25屆（新教材QG版）數(shù)學(xué)新考案基礎(chǔ)課41空間向量與空間角、距離問題

基礎(chǔ)課41空間向量與空間角、距離問題考點考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)空間向量求空間角掌握2023新高考Ⅰ卷T2023新高考Ⅱ卷T2023全國乙卷理T2022新高考Ⅰ卷T2022全國甲卷（理）T2021全國乙卷（理）T2021全國乙卷（文）T★★★直觀想象邏輯推理數(shù)學(xué)運算空間向量求空間距離掌握2023年天津卷T2022年新高考Ⅰ卷T★★★直觀想象邏輯推理數(shù)學(xué)運算命題分析預(yù)測從近幾年高考的情況來看，空間角、距離問題是高考?？純?nèi)容，一般以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度中等.命題常以柱體、錐體為背景.在2025屆的高考備考中，要掌握并運用向量法解空間角和距離問題，要特別重視坐標(biāo)系的建立，同時要加強運算求解能力的訓(xùn)練一、空間向量與空間角在立體幾何中常涉及三類空間角的求解：異面直線所成的角、直線與平面所成的角和兩個平面的夾角.具體如表所示:空間角向量求法范圍異面直線所成的角若異面直線l1,l2所成的角為θ，其方向向量分別是u,v，則cos③(直線與平面所成的角設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ=|cos＜⑥[二面角平面α與平面β相交于直線l，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，?n1,n2?=θ，則二面角α?⑧[兩個平面的夾角若平面α,β的法向量分別是n1,n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的⑨夾角或其⑩補角；設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ=|cos＜?[【提醒】關(guān)注三種角的易錯點1.異面直線所成的角與其方向向量的夾角：當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；否則向量夾角的補角是該異面直線所成的角．2.直線與平面所成的角：在上述求法中要注意的是sinθ=u3.二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時，若求出兩個半平面α，β的法向量n1，n2，則需根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1二、空間向量與距離直線外一點P到直線l的距離如圖，直線l的單位方向向量為u，設(shè)AP=a，則向量AP在直線l上的投影向量AQ=?a?uu，則點P平面外一點P到平面α的距離如圖，已知平面α的法向量為n，A為平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點，過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，n是直線l的方向向量，則點P到平面α的距離PQ=AP?n題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對的打“√”，錯的打“×”）（1）直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(×)（2）兩個平面的法向量所成的角就是這兩個平面的夾角.(×)（3）若直線l平行于平面α，則直線l上各點到平面α的距離相等.(√)（4）若直線l上兩點到平面α的距離相等，則l平行于平面α.(×)2.（易錯題）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB【易錯點】未理解直線與平面所成的角的定義.[解析]建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于AB=2，所以A11,0,1，所以A1C1=?設(shè)平面A1BCA1C令x=2，則y=1，z=2，則n=則sinθ題組2走進教材3.（人教A版選修①P35·T2改編）若正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，OA.32 B.24 C.12[解析]建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D10,0,0，A1,0,1，B1,1,1，O(12,12，0)，C10,14.（人教A版選修①P43·T10改編）設(shè)M，N分別是正方體ABCD?A'B'C'D'的棱BB1[解析]建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=則M2,2,1，N1,則MN=?1,0設(shè)平面A'BCD'故BA'→?n=?2y+2z所以MN與平面A'BCD'題組3走向高考5.[2023·新高考Ⅱ卷改編]如圖，在三棱錐A?BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60[解析]設(shè)DA=由∠ADC=∠ADB=60所以AB=AC=所以BC=所以AB2+AC所以AE=2，AE又BC⊥AE，DE∩BC=E，DE?平面BCD,BC以E為坐標(biāo)原點，ED,EB,EA所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,則E0,0,0，D設(shè)Fx,y所以F?2,0,2，則m?DA→=0m?AB→所以m=又BF=?2,?2則n?即?2x2?2y2+2z2=02y2?考點一空間角［多維探究］異面直線所成的角典例1已知直三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長都相等，M為AA.153 B.53 C.64[解析]取線段AC的中點O，連接BO，則BO⊥AC，設(shè)直三棱柱以點O為原點，OB,OC,AA1的方向分別為x軸、y軸、則A0,?1,0，M所以AM=0,1,2，所以sin<AM故選C.用向量法求異面直線所成的角的一般步驟1.建立空間直角坐標(biāo)系；2.用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；3.利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；4.注意兩異面直線所成角的范圍是(0，π直線與平面所成的角典例2[2022·全國甲卷]如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD//AB,AD（1）求證：BD⊥（2）求PD與平面PAB所成的角的正弦值.[解析]（1）如圖1，在四邊形ABCD中，作DE⊥AB于點E，CF⊥因為CD//AB,AD=CD=所以AE=BF=12，故DE=3因為PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD=D，PD?平面PAD,AD?平面PAD,所以（2）如圖2，以點D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，BD=3，則A1,0,0,B0,設(shè)平面PAB的一個法向量為n=則n?AP→=?x+3z=則cos?n,DP?=n?DP利用空間向量求線面角的解題步驟平面與平面所成的角典例3[2023·新高考Ⅰ卷節(jié)選]如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2,AA1=4.點A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,B[解析]以C為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A22,2,1,則A2C2=?設(shè)平面PA2C則n令z=2，得y=3?設(shè)平面A2C2則m令a=1，得b=1,∴cos?化簡可得，λ2?4λ+3∴P0,2,（一題練透）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，ADAD=DC=AP=2，（1）求異面直線PD與BC所成角的正切值；（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;（3）若F為棱PC上一點,滿足BF⊥AC,求二面角[解析]依題意，以點A為原點,AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得B1,0,0,C2,2,0,（1）PD=0,2,?2=105，則sin＜PD,BC＞=1（2）BE=0,1,1,BD=?1,2,0，PB于是cos＜n,BE即直線BE與平面PBD所成角的正弦值為33（3）BC=1,2,0，由點F在棱PC上,設(shè)CF=λCP,0由BF⊥AC,得BF?解得λ=34，即BF=(?1設(shè)n1=a,b,不妨令c=1,可得取平面ABP的一個法向量為n2=0易知二面角F?AB?考點二空間距離［多維探究］點到直線的距離典例4[2024·徐州模擬]如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，各棱長均為4，N[解析]建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，BAC1=0,4,設(shè)點C1到直線AB的距離為d則d=用向量法求點線距的三個步驟1.求出直線的單位方向向量a；2.求出所求點P到直線上一點P'的向量PP'及其在直線方向向量3.代入公式計算.點到平面、線到平面的距離典例5（1）（同源變式）將典例4中的設(shè)問“求點C1到直線AB的距離”改為“求點C1到平面（2）（同源變式）將典例4中的條件“N是CC1的中點”改為“M,N分別是AA1,CC[解析]（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，B由N是CC1的中點，則N0,4設(shè)平面ABN的一個法向量為n=x令z=2，則y=?1，x=33，得n設(shè)點C1到平面ABN的距離為d，則d（2）易知MC1//AN,則直線MC1到平面用向量法求點面距的四個步驟1.建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；2.求點坐標(biāo)：寫出（求出）相關(guān)點的坐標(biāo)；3.求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(AP,平面α內(nèi)兩個不共線的向量，平面α的法向量n4.求距離：d=【注意】用向量法求線面距，先利用平行轉(zhuǎn)化為求點面距，再參照上述四個步驟.[2024·江蘇模擬]（一題練透）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E，F(xiàn)分別為AB（1）求點D到平面