1.1.3集合的基本運(yùn)算（4知識(shí)點(diǎn)8題型鞏固訓(xùn)練）

1.1.3集合的基本運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解兩個(gè)集合的并集與交集、全集和補(bǔ)集的含義；2.掌握求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的交集與并集的方法；3.會(huì)求給定子集的補(bǔ)集.1.對(duì)集合兩個(gè)集合的交集、并集、全集概念的理解；2.補(bǔ)集的理解；3.會(huì)求集合間的交集、并集及其補(bǔ)集的運(yùn)算；4.在借助Venn圖理解集合的基本運(yùn)算.體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想；5.通過觀察身邊的實(shí)例，發(fā)現(xiàn)集合間的基本運(yùn)算，體驗(yàn)其現(xiàn)實(shí)意義。知識(shí)點(diǎn)01交集自然語言一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集(unionset)，記作A∪B(讀作“A并B”)，符號(hào)語言A∪B＝{x|x∈A，且x∈B},圖形語言可用Venn圖表示．2.交集常用的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)定義滿足交換律空集與任何集合的交集都是空集集合與集合本身的交集仍為集合本身多個(gè)集合的交集滿足結(jié)合律若，則交集關(guān)系與子集關(guān)系的轉(zhuǎn)化兩個(gè)集合的交集是其中任一集合的子集3、解題思路：?jiǎn)蝹€(gè)數(shù)字交集找相同，不等式的交集畫數(shù)軸，不同集合高度畫不同?！炯磳W(xué)即練1】（2024·全國(guó)·高一）設(shè)集合A=xx≥1，A．xx>?1 B．xx≥1 【答案】D【分析】由題意結(jié)合交集的定義可得結(jié)果.【詳解】由交集的定義結(jié)合題意可得：A∩故選：D.【即學(xué)即練2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）設(shè)集合A={x|?1≤x≤2}A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤【答案】A【分析】利用交集的定義即可求解.【詳解】由題意可知，Venn圖陰影區(qū)域表示的集合是A∩所以A∩故選：A.【即學(xué)即練3】（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合M=x,【答案】0,2【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可.【詳解】由題意可得M∩N=x,故答案為：0,2知識(shí)點(diǎn)02并集自然語言一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交B”)，符號(hào)語言A∩B＝{x|x∈A，或x∈B}圖形語言可用Venn圖表示．2.并集的常用運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)定義滿足交換律任何集合與其本身的并集等于這個(gè)集合本身任何集合與空集的并集等于這個(gè)集合本身多個(gè)集合的并集滿足結(jié)合律,任何集合都是該集合與另一個(gè)集合并集的子集任何集合與它子集的并集都是它本身，反之亦然3、解題思路：兩個(gè)集合所有元素集中在一起，但重復(fù)元素只寫一次，要滿足集合中的互異性【即學(xué)即練4】（2024春·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）已知集合A=0,1,2，B=A．?1,1,2 B．0,1,2 C．?1,0 D．?1,0,1,2【答案】D【分析】根據(jù)并集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)锳=0,1,2，所以A∪故選：D【即學(xué)即練5】（2024·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合A=a,5?a,4，BA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)并集的結(jié)果，分類討論當(dāng)2a+1=2、【詳解】A={當(dāng)2a+1=2即a=當(dāng)2a+1=5即a=2時(shí)，A所以a=2故選：B.知識(shí)點(diǎn)03全集與補(bǔ)集1．全集(1)定義：如果一個(gè)集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集．(2)記法：全集通常記作U.2．補(bǔ)集自然語言對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，記作?UA符號(hào)語言?UA＝{x|x∈U，且x?A}圖形語言可用Venn圖表示．3.補(bǔ)集的常用運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)定義任何集合與其補(bǔ)集的并集為全集任何集合與其補(bǔ)集的交集為空集任何集合補(bǔ)集的補(bǔ)集為集合本身全集的補(bǔ)集為空集，空集的補(bǔ)集為全集【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看題目的?！炯磳W(xué)即練7】（2023春·貴州·高一貴州師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合A=x2≤x≤5A．2,4,5 B．x2≤xC．x2≤x≤3或4≤x≤5【答案】B【分析】利用補(bǔ)集的定義可求得集合?A【詳解】因?yàn)榧螦=x2≤x≤5，B故選：B.【即學(xué)即練8】（2024秋·山西大同·高一統(tǒng)考期末）已知集合A=1,2,3,4,5,6，B=2,3，A．2,4,6 B．1,3,4,5,6 C．4,6 D．2【答案】C【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)榧螦=1,2,3,4,5,6，B=所以?AB=故選：C.知識(shí)點(diǎn)04德摩根律與容斥原理1、德摩根定律：設(shè)集合U為全集，A、B為U的子集，則有（1）（2）2、容斥原理：在部分有限集中，我們經(jīng)常遇到有關(guān)集合中元素的個(gè)數(shù)問題，常用Venn圖表示兩集合的交、并、補(bǔ)。如果用card表示有限集合元素的個(gè)數(shù)，即card（A）表示有限集A的元素個(gè)數(shù)，則有如下結(jié)論：（1）（2）【即學(xué)即練9】（2024秋·河南洛陽·高一?？茧A段練習(xí)）移動(dòng)支付、高鐵、網(wǎng)購與共享單車被稱為中國(guó)的新“四大發(fā)明”.某中學(xué)為了解本校學(xué)生中新“四大發(fā)明”的普及情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中使用過移動(dòng)支付或共享單車的學(xué)生共90位，使用過移動(dòng)支付的學(xué)生共有80位，使用過共享單車且使用過移動(dòng)支付的學(xué)生共有60位，則該校使用共享單車的學(xué)生人數(shù)為（

）A．50 B．60 C．70 D．80【答案】C【分析】由題意可知：只使用過共享單車但沒使用過移動(dòng)支付的學(xué)生有10人，使用過共享單車且使用過移動(dòng)支付的學(xué)生共有60位，再計(jì)算即可得解.【詳解】根據(jù)題意使用過移動(dòng)支付、共享單車的人數(shù)用韋恩圖表示如下圖，使用過共享單車或移動(dòng)支付的學(xué)生共有90位，使用過移動(dòng)支付的學(xué)生共有80位，則可得：只使用過共享單車但沒使用過移動(dòng)支付的學(xué)生有9080=10人，又使用過共享單車且使用過移動(dòng)支付的學(xué)生共有60位，即使用過共享單車的學(xué)生人數(shù)為10+60=70，故選:C.難點(diǎn)：交集、并集性質(zhì)的運(yùn)用示例1：已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若??(A∩B)，且A∩C＝?，求a審結(jié)論(明解題方向)審條件(挖解題信息)求a的值，需建立關(guān)于a的方程(1)集合A，B，C是由相應(yīng)方程的解構(gòu)成的，先要解方程求B，C.(2)由??(A∩B)，知A∩B≠?，結(jié)合A∩C建關(guān)系——找解題突破口??(A∩B)，A∩C＝?→確定集合A中的元素【解析】A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{2，3}，C＝{－4，2}．因?yàn)??(A∩B)，且A∩C＝?那么3∈A，故9－3a＋a2－19＝0.即a2－3a－10＝0.所以a＝－2或a＝5.當(dāng)a＝－2時(shí)A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合題意．當(dāng)a＝5時(shí)A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，不符合A∩C＝?.綜上知，a＝－2.【方法歸納】(1)連續(xù)數(shù)集求交、并集借助數(shù)軸采用數(shù)形結(jié)合法．(2)利用A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A注意事項(xiàng)：(1)借助數(shù)軸求交、并集時(shí)注意端點(diǎn)的實(shí)虛．(2)關(guān)注Venn圖在解決復(fù)雜集合關(guān)系中的作用．難點(diǎn)：補(bǔ)集思想的應(yīng)用示例2：已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若A∩B≠?，【分析】①A∩B＝?，對(duì)于集合A而言，分A＝?與A≠?兩種情況.A＝?表示方程無實(shí)根．②B＝{x|x＜0}，而A∩B＝?，故A?{x|x≥0}，即已知方程的根為非負(fù)實(shí)根．③Δ≥0保證了A≠?，即原方程有實(shí)根；x1+x2≥0與x1x2④由于A∩B≠?，故方程x2－4x＋2m＋6＝0一定有解，故我們還可以設(shè)全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此時(shí)，{m|－3≤m≤－1}關(guān)于U的補(bǔ)集也是{m|m＜－3}，結(jié)果相同．【解析】先求A∩B＝?時(shí)m的取值范圍．(1)當(dāng)A＝?時(shí)，①方程x2－4x＋2m＋6＝0無實(shí)根，所以Δ＝(－4)2－4(2m＋6)＜0，解得m＞－1.(2)當(dāng)A≠?，A∩B＝?時(shí)，方程x2－4x＋2m＋6＝0的根為非負(fù)實(shí)根．設(shè)方程x2－4x＋2m＋6＝0的兩根為x1，x2，則Δ=?42?42m+6≥0，x1綜上，當(dāng)A∩B＝?時(shí)， m的取值范圍是{m|m≥－3}．又因?yàn)閁＝R，④所以當(dāng)A∩B≠m的取值范圍是?R{m|m≥－3}＝{m|m<－3}．所以，A∩B≠?時(shí)，m的取值范圍是{m|【方法歸納】(1)運(yùn)用補(bǔ)集思想求參數(shù)范圍的方法：①否定已知條件，考慮反面問題；②求解反面問題對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍；③將反面問題對(duì)應(yīng)參數(shù)的范圍取補(bǔ)集．(2)補(bǔ)集思想適用的情況：從正面考慮，情況較多，問題較復(fù)雜的時(shí)候，往往考慮運(yùn)用補(bǔ)集思想．【題型1：交集的運(yùn)算】例1．（2024·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由交集定義可得答案.【詳解】由題，.故選：B變式1．（2024·浙江·高二）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用自然數(shù)集的定義與集合的基本運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C.變式2．（甘肅省20232024學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由交集的概念進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】對(duì)于集合，,又∵，∴由交集的概念，.故選：A.變式3．（2024·河北唐山·高二期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先得到，從而求出交集.【詳解】集合，集合，所以.故選：A.變式4．（山東省濟(jì)寧市20232024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用集合的交集運(yùn)算即可；【詳解】，，又，故選：C.變式5．（陜西省漢中市20232024學(xué)年高二下學(xué)期期末校際聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）已知集合，或，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義求解作答.【詳解】集合，或，所以.故選：A變式6.（2024·高一·練習(xí)）已知A＝{x|x≤1}，B＝{y|y≥0}，則集合A∩B等于()A．?B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<x<1}【答案】C【解析】利用數(shù)軸，容易得到答案。變式7．（2024·天津和平·高一耀華中學(xué)?？计谥校┤艏希?，則.【答案】【分析】由題意得，4，2，，再求即可．【詳解】，1，3，，，，4，2，，故，，故答案為：，．變式8．（2024·四川綿陽·高二期末）集合，則的元素個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】A【分析】聯(lián)立兩個(gè)集合中的方程，解方程即可得到兩個(gè)集合交集的元素，從而得到結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?lián)立方程可得，解得或，所以，則集合中的元素個(gè)數(shù)為2.故選：A.變式9.（2024·高二·練習(xí)）已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，則A∩B＝________.【答案】{(0,1)，(－1,2)}【解析】A，B都表示點(diǎn)集，A∩B即是由A中在直線x＋y－1＝0上的所有點(diǎn)組成的集合，代入驗(yàn)證即可．【方法技巧與總結(jié)】1、對(duì)交集概念的理解(1)對(duì)于“A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}”，包含以下兩層意思：①A∩B中的任一元素都是A與B的公共元素；②A與B的公共元素都屬于A∩B，這就是文字定義中“所有”二字的含義，如A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，則A∩B＝{2，3}，而不是{2}或{3}．(2)任意兩個(gè)集合并不是總有公共元素，當(dāng)集合A與B沒有公共元素時(shí)，不能說A與B沒有交集，而是A∩B＝?.(3)當(dāng)A＝B時(shí)，A∩B＝A和A∩B＝B同時(shí)成立．2、求交集的基本思路首先要識(shí)別所給集合，其次要化簡(jiǎn)集合，使集合中的元素明朗化，最后再依據(jù)交集的定義寫出結(jié)果，有時(shí)要借助于Venn圖或數(shù)軸寫出交集．借助于數(shù)軸時(shí)要注意數(shù)軸上方“雙線”(即公共部分)下面的實(shí)數(shù)組成了交集．3、求兩個(gè)集合的交集的方法(1)對(duì)于元素個(gè)數(shù)有限的集合，逐個(gè)挑出兩個(gè)集合的公共元素即可．(2)對(duì)于元素個(gè)數(shù)無限的集合，一般借助數(shù)軸求交集，兩個(gè)集合的交集等于兩個(gè)集合在數(shù)軸上的相應(yīng)圖形所覆蓋的公共范圍，要注意端點(diǎn)值的取舍．【題型2：并集的運(yùn)算】例2．（2024·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則（

）A．{2} B．{2,3,4} C．{1,2,3,4} D．{0,2,3,4}【答案】C【分析】由集合的并運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可得.故選：C變式1．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由集合的并集即可得出答案.【詳解】集合，，則故選：D.變式2．（2024·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B.變式3．（2024·廣東汕頭·高一金山中學(xué)?？计谥校┮阎?，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合，然后根據(jù)并集的定義可求得結(jié)果.【詳解】由，得，因?yàn)?，所以，故選：B變式4.（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知集合，集合，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】易知或，，故選：B變式5．（2024·廣西·高二校聯(lián)考期中）已知集合，，則中的元素個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)集合的并運(yùn)算即可求解.【詳解】由題設(shè)，所以，故其中元素共有4個(gè)．故選：B變式6.（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知集合，若，則B可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，四個(gè)選項(xiàng)中只有是集合A的子集.故選：A變式7.（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知集合A={三角形}，B={等腰三角形}，C={矩形}，D={菱形}，則（）A．B．C．D．{正方形}【答案】D【解析】因集合A={三角形}，B={等腰三角形}，則，因此，，A，B都不正確；C={矩形}，D={菱形}，因存在不含有直角的菱形，即，C不正確，而正方形既是菱形又是矩形，于是得{正方形}，D正確.故選：D【方法技巧與總結(jié)】求并集的基本思路(1)在求兩個(gè)集合的并集時(shí)，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次．(2)此類題目首先應(yīng)看清集合中元素的范圍，簡(jiǎn)化集合，若是用列舉法表示的數(shù)集，可以根據(jù)并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運(yùn)算的結(jié)果；若是用描述法表示的數(shù)集，可借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時(shí)要注意當(dāng)端點(diǎn)不在集合中時(shí)，應(yīng)用“空心點(diǎn)”表示．【題型3：補(bǔ)集的運(yùn)算】例3.（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）設(shè)全集，集合，則（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)槿?，集合，所以，故選：C變式1．（2024·貴州·高二貴州師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B．或C．或 D．或【答案】B【分析】利用補(bǔ)集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)榧?，，故?故選：B.變式2．（2024·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)全集，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知得出全集，即可根據(jù)集合的補(bǔ)集運(yùn)算得出答案.【詳解】解得，全集，則，故選：D.變式3．（2024·天津河北·高二統(tǒng)考期末）已知集合，，則集合（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：A.變式4．（2024·云南昆明·高二統(tǒng)考期中）設(shè)全集或，則＝（

）A．或 B．或C． D．{0，1，2，3，4，5，6}【答案】D【分析】根據(jù)集合的并運(yùn)算即可求解.【詳解】由于或，所以，故選：D變式5.（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知集合，，全集，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題，，所以，故選：B【方法技巧與總結(jié)】1、全集概念的理解全集不是固定不變的，它是一個(gè)相對(duì)概念，是依據(jù)具體問題來選擇的．例如，我們?cè)谘芯繑?shù)集時(shí)，通常把實(shí)數(shù)集R作為全集；當(dāng)我們只討論大于0且小于5的實(shí)數(shù)時(shí)，可選{x|0<x<5}為全集，通常也會(huì)把給定的集合作為全集．2、補(bǔ)集與全集的關(guān)系(1)補(bǔ)集是相對(duì)于全集而言的，它與全集不可分割．一方面，若沒有定義全集，則不存在補(bǔ)集的說法；另一方面，補(bǔ)集的元素逃不出全集的范圍．(2)補(bǔ)集既是集合之間的一種關(guān)系，也是集合之間的一種運(yùn)算．求集合A的補(bǔ)集的前提是A為全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補(bǔ)集也是不同的.(3)集合的補(bǔ)集運(yùn)算與實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算可進(jìn)行類比：實(shí)數(shù)集合被減數(shù)a被減集合(全集)U減數(shù)b減集合A差a－b補(bǔ)集?UA(4)符號(hào)有三層意思：①A是U的子集，即A?U；②表示一個(gè)集合，且()?U；③是U中不屬于A的所有元素組成的集合，即＝{x|x∈U，且x?A}．3、求補(bǔ)集的原則和方法(1)一個(gè)基本原則．求給定集合A的補(bǔ)集，從全集U中去掉屬于集合A的元素后，由所有剩下的元素組成的集合即為A的補(bǔ)集．(2)兩種求解方法：①若所給的集合是有關(guān)不等式的集合，則常借助于數(shù)軸，把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上，然后再根據(jù)補(bǔ)集的定義求解，注意端點(diǎn)值的取舍．②若所給的集合是用列舉法表示，則用Venn圖求解．【題型4：集合交、并、補(bǔ)的綜合運(yùn)算】例4．（2024·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考一模）設(shè)全集，，，則（

）A．{1，2} B．C． D．【答案】D【分析】由交集和補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)樗?，?故選：D.變式1.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）設(shè)全集，集合，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，又，所以，故選：A.變式2.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）設(shè)集合則．【答案】【分析】利用集合的并集與補(bǔ)集計(jì)算即可.【詳解】由題意知，.故答案為：變式3.（2024·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得的值，然后計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，則.故選：A.變式4.．（2024·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)，，，求（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)并集的運(yùn)算得出，列舉法得出，進(jìn)而根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以.故選：B．變式5.（2024·高一假期作業(yè)）設(shè)集合，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題得，則．故選：B變式6．（2024·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃┮阎蠞M足，則可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)得集合的包含關(guān)系，進(jìn)而判斷即可.【詳解】由則,進(jìn)而,由于，所以可能是，故選：B變式7．（2024·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】,,,,故選:C變式8.（2024·全國(guó)）設(shè)集合，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為即可.【詳解】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，則或，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；或，則或，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.【方法技巧與總結(jié)】求集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的方法注：1、進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，可按照如下口訣進(jìn)行：交集元素仔細(xì)找，屬于且屬于；并集元素勿遺漏，切忌重復(fù)僅取一；全集是大范圍，去掉中元素，剩余元素成補(bǔ)集。2、解決集合的混合運(yùn)算問題時(shí)，一般先算括號(hào)內(nèi)的部分；3、當(dāng)集合是用列舉法表示時(shí)（如數(shù)集），可以通過列舉集合的元素分別得到所求的集合；當(dāng)集合用描述法表示時(shí)（如不等式行事表示的集合），則可運(yùn)用數(shù)軸求解?！绢}型5：集合運(yùn)算的求參問題】（一）根據(jù)交集運(yùn)算求參數(shù)例5.（2024·江西宜春·高一江西省清江中學(xué)?？计谀┮阎?，，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)交集結(jié)果得到，或，檢驗(yàn)后得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，或，?dāng)時(shí)，，滿足集合元素的互異性，滿足要求；當(dāng)時(shí)，，與集合元素的互異性矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，，，與集合元素的互異性矛盾，舍去.故選：A.變式1.（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，再利用可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，得，所以，因?yàn)椋?，故．故選：C．變式2.（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）設(shè)集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，滿足.當(dāng)時(shí)，要使，則B是A的子集則需.綜上所述，的取值范圍是.變式3.（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）設(shè)集合,(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1);(2).【分析】（1）根據(jù)并集的定義運(yùn)算即得；（2）由題可得，分類討論進(jìn)而可得不等式即得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，；（2），當(dāng)時(shí)，滿足題意，此時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.（二）根據(jù)并集運(yùn)算求參數(shù)例6.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)a的所有值構(gòu)成的集合是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，當(dāng)時(shí)，，滿足，只有D選項(xiàng)符合.當(dāng)時(shí)，，要使，則或或，即或或，所以實(shí)數(shù)a的所有值構(gòu)成的集合是.故選：D變式1.（2024·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┰O(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，可得，再分和兩種情況討論即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.變式2.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】化簡(jiǎn)集合，將化為，根據(jù)子集關(guān)系列式可求出結(jié)果.【詳解】由，，得，因?yàn)?，所以，所以，解?故答案為：變式3.（2024·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)集合并集運(yùn)算，結(jié)合數(shù)軸即可得到結(jié)果.【詳解】由題意知，可得.故答案為：變式4.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）己知集合．（1）若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．（2）若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．（3）若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】利用集合間的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】（1）若，得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2），即，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（3）若，即，所以，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：；；.變式5.（2024·高一單元測(cè)試）已知集合或，．(1)若，求的取值范圍；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，列不等式，即可求出的取值范圍；（2）由，得到，列不等式，即可求出的取值范圍．【詳解】（1）因?yàn)椋越獾茫实娜≈捣秶牵?）因?yàn)?，所以，則或，解得或．故的取值范圍是．（三）根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算求參數(shù)例7．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2，m}，且?UA＝{1,3,5}，則m＝.【答案】4【分析】由集合的補(bǔ)集運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)閙∈U，且m?UA，所以m＝2或4.又A＝{2，m}，由元素的互異性知m≠2，所以m＝4.故答案為：4變式1.（2023·陜西商洛·?？既＃┰O(shè)全集，集合，，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．0或2【答案】A【詳解】由集合知，，即，而，全集，因此，，解得，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件，所以實(shí)數(shù)的值為0.故選：A變式2.（2023秋·浙江溫州·高一校考開學(xué)考試）已知集合，，求實(shí)數(shù)的值.【答案】【分析】根據(jù)題意得或，再解方程求解即可.【詳解】解：由題意得：①當(dāng)時(shí)，解得：代入檢驗(yàn)，得，，滿足條件②當(dāng)時(shí)，無解綜上所述，.變式3.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知.若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.【答案】或.【分析】根據(jù)，分和兩種情況討論求解.【詳解】已知集合，且，或當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，且，則或，解得，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為或.故答案為：或.（四）根據(jù)交、并、補(bǔ)集運(yùn)算求參數(shù)例8．（2024·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知集合，集合．(1)若時(shí)，求，；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；或(2)或【分析】（1）根據(jù)集合的交并補(bǔ)的運(yùn)算，即可求得答案;（2）由題意討論集合B是否為空集，不為空集時(shí)，列出相應(yīng)的不等式組，即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以．因?yàn)榛?，所以或；?）時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，或，解得或，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.變式1.（2024·高一單元測(cè)試）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，故可得或，因?yàn)?，，故可?故選：C.變式2.（2024·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得，得到，結(jié)合題意得到不等式，即可求解.【詳解】由集合，，可得，因?yàn)?，所以，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.變式3.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】或【分析】利用一元二次方程以及集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，顯然不滿足；當(dāng)時(shí)，或，解得或，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為或.【方法技巧與總結(jié)】利用交并補(bǔ)求參數(shù)范圍的解題思路1、根據(jù)并集求參數(shù)范圍：，若A有參數(shù)，則需要討論A是否為空集；若B有參數(shù)，則2、根據(jù)交集求參數(shù)范圍：若A有參數(shù)，則需要討論A是否為空集；若B有參數(shù)，則注：(1)在進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，若條件中出現(xiàn)A∩B＝A或A∪B＝B，應(yīng)轉(zhuǎn)化為A?B，然后用集合間的關(guān)系解決問題，并注意A＝?的情況．(2)集合運(yùn)算常用的性質(zhì)：①A∪B＝B?A?B；②A∩B＝A?A?B；③A∩B＝A∪B?A＝B.【題型6：韋恩圖的應(yīng)用】例9．（2024·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知全集，則圖中陰影部分代表的集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)Venn圖，由集合運(yùn)算可解.【詳解】由題意，而陰影部分為.故選：C變式1．（2024·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則下圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，用列舉法表示集合A，再結(jié)合韋恩圖列式求解作答.【詳解】依題意，，而陰影部分表示的集合是，又，則，所以.故選：C變式2.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)全集，集合，，則如圖所示的陰影部分表示的集合為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，圖中陰影部分表示的集合為．故選：A．變式3.（2024·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知全集為U，，則其圖象為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，可得，結(jié)合韋恩圖的意義判斷作答.【詳解】全集為U，，則有，選項(xiàng)BCD不符合題意，選項(xiàng)A符合題意.故選：A變式4.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知全集為，集合A，B為的非空真子集，，則（）A．AB．BC．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，由韋恩圖可知：.變式5．（2024·北京西城·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）如圖，集合均為的子集，表示的區(qū)域?yàn)椋?/p>

）A．I B．II C．III D．IV【答案】D【分析】由補(bǔ)集和交集的概念求解即可.【詳解】由補(bǔ)集的概念，表示的區(qū)域如下圖所示陰影區(qū)域，∴表示的區(qū)域?yàn)橄聢D所示陰影區(qū)域，即為圖中的區(qū)域Ⅳ.故選：D.變式6.【多選】（2024·江西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，三個(gè)圓形區(qū)域分別表示集合A，B，C．則（

）A．Ⅰ部分表示 B．Ⅱ部分表示C．Ⅲ部分表示 D．Ⅳ部分表示【答案】BD【分析】觀察Venn圖，可判斷A、B選項(xiàng)；在Ⅲ部分、Ⅳ部分各取一個(gè)元素，分析所取元素與集合的關(guān)系可判斷C、D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖可知，Ⅰ部分表示，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由圖可知，Ⅱ部分表示，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，在Ⅲ部分所表示的集合中任取一個(gè)元素，則且，故Ⅲ部分表示，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，在Ⅳ部分表示的集合中任取一個(gè)元素，則且，所以，Ⅳ部分表示，故D正確.故選：BD.【題型7：集合運(yùn)算中的元素個(gè)數(shù)問題】例10．（2024·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）某城市數(shù)、理、化競(jìng)賽時(shí)，高一某班有26名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，25名學(xué)生參加物理競(jìng)賽，23名學(xué)生參加化學(xué)競(jìng)賽，其中參加數(shù)、理、化三科競(jìng)賽的有7名，只參加數(shù)、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，只參加數(shù)、化兩科的有5名．若該班學(xué)生共有51名，則沒有參加任何競(jìng)賽的學(xué)生共有（

）名A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】畫出圖，由題意求出分別單獨(dú)參加物理、數(shù)學(xué)和化學(xué)的人數(shù)，即可求出參賽人數(shù)，進(jìn)而求出沒有參加任何競(jìng)賽的學(xué)生.【詳解】畫三個(gè)圓分別代表數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)的人，因?yàn)橛?6名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，25名學(xué)生參加物理競(jìng)賽，23名學(xué)生參加化學(xué)競(jìng)賽，參加數(shù)、理、化三科競(jìng)賽的有7名，只參加數(shù)、化兩科的有5名，只參加數(shù)、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，所以單獨(dú)參加數(shù)學(xué)的有人，單獨(dú)參加物理的有人，單獨(dú)參加化學(xué)的有，故參賽人數(shù)共有人，沒有參加任何競(jìng)賽的學(xué)生共有人.故選：D.

變式1.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“四書五經(jīng)”是中國(guó)傳統(tǒng)文化瑰寶，是儒家思想的核心載體，其中“四書”指《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》．某大學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀“四書”的情況，隨機(jī)調(diào)查了200位學(xué)生，其中閱讀過《大學(xué)》的有60位，閱讀過《論語》的有160位，閱讀過《大學(xué)》或《論語》的有180位，閱讀過《大學(xué)》且閱讀過《論語》及《中庸》的有20位．則該校閱讀過《大學(xué)》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值是（

）A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4【答案】A【分析】根據(jù)描述，應(yīng)用容斥原理畫韋恩圖，求出該校閱讀過《大學(xué)》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學(xué)生人數(shù)，即可得結(jié)果.【詳解】如下圖，閱讀過《大學(xué)》且閱讀過《論語》的人數(shù)是160＋60－180＝40，閱讀過《大學(xué)》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學(xué)生人數(shù)是40－20＝20，由樣本估計(jì)總體，得所求比值為.故選：A變式2.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種．則該網(wǎng)店這三天售出的商品最少有（）．A．25種B．27種C．29種D．31種【答案】C【解析】因?yàn)榍皟商於际鄢龅纳唐酚?種，因此第一天售出且第二天沒有售出的商品有（種；同理第三天售出的商品中有14種第二天未售出，有1種商品第一天未售出；所以三天商品種數(shù)最少時(shí)，是第三天中14種第二天未售出的商品都是第一天售出過的，此時(shí)商品總數(shù)是（種；分別用集合、、表示第一、第二和第三天售出的商品，則商品數(shù)最少時(shí)，如圖所示．變式3.（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某班共30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的有________人．【答案】12【解析】設(shè)兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都喜歡的人數(shù)為x，喜愛籃球的記為集合A，喜愛乒乓球的記為集合B，畫出Venn圖得到方程：15－x＋x＋10－x＋8＝30?x＝3，∴喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為15－3＝12.【題型8：集合的運(yùn)算新定義】例11.【多選】（2024秋·江蘇連云港·高一連云港高中?？茧A段練習(xí)）對(duì)于非空集合A，B，我們把集合{x|x∈A且x?B}叫做集合A與B的差集，記作A?B．例如，A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7，A．A∩B=A B．A∩B【答案】AD【分析】利用差集、并集、交集的定義直接求解．【詳解】∵差集的定義，且A?∴∴A∩B故選：AD．變式1.（2024·高一單元測(cè)試）對(duì)于集合M,N，定義M?N=x|x∈A．?94,0C．?∞,?94∪【答案】C【分析】根據(jù)題中集合新定義的特性結(jié)合集合的基本運(yùn)算可求解出結(jié)果.【詳解】集合A=x|則?RA=xx<?由定義可得：A?B=xx∈AB?A=xx∈B所以A⊕故選：C．變式2.【多選】（2024秋·江蘇徐州·高一徐州市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）整數(shù)集合Z中，被4所除余數(shù)為K的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記作K，以下判斷正確的是（

）.A．2021∈1 B．C．2∪3=?Z1 【答案】AD【分析】由新概念“類”的定義逐一檢驗(yàn)即可求解【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?021=505×4+1，所以2021∈1對(duì)于B：因?yàn)?2=?1×4+2，所以對(duì)于C：因?yàn)閆=0∪對(duì)于D：a∈2，b∈a+因?yàn)閙∈Z,n∈Z所以a+故選：AD一、單選題1．（2324高一下·甘肅蘭州·期末）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)交集的定義直接求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B2．（2324高二下·云南曲靖·期末）已知全集，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】用列舉法表示集合A，再利用補(bǔ)集的定義求解即得.【詳解】依題意，，所以.故選：D3．（2324高二下·天津和平·期末）已知全集，集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用列舉法表示出集合A，再利用補(bǔ)集、并集的定義求解即得.【詳解】依題意，，而，則，又，所以.故選：B4．（2324高二下·湖南·期末）設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)并集和補(bǔ)集的定義直接計(jì)算即可.【詳解】由題意得，所以，.故選：A5．（2324高二下·重慶·階段練習(xí)）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合的子集個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】先求出集合，再求出圖中陰影部分表示的集合；最后利用集合的子集個(gè)數(shù)公式即可求解.【詳解】由圖可知：陰影部分表示的集合為.因?yàn)榧希?，則，所以陰影部分表示的集合的子集個(gè)數(shù)為.故選：B.6．（2324高二下·福建·期末）設(shè)集合，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由集合的運(yùn)算結(jié)果，列出不等式代入計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)榧希?，且，則，且，所以.故選：D7．（2023·河南駐馬店·一模）已知全集，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合集合交集的概念及運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合，，因?yàn)?，可?故選：C.二、多選題8．（2024·江西南昌·三模）下列結(jié)論正確的是（）A．若，則的取值范圍是B．若，則的取值范圍是C．若，則的取值范圍是D．若，則的取值范圍是【答案】BD【分析】先將條件等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)范圍判斷命題的真假即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A和B，，，若，則的取值范圍是，所以A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C和D，若，則的取值范圍是，所以D正確，C錯(cuò)誤.故選：BD.9．（2324高二下·江西宜春·階段練習(xí)）設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．0 B． C．4 D．1【答案】ABD【分析】解方程，寫出集合A的所有元素，根據(jù)集合A和集合B的關(guān)系，分析集合B中的元素的可能情況，解出相應(yīng)的a.【詳解】，因?yàn)椋?，所以或或或，若，則；若，則；若，則；若，無解．故選：ABD10．（2324高一下·云南玉溪·期末）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)集合交集和并集運(yùn)算直接求解即可.【詳解】因?yàn)?，由題意可得：，，故AC錯(cuò)誤，BD正確.故選：BD.三、填空題11．（2223高一上·河南平頂山·階段練習(xí)）某社團(tuán)有100名社員，他們至少參加了A，B，C三