常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用論文

PAGEPAGE1目錄TOC\o"1-8"\f\h\z\u摘要 11引言 22常微分方程的發(fā)展概況 23數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介 34常微分方程和數(shù)學(xué)建模結(jié)合的特點(diǎn) 35常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用 35.1建立微分方程的方法 45.2市場(chǎng)價(jià)格模型 55.3廣告模型 75.4人口預(yù)測(cè)模型 95.5混合溶液的數(shù)學(xué)模型 115.6振動(dòng)模型 125.7教育問(wèn)題模型 166總結(jié) 19參考文獻(xiàn) 20常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用摘要常微分方程是在17世紀(jì)伴隨著微積分而發(fā)展起來(lái)的一門具有重要應(yīng)用價(jià)值的學(xué)科.它是研究連續(xù)量變化規(guī)律的重要工具，是眾多實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)之間聯(lián)系的重要橋梁.在歷史上，牛頓正是通過(guò)求解常微分方程證實(shí)了地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道是橢圓；天文學(xué)家通過(guò)常微分方程的計(jì)算，預(yù)見(jiàn)了海王星的存在.隨著工業(yè)化的進(jìn)展，常微分方程在航海、航空工業(yè)生產(chǎn)以及自然科學(xué)的研究中發(fā)揮了重要作用.計(jì)算機(jī)和計(jì)算技術(shù)的發(fā)展,使微分方程的求解突破了經(jīng)典方法的局限,邁向數(shù)值計(jì)算和圖像模擬,這為微分方程的應(yīng)用提供了更為廣闊的天地和有效手段,也使得建立數(shù)學(xué)模型顯得尤為重要.本文主要從市場(chǎng)價(jià)格模型、廣告模型、人口預(yù)測(cè)模型、混合溶液的數(shù)學(xué)模型、教育問(wèn)題模型來(lái)論述常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。關(guān)鍵字：常微分方程；數(shù)學(xué)建模；市場(chǎng)價(jià)格模型；廣告模型；人口預(yù)測(cè)模型；混合溶液的數(shù)學(xué)模型；教育問(wèn)題模型代入初值條件，解得所以，導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖1所示：圖1由上圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)乙艦航行到點(diǎn)處時(shí)被導(dǎo)彈擊中，被擊中的時(shí)間為。對(duì)于建立微分方程的方法，除了以上例子所舉出的利用運(yùn)用已知規(guī)律的方法外，還有微元法、機(jī)理分析法（模擬近似法）等。5.2市場(chǎng)價(jià)格模型對(duì)于純粹的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)來(lái)說(shuō),商品市場(chǎng)價(jià)格取決于市場(chǎng)供需之間的關(guān)系,市場(chǎng)價(jià)格能促使商品的供給與需求相等(這樣的價(jià)格稱為(靜態(tài))均衡價(jià)格).也就是說(shuō),如果不考慮商品價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過(guò)程,那么商品的市場(chǎng)價(jià)格應(yīng)能保證市場(chǎng)的供需平衡,但是,實(shí)際的市場(chǎng)價(jià)格不會(huì)恰好等于均衡價(jià)格,而且價(jià)格也不會(huì)是靜態(tài)的,應(yīng)是隨時(shí)間不斷變化的動(dòng)態(tài)過(guò)程.試建立描述市場(chǎng)價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型假設(shè)在某一時(shí)刻,商品的價(jià)格為,它與該商品的均衡價(jià)格間有差別,此時(shí),存在供需差,此供需差促使價(jià)格變動(dòng).對(duì)新的價(jià)格,又有新的供需差,如此不斷調(diào)節(jié),就構(gòu)成市場(chǎng)價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過(guò)程,假設(shè)價(jià)格的變化率與需求和供給之差成正比,并記為需求函數(shù),為供給函數(shù)（為參數(shù)）,于是其中為商品在時(shí)刻的價(jià)格,為正常數(shù).若設(shè),,則上式變?yōu)?①其中均為正常數(shù),其解為.下面對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行討論:（1）設(shè)為靜態(tài)均衡價(jià)格,則其應(yīng)滿足,即 ,于是得,從而價(jià)格函數(shù)可寫(xiě)為,令,取極限得 這說(shuō)明,市場(chǎng)價(jià)格逐步趨于均衡價(jià)格.又若初始價(jià)格,則動(dòng)態(tài)價(jià)格就維持在均衡價(jià)格上,整個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程就化為靜態(tài)過(guò)程；（2）由于,所以,當(dāng)時(shí),,單調(diào)下降向靠攏；當(dāng)時(shí),,單調(diào)增加向靠攏.這說(shuō)明：初始價(jià)格高于均衡價(jià)格時(shí),動(dòng)態(tài)價(jià)格就要逐步降低,且逐步靠近均衡價(jià)格;否則,動(dòng)態(tài)價(jià)格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了價(jià)格影響需求與供給,而需求與供給反過(guò)來(lái)又影響價(jià)格的動(dòng)態(tài)過(guò)程,并指出了動(dòng)態(tài)價(jià)格逐步向均衡價(jià)格靠攏的變化趨勢(shì).5.3廣告模型在商品銷售中，很少有像上例中講的僅靠商品自身做廣告，而是要靠各種媒體大肆宣傳。雖然說(shuō)“只要是美的，人人喜歡”，“酒香不怕巷子深”，但是人們已越來(lái)越認(rèn)識(shí)到廣告的作用。本模型就從數(shù)學(xué)角度探討廣告與銷售量的關(guān)系，并指出廣告在商品的不同銷售階段的差異。無(wú)論你是聽(tīng)廣播，還是看報(bào)紙，或是收看電視，常可看到、聽(tīng)到商品廣告。隨著社會(huì)向現(xiàn)代化的發(fā)展，商品廣告對(duì)企業(yè)生產(chǎn)所起的作用越來(lái)越得到社會(huì)的承認(rèn)和人們的重視。商品廣告確實(shí)是調(diào)整商品銷售量的強(qiáng)有力手段，然而，你是否了解廣告與銷售之間的內(nèi)在聯(lián)系？如何評(píng)價(jià)不同時(shí)期的廣告效果？這個(gè)問(wèn)題對(duì)于生產(chǎn)企業(yè)、對(duì)于那些為推銷商品作廣告的企業(yè)極為重要。下面我們介紹獨(dú)家銷售的廣告模型。我們假設(shè)：1.商品的銷售速度會(huì)因作廣告而增加，但這種增加是有一定限度的，當(dāng)商品在市場(chǎng)上趨于飽和時(shí)，銷售速度將趨于它的極限值，當(dāng)速度達(dá)到它的極限值時(shí)，無(wú)論再作何種形式的廣告，銷售速度都將減慢。2.自然衰減是銷售速度的一種性質(zhì)，即商品銷售速度隨商品的銷售率增加而減小。3.令表示時(shí)刻商品銷售速度；表示時(shí)刻廣告水平（以費(fèi)用表示）；為銷售的飽和水平，即市場(chǎng)對(duì)商品的最大容納能力，它表示銷售速度的上極限；為衰減因子，即廣告作用隨時(shí)間增加而自然衰減的速度，為常數(shù)。問(wèn)題中涉及的是商品銷售速度隨時(shí)間的變化情況：商品銷售速度的變化=增長(zhǎng)-自然衰減。為描述商品銷售速度的增長(zhǎng)，由模型假設(shè)1知商品銷售速度的凈增長(zhǎng)率應(yīng)該是商品銷售速度的減函數(shù)，并且存在一個(gè)飽和水平，使得。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們?cè)O(shè)為的線性減函數(shù)，則有，其中用表示響應(yīng)系數(shù)，即廣告水平對(duì)商品銷售速度的影響能力，為常數(shù)。因此可建立如下微分方程模型：。從模型方程可知，當(dāng)或時(shí)，都有 。為求解該模型，我們選擇一個(gè)廣告策略。在時(shí)間段內(nèi)，用于廣告的總費(fèi)用為，則，代入模型方程有。令，，則有。其解為。若令，則。當(dāng)時(shí)，模型為，其通解為，而時(shí)，所以。故。的圖形如圖3-1所示。圖2圖35.4人口預(yù)測(cè)模型由于資源的有限性,當(dāng)今世界各國(guó)都注意有計(jì)劃地控制人口的增長(zhǎng),為了得到人口預(yù)測(cè)模型,必須首先搞清影響人口增長(zhǎng)的因素,而影響人口增長(zhǎng)的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭(zhēng)等諸多因素,如果一開(kāi)始就把所有因素都考慮進(jìn)去，則無(wú)從下手.因此,先把問(wèn)題簡(jiǎn)化,建立比較粗糙的模型,再逐步修改,得到較完善的模型.1馬爾薩斯（Malthus）模型英國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯（1766—1834）在擔(dān)任牧師期間,查看了教堂100多年人口出生統(tǒng)計(jì)資料,發(fā)現(xiàn)人口出生率是一個(gè)常數(shù),于1789年在《人口原理》一書(shū)中提出了聞名于世的馬爾薩斯人口模型,他的基本假設(shè)是：在人口自然增長(zhǎng)過(guò)程中,凈相對(duì)增長(zhǎng)（出生率與死亡率之差）是常數(shù),即單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與人口成正比,比例系數(shù)設(shè)為,在此假設(shè)下,推導(dǎo)并求解人口隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型.解設(shè)時(shí)刻的人口為,把當(dāng)作連續(xù)、可微函數(shù)處理（因人口總數(shù)很大,可近似地這樣處理,此乃離散變量連續(xù)化處理）,據(jù)馬爾薩斯的假設(shè),在到時(shí)間段內(nèi),人口的增長(zhǎng)量為,并設(shè)時(shí)刻的人口為,于是這就是馬爾薩斯人口模型,用分離變量法易求出其解為,此式表明人口以指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間無(wú)限增長(zhǎng).模型檢驗(yàn)：據(jù)估計(jì)1961年地球上的人口總數(shù)為,而在以后7年中,人口總數(shù)以每年2%的速度增長(zhǎng),這樣,,,于是.這個(gè)公式非常準(zhǔn)確地反映了在1700—1961年間世界人口總數(shù).因?yàn)?這期間地球上的人口大約每35年翻一番,而上式斷定34.6年增加一倍（請(qǐng)讀者證明這一點(diǎn)）．但是,后來(lái)人們以美國(guó)人口為例,用馬爾薩斯模型計(jì)算結(jié)果與人口資料比較,卻發(fā)現(xiàn)有很大的差異,尤其是在用此模型預(yù)測(cè)較遙遠(yuǎn)的未來(lái)地球人口總數(shù)時(shí),發(fā)現(xiàn)更令人不可思議的問(wèn)題,如按此模型計(jì)算,到2670年,地球上將有36000億人口.如果地球表面全是陸地（事實(shí)上,地球表面還有80%被水覆蓋）,我們也只得互相踩著肩膀站成兩層了,這是非?；闹嚨?因此,這一模型應(yīng)該修改.2邏輯Logistic模型馬爾薩斯模型為什么不能預(yù)測(cè)未來(lái)的人口呢？這主要是地球上的各種資源只能供一定數(shù)量的人生活,隨著人口的增加,自然資源環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的限制作用越來(lái)越顯著,如果當(dāng)人口較少時(shí),人口的自然增長(zhǎng)率可以看作常數(shù)的話,那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后,這個(gè)增長(zhǎng)率就要隨人口的增加而減小.因此,應(yīng)對(duì)馬爾薩斯模型中關(guān)于凈增長(zhǎng)率為常數(shù)的假設(shè)進(jìn)行修改.1838年,荷蘭生物數(shù)學(xué)家韋爾侯斯特(Verhulst)引入常數(shù),用來(lái)表示自然環(huán)境條件所能容許的最大人口數(shù)（一般說(shuō)來(lái),一個(gè)國(guó)家工業(yè)化程度越高,它的生活空間就越大,食物就越多,從而就越大）,并假設(shè)將增長(zhǎng)率等于,即凈增長(zhǎng)率隨著的增加而減小,當(dāng)時(shí),凈增長(zhǎng)率趨于零,按此假定建立人口預(yù)測(cè)模型.解由韋爾侯斯特假定,馬爾薩斯模型應(yīng)改為上式就是邏輯模型,該方程可分離變量,其解為,.下面,我們對(duì)模型作一簡(jiǎn)要分析.（1）當(dāng),,即無(wú)論人口的初值如何,人口總數(shù)趨向于極限值；（2）當(dāng)時(shí),,這說(shuō)明是時(shí)間的單調(diào)遞增函數(shù)；（3）由于,所以當(dāng)時(shí),,單增；當(dāng)時(shí),,單減,即人口增長(zhǎng)率由增變減,在處最大,也就是說(shuō)在人口總數(shù)達(dá)到極限值一半以前是加速生長(zhǎng)期,過(guò)這一點(diǎn)后,生長(zhǎng)的速率逐漸變小,并且遲早會(huì)達(dá)到零,這是減速生長(zhǎng)期；（4）用該模型檢驗(yàn)美國(guó)從1790年到1950年的人口,發(fā)現(xiàn)模型計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際人口在1930年以前都非常吻合,自從1930年以后,誤差愈來(lái)愈大,一個(gè)明顯的原因是在20世紀(jì)60年代美國(guó)的實(shí)際人口數(shù)已經(jīng)突破了20世紀(jì)初所設(shè)的極限人口.由此可見(jiàn)該模型的缺點(diǎn)之一是不易確定,事實(shí)上,隨著一個(gè)國(guó)家經(jīng)濟(jì)的騰飛,它所擁有的食物就越豐富,的值也就越大；(5）用邏輯模型來(lái)預(yù)測(cè)世界未來(lái)人口總數(shù).某生物學(xué)家估計(jì),,又當(dāng)人口總數(shù)為時(shí),人口每年以2%的速率增長(zhǎng),由邏輯模型得,即,從而得,即世界人口總數(shù)極限值近100億.值得說(shuō)明的是：人也是一種生物,因此,上面關(guān)于人口模型的討論,原則上也可以用于在自然環(huán)境下單一物種生存著的其他生物,如森林中的樹(shù)木、池塘中的魚(yú)等,邏輯模型有著廣泛的應(yīng)用.5.5混合溶液的數(shù)學(xué)模型設(shè)一容器內(nèi)原有100L鹽,內(nèi)含有鹽10kg,現(xiàn)以3L/min的速度注入質(zhì)量濃度為0.01kg/L的淡鹽水,同時(shí)以2L/min的速度抽出混合均勻的鹽水,求容器內(nèi)鹽量變化的數(shù)學(xué)模型.設(shè)時(shí)刻容器內(nèi)的鹽量為kg,考慮到時(shí)間內(nèi)容器中鹽的變化情況,在時(shí)間內(nèi)容器中鹽的改變量注入的鹽水中所含鹽量－抽出的鹽水中所含鹽量容器內(nèi)鹽的改變量為,注入的鹽水中所含鹽量為,時(shí)刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為,假設(shè)到時(shí)間內(nèi)容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度不變（事實(shí)上,容器內(nèi)的溶液質(zhì)量濃度時(shí)刻在變,由于時(shí)間很短,可以這樣看）.于是抽出的鹽水中所含鹽量為,這樣即可列出方程,即.又因?yàn)闀r(shí),容器內(nèi)有鹽kg,于是得該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為這是一階非齊次線性方程的初值問(wèn)題,其解為.下面對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行一下簡(jiǎn)單的討論,由上式不難發(fā)現(xiàn):時(shí)刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為,且當(dāng)時(shí),,即長(zhǎng)時(shí)間地進(jìn)行上述稀釋過(guò)程,容器內(nèi)鹽水的質(zhì)量濃度將趨于注入溶液的質(zhì)量濃度.溶液混合問(wèn)題的更一般的提法是：設(shè)有一容器裝有某種質(zhì)量濃度的溶液,以流量注入質(zhì)量濃度為的溶液（指同一種類溶液,只是質(zhì)量濃度不同）,假定溶液立即被攪勻,并以的流量流出這種混合溶液,試建立容器中質(zhì)量濃度與時(shí)間的數(shù)學(xué)模型.首先設(shè)容器中溶質(zhì)的質(zhì)量為,原來(lái)的初始質(zhì)量為,=0時(shí)溶液的體積為,在d時(shí)間內(nèi),容器內(nèi)溶質(zhì)的改變量等于流入溶質(zhì)的數(shù)量減去流出溶質(zhì)的數(shù)量,即,其中是流入溶液的質(zhì)量濃度,為時(shí)刻容器中溶液的質(zhì)量濃度,于是,有混合溶液的數(shù)學(xué)模型該模型不僅適用于液體的混合,而且還適用于討論氣體的混合.5.6振動(dòng)模型振動(dòng)是生活與工程中的常見(jiàn)現(xiàn)象.研究振動(dòng)規(guī)律有著極其重要的意義.在自然界中,許多振動(dòng)現(xiàn)象都可以抽象為下述振動(dòng)問(wèn)題.設(shè)有一個(gè)彈簧,它的上端固定,下端掛一個(gè)質(zhì)量為的物體,試研究其振動(dòng)規(guī)律.假設(shè)（1）物體的平衡位置位于坐標(biāo)原點(diǎn),并取軸的正向鉛直向下（見(jiàn)圖4）.物體的平衡位置指物體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的位置.此時(shí),作用在物體上的重力與彈性力大小相等,方向相反；（2）在一定的初始位移及初始速度下,物體離開(kāi)平衡位置,并在平衡位置附近作沒(méi)有搖擺的上下振動(dòng)；（3）物體在時(shí)刻的位置坐標(biāo)為,即時(shí)刻物體偏離平衡位置的位移；（4）在振動(dòng)過(guò)程中,受阻力作用.阻力的大小與物體速度成正比,阻力的方向總是與速度方向相反,因此阻力為,為阻尼系數(shù)；（5）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)有位移時(shí),假設(shè)所受的彈簧恢復(fù)力是與位移成正比的,而恢復(fù)力的方向總是指向平衡位置,也就是總與偏離平衡位置的位移方向相反,因此所受彈簧恢復(fù)力為,其中為勁度系數(shù)；（6）在振動(dòng)過(guò)程中受外力的作用.在上述假設(shè)下,根據(jù)牛頓第二定律得圖4,①圖4這就是該物體的強(qiáng)迫振動(dòng)方程.由于方程①中,的具體形式?jīng)]有給出,所以,不能對(duì)式①直接求解.下面我們分四種情形對(duì)其進(jìn)行討論.1無(wú)阻尼自由振動(dòng)在這種情況下,假定物體在振動(dòng)過(guò)程中,既無(wú)阻力、又不受外力作用.此時(shí)方程①變?yōu)? ,令,方程變?yōu)?特征方程為 ,特征根為 ,通解為 ,或?qū)⑵鋵?xiě)為其中,,.這就是說(shuō),無(wú)阻尼自由振動(dòng)的振幅,頻率均為常數(shù).2有阻尼自由振動(dòng)在該種情況下,考慮物體所受到的阻力,不考慮物體所受的外力.此時(shí),方程①變?yōu)?令,,方程變?yōu)?特征方程為,特征根.根據(jù)與的關(guān)系,又分為如下三種情形：(1)大阻尼情形,>.特征根為二不等實(shí)根,通解為(2)臨界阻尼情形,.特征根為重根,通解為這兩種情形,由于阻尼比較大,都不發(fā)生振動(dòng).當(dāng)有一初始擾動(dòng)以后,質(zhì)點(diǎn)慢慢回到平衡位置,位移隨時(shí)間的變化規(guī)律分別如圖5和圖6所示.圖5圖6(3)小阻尼情形,<.特征根為共軛復(fù)根,通解為將其簡(jiǎn)化為其中振幅隨時(shí)間的增加而減小.因此,這是一種衰減振動(dòng).位移隨時(shí)間的變化規(guī)律見(jiàn)圖7.3無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)在這種情形下,設(shè)物體不受阻力作用,其所受外力為簡(jiǎn)諧力,此時(shí),方程①化為圖7,,根據(jù)是否等于特征根,其通解分為如下兩種情形：（1）當(dāng)時(shí),其通解為,此時(shí),特解的振幅為常數(shù),但當(dāng)接近于時(shí),將會(huì)導(dǎo)致振幅增大,發(fā)生類似共振的現(xiàn)象；（2）當(dāng)時(shí),其通解為,此時(shí),特解的振幅隨時(shí)間的增加而增大,這種現(xiàn)象稱為共振,即當(dāng)外力的頻率等于物體的固有頻率時(shí),將發(fā)生共振.4阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)在這種情形下,假定振動(dòng)物體既受阻力作用,又受外力的作用,并設(shè),方程①變?yōu)?特征根,則不可能為特征根,特解為,其中,,還可將其化為,由此可見(jiàn),在有阻尼的情況下,將不會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象,不過(guò),當(dāng)時(shí),,若很小,則仍會(huì)有較大的振幅；若比較大,則不會(huì)有較大的振幅.5.7教育問(wèn)題模型改革開(kāi)放以來(lái)，我國(guó)的教育取得了深遠(yuǎn)的發(fā)展，教育理念也發(fā)生了重大的變化，比如高等教育逐步采取了收費(fèi)制度并相對(duì)完善了資助政策。高等教育經(jīng)費(fèi)轉(zhuǎn)變?yōu)橛烧?cái)政撥款、學(xué)校自籌、社會(huì)捐贈(zèng)和學(xué)費(fèi)收入等幾部分組成，一方面減輕了國(guó)家的負(fù)擔(dān)，另一方面也符合當(dāng)下“誰(shuí)獲益誰(shuí)出資”的大眾看法。然而學(xué)費(fèi)多少合適也隨之成為一個(gè)敏感而又復(fù)雜的問(wèn)題?，F(xiàn)在我國(guó)各重點(diǎn)高校普通專業(yè)學(xué)費(fèi)大約為4000-6000元，這樣的標(biāo)準(zhǔn)是否合適？現(xiàn)在的問(wèn)題就是如何綜合考慮家庭可支付能力和學(xué)校的教學(xué)質(zhì)量，提出一個(gè)合理的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)。學(xué)費(fèi)過(guò)低會(huì)影響學(xué)校的教學(xué)質(zhì)量，過(guò)高又會(huì)超過(guò)很多家庭的可支付能力，本文給出的模型要對(duì)以上兩項(xiàng)做到統(tǒng)籌兼顧。首先，我們看到現(xiàn)在有些高校由于收入與支出的不平衡而出現(xiàn)了大額的銀行欠款，進(jìn)而影響到其在社會(huì)中的聲譽(yù)。很多教師和學(xué)生在通過(guò)比較后會(huì)選擇聲譽(yù)較好的學(xué)校教學(xué)或求學(xué)，因此上面提到的這類高校的教學(xué)質(zhì)量顯然會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的下滑。所以高校教育學(xué)費(fèi)的制定，首先要考慮的是保證學(xué)校的收支平衡問(wèn)題。同時(shí)，大學(xué)收益的增加對(duì)其教學(xué)質(zhì)量是有正相關(guān)的作用的。其次，高校學(xué)費(fèi)的制定必須考慮到家庭的可承受能力，而每個(gè)家庭的收入是不盡相同的。這樣，學(xué)費(fèi)越高，就有越多的家庭無(wú)力支付這筆費(fèi)用，它們之間可以認(rèn)為是一個(gè)負(fù)相關(guān)的函數(shù)。這樣看來(lái)，建立兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)規(guī)劃是一個(gè)不錯(cuò)的選擇，但兩個(gè)目標(biāo)的權(quán)重卻難以確定。權(quán)衡之下，我們希望讓家庭的可支付能力在學(xué)校的收益中得到體現(xiàn)，兩個(gè)函數(shù)合并，模型會(huì)簡(jiǎn)單很多。實(shí)際情況中，雖然現(xiàn)行學(xué)費(fèi)不低，但高校入學(xué)率卻居高不下。究其原因，國(guó)家助學(xué)貸款起到很大作用。為簡(jiǎn)化模型，本文把需要申請(qǐng)助學(xué)貸款的學(xué)生與因無(wú)力支付學(xué)費(fèi)而放棄學(xué)業(yè)的學(xué)生歸為一類，然后建立一個(gè)高校收益的模型。這樣我們就可以把家庭的支付能力與高校的收益聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而通過(guò)對(duì)該模型的分析，確定一個(gè)合適的學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)。由于該問(wèn)題實(shí)在太大，所以在模型的建立過(guò)程中，大量合理的假設(shè)是必不可少的，一些為了模型的簡(jiǎn)化做出的數(shù)據(jù)的適當(dāng)忽略也是情有可原的。學(xué)校的總支出與學(xué)生人數(shù)存在函數(shù)關(guān)系。學(xué)校的年固定支出與在校生人數(shù)無(wú)關(guān)。3、學(xué)校每年所接受的社會(huì)捐贈(zèng)等收入與的數(shù)目與在校人數(shù)無(wú)關(guān)。4、將因家庭經(jīng)濟(jì)原因而申請(qǐng)助學(xué)貸款的學(xué)生和因無(wú)力承擔(dān)高校費(fèi)用而輟學(xué)的學(xué)生同歸為因高校收費(fèi)過(guò)高而無(wú)力承擔(dān)的一類。5、高校教育投入的多少完全量化了培養(yǎng)質(zhì)量的高低。1.模型一考慮邊際成本的收費(fèi)模型假設(shè)高校的非固定成本與學(xué)生數(shù)存在函數(shù)關(guān)系，設(shè)關(guān)系式為（1）其中,c,d是待定常數(shù)，N是高校的學(xué)生數(shù)，B是高校的非固定成本。該式表明，高校的非固定成本是隨著在校生人數(shù)的增加而增長(zhǎng)的。邊際成本是非固定成本對(duì)學(xué)生數(shù)的導(dǎo)數(shù)，公式為：,（2）式中，F(xiàn)m是邊際成本確定的培養(yǎng)一個(gè)學(xué)生需要的非固定成本。該式確定了高校需要為每位學(xué)生投入的人均非固定成本?？紤]到高校的固定成本投入，得到最優(yōu)學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：,(3)其中，T是高校的固定成本，F(xiàn)是生均最優(yōu)學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)。上面的結(jié)果明顯忽略了一些很重要的影響因素，如國(guó)家生均撥款、社會(huì)救助和區(qū)域經(jīng)濟(jì)狀況，于是必須對(duì)上面的（3）進(jìn)行改進(jìn)。改進(jìn)方法是在方程的右邊減去一個(gè)待定常數(shù)a，常數(shù)a由上面提到的各因素決定。模型為：，（4）其中，a為待定常數(shù)，表示國(guó)家和社會(huì)對(duì)學(xué)生的平均補(bǔ)助。該式表明，高校中人均所承擔(dān)的費(fèi)用應(yīng)是人均非固定成本與人均固定成本之和減去國(guó)家和社會(huì)平均給每位學(xué)生補(bǔ)助的款項(xiàng)。2.模型二基于盈虧平衡的學(xué)費(fèi)模型考慮到學(xué)校和家庭的利益，通過(guò)學(xué)校所收學(xué)費(fèi)的盈虧情況，建立一個(gè)相應(yīng)的盈虧模型。在把需借助國(guó)家助學(xué)貸款才能維持學(xué)業(yè)的學(xué)生看做與因無(wú)力支付學(xué)費(fèi)而放棄學(xué)業(yè)的學(xué)生當(dāng)做因高校收費(fèi)過(guò)高而無(wú)力承擔(dān)的同一類后，我們可以確定在校生數(shù)與學(xué)費(fèi)之間存在一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系：,（5）式中，b是待定常數(shù)，e是學(xué)費(fèi)彈性系數(shù)，其中e＜0.該式表明，高校的在校生人數(shù)是隨著收費(fèi)的增加而減少的。學(xué)費(fèi)收入為：（6）高?？偸杖霝椋?(7)將（5）帶入（1），得高校非固定成本：,(8)當(dāng)總收入和非固定成本達(dá)到平衡時(shí)，學(xué)費(fèi)最合理，得：即，（9）3.模型三考慮各方利益最大化的模型高等教育的學(xué)費(fèi)必須兼顧高校的發(fā)展和家庭的可支付能力兩個(gè)方面，最優(yōu)學(xué)費(fèi)應(yīng)該在保證盡量多的學(xué)生入學(xué)的同時(shí)盡量增加學(xué)校的收益，以使學(xué)校能有一定的資金用于學(xué)校的軟硬件建設(shè)，提高教學(xué)質(zhì)量。本文假設(shè)學(xué)費(fèi)彈性系數(shù)e是學(xué)費(fèi)F的函數(shù)，且衡小于零。則（6）可以改為：,(10)對(duì)（10）兩邊取對(duì)數(shù)，然后關(guān)于F求導(dǎo)，得：,(11)由于在H關(guān)于F的導(dǎo)數(shù)值為零時(shí)，高校收益取得極大值。因此令,化簡(jiǎn)得：,(12)解上述微分方程，得：,(13)對(duì)（5）取對(duì)數(shù)，得：,(14)將（14）帶入（13），化簡(jiǎn)得,(15)得到保證學(xué)生數(shù)的情況下的最優(yōu)學(xué)費(fèi)：其中，N0是可接受學(xué)生數(shù)，k為積分常量。4.層次分析模型從學(xué)校教學(xué)質(zhì)量、學(xué)校利益、學(xué)生利益三個(gè)方面綜合選取指標(biāo)對(duì)以上三個(gè)學(xué)費(fèi)制定方案模型進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。設(shè)對(duì)k個(gè)決策目標(biāo)進(jìn)行m項(xiàng)指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)，其指標(biāo)集Aij(i=1,2,…，m;j=1,2,…，k)，再對(duì)其進(jìn)行如下標(biāo)準(zhǔn)化取值：，其中，,.目標(biāo)值：，其中，為第i個(gè)指標(biāo)的權(quán)重，Bj是根據(jù)層次分析模型計(jì)算出來(lái)的第j個(gè)決策目標(biāo)的目標(biāo)值。目標(biāo)值越大，該學(xué)費(fèi)制定方案越優(yōu)。6總結(jié)本文列舉了大量的數(shù)學(xué)建模實(shí)例，通過(guò)實(shí)例可以發(fā)現(xiàn)，在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、化學(xué)、物理學(xué)等各個(gè)學(xué)科中，都能找到常微分方程的影子。微分方程作為數(shù)學(xué)科學(xué)的中心學(xué)科，已經(jīng)有300多年的發(fā)展歷史，其解法和理論已日臻完善，可以為分析和求得方程的解提