBDBCDACDABDBDBDACDBCABD題號(hào)21答案ACD1．C【分析】根據(jù)正四面體體積的等積性求得內(nèi)切球半徑，由球的性質(zhì)可知：當(dāng)，與圓相切時(shí)，最大，結(jié)合圓的切線性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義、正切二倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，正四面體的內(nèi)切球的球心為，頂點(diǎn)在底面的射影為，顯然在線段上，該正四面體內(nèi)切球的半徑為，如圖，為正三角形的中心，則，，由三棱錐的等體積得，即，解得，，由球的性質(zhì)可知：當(dāng)，與圓相切時(shí)，最大，如圖所示：，由圓的切線長(zhǎng)定理可知：，在中，，最大時(shí)，最小，因?yàn)?，所以此時(shí)為的中點(diǎn)，即有，正四面體的內(nèi)切球的球心為，顯然也是該正四面體的外接球的球心，所以，因此，，，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用球的幾何性質(zhì)即當(dāng)，與圓相切時(shí)，最大，結(jié)合圓的切線性質(zhì)求解.2．B【分析】設(shè)，易知，且，設(shè)肉餡球半徑為，，根據(jù)中點(diǎn)可知到的距離，，根據(jù)三角形面積公式及內(nèi)切圓半徑公式可得，結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，，可得內(nèi)切球半徑且可知三棱錐為正三棱錐，再根據(jù)球的體積公式及三棱錐公式分別求體積及比值.【詳解】

如圖所示，取中點(diǎn)為，，為方便計(jì)算，不妨設(shè)，由，可知，又、分別為所在棱靠近端的三等分點(diǎn)，則，且，、，，平面，即平面，又平面，則平面平面，設(shè)肉餡球半徑為，，由于、、分別為所在棱中點(diǎn)，且沿平面切開(kāi)后，截面中均恰好看不見(jiàn)肉餡，則到的距離，，，又，解得：，故，又，解得，，所以：，解得，，由以上計(jì)算可知：為正三棱錐，故，所以比值為.故選：B.3．B【解析】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以及各種角的計(jì)算.解答的基本方法是通過(guò)明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)求解，而后比較大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.【詳解】方法1：如圖為中點(diǎn)，在底面的投影為，則在底面投影在線段上，過(guò)作垂直，易得，過(guò)作交于，過(guò)作，交于，則，則，即，，即，綜上所述，答案為B.方法2：由最小角定理，記的平面角為（顯然）由最大角定理，故選B.方法3：（特殊位置）取為正四面體，為中點(diǎn)，易得，故選B.【點(diǎn)睛】常規(guī)解法下易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，不能正確作圖得出各種角.未能想到利用“特殊位置法”，尋求簡(jiǎn)便解法.4．D【分析】當(dāng)這兩個(gè)球體的半徑或者表面積之和取最大值時(shí)，有一個(gè)球體和圓錐的底面相切，過(guò)底面圓的直徑作截面，設(shè)兩圓的半徑，則，，其中，表達(dá)出，，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到最值，并求出，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，求出，得到答案.【詳解】當(dāng)這兩個(gè)球體的半徑或者表面積之和取最大值時(shí)，上面的球與圓錐的底面相切，過(guò)底面圓的直徑作截面，如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB，垂足為F，過(guò)點(diǎn)作⊥AB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)作⊥OF，垂足為D．設(shè)圓O的半徑為R，圓的半徑為r，當(dāng)下面的球與上底面相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)為該圓的內(nèi)切球半徑，等邊三角形的邊長(zhǎng)為，內(nèi)切球半徑為，故，故R的最大值為，且取最大值時(shí)，三點(diǎn)共線，設(shè)，則，則，解得，所以，，，，.因?yàn)?，所以①，整理得，解得，令函?shù)，，.令函數(shù)，，所以是增函數(shù).又因?yàn)?，，所以，，所以，，，，即，，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，即這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為.由①可得，這兩個(gè)球體的表面積之和為.令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為.故選：D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中最值問(wèn)題，一般可從三個(gè)方面考慮：一是構(gòu)建函數(shù)法，即建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行求解；二是借助基本不等式求最值，幾何體變化過(guò)程中兩個(gè)互相牽制的變量（兩個(gè)變量之間有等量關(guān)系），往往可以使用此種方法；三是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值.5．C【分析】過(guò)點(diǎn)作出四棱錐的內(nèi)切球截面大圓，確定球半徑表達(dá)式，再借助四棱錐體積求出球半徑計(jì)算作答.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，因是正三角形，則，又是矩形，有，而平面平面，平面平面，平面，平面，因此平面，平面，又，則平面，平面，則，，，平面，則平面，又平面，所以，而，則，顯然，由球的對(duì)稱(chēng)性和正四棱錐的特征知，平面截四棱錐的內(nèi)切球得截面大圓，此圓是的內(nèi)切圓，切，分別于，，有四邊形為正方形，設(shè)，又，，則球的半徑，又四棱錐的表面積為，由，解得，，，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)作出四棱錐的內(nèi)切球截面大圓，利用等體積法求出內(nèi)切球半徑和.6．D【分析】連接，過(guò)邊的中點(diǎn)作，垂足為，則就是漏壺的側(cè)面與底面所成銳二面角的一個(gè)平面角，記為，設(shè)漏壺上口寬為，下底寬為，高為，在中，根據(jù)等差數(shù)列即可求解.【詳解】三級(jí)漏壺，壺形都為正四棱臺(tái)，自上而下，三個(gè)漏壺的上口寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底寬和深度也依次遞減1寸，如圖，在正四棱臺(tái)中，為正方形的中心，是邊的中點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)邊的中點(diǎn)作，垂足為，則就是漏壺的側(cè)面與底面所成銳二面角的一個(gè)平面角，記為，設(shè)漏壺上口寬為，下底寬為，高為，在中，，，因?yàn)樽陨隙氯齻€(gè)漏壺的上口寬成等差數(shù)列，下底寬也成等差數(shù)列，且公差相等，所以為定值，又因?yàn)槿齻€(gè)漏壺的高成等差數(shù)列，所以.故選：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于情境類(lèi)問(wèn)題首先要閱讀理解題意，其次找尋數(shù)學(xué)本質(zhì)問(wèn)題，本題在新情境的基礎(chǔ)上考查等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí).7．BD【分析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，BP=BC+μBB1=BC對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，BP=λBC+BB1=BB1+λB1C1，故此時(shí)對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，BP=12BC+μBB1，取，中點(diǎn)分別為，，則BP=BQ+μQH，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則A1P=?32,0,μ?1，BP對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，BP=λBC+12BB1，取，中點(diǎn)為．BP=BM+λMN，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)锳32，0,0，所以AP=故選：BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．8．ACD【分析】對(duì)于A，連接交于點(diǎn)，連接，可證得∥平面，進(jìn)而進(jìn)行判斷，對(duì)于B，根據(jù)線面垂直的判定定理可證得平面，設(shè)為等邊三角形的外心，過(guò)作平面的垂線，則三棱錐外接球的球心在此直線上，然后求解，對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，可得與平面，平面，平面所成的角分別，然后求它們的余弦值即可，對(duì)于D，由題意可得平面平面，平面平面，為二角面的平面角，為二面角的平面角，然后求出它們的正弦值判斷.【詳解】對(duì)于A，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以∥，因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面，因?yàn)槭蔷€段上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，因?yàn)榈拿娣e也為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可證，由選項(xiàng)A可知∥，所以，，因?yàn)椋矫?，所以平面，設(shè)為等邊三角形的外心，則,過(guò)作平面的垂線，則三棱錐外接球的球心在此直線上，設(shè)球心為，連接，過(guò)作于，則，，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，則∥，∥，所以平面，平面，因?yàn)槠矫妫耘c平面，平面，平面所成的角分別，因?yàn)?，所以，所以，即，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)椤?，∥，所以∥，所以平面就是平面，因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以平面平面，平面平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以為二角面的平面角，為二面角的平面角，，，所以平面與上下兩個(gè)底面所成二面角的正弦值為，與前后兩個(gè)平面所成二面角的正弦值為，與左右兩個(gè)平面所成二面角的正弦值為，所以，所以D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查線面垂直，面面垂直，考查線面角，面面角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合線面角和面面角的定義找出線面角和面面角，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于難題.9．BCD【分析】對(duì)A，求出正四面體的高，點(diǎn)到平面的距離為，求出體積判斷；對(duì)B，作點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性得，求解判斷；對(duì)C，由最小角定理可知，與所成的最小角即與平面所成角，運(yùn)算得解判斷；對(duì)D，根據(jù)題意，可判斷平面截正四面體的截面為矩形，利用基本不等式求解.【詳解】對(duì)于A，如圖，作平面，垂足為，因?yàn)樗拿骟w為正四面體，則為三角形的中心，則，所以，即正四面體的高為，點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)平面的距離的一半，即，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，作點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交平面于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線交平面于點(diǎn)，作，因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)，則，，，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)落在直線上時(shí)，由最小角定理可知，與所成的最小角即與平面所成角，即，所以，所以，即異面直線與所成角余弦最大為，故C正確；對(duì)于D，如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，同理，設(shè)平面交正四面體的棱于點(diǎn)，棱于點(diǎn)，棱于點(diǎn)，棱于點(diǎn)，所以，，，，所以，，又，，是平面內(nèi)的相交直線，則平面，所以，則，即四邊形為矩形，即平面截正四面體的截面為矩形.設(shè)，即，，即，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以平面截該四面體截得的截面面積最大為1，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題B選項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是作點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性求解；D選項(xiàng)，關(guān)鍵是判斷出平面截該四面體截得的截面為矩形.10．ACD【分析】對(duì)A，關(guān)鍵在于考慮∠ASB正弦的大??；對(duì)B，只需作出線面角即可；對(duì)C，當(dāng)三棱錐O-SAB體積最大值，三棱錐可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體；對(duì)D，可以將圓錐側(cè)展開(kāi)考慮.【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，所以∠ASB為銳角，所以，A正確；對(duì)B，如圖，取OA中點(diǎn)H，則BH⊥OA，又BH⊥SO，所以BH⊥面SOA，所以∠BSH為直線SB與平面SOA所成的角，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)C，易知當(dāng)三棱錐O-SAB體積最大時(shí)，OB⊥面SOA，此時(shí)三棱錐可以補(bǔ)成以O(shè)A，OB，OS為三相鄰邊的長(zhǎng)方體，所以外接球直徑，外接球表面積為，C正確；對(duì)D，將三棱錐側(cè)面展開(kāi)如下，扇形弧長(zhǎng)為，所以；過(guò)S作SD⊥于D，則所求路徑即為CD的長(zhǎng)：由，SC=30cm，所以=50cm，且，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)過(guò)三棱錐頂點(diǎn)作三棱錐截面，由于母線長(zhǎng)是確定的，所以截面面積取決于頂角的大小；(2)幾何法求線面角大小，關(guān)鍵作出斜線在平面上的投影；(3)“墻角式”三棱錐外接球?yàn)檠a(bǔ)成長(zhǎng)方體體對(duì)角線中點(diǎn)；(4)立體幾何路徑最短問(wèn)題，往往需要展成一個(gè)平面后解決.11．BC【分析】由已知方程可得點(diǎn)的軌跡，畫(huà)出圖形，再計(jì)算軌跡長(zhǎng)度可得A錯(cuò)誤；由投影法可得，當(dāng)點(diǎn)在上投影最小時(shí)，向量積最小，求出投影長(zhǎng)可得B正確；由平面可得C正確；當(dāng)點(diǎn)位于半圓弧中點(diǎn)時(shí)，可由棱錐的體積公式計(jì)算體積的最小值可得D錯(cuò)誤；【詳解】對(duì)于A：由可知，點(diǎn)在以為球心，1為半徑的球上，又由可知，點(diǎn)在平面上，所以點(diǎn)為球面與平面的交線，如圖（2）所示，在矩形中，以為圓心，1為半徑的半圓，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由投影法可得，當(dāng)點(diǎn)在上投影最小時(shí)，向量積最小，此時(shí)點(diǎn)位于半圓弧中點(diǎn)，投影長(zhǎng)為，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)槠矫?，平面，所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)到平面平面的距離為，則，由圖（2）可知當(dāng)點(diǎn)位于半圓弧中點(diǎn)時(shí)，的面積最小為，所以，故D錯(cuò)誤；故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題選項(xiàng)A關(guān)鍵是能根據(jù)已知點(diǎn)的方程結(jié)合圖形畫(huà)出點(diǎn)的軌跡平面圖形，從而計(jì)算即可.12．BD【分析】運(yùn)用正方體的對(duì)角線的性質(zhì)和對(duì)稱(chēng)性，得到截面為正三角性或正六邊形，再計(jì)算得到周長(zhǎng)和面積關(guān)于x的函數(shù)，然后判斷函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】如圖示，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，由正方體的結(jié)構(gòu)知：，且面，又面，則，又且都在面上，則面，面，所以，同理有，而且都在面上，所以面，同理可證面，又，面，面，故面，同理得面，由且都在面上，所以面面，結(jié)合示意圖知：當(dāng)在面與交點(diǎn)與之間（含端點(diǎn)），或面與交點(diǎn)與之間（含端點(diǎn)）時(shí)，截面為等邊三角形；當(dāng)在面與面與的兩個(gè)交點(diǎn)之間時(shí)，截面為六邊形，所以不可能出現(xiàn)四邊形截面，A錯(cuò)；若在面與交點(diǎn)與之間（含端點(diǎn)），截面為等邊三角形，令其邊長(zhǎng)為，則截得正方體側(cè)棱長(zhǎng)為，且，即，所以，則，且，此時(shí)，，，；根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，在面與交點(diǎn)與之間（含端點(diǎn)），，此時(shí)，，，；當(dāng)在面與面與的兩個(gè)交點(diǎn)之間，而截面過(guò)相關(guān)棱中點(diǎn)所得正六邊形為界，其兩側(cè)所截得六邊形對(duì)稱(chēng)，討論所截六邊形為靠頂點(diǎn)一側(cè)情況，此時(shí)，且兩組三條不相鄰的邊長(zhǎng)相等，如下圖，截面補(bǔ)全為一個(gè)正三角形，作為以頂點(diǎn)的正三棱錐的底面，所以底面正三角形邊長(zhǎng)為，其對(duì)應(yīng)正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為，所以正方體外側(cè)的三個(gè)小正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，故小正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，綜上，六邊形較長(zhǎng)邊為，較短邊為，此時(shí)，，，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，所截六邊形為靠頂點(diǎn)一側(cè)，此時(shí)，，，綜上，，，由上所得解析式知：C錯(cuò)，D對(duì).故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用線面垂直的判定以及平面基本性質(zhì)確定截面的形狀，討論范圍求出、解析式為關(guān)鍵.13．BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量在空間直線、面位置關(guān)系和空間角、距離上的應(yīng)用方法一一去計(jì)算求解，并結(jié)合一元二次函數(shù)、基本不等式求最值即可.【詳解】如圖，由題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則由題：，所以，，，，又，，，所以，即，，即，所以，對(duì)A，由上，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由題意是平面的一個(gè)法向量，，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)平面，故B正確；對(duì)C，由上，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=x,y,z，則，所以，取，則，設(shè)點(diǎn)Q到平面的距離為d，則由得，又由題意可知，故，因?yàn)殚L(zhǎng)度為定值，所以為定值，故當(dāng)時(shí)，三棱錐體積最大，故C正確；對(duì)D，設(shè)直線與所成角為，由上當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故D對(duì).故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遇立體幾何復(fù)雜問(wèn)題，如求最值，有垂直條件一般考慮建立空間直角坐標(biāo)系用向量法解決.14．ACD【分析】利用線面角的幾何求法判斷A，利用相似的性質(zhì)建立方程，得到函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)求解最值判斷B，利用相似的性質(zhì)結(jié)合勾股定理判斷C，先判斷軌跡情況，再求解弧長(zhǎng)，最后再求和即可.【詳解】對(duì)于A，設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，則，即，又由題意得，解得，故，，設(shè)圓錐的母線與底面所成角為，故，故A正確，對(duì)于B，設(shè)圓柱的底面半徑為，且，高為，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，圓錐和圓柱一定相接，如圖，由相似性質(zhì)易知，解得，設(shè)圓柱體積為，則圓柱體積為，則，令，，令，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，有最大值，但此時(shí)圓柱高為，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)球的半徑最大時(shí)，該球一定與圓錐內(nèi)切，截面如圖，設(shè)球的半徑為，且易知，則，得，解得，此時(shí)設(shè)球的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為，如圖所示，則正四面體中，，可得，在直角三角形中，由勾股定理得，解得，故球的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為，C正確，對(duì)于D，當(dāng)正方體棱長(zhǎng)最大時(shí)，正方體內(nèi)接于圓錐，軸截面如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，由，得，即，解得，易知球與正方體的交線是六條圓弧，如圖所示，易知，則，，則六條圓弧總長(zhǎng)為，則正方體的表面上與點(diǎn)距離為的點(diǎn)的集合形成的曲線長(zhǎng)度為，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何，解題關(guān)鍵是判斷清楚軌跡情況，然后轉(zhuǎn)化為弧長(zhǎng)之和，最后得到所要求的軌跡長(zhǎng)度即可．15．ABD【分析】合理構(gòu)造圖形，利用三角形的性質(zhì)判斷A，利用球的截面性質(zhì)判斷B，利用線線角的幾何求法求出軌跡方程判斷C，合理轉(zhuǎn)化后判斷D即可.【詳解】對(duì)于A，延長(zhǎng)到使得，則，等號(hào)在共線時(shí)取到；故A正確，對(duì)于B，由于球的半徑為，球心到平面的距離為，故被截得的圓的半徑為，故面積為，故B正確，對(duì)于C，與所成的角即為和所成角，記，則，即，所以的軌跡是雙曲線；故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，顯然過(guò)的滿足條件的直線數(shù)目等于過(guò)的滿足條件的直線的數(shù)目，在直線上任取一點(diǎn)，使得，不妨設(shè)，若，則是正四面體，所以有兩種可能，直線也有兩種可能，若，則只有一種可能，就是與的角平分線垂直的直線，所以直線有三種可能.故選：ABD16．BD【分析】根據(jù)題意可得點(diǎn)的軌跡為橢圓，由橢圓的幾何性質(zhì)從而可確定的坐標(biāo)范圍，設(shè)三棱臺(tái)的高為，由三棱臺(tái)的體積最大值確定的范圍，從而可判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求解的取值范圍，從而可判斷B，D；將三棱臺(tái)補(bǔ)成三棱錐，根據(jù)棱錐與棱臺(tái)的體積關(guān)系即可判斷C.【詳解】由，，可得點(diǎn)的軌跡為橢圓，如圖則橢圓方程為，由于則，又因?yàn)闉殇J角三角形，則且，所以，，所以，由于，所以，設(shè)，則，設(shè)三棱臺(tái)的高為，則，因?yàn)樵撊馀_(tái)的體積最大值為，，所以，由于無(wú)最小值，故該三棱臺(tái)的體積無(wú)最小值，故A不正確；對(duì)于三棱臺(tái)有側(cè)面為垂直于底面的等腰梯形，則如圖，以為原點(diǎn)，在平面上作面，在面作面，則，設(shè)，則，，，所以，由于，，所以，又，故B可能正確；同理，又，故D可能正確；如圖，將三棱臺(tái)補(bǔ)成三棱錐，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，又，所以，故C一定正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查空間幾何與平面解析幾何綜合運(yùn)用，解決本題中的問(wèn)題涉及的思路有：（1）根據(jù)橢圓的定義確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，利用解析幾何的性質(zhì)縮小點(diǎn)坐標(biāo)范圍；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間中兩點(diǎn)距離公式確定線段長(zhǎng)的取值范圍；（3）體積關(guān)系的建立，需將三棱臺(tái)補(bǔ)成三棱錐，由三棱錐的體積轉(zhuǎn)換特點(diǎn)分析體積比例.17．BD【分析】先由題意讀出，建立關(guān)于它們的等量關(guān)系，從而求出的值，進(jìn)而求出根據(jù)三角函數(shù)由圖像求解析式的思路依次求出和的值，得出的解析式，即可判斷AB；CD需根據(jù)圖像特征結(jié)合幾何平行和垂直的判定方法和手段進(jìn)行分析處理.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，又，平方得，即，所以，即，因?yàn)?，解得，故，即，所以，則，可得，又因?yàn)楹瘮?shù)在附近單調(diào)遞減，且，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，B符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)D作圖象的切線，斜率為，連線的斜率，連線的斜率,過(guò)點(diǎn)D作交x軸于M，則該直線一定交于，再在平面上，過(guò)M作平行于的直線交于，此時(shí)面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若均在上，由可知，平行于x軸，此時(shí)，若均在上，作于點(diǎn)E，則，又，從而面，故，而，因此，在圖1中作直線，則為與的交點(diǎn)，不妨設(shè)為與在y軸右側(cè)最近的兩個(gè)交點(diǎn)，則此時(shí)的最小值為，若不在同一個(gè)面上，此時(shí)，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及未知點(diǎn)（或動(dòng)點(diǎn)）的平行（或垂直）關(guān)系求未知點(diǎn)（或動(dòng)點(diǎn)）的位置或軌跡時(shí)，抓住平行（或垂直）的不變性和定點(diǎn)以及定直線作相應(yīng)的平行面或垂面可助于找到未知點(diǎn)（或動(dòng)點(diǎn)）的位置或軌跡.18．ACD【分析】對(duì)A，可證平面，可得；對(duì)B，平面截正方體的截面為如圖正六邊形，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，最小轉(zhuǎn)化為求即為；對(duì)C，只要圓柱的外接球半徑小于等于正方體的內(nèi)切球半徑即可滿足題意；對(duì)D，當(dāng)最小時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大，此時(shí)點(diǎn)是的中點(diǎn)，得解.【詳解】對(duì)于A，如圖，，又平面，所以，又是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，所以，同理可證，而平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；對(duì)于B，如圖，平面截正方體的截面為正六邊形，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，底面半徑為，高為的圓柱的外接球的半徑為，又正方體棱長(zhǎng)為2，所以圓柱可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故C正確；對(duì)于D，由題，點(diǎn)到平面的距離為定值，所以當(dāng)最小時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大，此時(shí)點(diǎn)是的中點(diǎn)，直線與平面所成角即，在中，，，，所以.故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：選項(xiàng)B，確定平面截正方體的截面為正六邊形，由此確定點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，將球最小轉(zhuǎn)化為求；選項(xiàng)C，圓柱可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，只要圓柱的外接球半徑小于等于正方體的內(nèi)切球半徑即可；選項(xiàng)D，直線與平面所成角的正弦值最大，即最小時(shí)，此時(shí)點(diǎn)是的中點(diǎn)，直線與平面所成角即.19．BC【分析】先證明引理：若不全相等，則空間中存在一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，滿足到平面的有向距離分別是的充要條件是，然后將題目條件分4種情況考慮，分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的存在的條件，再通過(guò)這4個(gè)條件中恰有2個(gè)成立，可得出的取值范圍，最后分別驗(yàn)證4個(gè)選項(xiàng)即可得到正確答案.【詳解】對(duì)題目中給定的平面，我們?nèi)《ㄆ矫娴囊粋€(gè)法向量，并將該法向量所指的方向定義為平面的上方.然后，我們定義空間中一個(gè)點(diǎn)到平面的有向距離：一方面，到平面的有向距離的絕對(duì)值等于到平面的距離；另一方面，若在平面的上方，則到平面的有向距離為正數(shù)，若在平面的下方，則到平面的有向距離為負(fù)數(shù).易知，到平面的全體有向距離為的點(diǎn)構(gòu)成的集合為一個(gè)平面，將該平面記為，那么就有：，且全體兩兩之間是平行的，而兩平面之間的距離為.現(xiàn)在，我們證明一個(gè)引理：引理：若不全相等，則空間中存在一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，滿足到平面的有向距離分別是的充要條件是：.如圖所示：一方面，我們證明必要性：若空間中存在一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，滿足到平面的有向距離分別是，且不全相等：記點(diǎn)所在的平面為，則由于不全相等，知不可能是某個(gè)，由于全體兩兩之間是平行的，所以不可能平行于任意一個(gè)，故和任意一個(gè)都有唯一的交線，將其記為.然后，在上任取一點(diǎn)，并過(guò)作的垂線交于，然后以為原點(diǎn)，以為軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系.這樣相應(yīng)確定的軸顯然就是直線，記兩直線和之間的距離為，則，且直線的方程就是.現(xiàn)在，由于是邊長(zhǎng)為的正三角形，故可設(shè)，，而分別在平面上，從而分別在直線上，這意味著我們有，.從而，，故：.這就有.所以.從而必要性得證.另一方面，我們證明充分性：若不全相等，且.我們?nèi)?，則.然后取一個(gè)平面，使得和之間的夾角的正弦值為.此時(shí)，和任意一個(gè)的夾角正弦值都是正數(shù)，故和任意一個(gè)都有唯一的交線，將其記為.此時(shí)，之間的距離為，從而我們可以在上取一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，使得的方程恰為.這種情況下，和之前證明必要性時(shí)進(jìn)行的演算類(lèi)似，可以證明恒等式，這表明我們可以再取一個(gè)實(shí)數(shù)使得，.然后，在該直角坐標(biāo)系下取，，，則顯然是邊長(zhǎng)為的正三角形，與此同時(shí)，由于，且.故分別在直線上，也就是分別在直線上，從而分別在平面上，故它們到平面的有向距離分別是，充分性得證.現(xiàn)在我們回到原題，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，我們不妨設(shè)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在平面的上方.情形1：均在平面的上方，此時(shí)，而重心到平面的距離為（這是因?yàn)橹匦牡淖鴺?biāo)可由三點(diǎn)取平均值得到，故它到的有向距離一定也是到的有向距離的平均值，即）.若此種情況存在，根據(jù)我們的引理，這等價(jià)于；情形2：在平面的下方，在平面的上方，此時(shí)，而重心到平面的距離為.若此種情況存在，根據(jù)我們的引理，這等價(jià)于；情形3：在平面的下方，在平面的上方，此時(shí)，而重心到平面的距離為.若此種情況存在，根據(jù)我們的引理，這等價(jià)于；情形4：在平面的下方，在平面的上方，此時(shí)，而重心到平面的距離為.若此種情況存在，根據(jù)我們的引理，這等價(jià)于.而題目條件為重心到平面的距離恰有兩個(gè)可能值，根據(jù)以上討論，這就相當(dāng)于四個(gè)不等式，，，中恰有兩個(gè)成立，這等價(jià)于.綜上，原題條件等價(jià)于給定的邊長(zhǎng)滿足.最后，分別驗(yàn)證A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)，它們的平方分別是，，，，在區(qū)間上的是，，所以B，C正確，A，D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題最重要的還是證明引理：若不全相等，則空間中存在一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，滿足到平面的有向距離分別是的充要條件是，這也是該問(wèn)題的核心.20．ABD【分析】由向量運(yùn)算法則可得是的中點(diǎn)，即為直徑，由圓的性質(zhì)可得；依題意可得，再利用線面垂直判定定理即可求得，假設(shè)點(diǎn)共面，由可知假設(shè)不一定成立；將四棱柱體積轉(zhuǎn)化為，可求得當(dāng)平面時(shí)，其體積最大.【詳解】對(duì)于A，若可得：，即可得是的中點(diǎn)，所以是直徑，如下圖所示：

因此過(guò)三點(diǎn)的截面圓的直徑為，且為圓周上一點(diǎn)，所以；即，又，所以，即，因此A正確；對(duì)于B，若可得，即，所以；即，所以，即可得，所以；又因?yàn)槭侵彼睦庵?，易知平面，所以平面，又平面，所以，則，即B正確；對(duì)于C，假設(shè)點(diǎn)共面，易知平面，則平面平面，所以，又，因此，若，只是對(duì)角線相等，不等得出，因此假設(shè)不成立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接，易知在直四棱柱的高的中點(diǎn)處，如下圖所示：所以，即當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，四棱柱的體積也最大；易知，所以，又，易知當(dāng)平面時(shí)，其體積最大；此時(shí)，所以四棱柱體積的最大值為，即D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解立體幾何體積最值問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要利用等體積法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易求解的幾何體體積，再根據(jù)已知條件判斷出最值取得的條件即可求解.21．ACD【分析】對(duì)A，將平面展開(kāi)到與同一平面，由兩點(diǎn)間線段最短得解；對(duì)B，當(dāng)M點(diǎn)在A處時(shí)，過(guò)M點(diǎn)只能作一條直線，可判斷；對(duì)C，當(dāng)M與B重合時(shí)，平面，分別取的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，P，Q，可得到正六邊形符合題意；對(duì)D，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件求出點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程，依此判斷.【詳解】選項(xiàng)A：將平面展開(kāi)到與同一平面如圖所示，連接交于M,此時(shí)為最小值，計(jì)算可得，故A正確；

選項(xiàng)B：當(dāng)M點(diǎn)在D處時(shí)，因?yàn)槠矫?，所以過(guò)M點(diǎn)可作無(wú)數(shù)條直線與垂直，當(dāng)M點(diǎn)在A處時(shí)，過(guò)M點(diǎn)只能作一條直線,故B不正確；選項(xiàng)C：當(dāng)M與B重合時(shí)，平面，分別取的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，P，Q，則六邊形是正六邊形，且此正六邊形所在平面與平面平行，所以當(dāng)平面為平面時(shí)滿足題意，故C正確；

選項(xiàng)D：以D為原點(diǎn)，分別以為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,得，，整理得為雙曲線方程，故D正確．故選：ACD．

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：A選項(xiàng)，沿將平面展開(kāi)到與同一平面，轉(zhuǎn)化為平面上問(wèn)題求解；B選項(xiàng)，舉反例，當(dāng)M點(diǎn)在A處時(shí)，過(guò)M點(diǎn)只能作一條直線；C選項(xiàng)，當(dāng)M與B重合時(shí)，易證平面，分別取的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，P，Q，則六邊形是正六邊形，即為所求的；D選項(xiàng)，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)，依據(jù)條件求出點(diǎn)M的軌跡方程，由此判斷.22．/【分析】建立空間直角坐標(biāo)系可得的坐標(biāo)表達(dá)式，配方后可得最值.【詳解】如圖建立以D為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中.則.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).則為使最小，則應(yīng)使盡量的大，且P為中點(diǎn).又點(diǎn)P、M、N均位于正方體表面上，則P、M、N在正方體同一面上，則當(dāng)為正方體一面的對(duì)角線，P為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，滿足題意，此時(shí)，則.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計(jì)算得，再由取等條件得到P、M、N位置關(guān)系從而得解.23．23【分析】假想一個(gè)沒(méi)有上頂?shù)恼襟w，該正方體會(huì)把空間分割成塊，把四面進(jìn)行極限傾斜相交分析求解.【詳解】假想一個(gè)沒(méi)有上頂?shù)恼襟w，該正方體會(huì)把空間分割成塊，把四面進(jìn)行極限傾斜相交，如圖所示，在傾斜的過(guò)程中，在不管底面的情況下，個(gè)側(cè)面在頂點(diǎn)以下的“水平范圍”內(nèi)最多可以切割出個(gè)空間，與沒(méi)有傾斜極限的情況一樣，多出來(lái)的空間是交叉的切割出來(lái)的空間，在空間上是對(duì)稱(chēng)的，四個(gè)傾斜的側(cè)面在空間中的延伸還是這樣的傾斜側(cè)面，如圖所示的對(duì)稱(chēng)的錐面同樣會(huì)切割出個(gè)空間，即頂點(diǎn)之上的個(gè)延伸的傾斜的面同樣會(huì)切割出個(gè)空間，但是四個(gè)空間和下面的四個(gè)傾斜的側(cè)面切出的是同一個(gè)，即標(biāo)記“×”的位置，所以在的基礎(chǔ)上加減，即結(jié)果是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于把四面進(jìn)行極限傾斜相交分析.24．//【分析】根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，結(jié)合三角形兩邊和與差的最值可得解.【詳解】

如圖所示，由已知可得，，，則，，即，，又，，平面，則平面，①當(dāng)，兩點(diǎn)在平面同側(cè)或一點(diǎn)在平面上時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，有一點(diǎn)在平面上時(shí)取等號(hào)；即；②當(dāng)，兩點(diǎn)在平面異側(cè)時(shí)：設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，將延拓，如圖所示，則，由，，，平面，則平面，即，抽象出平面如圖所示，

則，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，如圖，

由，且，，，則，即，，則，，又，則，即，所以，所以，故答案為：，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線的長(zhǎng)度問(wèn)題，從而得解.25．【分析】取，的中點(diǎn)連接，證明平面，從而得出在正方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形為四邊形內(nèi)，得出答案；作出截面橢圓，過(guò)截面橢圓的中心作與圓錐底面平行的截面，由圓中的相交弦定理結(jié)合正弦定理可得出離心率.【詳解】取，的中點(diǎn)，連接，則且，則點(diǎn)在正方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形為四邊形，又在正方體中平面，且平面，則，所以四邊形為矩形.又，則又，所以，即，由上可知平面，且平面，則，由，且平面，平面，所以平面.當(dāng)點(diǎn)在正方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形為四邊形時(shí)，平面，所以滿足，此時(shí)，，面積為.由上可知為平面與底面所成角.則，則，故，設(shè)截面橢圓的中心為，長(zhǎng)軸為，短軸為，過(guò)橢圓的短軸作與圓錐的底面平行的截面分別交母線于兩點(diǎn).設(shè)該截面與圓錐的軸所成角為，則，則，設(shè)圓錐的母線于圓錐的軸所成角為，則.，由相交弦定理可得：，在中，，所以，即，在中，，所以，即，設(shè)橢圓的離心率為，則，所以.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是證明平面，從而得出在正方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形為四邊形內(nèi)；以及在圓錐的截面橢圓中過(guò)截面橢圓的中心作與圓錐底面平行的截面，從而結(jié)合圓的相交弦定理得到，由正弦定理得出，，從而得出離心率.26．2【分析】根據(jù)題意作出平面即平面，取中點(diǎn)，利用和可求得的值；通過(guò)線面平行的性質(zhì)得到，，推理得到，故可間接法求得四邊形的面積.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線分別交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易知分別為的中點(diǎn)．連接，分別交于點(diǎn)，則平面即平面．取的中點(diǎn)，因是正方形，則連接，則，易得，則，所以，所以．連接，因?yàn)椋矫嫫矫妫矫?，所以，所以，，由圖易得,由可得，由得,從而，由可得為的中點(diǎn).由可得,,,因,故四邊形的面積．故答案為：2；.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查棱錐的截面位置和面積問(wèn)題，屬于難題.解題思路在于正確理解題意，作出合理的截面，充分利用平行與垂直的判定、性質(zhì)定理，借助于相似三角形和三角形之間的面積關(guān)系計(jì)算即得.27．【分析】利用空間向量的數(shù)量積與角度的關(guān)系，列出分別與直線所成角的正切值之和的表達(dá)式，從而得到點(diǎn)的軌跡為在平面中以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓被平面所截曲線，可得點(diǎn)到平面的距離的取值范圍，最后利用棱錐的體積公式計(jì)算得到答案即可.【詳解】在正方體中，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，整理可得點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為，所以點(diǎn)的軌跡為在平面中以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓被平面所截曲線，則點(diǎn)到平面的距離的最大值為1，此時(shí)點(diǎn)在中點(diǎn)的正上方；最小值為時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)或者點(diǎn)的正上方，所以四棱錐的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用空間向量解決空間角問(wèn)題，涉及三角函數(shù)的計(jì)算以及空間點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的轉(zhuǎn)化，其關(guān)鍵是通過(guò)計(jì)算得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，即，結(jié)合橢圓的性質(zhì)得出距離的取值范圍，再根據(jù)錐體的體積公式即可解決問(wèn)題.28．①②④【分析】使用空間向量設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再對(duì)逐個(gè)選項(xiàng)分別求解.【詳解】設(shè)的重心分別是.以為原點(diǎn)，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則，且.三個(gè)內(nèi)切圓的半徑均為，且可設(shè)：；；.所以有，，.對(duì)于①，當(dāng)確定后，取為關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則垂直于平面，所以垂直于，①正確；對(duì)于②，當(dāng)，時(shí)，有，.故，，.直接計(jì)算可知，所以此時(shí)滿足條件，②正確；對(duì)于③，此時(shí)位于最上方，即.這時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為.所以此時(shí)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，此時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性有，故，故此時(shí)在處取到最大.此時(shí)的縱坐標(biāo)都是，故點(diǎn)到平面的距離為，④正確.故答案為：①②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)空間向量的計(jì)算與求解.29．【分析】采用補(bǔ)形法得正方體，作出圖形，找出內(nèi)切球，外接球球心，由幾何關(guān)系知：兩點(diǎn)間距離的最小值為，易求外接圓半徑，結(jié)合等體積法可求出內(nèi)切圓半徑和，進(jìn)而得解.【詳解】由已知將該三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖所示.設(shè)三棱錐內(nèi)切球球心為，外接球球心為，內(nèi)切球與平面的切點(diǎn)為，易知：三點(diǎn)均在上，且平面，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則.又，，所以，由等體積法：，即，解得，由等體積法：，即，解得，將幾何體沿截面切開(kāi)，得到如下截面圖：大圓為外接球最大截面，小圓為內(nèi)切球最大截面，∴兩點(diǎn)間距離的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題設(shè)將三棱錐補(bǔ)成正方體，進(jìn)而確定內(nèi)切球，外接球球心，結(jié)合等體積法求內(nèi)切圓半徑及，即可得的長(zhǎng)度的最小值.30．//【分析】根據(jù)題意，可求得三棱錐各個(gè)面的面積，設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，利用等體積法可求得內(nèi)切球的半徑；由，當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離最大值得解.【詳解】如圖，根據(jù)題意，，，，，，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，則是外接圓的圓心，則平面，則，，，設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，則，即，.由，由于，所以當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，即，兩式相減解得，代回上式可得，所以，即，又平面的一個(gè)法向量為，，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的最大距離為，所以三棱錐的體積最大值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第一空，先求出三棱錐各個(gè)面的面積，利用等體積法可求得內(nèi)切球的半徑；第二空，根據(jù)三棱錐等體積轉(zhuǎn)換，，又，當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，建系用向量法求出答案.31．【分析】先根據(jù)展開(kāi)計(jì)算求出，再代入可得，進(jìn)而分析出要要體積最大，則最大，利用基本不等式得到，過(guò)作面的垂線，則三棱錐的外接球球心必在該垂線上，根據(jù)列方程求出半徑即可.【詳解】如圖：平面即平面，平面即平面，即二面角的余弦值為，過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，則，又，，則，設(shè)則，所以，即，所以，則，過(guò)作面的垂線，垂足為，連接，則，即三棱錐當(dāng)以為頂點(diǎn)時(shí)高為，要體積最大，則最大，,要最大，則需最大，在中，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)為等邊三角形，即，又，所以重合，圖形如下：設(shè)的中心為，連接在中，，，，所以，過(guò)作面的垂線，則三棱錐的外接球球心必在該垂線上，設(shè)為點(diǎn)，設(shè)球的半徑為，則，所以即，解得，所以外接球的表面積是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用求出的大小，然后設(shè)出球心，列方程求出半徑.32．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)，【分析】(1)利用兩內(nèi)棱的端點(diǎn)構(gòu)成四邊形為平行四邊形，然后證明兩個(gè)內(nèi)棱相交且互相平分，然后得到三個(gè)內(nèi)棱相交于同一點(diǎn)且互相平分；（2）由定義易證：四邊形為菱形，于是再由中位線定理，其對(duì)棱相等，所以可以補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，然后建立空間直角坐標(biāo)系求解即可；（3）由（2）易知棱長(zhǎng)與外接球表面積的關(guān)系，然后設(shè)Ax1,y1得求得然后利用三角形為銳角三角形求得最后求最值即可.【詳解】（1）如圖，連接，

由題可知，平行且等于，平行且等于所以平行且等于所以四邊形為平行四邊形，所以對(duì)角線，為線段中點(diǎn)；同理，為線段中點(diǎn)；故的三條內(nèi)棱交于一點(diǎn).（2）由（1）可知，四邊形為平行四邊形，若為垂棱四面體，則四邊形為菱形，即顯然故同理如圖，將該三棱錐補(bǔ)全為一個(gè)長(zhǎng)方體，并建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)樗杂兴?設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=易知令，解得所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）易知將補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)寬高分別設(shè)為，則外接球半徑為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)的一半即：，則：顯然，所以設(shè)A因?yàn)橹本€過(guò)橢圓焦點(diǎn)所以聯(lián)立得顯然由韋達(dá)定理可知，得所以所以整理得得所以由于為某長(zhǎng)方體的三個(gè)頂點(diǎn)由余弦定理可知均為銳角顯然中角均為銳角，所以只需角銳角，即：得解得由的定義域?yàn)樗援?dāng)最大時(shí)，最小不妨令所以因?yàn)橛蓪?duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，有最大值此時(shí)故的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)棱相等的三棱錐可以補(bǔ)全為長(zhǎng)方體.33．(1)證明見(jiàn)詳解(2)①；②【分析】（1）做輔助線，根據(jù)垂直關(guān)系可得，，結(jié)合直角三角形三角關(guān)系分析證明；（2）①根據(jù)三角知識(shí)結(jié)合基本不等式可得，利用弦長(zhǎng)公式求得，分和兩種情況，結(jié)合基本不等式分析求解；②設(shè)相應(yīng)量，可得，可得圓柱的體積，構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】（1）過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，可得平面，由平面，可得，且，平面，可得平面，由平面，可得，則，所以.（2）因?yàn)橐訟B為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)C，可知，則，由（1）可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，最小，①因?yàn)槠矫?，平面，則，，即，在中，則，在中，由余弦定理可得，則，在中，則，在中，則，可得，由題意可知：焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，直線的斜率存在，且直線與拋物線必相交，設(shè)直線，，聯(lián)立方程，消去y可得，則，可得，當(dāng)時(shí)，取到最小值2，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，可得；當(dāng)時(shí)，則，且，由基本不等式可得，則；綜上所述：的最小值為2，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，所以，兩點(diǎn)間的最小距離為；②由（1）可知：當(dāng)，兩點(diǎn)間的距離最小時(shí)，則，，可知為中點(diǎn)，且與重合，因?yàn)?，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由等面積法可得：，解得，設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，則，可得，所以圓柱的體積，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以圓柱體積的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于（2）中：①利用勾股定理結(jié)合余弦定理整理可得；②根據(jù)錐體的結(jié)構(gòu)特征分析可得，進(jìn)而可求圓柱體積.34．(1)(2)存在點(diǎn)：與【分析】（1）分別在兩個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)聯(lián)立直線方程和橢圓方程消元，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，利用韋達(dá)定理表示出棱錐體積，然后利用導(dǎo)數(shù)求解可得；（2）求出平面與平面的法向量，根據(jù)法向量數(shù)量積為0求解即可.【詳解】（1）設(shè)，，，，，，，故：，設(shè)，所以：所以：，代入原直線方程得：故：，，由于，則：，由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)，所以：，令：，，令：，則：，由穿針引線法可知：在上有且僅有一個(gè)極（大）值點(diǎn)，故當(dāng)取最大時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)，所以解得：（舍）或，故.同理可得，則.（2）存在，由（1）知：，所以：，，.設(shè)：與分別為平面與平面的法向量，則：，同理可得，所以：解得：，存在這樣的點(diǎn)：與【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題根據(jù)在于理解題意，分別在兩個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出棱錐體積，然后利用導(dǎo)數(shù)即可求解.35．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)根據(jù)線面平行，面面平行定理即可證明；(2)建立合適坐標(biāo)系，將各個(gè)點(diǎn)用坐標(biāo)表示出來(lái)，再根據(jù)向量垂直列出方程式，求解即可【詳解】（1）因?yàn)?，平面，所以平面，同理平面，又，平面，，所以平面平面，平面，所以平面；?）取的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)?，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.在四邊形中，因?yàn)?，，，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以A0,0,0，，D0,1,0，，，，，，，設(shè)，則，設(shè)為平面的法向量，則，即，故取，因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，所以，兩邊同時(shí)平方得所以，解得，或（舍去），所以，所以.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：需要構(gòu)造合適的坐標(biāo)系，根據(jù)各個(gè)邊的長(zhǎng)度確定其各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示向量，設(shè)出平面的法向量，代入可解得.36．(1)①；②(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）①建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，利用向量夾角公式即可求解；②根據(jù)條件，得出，即可求解；(2）設(shè)，從兩個(gè)方面結(jié)合參考公式給出證明即可．【詳解】（1）以C為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，，①設(shè)平面CAD的法向量，則，即，取，設(shè)平面BAD的法向量為，則，即，取，所以，即二面角的余弦值為；②，，，所以；（2）設(shè)，，，下證，設(shè)S中任意不同的兩點(diǎn)的個(gè)距離中，距離等于的有個(gè)，，2，，k，則，記S中n個(gè)不同點(diǎn)分別為，，，，設(shè)到點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)，，k；，2，，，則，，，所以，考慮由S中的點(diǎn)構(gòu)成的滿足的點(diǎn)組的個(gè)數(shù)，一方面，當(dāng)A取，時(shí)，這樣的點(diǎn)組有個(gè)，故有，另一方面，因?yàn)镾中任意四個(gè)點(diǎn)不共面，所以對(duì)任，點(diǎn)A的選取至多有3種，故有①，所以，結(jié)合①得【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的在立體幾何中的運(yùn)用，合理的建系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，再利用空間中夾角的相關(guān)公式即可得到對(duì)應(yīng)答案。組合數(shù)的應(yīng)用，需要根據(jù)可能得情況討論不同的組合數(shù)量，結(jié)合參考公式得出答案，屬于難題．37．(1)答案見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用柯西不等式的定義，寫(xiě)出時(shí)的形式；（2）由體積法求出，構(gòu)造柯西不等式求的最小值；（3）時(shí)，由，有由柯西不等式得，可得.【詳解】（1）柯西不等式的二元形式為：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（2）由正四面體的體積，得，所以，又由柯西不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（3）對(duì)，記是的一個(gè)排列，且滿足.由條件②得：.于是，對(duì)任意的，都有由柯西不等式得所以從而，對(duì)任意的，都有，故對(duì)任意，，恒有.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遇到新定義問(wèn)題一定要準(zhǔn)確理解題目的定義，按照新定義交代的性質(zhì)或者運(yùn)算規(guī)律來(lái)解題.第一，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化.解決新信息問(wèn)題，一定要理解題目定義的本質(zhì)含義.緊扣題目所給的定義、運(yùn)算法則對(duì)所求問(wèn)題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化.第二，方法的選取.對(duì)新信息題可以采取一般到特殊的特例法，從邏輯推理的.角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化.理解題目定義的本質(zhì)蘋(píng)并進(jìn)行推廣、運(yùn)算.第三，應(yīng)該仔細(xì)審讀題目.嚴(yán)格按新信息的要求運(yùn)用算.解答問(wèn)題時(shí)要避免課本知識(shí)或者已有知識(shí)對(duì)新信息問(wèn)題的干擾.38．(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求出，再列出面積表達(dá)式，利用基本不等式求解即得.（2）設(shè)，求出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合（1）的信息可得，再設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理推理即得.（3）根據(jù)給定條件，利用祖暅原理分析計(jì)算即可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)Ax1,由消去y整理得，，由，得，解得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為.（2）設(shè)，則直線的斜率，方程為，由（1）知拋物線，由消去y得，整理得，顯然，于是，又，聯(lián)立消去，得，設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，整理得:，，因此，直線恒過(guò)定點(diǎn).（3）

作底面半徑為4、高為4的圓柱，并將內(nèi)部切割去掉之后，上下翻轉(zhuǎn)得到幾何體，現(xiàn)做一平面，使其平行于和的底面，且被兩幾何體分別截得如圖中陰影所示截面，在圖1的幾何體中，設(shè)，即，且，則圖2的幾何體中，有，由拋物線方程得，則圖2中截面圓環(huán)面積，而圖1中截面圓面積，由祖暅原理可得，和的體積相等，均為圓柱體積的一半，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用祖暅原理求幾何體的體積，找到一個(gè)等高的可求體積的幾何體，并將它們放置于兩個(gè)平行平面間，再探求出被平行于兩個(gè)平行平面的任意一平面所截，截面面積相等是解題的關(guān)鍵.39．(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）過(guò)作直線，求出點(diǎn)在直線確定的平面上的投影與點(diǎn)的距離，再建立坐標(biāo)系，求出軌跡方程.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，及以點(diǎn)為圓心的圓的方程，利用點(diǎn)差法借助斜率坐標(biāo)公式推理計(jì)算即得.【詳解】（1）過(guò)作直線，則直線的夾角為，令它們確定的平面為，有，過(guò)作，交直線于點(diǎn)，連接，于是，而，則，取的中點(diǎn)，而是線段的中點(diǎn)，連接，則，，顯然四邊形為矩形，，而，因此，點(diǎn)在移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)到平面的距離，于是點(diǎn)軌跡所在平面平行于，點(diǎn)軌跡與點(diǎn)的軌跡形狀完全相同，在平面內(nèi)以直線相交構(gòu)成的兩組對(duì)頂角的平分線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，其中軸與直線都成，令直線的方程分別為，設(shè)，則，即，由，得，于是，即，所以方程為.（2）設(shè)，則，顯然中任意兩個(gè)都不相等，否則外心在軸上，直線斜率不存在，即，設(shè)的外接圓方程為，得，兩式相減得，由，得，則有，同理，兩式相減得：，則因此，所以，即為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚侔岩C明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡(jiǎn)，得到定值；②特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．40．(1)①證明過(guò)程見(jiàn)解析；②(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)橢圓定義得到，結(jié)合離心率得到，求出，得到橢圓方程，聯(lián)立直線方程和橢圓，得到，得到⊥，結(jié)合二面角為直二面角，得到線面垂直，證明出結(jié)論；②建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，從而求出面面角的余弦值；（2）設(shè)折疊前Ax1,y1,Bx2,y2，折疊后對(duì)應(yīng)的，設(shè)出直線【詳解】（1）①由橢圓定義可知，所以的周長(zhǎng)，所以，因?yàn)殡x心率為，故，解得，則，由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為，直線，即，聯(lián)立得，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以，故⊥，折疊后有⊥，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，即平面⊥，交線為，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥；②以為坐?biāo)原點(diǎn)，折疊后的軸負(fù)半軸為軸，原軸為軸，原軸正半軸為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，其中平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令得，故，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故平面與平面的夾角的余弦值為；（2）設(shè)折疊前Ax1,設(shè)直線方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立得，，則，在折疊前可知，折疊后，在空間直角坐標(biāo)系中，，，由，，故，所以①，分子有理化得，所以②，由①②得，因?yàn)椋?，即，將代入上式得，兩邊平方后，整理得，即，解得，因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】出題非常新穎，將立體幾何和解析幾何結(jié)合，考查學(xué)生的綜合能力，在解決圖形的翻折問(wèn)題時(shí)，應(yīng)找出其中變化的量和沒(méi)有變化的量，包括位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，通常翻折后還在同一平面上的元素之間的位置關(guān)系不發(fā)生變化，不在同一平面上的元素之間的位置關(guān)系發(fā)生變化，解題時(shí)應(yīng)抓住不變量，利用平面幾何知識(shí)或建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解.41．(1)證明見(jiàn)解析(2)為中點(diǎn)，.【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)定理得，由平行線分線段成比例定理得，再由線面平行的判定可證；（2）利用線面垂直可得，進(jìn)而得平面，由線面垂直得，然后根據(jù)等邊三角形三線重合即得為中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，分別以為軸，以過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用公式求解即可【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的菱形，所以，對(duì)角線BD平分，又為棱的中點(diǎn)，所以,在中，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理得，又，所以，所以，，平面，且平面平面.（2）平面，且平面，，因?yàn)?，所以，在中，，，所以是等邊三角形，又為棱的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面ABCD，平面