第八章　第五節(jié)　空間向量的運算及其坐標表示

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第五節(jié)空間向量的運算及其坐標表示【課標解讀】【課程標準】1.了解空間直角坐標系,會用空間直角坐標系刻畫點的位置;探索并得出空間兩點間的距離公式.2.了解空間向量的概念、空間向量基本定理、空間向量投影的概念及其意義.3.掌握空間向量的線性運算、數量積的運算及其坐標表示.【核心素養(yǎng)】直觀想象、數學運算、邏輯推理.【命題說明】考向考法常以空間向量的表示為載體,考查空間向量投影、線性運算、數量積的運算.空間向量數量積的運算是高考熱點,在選擇題或填空題中體現.預測2025年高考本節(jié)內容仍會與立體幾何知識結合考查,試題難度中檔.【必備知識·逐點夯實】知識梳理·歸納1.空間向量有關概念(1)單位向量:模為1的向量.(2)共線向量:如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫做共線向量或平行向量.(3)共面向量:平行于同一個平面的向量.微點撥(1)零向量與任意向量平行;(2)空間中任意兩個向量是共面向量,任意三個向量不一定是共面向量.2.空間向量有關定理(1)共線向量定理:對空間中任意兩個向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數λ,使a=λb.(2)共面向量定理:如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x,y),使p=xa+yb.(3)空間向量基本定理:如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序實數組(x,y,z),使p=xa+yb+zc.a,b,3.空間向量有關運算設a=a1,a2,a3,b=(b1(1)坐標運算:則a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R.(2)數量積運算:a·b=a1b1+a2b2+a3b3=|a||b|cos<a,b>.微點撥向量a在向量b方向上的投影向量:acos<a,b>·bb=a·b4.空間向量有關公式(1)空間兩點間距離公式已知P1x1,y1,z1,P(2)空間兩點的中點公式設點P(x,y,z)為P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中點,則x=(3)空間向量共線與垂直公式若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),其中b≠0,則a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2+z1z2=0.a∥b?a=λb?x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).(4)空間向量模與夾角公式若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則|a|=a·a=cos〈a,b〉=a·b|常用結論1.在平面中A,B,C三點共線的充要條件是:OA=xOB+yOC(其中x+y=1),O為平面內任意一點.2.在空間中P,A,B,C四點共面的充要條件是:OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1),O為空間中任意一點.3.向量的數量積滿足交換律、分配律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不滿足結合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.4.在利用MN=xAB+yAC證明MN∥平面ABC時,必須說明M點或N點不在平面ABC內.基礎診斷·自測類型辨析改編易錯題號12,341.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)直線的方向向量是唯一確定的.(×)提示:(1)直線的方向向量不是唯一的,有無數多個;(2)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行,則a∥α.(×)提示:(2)a⊥α;(3)若{a,b,c}是空間的一個基底,則a,b,c中至多有一個零向量.(×)提示:(3)若a,b,c中有一個是0,則a,b,c共面,不能構成空間的一個基底;(4)若a·b<0,則<a,b>是鈍角.(×)提示:(4)若<a,b>=π,則a·b<0.2.(選擇性必修一P6T5·變形式)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為A1C1與B1D1的交點.若AB=a,AD=b,AA1=c,則下列向量中與BM相等的向量是(A.-12a+12b+c B.12a+1C.-12a-12b+c D.12a-1【解析】選A.BM=BB1+B1M=AA1+12(AD-AB)=c+12(b-a)=-3.(選擇性必修一P5例1·變形式)若a與b不共線,且m=a+b,n=a-b,p=a,則()A.m,n,p共線 B.m與p共線C.n與p共線 D.m,n,p共面【解析】選D.因為(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=12m+12n,又m與n不共線,所以m,n,p4.(忘記開方導致錯誤)正四面體ABCD的棱長為2,E,F分別為BC,AD的中點,則EF的長為.

【解析】|EF|2=EF2=(EC+CD+DF)2=EC2+CD2+DF2+2(EC·CD+EC·DF+=12+22+12+2(1×2×cos120°+0+2×1×cos120°)=2,所以|EF|=2,所以EF的長為2.答案:2【核心考點·分類突破】考點一空間向量的線性運算[例1](1)(2023·武漢模擬)如圖,M是四面體OABC的棱BC的中點,點N在線段OM上,且MN=13OM,設OA=a,OB=b,OC=c,則下列向量與AN相等的向量是(A.-a+13b+1B.a+13b+1C.-a+16b+1D.a+16b+1【解析】選A.因為M是四面體OABC的棱BC的中點,MN=13OM所以AN=ON-OA=23OM-OA=23×12(OB+OC)-OA=13OB+13OC-OA=-(2)在三棱柱A1B1C1-ABC中,D是四邊形BB1C1C的中心,且AA1=a,AB=b,AC=c,則A1A.12a+12b+B.12a-12b+C.12a+12b-D.-12a+12b+【解析】選D.A1D=A1A=-AA1+AB+12(B=-AA1+AB+12AA1+=-12AA1+12AB+12AC=-1解題技法用已知向量表示某一向量的三個關鍵點(1)用已知向量來表示某一向量,一定要結合圖形,以圖形為指導是解題的關鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數乘運算的幾何意義,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量.(3)在立體幾何中,三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.對點訓練如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點,試用a,b,(1)AP;【解析】(1)因為P是C1D1的中點,所以AP=AA1+A1D1+D1=a+c+12AB=a+c+1(2)A1【解析】(2)因為N是BC的中點,所以A1N=A1A+AB+BN=-a=-a+b+12AD=-a+b+1(3)MP+NC【解析】(3)因為M是AA1的中點,所以MP=MA+AP=12A=-12a+a+c+12b=1又NC1=NC+CC1=12BC=12c+a所以MP+NC1=1=32a+12b+3考點二共線、共面向量的應用[例2](1)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值可以是()A.2,12 B.-13,12 C.-3,2 【解析】選A.因為a∥b,所以設b=xa,所以x(解得μ=12(2)如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形,E為棱AB的中點,AF=13AD,AG=2GA1,AC1與平面EFG交于點M,則【解析】由題可設AM=λAC因為AC1=AB+AD=2AE+3AF+32所以AM=2λAE+3λAF+32λAG因為M,E,F,G四點共面,所以2λ+3λ+32λ=1,解得λ=2答案:2(3)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M和N分別是矩形ABCD和BB1C1C的中心,若點P滿足DP=mDA+nDM+kDN,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,則點P可以是正方體表面上的點.

【解析】因為點P滿足DP=mDA+nDM+kDN,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,所以點A,M,N,P四點共面,又因為M和N分別是矩形ABCD和BB1C1C的中心,所以CN=B1N,AM=MC,連接MN,AB1,則MN∥AB1,所以△AB1C即為經過A,M,N三點的平面與正方體的截面,故P點可以是正方體表面上線段AB1,B1C,AC上的點.答案:線段AB1(線段B1C或線段AC)上(答案不唯一)解題技法1.共線、共面向量定理的應用(1)向量共線可以用來判斷直線平行、三點共線;(2)向量共面可以用來判斷直線與平面平行,四點共面;(3)根據向量共線和向量共面求參數取值;(4)與a同向的單位向量為aa,反向的單位向量為-aa,共線的單位向量為±2.證明四點P,M,A,B共面的方法(1)MP=xMA+yMB;(2)對空間任意一點O,OP=OM+xMA+yMB;(3)對空間任意一點O,OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1);(4)PM∥AB或PA∥MB或PB∥AM.對點訓練1.已知空間中A,B,C,D四點共面,且其中任意三點均不共線,設P為空間中任意一點,若BD=6PA-4PB+λPC,則λ等于()A.2 B.-2 C.1 D.-1【解析】選B.BD=6PA-4PB+λPC,即PD-PB=6PA-4PB+λPC,整理得PD=6PA-3PB+λPC,由A,B,C,D四點共面,且其中任意三點均不共線,可得6-3+λ=1,解得λ=-2.2.在空間直角坐標系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四點共面,則()A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0C.x-y+z=-4 D.x+y-z=0【解析】選A.因為A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),所以AB=(0,1,-1),AC=(-2,2,2),AD=(x-1,y-1,z+2).因為A,B,C,D四點共面,所以存在實數λ,μ使得AD=λAB+μAC,即(x-1,y-1,z+2)=λ(0,1,-1)+μ(-2,2,2),所以x-1=-2μy-1=考點三空間向量的數量積及應用[例3](1)在正三棱錐P-ABC中,O是△ABC的中心,PA=AB=2,則PO·PA等于()A.59 B.63 C.423 【解析】選D.因為P-ABC為正三棱錐,O為△ABC的中心,所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥AO,所以PO·OA=0,|AO|=23·|AB|·sin60°=2故PO·PA=PO·(PO+OA)=|PO|2=|AP|2-|AO|2=4-43=8(2)已知A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4).①求<AB,BC>;【解析】①因為A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4),所以AB=(0,3,3),BC=(2,-2,0).因為AB·BC=0×2+3×(-2)+3×0=-6,|AB|=32,|BC|=22,所以cos<AB,BC>=AB·BC|AB||故<AB,BC>=2π3②求AC在AB上的投影向量.【解析】②因為AC=(2,1,3),AB=(0,3,3),所以AC·AB=0+1×3+3×3=12.因為|AB|=32,|AC|=14,所以cos<AC,AB>=AC·AB|AC||所以AC在AB上的投影向量為|AC|cos<AC,AB>·AB|AB|=14×277×解題技法空間向量數量積的應用對點訓練1.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O為坐標原點,OA+λOB與OB的夾角為120°,則λ的值為()A.±66 B.66 C.-66 【解析】選C.由于OA+λOB=(1,-λ,λ),OB=(0,-1,1),則cos120°=λ+λ1+2λ2·2=-12,解得λ=±66.2.已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.(1)求線段AC1的長;【解析】(1)如圖所示,設AB=a,AD=b,AA1=則|a|=|b|=1,|c|=2.a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos120°=-1.因為AC1=AB+BC+CC1=a+所以|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·