§3.3　冪函數(shù)-高中數(shù)學(xué)教學(xué)資料

§3.3冪函數(shù)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)1.掌握冪函數(shù)的概念、圖象特征和性質(zhì).2.掌握冪函數(shù)的圖象位置和形狀變化，會根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性

比較冪值的大小.學(xué)習(xí)目標(biāo)同學(xué)們，我們說要學(xué)好數(shù)學(xué)，要先了解它的發(fā)展史，比如我們今天要學(xué)習(xí)的冪函數(shù)，“冪”其原意是遮蓋東西用的布，后來引申為面積.《九章算術(shù)》劉徽注：“凡廣縱相乘謂之冪.”后來又推廣引申為多次乘方的結(jié)果.到了清明時代，既稱面積為冪，也稱平方或立方為冪.清末之后，冪逐漸開始專指乘方概念.導(dǎo)語隨堂演練課時對點(diǎn)練一、冪函數(shù)的概念二、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)三、冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用內(nèi)容索引一、冪函數(shù)的概念問題1

下面幾個實(shí)例，觀察它們得出的函數(shù)解析式，有什么共同特征？(1)如果張紅以1元/kg的價格購買了某種蔬菜ωkg，那么她需要支付p＝ω元，這里p是ω的函數(shù)；(2)如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S＝a2，這里S是a的函數(shù)；(3)如果立方體的棱長為b，那么立方體的體積V＝b3，這里V是b的函數(shù)；(4)如果一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長c＝

，這里c是S的函數(shù)；(5)如果某人ts內(nèi)騎車行進(jìn)了1km，那么他騎車的平均速度v＝

km/s，即v＝t－1，這里v是t的函數(shù).提示這些函數(shù)的解析式都具有冪的形式，而且都是以冪的底數(shù)為自變量，冪的指數(shù)都是常數(shù).知識梳理冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)

叫做冪函數(shù)，其中x是

，α是

.注意點(diǎn)：①自變量前的系數(shù)是1；②冪的系數(shù)為1；③α是任意常數(shù)；④函數(shù)的定義域與α有關(guān).y＝xα自變量常數(shù)例1

(1)在函數(shù)y＝

，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，冪函數(shù)的個數(shù)為A.0 B.1 C.2 D.3y＝2x2由于出現(xiàn)系數(shù)2，因此不是冪函數(shù)；y＝x2＋x是兩項(xiàng)和的形式，不是冪函數(shù)；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函數(shù)y＝1的圖象比冪函數(shù)y＝x0的圖象多了一個點(diǎn)(0,1)，所以常函數(shù)y＝1不是冪函數(shù).√(2)已知y＝

＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n的值.反思感悟冪函數(shù)的判斷及應(yīng)用(1)判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，需滿足：①指數(shù)為常數(shù)，②底數(shù)為自變量，③xα的系數(shù)為1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函數(shù)都不是冪函數(shù).(2)若一個函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)也必具有y＝xα(α為常數(shù))這一形式.跟蹤訓(xùn)練1

若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足f(4)＝16，則f(－4)＝_____.解析設(shè)f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.16二、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題2

根據(jù)之前所學(xué)，我們應(yīng)該從哪些方面來研究冪函數(shù)？提示根據(jù)函數(shù)解析式先求出函數(shù)的定義域，然后畫出函數(shù)圖象，再利用圖象和解析式研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、值域、奇偶性、對稱性等問題.問題3

你能在同一坐標(biāo)系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

，y＝x－1這五個函數(shù)的圖象嗎？提示問題4

觀察函數(shù)圖象以及函數(shù)解析式，完成下表.

y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x－1定義域

值域

奇偶性

RRR[0，＋∞){x|x≠0}R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性

增函數(shù)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，0]上單調(diào)遞減增函數(shù)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－∞，0)上單調(diào)遞減知識梳理通過以上信息，我們可以得到：(1)函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

和y＝x－1的圖象都通過點(diǎn)

；(2)函數(shù)y＝x，y＝x3，y＝x－1是

，函數(shù)y＝x2是

；(3)在區(qū)間(0，＋∞)上，函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

，函數(shù)y＝x－1

；(4)在第一象限內(nèi)，函數(shù)y＝x－1的圖象向上與y軸

，向右與x軸___

.(1,1)奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)遞增單調(diào)遞減無限接近無限接近注意點(diǎn)：一般冪函數(shù)的圖象特征(1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，圖象只出現(xiàn)在第一象限，并且圖象都過點(diǎn)(1,1).(2)當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增.且圖象只出現(xiàn)在第一象限.特別地，當(dāng)α>1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)α＝1時，冪函數(shù)的解析式為y＝x；當(dāng)0<α<1時，冪函數(shù)的圖象上凸.(3)當(dāng)α<0時，冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且函數(shù)在原點(diǎn)無意義.(4)在(－∞，0)上，冪函數(shù)有無圖象與α的取值有關(guān)，若函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象一定出現(xiàn)在第二象限，若函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象一定出現(xiàn)在第三象限.(5)冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱.(6)在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列.√解析根據(jù)冪函數(shù)y＝xn的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)的圖象，當(dāng)n>0時，n越大，y＝xn遞增速度越快，當(dāng)n<0時，|n|越大，曲線越陡峭，反思感悟(1)解決與冪函數(shù)有關(guān)的綜合性問題的方法首先要考慮冪函數(shù)的概念，對于冪函數(shù)y＝xα(α是常數(shù))，由于α的取值不同，所以相應(yīng)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性也不同.同時，注意分類討論思想的應(yīng)用.(2)冪函數(shù)圖象的畫法①確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象：先根據(jù)α的取值，確定冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象.②確定冪函數(shù)在其他象限內(nèi)的圖象：根據(jù)冪函數(shù)的定義域及奇偶性確定冪函數(shù)f(x)在其他象限內(nèi)的圖象.同理可求得g(x)＝x－2.在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)＝x2和g(x)＝x－2的圖象(如圖所示)，觀察圖象可得，當(dāng)x>1或x<－1時，f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；解當(dāng)x＝1或x＝－1時，f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x).解當(dāng)－1<x<1且x≠0時，f(x)<g(x).三、冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用例3

(1)比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大?。航狻邇绾瘮?shù)y＝x0.5在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，解∵冪函數(shù)y＝x－1在(－∞，0)上單調(diào)遞減，解∵函數(shù)y1＝

在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，③與

.∴＝1，∴ .(2)已知冪函數(shù)y＝xp－3(p∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求滿足

的a的取值范圍.解∵函數(shù)y＝xp－3在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴p－3<0，即p<3.又∵p∈N*，∴p＝1或p＝2.∵函數(shù)y＝xp－3的圖象關(guān)于y軸對稱，∴p－3是偶數(shù)，∴取p＝1，即y＝x－2.故

變?yōu)?/p>

.∵函數(shù)y＝

在R上是增函數(shù)，∴由

，得a＋1<3－2a，反思感悟比較冪值大小和解決冪函數(shù)的綜合問題的注意點(diǎn)(1)若兩個冪值的指數(shù)相同或可化為兩個指數(shù)相同的冪值時，則可構(gòu)造函數(shù)，利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小.(2)若底數(shù)、指數(shù)均不同，則考慮用中間值法比較大小，這里的中間值可以是“0”或“1”.(3)充分利用冪函數(shù)的圖象、性質(zhì)，如圖象所過定點(diǎn)、單調(diào)性、奇偶性等.(4)注意運(yùn)用常見的思想方法，如分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.跟蹤訓(xùn)練3

(1)比較下列各組數(shù)的大?。孩冢?.143與－π3.解∵y＝x3是R上的增函數(shù)，且3.14<π，∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.∴m2＋m＝2，∴m＝1或m＝－2(舍去)，∴f(x)＝

.1.知識清單：(1)冪函數(shù)的定義.(2)幾個常見冪函數(shù)的圖象.(3)冪函數(shù)的性質(zhì).2.方法歸納：待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、分類討論法.3.常見誤區(qū)：易忽略題目中給出的條件以及冪函數(shù)的圖象和性質(zhì).課堂小結(jié)隨堂演練12341.下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是A.y＝

B.y＝x3C.y＝3x

D.y＝x－1√解析只有y＝3x不符合冪函數(shù)y＝xα的形式.1234√12343.函數(shù)y＝

的圖象是√解析函數(shù)y＝

是非奇非偶函數(shù)，故排除A，B選項(xiàng).12344.0.23－2.3與0.24－2.3的大小關(guān)系是________________.0.23－2.3>0.24－2.3解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝x－2.3在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且0.23<0.24，所以0.23－2.3>0.24－2.3.課時對點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.下列函數(shù)：①y＝x3；②y＝

x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1).其中冪函數(shù)的個數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.4√解析②⑦為自變量在指數(shù)位置，③中系數(shù)不是1，④中解析式為多項(xiàng)式，⑤中底數(shù)不是自變量本身，所以只有①⑥是冪函數(shù).2.若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)(3，

)，則該冪函數(shù)的解析式是A.y＝x－1

B.y＝C.y＝x2

D.y＝x312345678910111213141516√123456789101112131415163.若四個冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖，則a，b，c，d的大小關(guān)系是A.d>c>b>a

B.a>b>c>dC.d>c>a>b

D.a>b>d>c√解析在第一象限內(nèi)，x＝1的右側(cè)部分的圖象，圖象由下至上，冪指數(shù)由小到大，所以a>b>c>d.123456789101112131415164.已知冪函數(shù)f(x)＝x4－m(m∈N*)為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則m等于A.1 B.2 C.1或3 D.3解析因?yàn)閒(x)＝x4－m在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以4－m>0.所以m<4.又因?yàn)閙∈N*，所以m＝1,2,3.又因?yàn)閒(x)＝x4－m是奇函數(shù)，所以4－m是奇數(shù)，所以m＝1或3.√1234567891011121314155.函數(shù)y＝

－1的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象大致是16√123456789101112131415解析y＝

的圖象位于第一象限且為增函數(shù)，所以函數(shù)圖象是上升的，16函數(shù)y＝

－1的圖象可看作是由y＝

的圖象向下平移一個單位長度得到(如選項(xiàng)A中的圖所示)，則y＝

－1的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象即為選項(xiàng)B.123456789101112131415166.(多選)已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)

，則冪函數(shù)f(x)具有的性質(zhì)是A.在其定義域上為增函數(shù)B.在(0，＋∞)上單調(diào)遞減C.奇函數(shù)D.定義域?yàn)镽√√12345678910111213141516解析設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα(α為常數(shù))，所以由f(x)的性質(zhì)知，定義域?yàn)閧x∈R|x≠0}，f(x)是奇函數(shù)，在(－∞，0)，(0，＋∞)上均單調(diào)遞減.123456789101112131415167.已知2.4α>2.5α，則α的取值范圍是__________.解析因?yàn)?<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.故α<0.(－∞，0)123456789101112131415168.給出以下結(jié)論：①當(dāng)α＝0時，函數(shù)y＝xα的圖象是一條直線；②冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(0,0)，(1,1)兩點(diǎn)；③若冪函數(shù)y＝xα的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則y＝xα在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大；④冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限，但可能在第二象限.則正確結(jié)論的序號為_____.④12345678910111213141516解析當(dāng)α＝0時，函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)閧x|x≠0，x∈R}，故①不正確；當(dāng)α<0時，函數(shù)y＝xα的圖象不過(0,0)點(diǎn)，故②不正確；冪函數(shù)y＝x－1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，但其在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故③不正確.④正確.123456789101112131415169.比較下列各組數(shù)的大?。航夂瘮?shù)y＝

在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，(1)和

；又3<3.2，所以

.12345678910111213141516解函數(shù)y＝

在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，(2)和

；所以

.1234567891011121314151610.已知冪函數(shù)f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1為偶函數(shù).(1)求f(x)的解析式；解由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3，又f(x)為偶函數(shù)，則m＝3，所以f(x)＝x2.12345678910111213141516(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,6).123456789101112131415綜合運(yùn)用1611.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y＝xa(a≠0)和y＝ax－

的圖象可能是√12345678910111213141516解析選項(xiàng)A中，冪函數(shù)的指數(shù)a<0，則直線y＝ax－

應(yīng)為減函數(shù)，A錯誤；選項(xiàng)B中，冪函數(shù)的指數(shù)a>1，則直線y＝ax－

應(yīng)為增函數(shù)，B錯誤；選項(xiàng)D中，冪函數(shù)的指數(shù)a<0，則－

>0，直線y＝ax－

與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)為正，D錯誤.12345678910111213141516√解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝

在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，13.函數(shù)f(x)＝

＋b－3是冪函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A.f(a)>f(b) B.f(a)<f(b)C.f(a)＝f(b) D.以上都不對12345678910111213141516√解析∵f(x)為冪函數(shù)，12345678910111213141516∴f(x)＝

，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且a>b>0，∴f(a)>f(b).1234567891011121314151614.有四個冪函數(shù)：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝

.某同學(xué)研究了其中的一個函數(shù)，并給出這個函數(shù)的三個性質(zhì)：(1)偶函數(shù)；(2)值域是{y|y≠0}；(3)在(－∞，0)上單調(diào)遞增.如果給出的三個性質(zhì)中，有兩個正確，一個錯誤，則他研究的函數(shù)是_____(填序號).②1234567891011121314