函數(shù)的應(yīng)用（一）教學(xué)設(shè)計(jì) 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

包頭市景泰高級中學(xué)數(shù)學(xué)教案本2024包頭市景泰高級中學(xué)數(shù)學(xué)教案本2024包頭市景泰高級中學(xué)教務(wù)處包頭市景泰高級中學(xué)教務(wù)處包頭市景泰高級中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案課題函數(shù)的應(yīng)用（一）授課教師張海軍授課班級1,3授課時間10月份課時安排2課時教學(xué)背景分析課題及教學(xué)內(nèi)容分析函數(shù)的性質(zhì)是2019版新人教A版必修第一冊第三章的內(nèi)容，是函數(shù)的應(yīng)用性問題。在學(xué)習(xí)本節(jié)知識前，學(xué)生已經(jīng)接觸到函數(shù)的相關(guān)知識,需要學(xué)生加強(qiáng)對文字的理解?？傮w學(xué)生情況分析通過前面函數(shù)知識的學(xué)習(xí)，學(xué)生在知識上已經(jīng)具備了一定的知識經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)，初步具備運(yùn)用函數(shù)思想解決問題的能力，但是解題意識和思維的深刻性有待進(jìn)一步加強(qiáng)，在探究問題的能力以及合作交流方面的發(fā)展不均衡，需要教師創(chuàng)設(shè)和諧平等的課堂氣氛，加以調(diào)動。本班學(xué)生情況分析（1）整體上基礎(chǔ)薄弱，對函數(shù)的理解不足，計(jì)算能力也比較弱，更多的學(xué)生沒有學(xué)習(xí)的積極性，主要以應(yīng)付為主，作業(yè)做的質(zhì)量一般，不會分析，不會做筆記，不愿意思考。（2）學(xué)生們對函數(shù)這一些抽象的知識理解單一，很多人什么不會，基本上沒有數(shù)學(xué)思維，也不愿意學(xué)，需要加大引導(dǎo)力度，需要內(nèi)容，知識點(diǎn)反復(fù)提問，反復(fù)應(yīng)用，反復(fù)計(jì)算，直到能理解為主。教學(xué)目標(biāo)1.會利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題(重點(diǎn))；2.能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題(重、難點(diǎn))。核心素養(yǎng)1、能夠找出簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式，初步體會應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)模型解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。2、運(yùn)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)模型解決實(shí)際應(yīng)用中的問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：運(yùn)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)模型的處理實(shí)際問題；難點(diǎn)：運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活和社會中的簡單問題。教學(xué)資源和教學(xué)方法本節(jié)是函數(shù)的應(yīng)用，為了幫助學(xué)生正確分析實(shí)際問題中的變量關(guān)系，并能利用已知條件中的各種信息，教學(xué)時應(yīng)注意使用問題引導(dǎo)的形式與信息技術(shù)的綜合輔助功能相結(jié)合，使問題解決思路清晰，處理數(shù)據(jù)計(jì)算便捷，讓學(xué)生能夠?qū)⒅饕ν度氲浇?shù)學(xué)模型的體驗(yàn)中，能更加深刻地感受到數(shù)學(xué)問題不同呈現(xiàn)形式的意義與數(shù)學(xué)建模的實(shí)用價(jià)值．通過學(xué)習(xí)函數(shù)的相關(guān)知識，提高學(xué)生們對函數(shù)的認(rèn)識和理解。互動交流等學(xué)習(xí)方法，將以導(dǎo)學(xué)案的方式提前下發(fā)學(xué)生，以探究和引導(dǎo)為主，課堂上教師進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)評和補(bǔ)充。通過上面一系列的認(rèn)真學(xué)習(xí)來達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考，自我分析能力。教學(xué)設(shè)計(jì)一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場平均每天多售出2件。于是商場經(jīng)理決定每件襯衫降價(jià)15元．那么經(jīng)理的決定正確嗎？二、分析問題；引入新課師生活動：分析上述問題：分析：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)元，則銷售量為件，每件利潤為元，依題意，得，當(dāng)時，最大為1250元，即經(jīng)理的決定是正確的。本題為二次函數(shù)的模型，下面我們對函數(shù)的類型做一個復(fù)習(xí)：函數(shù)的解析式：一次函數(shù)：反比例函數(shù)：二次函數(shù)：冪函數(shù)【設(shè)計(jì)意圖】通過探究，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用函數(shù)的知識解決實(shí)際應(yīng)用問題，提高學(xué)生思考并解決問題的能力，并引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)以前學(xué)過的函數(shù)類型。板書1三、探究模型，培養(yǎng)思路模型一、一次函數(shù)模型例：某種產(chǎn)品每件80元，每天可售出30件，如果每件定價(jià)120元，則每天可售出20件，如果售出件數(shù)是定價(jià)的一次函數(shù)，則這個函數(shù)解析式為_________．師生活動：引導(dǎo)學(xué)生思考，建立模型一次函數(shù)模型，列出表達(dá)式，求解?！窘獯稹吭O(shè)每件售價(jià)元時，售出件，設(shè)，因?yàn)?，所以①，因?yàn)?，所以②，解由①②組成的方程組得，，所以.由.故答案為：。模型二、二次函數(shù)模型例：若用模型描述汽車緊急剎車后滑行的距離y（單位：m）與剎車時的速率x（單位：km/h）的關(guān)系，而某種型號的汽車在速率為60km/h時，緊急剎車后滑行的距離為20m．在限速為100km/h的高速公路上，一輛這種型號的車緊急剎車后滑行的距離為50m，那么這輛車是否超速行駛？師生活動：教師指導(dǎo)學(xué)生審題后，學(xué)生從二次函數(shù)出發(fā)，思考后回答．解析：由，解得，由，解得，因?yàn)椋赃@輛車沒有超速。模型三、最值模型例：某廣告公司要為客戶設(shè)計(jì)一幅周長為l（單位：m）的矩形廣告牌，如何設(shè)計(jì)這個廣告牌可以使廣告牌的面積最大？師生活動：教師指導(dǎo)學(xué)生審題后，學(xué)生思考作答．解析：設(shè)矩形的一邊長為x，廣告牌的面積為S，則，當(dāng)時，S取得最大值，且．所以當(dāng)廣告牌是邊長為的正方形時，廣告牌的面積最大．模型四、分段函數(shù)模型例2：某市為創(chuàng)建全國衛(wèi)生城市，引入某公司的智能垃圾處理設(shè)備．已知每臺設(shè)備每月固定維護(hù)成本5萬元，每處理一萬噸垃圾需增加1萬元維護(hù)費(fèi)用，每月處理垃圾帶來的總收益g（x）萬元與每月垃圾處理量x（萬噸）滿足如下關(guān)系：（注：總收益＝總成本+利潤）（1）寫出每臺設(shè)備每月處理垃圾獲得的利潤f（x）關(guān)于每月垃圾處理量x的函數(shù)關(guān)系；（2）該市計(jì)劃引入10臺這種設(shè)備，當(dāng)每臺每月垃圾處理量為何值時，所獲利潤最大？并求出最大利潤．師生活動：教師指導(dǎo)學(xué)生審題，分析關(guān)鍵量，學(xué)生思考作答。【解答】解：由題意可得：（1）；（2）由（1）可得：當(dāng)0≤x≤10時，f（x）＝﹣2（x﹣8）2+23．當(dāng)x＝8時，f（x）max＝f（8）＝23；當(dāng)x＞10時，f（x）＝30﹣x為減函數(shù)，則f（x）＜20．∴當(dāng)x＝8時，每臺設(shè)備每月處理垃圾所獲利潤最大．最大利潤為：w＝23×10＝230（萬元）．做函數(shù)應(yīng)用題的基本思路：①函數(shù)的應(yīng)用題，首先應(yīng)考慮選擇哪一種函數(shù)作為模型，然后建立其解析式；②求解析式時，一般利用待定系數(shù)法；③要充分挖掘題目的隱含條件，可以利用函數(shù)類型的自身特點(diǎn)解決實(shí)際問題；④要檢驗(yàn)，看看是否存在不合理的內(nèi)容。數(shù)學(xué)建模的過程圖示如下：【設(shè)計(jì)意圖】：教師引導(dǎo)學(xué)生通過審題——找變量間的關(guān)系——列出解析式——解決實(shí)際問題的過程，回顧本節(jié)課函數(shù)應(yīng)用的基本思路，并讓學(xué)生能夠在各環(huán)節(jié)中抓住關(guān)鍵點(diǎn)，如本題中的單位換算問題，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，提高學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。四、類型訓(xùn)練，加強(qiáng)理解變式一、某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本(房租設(shè)備水電等)為150萬元，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為2500元，售價(jià)為3500元，若該公司生產(chǎn)的產(chǎn)品全部都能賣出去。設(shè)總成本為W萬元，平均分?jǐn)偟矫考a(chǎn)品上的單位成本為y萬元，銷售總收入為S萬元，總利潤為P萬元，分別求出它們與產(chǎn)量t的函數(shù)關(guān)系式。變式二、某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為150萬元，而每件產(chǎn)品的可變成本為2500元，每件產(chǎn)品的售價(jià)為3500元．若該公司所生產(chǎn)的產(chǎn)品全部銷售出去，則（1）設(shè)總成本為（單位：萬元），單位成本為（單位：萬元），銷售總收入為（單位：萬元），總利潤為（單位：萬元），分別求出它們關(guān)于總產(chǎn)量x（單位：件）的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)所求函數(shù)的圖象，對這個公司的經(jīng)濟(jì)效益做出簡單分析．五、課堂小結(jié)，回顧提升做應(yīng)用題的基本思路：六、達(dá)標(biāo)檢測，鞏固新知1某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為，第二年的增長率為，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A.B.C.D.2.用米長的鋼材制作如圖的矩形窗戶(中間有兩根支柱)，當(dāng)窗戶的面積最大時，窗戶高的值為()A.B.C.D.3.某村年底共有人口人，全年工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值為萬元。若從年起，每年總產(chǎn)值比上一年增加萬元，人口每年增加人。設(shè)以后該村人均產(chǎn)值為(萬元)，距年的年數(shù)為(年為第一年)，則與的函數(shù)關(guān)系為()A.B.C.D.4.某公司招聘員工，經(jīng)過筆試確定面試人數(shù)，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為其中，代表擬錄用人數(shù)，代表面試人數(shù)。若應(yīng)聘的面試人數(shù)為人，則該公司擬錄用人數(shù)為()A.B.C.D.5.將長為的鋼筋截成段，做成底面為正方形的長方體骨架，則這個水箱最大的表面積是()A.B.C.D.6.某科技館參觀門票元/張，學(xué)生憑學(xué)生證可享受半價(jià)優(yōu)惠。設(shè)一個星期日有名參觀者，其中學(xué)生有人，則這個星期日科技館的門票總收入(元)與(人)的函數(shù)關(guān)系式是()A.B.C.D.7.某廠生產(chǎn)中所需一些配件可以外購，也可以自己生產(chǎn)，如外購，每個價(jià)格是元；如果自己生產(chǎn)，則每月的固定成本將增加元，并且生產(chǎn)每個配件的材料和勞力需元，則決定此配件外購或自產(chǎn)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)(即生產(chǎn)多少件以上自產(chǎn)合算)是()A.件B.件C.件D.件8.把長為的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個正方形，那么這兩個正方形面積之和的最小值是。9.商店按每件元的價(jià)格，購進(jìn)時商品(賣不出去的商品將成為廢品)件；市場調(diào)研推知：當(dāng)每件售價(jià)為元時，恰好全部售完；當(dāng)售價(jià)每提高元時，銷售量就減少件。要使利潤最大，售價(jià)應(yīng)為。10.一塊用柵欄圍成的長方形土地的長和寬分別為米和米，現(xiàn)欲將這塊土地內(nèi)部分割成一些全等的正方形試驗(yàn)田，要求這塊土地全部被劃分且分割的正方形的邊與這塊土地的邊界平行，現(xiàn)另有米柵欄，則最多可將這塊土地分割成塊。11.某企業(yè)生產(chǎn)的新產(chǎn)品必須先靠廣告來打開銷路。該產(chǎn)品的廣告效應(yīng)應(yīng)該是產(chǎn)品的銷售額與廣告費(fèi)之間的差。如果銷售額與廣告費(fèi)的算術(shù)平方根成正比，根據(jù)對市場進(jìn)行抽樣調(diào)查顯示：每付出元的廣告費(fèi)，所得的銷售額是元。要獲得最大的廣告效應(yīng)，該企業(yè)應(yīng)該投入廣告費(fèi)。12.長為，寬為的矩形，當(dāng)長增加，寬減少時的面積最大，此時，面積。13.某商場出售某種商品，當(dāng)每天賣件時，每件獲得元，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每件少賣角錢時()則每天可多賣出件，試把每件單價(jià)減少角錢時，該商場所賺金額總數(shù)(元)表示成的函數(shù)關(guān)系，并求該商場沒有虧本的情況下的取值，以及獲得最佳經(jīng)濟(jì)效益時的的值。14.某報(bào)刊銷售點(diǎn)從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的價(jià)格是每份元，賣出的價(jià)格是每份元，賣不完的報(bào)紙還可以每份元的價(jià)格退回報(bào)社。在一個月內(nèi)(天)，有天每天可以賣出份，其余天每天只能賣出份。設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)的報(bào)紙數(shù)量相同，則應(yīng)該每天從報(bào)社買進(jìn)多少份報(bào)紙，才能使每月所獲利潤最大？并計(jì)算該銷售點(diǎn)一個月最多可賺多少元？15.一塊形狀為直角三角形的鐵皮，直角邊長分別為和，現(xiàn)要將它剪成一個矩形，并以此三角形的直角為矩形的一個角，則矩形的最大面積是。16如圖，某動物園要建造兩間完全相同的矩形熊貓居室，其總面積為平方米，設(shè)熊貓居室的一面墻的長為米。(Ⅰ)用表示墻的長；(Ⅱ)假設(shè)所建熊貓居室的墻壁造價(jià)(在墻壁高度一定的前提下)為每米元，請將墻壁的總造價(jià)(元)表示為(米)的函數(shù)；(Ⅲ)當(dāng)為何值時，墻壁的總造價(jià)最低？17.某電子公司生產(chǎn)一種儀器的固定成本為元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入元，已知總收益滿足函數(shù)，其中是儀器的月產(chǎn)量。(Ⅰ)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；(Ⅱ)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司所獲得利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益=總成本+利潤)18.為了緩解交通壓力，某省在兩個城市之間特修一條專用鐵路，用一列火車作為公共交通車。如果該列火車每次拖節(jié)車廂，每日能來回趟；如果每次拖節(jié)車廂，則每日能來回趟?；疖嚸咳彰看瓮蠏燔囅涞墓?jié)數(shù)是相同的，每日來回趟數(shù)是每次拖掛車廂節(jié)數(shù)的一次函數(shù)，每節(jié)車廂滿載時能載客人。(Ⅰ)求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(Ⅱ)這列火車滿載時每次應(yīng)拖掛多少節(jié)車廂，才能使每日營運(yùn)人數(shù)最多，最多營運(yùn)人數(shù)是多少？19.某商場對顧客實(shí)行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物付款總額：①如果不超過元，則不予優(yōu)惠；②如果越過元，但不超過元，則按標(biāo)價(jià)給予折優(yōu)惠；③如果超過元，其中元按第②條給予優(yōu)惠，超過元的部分給予折優(yōu)惠。某人兩次去購物，分別付款元和元，假設(shè)他一次購買上述同樣的商品，求應(yīng)付款額。20某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為元時，可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.若使租賃公司的月收益最大，每輛車的月租金應(yīng)該定為__________．21如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用院墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園，已知院墻長為25米，籬笆長50米（籬笆全部用完），設(shè)籬笆的一面的長為米．(1)當(dāng)?shù)拈L為多少米時，矩形花園的面積為300平方米？(2)若圍成的矩形的面積為S平方米，當(dāng)x為何值時，S有最大值，最大值是多少？22某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益與投資額成正比，其關(guān)系如圖1；投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的年收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2.(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益和的函數(shù)關(guān)系式；(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元？23某市為創(chuàng)建全國衛(wèi)生城市，引入某公司的智能垃圾處理設(shè)備．已知每臺設(shè)備每月固定維護(hù)成本5萬元，每處理一萬噸垃圾需增加1萬元維護(hù)費(fèi)用，每月處理垃圾帶來的總收益g（x）萬元與每月垃圾處理量x（萬噸）滿足如下關(guān)系：（注：總收益＝總成本+利潤）（1）寫出每臺設(shè)備每月處理垃圾獲得的利潤f（x）關(guān)于每月垃圾處理量x的函數(shù)