新教材蘇教版必修第二冊第14章14.22分層抽樣

14.2.2分層抽樣

■》基礎(chǔ)認(rèn)知-自主學(xué)習(xí)《

【自我小測】

1.下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是()

A.從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì)

B.一次數(shù)學(xué)競賽中，某班有10人在110分以上，40人在90-110

分，12人低于90分，現(xiàn)從中抽取12人了解有關(guān)情況

C.從1000名工人中，抽取100名調(diào)查上班途中所用時(shí)間

D.從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量

【解析】選B.A中總體個(gè)體無明顯差異且個(gè)數(shù)較少，適合用簡單隨機(jī)

抽樣Q和D中總體個(gè)體無明顯差異且個(gè)數(shù)較多不適于用分層抽樣；

B中總體個(gè)體差異明顯，適合用分層抽樣.

2.經(jīng)調(diào)查，在某商場掃碼支付的老年人，中年人，青年人的比例為

2：3：5,用分層抽樣的方法抽取了一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，

其中中年人數(shù)為9,則n=()

A.30B.40C.60D.80

【解析】選A.因?yàn)槔夏耆耍心耆?，青年人的比例?：3：5,又中

年人為9人,所以老年人為6人，青年人為15人，所以n=6+9+

15=30.

3.（教材練習(xí)改編）某學(xué)校高一、高二、高三三個(gè)年級共有學(xué)生3500

人，其中高三學(xué)生數(shù)是高一學(xué)生數(shù)的兩倍,高二學(xué)生數(shù)比高一學(xué)生數(shù)

多300人，現(xiàn)在按擊的抽樣比用分層抽樣的方法抽取樣本，則應(yīng)抽

取高一學(xué)生數(shù)為（）

A.8B.11C.162D.10

【解析】選A.若設(shè)高三學(xué)生數(shù)為x,則高一學(xué)生數(shù)為力,高二學(xué)生數(shù)

為/+300,所以有x+|+|+300=3500,解得x=1600.故高一

學(xué)生數(shù)為800,因此應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為黑=8.

4.在距離2016年央視春晚直播不到20天的時(shí)候，某節(jié)目被取消，

為此，某網(wǎng)站針對“是否支持該節(jié)目上春晚”對網(wǎng)民進(jìn)行調(diào)查，得到如

下數(shù)據(jù)：

網(wǎng)民態(tài)度支持反對無所謂

人數(shù)（單位：人）8000600010000

若采用分層抽樣的方法從中抽取48人進(jìn)行座談，則持“支持”態(tài)度的

網(wǎng)民抽取的人數(shù)為.

【解析】由分層抽樣的方法，得持“支持”態(tài)度的網(wǎng)民抽取的人數(shù)為

80001

48x----------------------------=48XT=16.

8000+6000+100003

答案：16

5.某縣共有320個(gè)自然村，其中山區(qū)32個(gè)，丘陵地區(qū)240個(gè)，平原

地區(qū)48個(gè).為調(diào)查村民收入狀況，要從中抽出20個(gè)村進(jìn)行調(diào)查，試

設(shè)計(jì)一種比較合理的抽樣方案，并簡述抽樣過程.

【解析】由于各地區(qū)自然條件的限制，各地區(qū)村民的經(jīng)濟(jì)收入有較大

差異，故采用分層抽樣法較為合理.

因?yàn)槠?2，所以按E的比例抽取，應(yīng)在山區(qū)抽取32x表=

J乙UU.LkJ.L

2（個(gè)），丘陵地區(qū)抽取240x卷=15（個(gè)），平原地區(qū)抽取48拈=3（個(gè)）.

具體實(shí)施過程：對于山區(qū)和平原地區(qū)，由于自然村數(shù)量較少，可采用

抽簽法，具體實(shí)施過程略.對于丘陵地區(qū)，自然村個(gè)數(shù)較多且差異不

大,可采取隨機(jī)數(shù)表法.首先將240個(gè)村按001,002,240編號,

然后用隨機(jī)數(shù)表法抽取15個(gè).這樣便得到了一個(gè)容量為20的樣本.

》學(xué)情診斷,課時(shí)測評《

【基礎(chǔ)全面練】

一、單選題

1,某學(xué)校為了了解三年級、六年級、九年級這三個(gè)年級之間的學(xué)生

的課業(yè)負(fù)擔(dān)情況，擬從這三個(gè)年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)

查，則最合理的抽樣方法是（）

A.抽簽法B.簡單隨機(jī)抽樣

C.分層抽樣D.隨機(jī)數(shù)表法

【解析】選C.根據(jù)年級不同產(chǎn)生差異及按人數(shù)比例抽取易知應(yīng)為分

層隨機(jī)抽樣.

2.下列試驗(yàn)中最適合用分層抽樣方法抽樣的是（）

A.從一箱3000個(gè)零件中抽取5個(gè)入樣

B.從一箱3000個(gè)零件中抽取600個(gè)入樣

C.從一箱30個(gè)零件中抽取5個(gè)入樣

D.從甲廠生產(chǎn)的100個(gè)零件和乙廠生產(chǎn)的200個(gè)零件中抽取6個(gè)入

樣

【解析】選D.D中總體有明顯差異，故用分層抽樣.

3.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題，“今有北鄉(xiāng)8758

人，西鄉(xiāng)有7236人，南鄉(xiāng)有8356人，現(xiàn)要按人數(shù)多少從三個(gè)鄉(xiāng)共

征集487人，問從各鄉(xiāng)征集多少人.”在上述問題中，需從南鄉(xiāng)征集

的人數(shù)大約是（）

A.112B.128C.145D.167

487

【解析】選D.從南鄉(xiāng)征集的人數(shù)大約是8356x----------------------

8758+7236+8356

-167（A）.

4.甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生,丙校有1800名學(xué)生,

為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分層隨機(jī)抽樣法抽取一個(gè)容

量為90的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生（）

A.30人，30人，30人B.30人，45人，15人

C.20人，30人，40人D.30人，50人，10人

【解析】治二…R—--=告，然后各層按抽樣比分別

N3600+5400+1800120

抽取，

甲校抽取3600x卷=30（人），

乙校抽取5400x卷=45（人）,

丙校抽取1800x卷=15（人）.

5.某實(shí)驗(yàn)中學(xué)共有職工150人，其中高級職稱的職工15人，中級職

稱的職工45人，普通職員90人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取容量為

30的樣本，則抽取的高級職稱、中級職稱、普通職員的人數(shù)分別為

（）

A.5,10,15B.3,9,18

C.3,10,17D.5,9,16

【解析】選B.分層抽樣是按比例抽取的，

設(shè)抽取的高級職稱的職工、中級職稱的職工、普通職員的人數(shù)分別為

abc30

a,b,c,貝U記二石二麗二詢，解彳導(dǎo)a=3,b=9,c=18.

6.交通管理部門為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員（簡稱駕駛員）對某新法規(guī)的知

曉情況，對甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層抽樣調(diào)查，假設(shè)四個(gè)社區(qū)

駕駛員的總?cè)藬?shù)為N,其中甲社區(qū)有駕駛員96人.若在甲、乙、丙、

丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43,則這四個(gè)社

區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為()

A.101B.808

C.1212D.2012

【解析】選B.因?yàn)榧咨鐓^(qū)有駕駛員96人，并且在甲社區(qū)抽取的駕駛

員的人數(shù)為12人，

121

所以四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的比例為甚,

所以駕駛員的總?cè)藬?shù)為(12+21+25+43)《=808(A).

二、多選題

7.某高校大一新生中，來自東部地區(qū)的學(xué)生有2400人、中部地區(qū)

學(xué)生有1600人、西部地區(qū)學(xué)生有1000人.從中選取100人為樣本

調(diào)研飲食習(xí)慣，為保證調(diào)研結(jié)果相對準(zhǔn)確，下列判斷正確的有()

①用分層抽樣的方法分別抽取東部地區(qū)學(xué)生48人、中部地區(qū)學(xué)生32

人、西部地區(qū)學(xué)生20人；

②用簡單隨機(jī)抽樣的方法從新生中選出100人；

③西部地區(qū)學(xué)生小劉被選中的概率為去；

④中部地區(qū)學(xué)生小張被選中的概率為亍篇.

A.①B.②C.③D.④

【解析】選AC.A.由分層抽樣的概念可知，取東部地區(qū)學(xué)生

2400

lOOx-=48人、中部地區(qū)學(xué)生

2400+1600+1000

1600

100x=32人、西部地區(qū)學(xué)生

2400+1600+1000

1000

100x=20人，題中的說法正確；

2400+1600+1000

____________100_________________1_

,題中的說法正確；

2400+1600+1000—50

____________100_________________1_

,題中的說法錯(cuò)誤；

2400+1600+1000—50

綜上可得，正確的說法是AC.

8.為了保證分層抽樣時(shí)，每個(gè)個(gè)體等可能地被抽取，下列說法不正

確的是()

A.每層的個(gè)體數(shù)必須一樣多

B.每層抽取的個(gè)體數(shù)相等

C.每層抽取的個(gè)體可以不一樣多，但必須滿足抽取《二(i=l,

2,,k)個(gè)個(gè)體，其中k是層數(shù)，n是抽取的樣本容量，N是第i層

所包含的個(gè)體數(shù)，N是總體容量

D.只要抽取的樣本容量一定，每層抽取的個(gè)體數(shù)沒有限制

【解析】選ABD.每層的個(gè)體數(shù)不一定都一樣多，所以選項(xiàng)A不正確；

又因?yàn)橛捎诿繉拥娜萘坎灰欢ㄏ嗟龋繉映橥瑯佣嗟膫€(gè)體，從整個(gè)總

體來看，各層之間的個(gè)體被抽取的可能性顯然就不一樣了，所以選項(xiàng)

B不正確；

對于第i層的每個(gè)個(gè)體，它被抽到的可能性與層數(shù)i無關(guān)，即對于每

個(gè)個(gè)體來說，被抽入樣本的可能性是相同的，所以選項(xiàng)C正確；

每層抽取的個(gè)體數(shù)是有限制的，所以選項(xiàng)D不正確.

三、填空題

9.我校高一、高二、高三共有學(xué)生2400名，為了了解同學(xué)們對“智

慧課堂”的意見，計(jì)劃采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從這2400名學(xué)生

中抽取一個(gè)容量為48的樣本.若從高一、高二、高三抽取的人數(shù)恰

好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù)，則我校高二年級的學(xué)生人數(shù)為

【解析】設(shè)從高一年級抽取的學(xué)生人數(shù)為2x,則從高二、高三年級

抽取的人數(shù)分另(J為2x+2,2x+4.由題意可得2x+(2x+2)+(2x+4)

二48,所以x=7.故高二年級抽取16人，設(shè)我校高二年級的學(xué)生人數(shù)

為N,再根據(jù)擊=N，求得N=800.

答案：800

10.某高中各年級男、女生人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：

高一高二IWJ—

男生592563520

528517a

按年級分層隨機(jī)抽樣，若抽取該校學(xué)生80人中，高二學(xué)生有27人,

則表中a=

80

【解析】由題意可得一

592+563+520+528+517+a

27

求得a=480.

563+517

答案：480

四、解答題

11.某校高一年級500名學(xué)生中，血型為O型的有200人，血型為A

型的有125人，血型為B型的有125人，血型為AB型的有50人.為

了研究血型與色弱的關(guān)系，要從中抽取一個(gè)容量為40的樣本，每種

血型各有多少人？

【解析】因?yàn)?0-500=%，所以應(yīng)用分層抽樣抽取血型為O型的房

x200=16(A),A型的靠xl25=10(A),B型的京xl25=10(A),

AB型的如x50=4(A).

12.為了對某課題進(jìn)行討論研究，用分層抽樣的方法從三所高校A,

B,C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成研究小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表(單

位:人).

高校相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)

AX1

B36y

C543

⑴求x,y；

(2)若從高校B相關(guān)人員中選2人作專題發(fā)言，應(yīng)采用什么抽樣方法,

請寫出合理的抽樣過程.

【解析】(D分層抽樣是按各層相關(guān)人數(shù)和抽取人數(shù)的比例進(jìn)行的，

x]36

所以有意=§=x=18,次/=y=2.故x=18,y=2.

(2)總體容量和樣本容量較小，所以應(yīng)采用抽簽法，過程如下：

第一步，將36人隨機(jī)編號，號碼為1,2,3,,36；

第二步，將號碼分別寫在相同的紙片上，揉成團(tuán)，制成號簽；

第三步，將號簽放入一個(gè)不透明的容器中，充分?jǐn)噭?，依次不放回?/p>

抽取2個(gè)號碼，并記錄上面的編號；

第四步，把與號碼相對應(yīng)的人抽出，即可得到所要的樣本.

【綜合突破練】

一、選擇題

1.某校做了一次關(guān)于“感恩父母”的問卷調(diào)查，從8~10歲，11~12

歲，13~14歲，15~16歲四個(gè)年齡段回收的問卷依次為：120份，

180份，240份，x份.因調(diào)查需要，從回收的問卷中按年齡段分層

抽取容量為300的樣本，其中在11-12歲學(xué)生問卷中抽取60份，則

在15~16歲學(xué)生中抽取的問卷份數(shù)為（）

A.60B.80C.120D.180

【解析】選C.從11~12歲的學(xué)生中回收180份問卷，從中抽取60

份，則抽樣比為1.

因?yàn)閺幕厥盏膯柧碇邪茨挲g段分層抽取容量為300的樣本，

所以從8~10歲，11~12歲，13~14歲，15~16歲四個(gè)年齡段回收

的問卷總數(shù)為羋=900（份），則15~16歲回收問卷份數(shù)為x=900

3

-120-180-240=360（份）.

所以在15~16歲學(xué)生中抽取的問卷份數(shù)為360x1=120（份）.

2.當(dāng)前，國家正分批修建經(jīng)濟(jì)適用房以解決低收入家庭住房緊張的

問題.已知甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭360戶、270戶、

180戶，若第一批經(jīng)濟(jì)適用房中有90套住房用于解決這三個(gè)社區(qū)中

90戶低收入家庭的住房問題，采用分層抽樣的方法決定各社區(qū)戶數(shù),

則應(yīng)從甲社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為（）

A.40B.30C.20D.36

【解析】7一7907―-=11，則應(yīng)從甲社區(qū)中抽取低收入家庭的戶

360+270+1809

數(shù)為360x1=40.

3.（多選）某單位老年人、中年人、青年人的人數(shù)分布如表，用分層

抽樣的方法抽取17人進(jìn)行單位管理問卷調(diào)查，若抽到3位老年人，

則下列說法正確的為（）

類別人數(shù)

老年人15

中年人?

青年人40

A.抽到8位青年人B.抽到6位中年人

C.中年人有6人D.中年人有30人

3

【解析】選ABD.設(shè)該單位的中年人的人數(shù)為x，則由題表可知，石

17

-15+X+40'

_17

解得x=30.因此在抽取的17人中，中年人的人數(shù)為30x

15+30+40

=6.

由抽樣比可知抽到的青年人為8人.

二、填空題

4.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,

400,300,100件,為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上

所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取

件.

【解析】應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取6()*焉=18件.

答案：18

5.一班有學(xué)員54人，二班有學(xué)員42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法

從兩個(gè)班中抽出一部分人參加4x4方隊(duì)進(jìn)行軍訓(xùn)表演，則一班和二班

分別被抽取的人數(shù)是

【解析】設(shè)一班被抽取的人數(shù)是x,

嗚二二，解得x

所以一班被抽取的人數(shù)是9,二班被抽取的人數(shù)是16-9=7.

答案：9,7

6某公司生產(chǎn)三種型號的轎車產(chǎn)量分別為1200輛,6000輛和2000

輛.為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛轎車

進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號的轎車依次應(yīng)抽取的輛數(shù)為.

【解析】設(shè)三種型號的轎車依次應(yīng)抽取x輛，y輛，z輛，則有

x______y______z八"'

<逅而=6000=赤面，解得｛y=