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常微分方程習(xí)題及解答一、問(wèn)答題：常微分方程和偏微分方程有什么區(qū)別？微分方程的通解是什么含義?答：微分方程就是聯(lián)系著自變量，未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。常微分方程，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)。偏微分方程，自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上。常微分方程解的表達(dá)式中，可能包含一個(gè)或幾個(gè)任意常數(shù)，若其所包含的獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好與該方程的階數(shù)相同，這樣的解為該微分方程的通解。舉例闡述常數(shù)變易法的基本思想。答：常數(shù)變易法用來(lái)求線(xiàn)性非齊次方程的通解，是將線(xiàn)性齊次方程通解中的任意常數(shù)變易為待定函數(shù)來(lái)求線(xiàn)性非齊次方程的通解。例：求的通解。首先利用變量分離法可求得其對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性齊次方程的通解為，然后將常數(shù)變易為的待定函數(shù)，令，微分之，得到，將上述兩式代入方程中，得到即積分后得到進(jìn)而得到方程的通解3．高階線(xiàn)性微分方程和線(xiàn)性方程組之間的聯(lián)系如何？答：階線(xiàn)性微分方程的初值問(wèn)題其中是區(qū)間上的已知連續(xù)函數(shù)，，是已知常數(shù)。它可以化為線(xiàn)性微分方程組的初值問(wèn)題但是需要指出的是每一個(gè)階線(xiàn)性微分方程可化為個(gè)一階線(xiàn)性微分方程構(gòu)成的方程組，反之卻不成立。4．若常系數(shù)線(xiàn)性方程組和有相同的基本解矩陣，則與有什么關(guān)系？答：設(shè)常系數(shù)方程組的基解為，的基解為，由于兩個(gè)常系數(shù)線(xiàn)性方程組有相同的基解矩陣，根據(jù)的解的性質(zhì)知，則可得，為非奇異的常數(shù)矩陣。5．寫(xiě)出線(xiàn)性微分方程組的皮卡逐次逼近序列。二、求下列方程（或方程組）的通解（或特解）：1.解：方程可化為，當(dāng)時(shí)，，是伯努利方程。其中。令，方程可化為，則再積分則該方程的解可表示為那么齊次方程的解為：然后利用常數(shù)變易法可以

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