高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第02講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性專項練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第02講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年新I卷，第19題,12分含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題2023年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點根據(jù)極值點求參數(shù)2022年新I卷，第7題,5分用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)寡的大小比較對數(shù)式的大小2022年新Ⅱ卷，第22題,12分含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題裂項相消法求和2021年新I卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題2021年新Ⅱ卷，第22題,12分含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1.理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系2能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并會求單調(diào)區(qū)間3.能夠利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)單調(diào)性的綜合問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會在解答題考查，同時小題也會考查用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，且近年來導(dǎo)數(shù)和其他版塊知識點關(guān)聯(lián)密集，是新高考備考的重要內(nèi)容。知識講解導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)＞0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增＜0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減＝0f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點；第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.[常用結(jié)論]1.若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則x∈(a，b)時，恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則x∈(a，b)時，恒成立.2.若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則x∈(a，b)時，＞0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則x∈(a，b)時，＜0有解.考點一、函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系1．（浙江·高考真題）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（

）A． B．C． D．2．（全國·高考真題）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下面四個圖象中，的圖象大致是（

）A． B．C． D．3．（全國·高考真題）如果函數(shù)的圖象如下圖，那么導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（） B． C． D．1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，若，則的圖象大致為（

）A． B．C． D．2．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個圖象中可能是圖象的是（

）A． B．C． D．3．（2010·湖南·校聯(lián)考二模）設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（

）

A． B．C． D．考點二、利用導(dǎo)數(shù)求不含參函數(shù)的單調(diào)性1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.1．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍.2．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知(1)當(dāng)時，求單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍；(3)設(shè)，，證明：．3．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．4．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）已知(1)當(dāng)時，求的單調(diào)性；(2)討論的零點個數(shù)．5．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，.(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.6．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，研究函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍．考點三、利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)的單調(diào)性1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，．2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)．1．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在實數(shù)，使得關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2．（2023·江蘇揚州·揚州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，若，求證：；(3)求證：對于任意都有．3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有三個零點，，，求證：.4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個零點，，且，求證:(其中是自然對數(shù)的底數(shù)).5．（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)、是函數(shù)的兩個極值點.證明：.6．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．考點四、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)值或范圍1．（全國·高考真題）若函數(shù)在是增函數(shù)，則a的取值范圍是A． B． C． D．2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.1．（2023·湖北·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.2．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）若函數(shù)且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得，故選：A.4．（2023·江蘇南通·三模）已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，則的最大值為．【基礎(chǔ)過關(guān)】1．（2023·河北石家莊·正定中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在上恒成立，求證：.2．（2023·福建廈門·廈門市湖濱中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：(為自然對數(shù)的底數(shù))恒成立.3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若，求證：.4．（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若在恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．5．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，對任意的買數(shù)，證明：.6．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時，證明：，．7．（2023·廣東揭陽·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.(2)當(dāng)時，證明：.8．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，求a的取值范圍．9．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求證：.10．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┮阎瘮?shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，對任意，當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【能力提升】1．（2023·湖南常德·常德市一中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若存在實數(shù)，使得方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：2．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)，是方程的兩根，，證明：．3．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根、，（?。┣髮崝?shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．4．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，且在上恒成立，證明：．5．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：；(3)若，證明：.6．（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有兩個零點．（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：．7．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）已知函數(shù).(1)若在單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，且，證明：.8．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個極值點，（），求證：.9．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若在有兩個極值點，求證：.10．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)試討論的單調(diào)性；(2)若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【真題感知】1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)．4．（2021·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.5．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．

第02講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年新I卷，第19題,12分含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題2023年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點根據(jù)極值點求參數(shù)2022年新I卷，第7題,5分用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)寡的大小比較對數(shù)式的大小2022年新Ⅱ卷，第22題,12分含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題裂項相消法求和2021年新I卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題2021年新Ⅱ卷，第22題,12分含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1.理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系2能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并會求單調(diào)區(qū)間3.能夠利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)單調(diào)性的綜合問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會在解答題考查，同時小題也會考查用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，且近年來導(dǎo)數(shù)和其他版塊知識點關(guān)聯(lián)密集，是新高考備考的重要內(nèi)容。知識講解導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)＞0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增＜0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減＝0f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點；第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.[常用結(jié)論]1.若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則x∈(a，b)時，恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則x∈(a，b)時，恒成立.2.若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則x∈(a，b)時，＞0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則x∈(a，b)時，＜0有解.考點一、函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系1．（浙江·高考真題）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.只有C選項的圖象符合.故選：C.2．（全國·高考真題）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下面四個圖象中，的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用函數(shù)的圖象求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得到正確選項.【詳解】由題給函數(shù)的圖象，可得當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則，則單調(diào)遞增；則單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為故僅選項C符合要求.故選：C3．（全國·高考真題）如果函數(shù)的圖象如下圖，那么導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（） B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：的單調(diào)變化情況為先增后減、再增再減因此的符號變化情況為大于零、小于零、大于零、小于零，四個選項只有A符合，故選A.考點：1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2、函數(shù)圖象的應(yīng)用.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，若，則的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)的范圍，判斷出函數(shù)區(qū)間上各點處切線的斜率的范圍，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象得導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的符號，得函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合四個選項可得答案.【詳解】由的圖象可知，當(dāng)時，，則在區(qū)間上，函數(shù)上各點處切線的斜率在區(qū)間內(nèi)，對于A，在區(qū)間上，函數(shù)上各點處切線的斜率均小于0，故A不正確；對于B，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點，在該點處切線的斜率大于1，故B不正確；對于C，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點，在該點處切線的斜率大于1，故C不正確；對于D，由的圖象可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)上各點處切線的斜率在區(qū)間內(nèi)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)的圖象均符合這些性質(zhì)，故D正確.故選：D2．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個圖象中可能是圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的圖像，得到不同范圍下，的正負，得到的單調(diào)性，得到答案.【詳解】由的圖象知，當(dāng)時，，故，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，故，當(dāng)，，故，等號僅有可能在x＝0處取得，所以時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，故，單調(diào)遞增，結(jié)合選項只有C符合.故選：C.3．（2010·湖南·校聯(lián)考二模）設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性，從而得到在相應(yīng)范圍上的符號，據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，故時，，故排除A，C；當(dāng)時，函數(shù)的圖象是先遞增，再遞減，最后再遞增，所以的值是先正，再負，最后是正，因此排除B，故選：D.考點二、利用導(dǎo)數(shù)求不含參函數(shù)的單調(diào)性1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析(3)3個【分析】（1）先對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間，，與上的零點的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點的關(guān)系求得的極值點個數(shù).【詳解】（1）因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，即所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個極小值點；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個極大值點；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個極小值點；當(dāng)時，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無極值點；綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第3小題的解題關(guān)鍵是判斷與的正負情況，充分利用的單調(diào)性，尋找特殊點判斷即可得解.3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）方法一：利用指數(shù)對數(shù)的運算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個交點等價轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的實數(shù)根，即曲線與直線有兩個交點，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負，零點和極限值分析的圖象，進而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，,令得,當(dāng)時，,當(dāng)時，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個交點知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個解，取對數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個零點，不符合題意；當(dāng)時，，令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當(dāng)時，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個零點知，所以，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的解為且．所以，實數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個交點等價為在區(qū)間內(nèi)有兩個不相同的解．因為，所以兩邊取對數(shù)得，即，問題等價為與有且僅有兩個交點．①當(dāng)時，與只有一個交點，不符合題意．②當(dāng)時，取上一點在點的切線方程為，即．當(dāng)與為同一直線時有得直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點．記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時，最大值為，所當(dāng)且時有．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因為，由得．當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；當(dāng)時，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．因為，且，所以，即，即，兩邊取對數(shù)，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實數(shù)a的范圍為．]【整體點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，方法一：將問題進行等價轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.方法二：將問題取對，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.方法三：將問題取對，分成與兩個函數(shù)，研究對數(shù)函數(shù)過原點的切線問題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結(jié)論．方法四：直接求導(dǎo)研究極值，單調(diào)性，最值，得到結(jié)論.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析.(2)【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;（2）構(gòu)造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.【詳解】（1）令,則則當(dāng)當(dāng),即.當(dāng),即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當(dāng),符合題意.若當(dāng),所以..所以,使得,即,使得.當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.所以當(dāng),不合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當(dāng),對應(yīng)當(dāng).4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)的定義域為．由得，，當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因為，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以，即又因為，所以，即．因為，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識和技能.方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.1．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入求導(dǎo)得，再次設(shè)導(dǎo)函數(shù)為新函數(shù)進行求導(dǎo)得到其單調(diào)性和其零點，從而得到的單調(diào)增區(qū)間；（2）法一：令，利用導(dǎo)數(shù)和零點存在定理得存在唯一正實數(shù)使得，從而得到，再利用隱零點法得，再次設(shè)新函數(shù)進行求導(dǎo)從而得到的范圍；法二：同法一求得，則，利用基本不等式有，從而得到的范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，，設(shè)又，∴在上單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時，當(dāng)時，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）對函數(shù)求導(dǎo)得，，令，則，∴在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，故存在唯一正實數(shù)使得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，∴，由恒成立，得，由得，∴∴，∴，∴，設(shè)，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，而，∴，又且函數(shù)在上是增函數(shù)，故的取值范圍為法2：同法一得，由得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，故的取值范圍為【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問利用零點存在定理及隱零點法得到，從而有，再次重新設(shè)函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性和零點得到，從而得到.2．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知(1)當(dāng)時，求單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍；(3)設(shè)，，證明：．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間(2)(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)恒成立可得結(jié)論；（2）方法一：由可知，使得在上單調(diào)遞增，根據(jù)可知；將代回驗證，知，利用導(dǎo)數(shù)可證得，知滿足題意；方法二：易說明，求得后，令，則，令，分別在和的情況下，得到的單調(diào)性，進而確定使得恒成立的的范圍；（3）令，由（2）得；令，采用累加法可求得，進而放縮得到，整理即可得到結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.（2）當(dāng)時，恒成立，即，恒成立；方法一：，，使得在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，解得：；當(dāng)時，，，，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，，，即滿足題意；綜上所述：的取值范圍為.方法二：，，，，則由，恒成立得：；，，令，則，令，則，①當(dāng)，即時，方程的解為，設(shè)，的對稱軸為，當(dāng)時，，，其中，則當(dāng)，即時，；當(dāng)時，即時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，與，恒成立相矛盾，故舍去；②當(dāng)，即時，，即，在上單調(diào)遞增，，即，恒成立；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.（3）由（2）得：，；令，，即，，當(dāng)時，，化簡得，，，，，累加得：，，即成立.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間、恒成立問題的求解、不等式的證明等；本題證明不等式的關(guān)鍵是能夠利用（2）中的結(jié)論，將指數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為對數(shù)不等式，進而采用賦值的方式對不等式進行放縮.3．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2).【分析】（1）當(dāng)時，對函數(shù)求二階導(dǎo)可以得到二階導(dǎo)大于等于零，即，，時，，即可得到答案.（2）根據(jù)題意有不等式恒成立．令，則等價于不等式恒成立，①若，不等式（*）顯然成立，此時②若時，不等式（*）等價于.求出的最小值即可得到答案.【詳解】（1），∵，所以是的一個零點．又令，，則，，時，∴在，單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增（2）不等式在R上恒成立，即不等式恒成立．令，則等價于不等式恒成立，①若，不等式（*）顯然成立，此時②若時，不等式（*）等價于設(shè)，當(dāng)時，，令，則，，∵，∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴∴，在單調(diào)遞增，∴綜上所述，滿足題意的實數(shù)a的取值范圍為．4．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）已知(1)當(dāng)時，求的單調(diào)性；(2)討論的零點個數(shù)．【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)，0個零點；當(dāng)或，1個零點；，2個零點【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得，令，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，即可求出的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得，令，則問題轉(zhuǎn)化為，，利用零點存在定理結(jié)合單調(diào)性可判斷方程的解的個數(shù).【詳解】（1）解：因為，，所以，令，，所以在單增，且，當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）解：因為令，易知在上單調(diào)遞增，且，故的零點轉(zhuǎn)化為即，，設(shè)，則，當(dāng)時，無零點；當(dāng)時，，故為上的增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個零點；當(dāng)時，若，則；，則；故，若，則，故在上有且只有一個零點；若，則，故在上無零點；若，則，此時，而，，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，故此時在上有且只有兩個不同的零點；綜上：當(dāng)時，0個零點；當(dāng)或時，1個零點；時，2個零點；【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下的零點問題，注意利用零點存在定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性來討論.5．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，.(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間(2)【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）設(shè)，可知對任意的恒成立，對實數(shù)的取值進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，驗證對任意的能否恒成立，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：的定義域為，當(dāng)時，，，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增.所以，，則對任意的恒成立，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間.（2）解：當(dāng)時，恒成立等價于在上恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則圖象為開口向上，對稱軸為的拋物線的一部分，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，且，所以，，即，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為，所以在恒成立，滿足題意；當(dāng)時，，，所以方程有兩相異實根，設(shè)為、，且，則，當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞減，又因為，故當(dāng)時，，所以，在上不恒成立，不滿足題意.綜上，的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，注意到，由此將問題轉(zhuǎn)化為考查函數(shù)在上的單調(diào)性來處理，只需對實數(shù)的取值進行分類討論，結(jié)合單調(diào)性來求解.6．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，研究函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增(2)【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)考慮構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，取對數(shù)證明，由此證明，由此可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，，由已知可得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，討論，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，可得a的取值范圍．【詳解】（1）因為，所以，所以函數(shù)的定義域為，且，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，∴當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減．∴，∴，∴當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴在上單調(diào)遞增．（2）∵，，等價于，令，，構(gòu)造函數(shù)，∴，，．令，，，注意到．當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，即當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，不符合題意．當(dāng)時，令，，，∴單調(diào)遞增，則，當(dāng)時，則，，單調(diào)遞增，．∴，單調(diào)遞增，，符合題意．綜上所述．【點睛】方法點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．考點三、利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)的單調(diào)性1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當(dāng)時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，證畢.2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時：，當(dāng)時，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結(jié)論成立.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)．【答案】(1)答案見解析；(2)和.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過坐標(biāo)原點的切線方程，然后將原問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點坐標(biāo).【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導(dǎo)函數(shù)的判別式，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，的解為：，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過坐標(biāo)原點，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡得,由于切點的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)為和.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，和過曲線外一點所做曲線的切線問題，注意單調(diào)性研究中對導(dǎo)函數(shù)，要依據(jù)其零點的不同情況進行分類討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點坐標(biāo)時，要注意除了已經(jīng)求出的切點，還可能有另外的公共點(交點),要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實數(shù)根是求出的切點的橫坐標(biāo)，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.1．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在實數(shù)，使得關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析.(2)【分析】（1）求導(dǎo)以后對導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)進行分類討論，根據(jù)不同的分類判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)第1問的結(jié)論，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大（?。┲祮栴}，構(gòu)造新函數(shù)，求出的范圍.【詳解】（1）函數(shù)，，則，當(dāng)，即時，恒成立，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，令，解得，+0↗極大值↘綜上所述，當(dāng)是，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）等價于，令，當(dāng)時，，所以不恒成立，不合題意.當(dāng)時，等價于，由（1）可知，所以，對有解，所以對有解，因此原命題轉(zhuǎn)化為存在，使得.令，，則，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，故在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，問題化為存在，使得，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)最小值，即可得范圍.2．（2023·江蘇揚州·揚州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，若，求證：；(3)求證：對于任意都有．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）令，由，可證得恒成立，即，結(jié)合可證得；（3）利用，對進行放縮，即可證明不等式成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是．由已知得，．①當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；②當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；③當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；④當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．綜上，①當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；

③當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增；

④當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時，.由（1）知，函數(shù)在單調(diào)遞增且；令，令，令，解得；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以.令，則，所以恒成立，

不妨設(shè)，則，所以，所以，所以，所以.（3）由（2）知，時，，即，故在時恒成立，

所以，，，，相加得.【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有三個零點，，，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求得，對進行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）先判斷出，將轉(zhuǎn)化為，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.【詳解】（1）由，可知定義域，，令，則，①當(dāng)時，，則成立，即成立，所以在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，得，記，，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表+0-0+↗極大值↘極小值↗所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因為函數(shù)有三個零點，，，不妨設(shè)，所以，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由，知，故，因為，所以，即，因此，令，所以，令，則在上單調(diào)遞減，且，，成立，所以在上單調(diào)遞減，且，因此，則，所以.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要求函數(shù)的定義域，要在定義域的范圍內(nèi)求解單調(diào)性.當(dāng)導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)時，要對參數(shù)進行分類討論，分類討論要做到不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)的制定可結(jié)合二次函數(shù)的知識來進行.4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個零點，，且，求證:(其中是自然對數(shù)的底數(shù)).【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再對分類討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意，是方程的兩個根，即可得到，令則，則，只需證明當(dāng)時，不等式成立即可.【詳解】（1）函數(shù)定義域為，，當(dāng)時恒成立，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時令，解得或，當(dāng)，即時恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)即時，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，令，解得，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)即時，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，令，解得，則在上單調(diào)遞減；綜上可得，當(dāng)時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時在上單調(diào)遞增；當(dāng)時在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）因為，由題意，是方程的兩個根，①，②，①②兩式相加，得③，①②兩式相減，得④，聯(lián)立③④，得，，設(shè)，，，，，因為，所以，則，若，則一定有，只需證明當(dāng)時，不等式成立即可，即不等式成立，設(shè)函數(shù)，，在上單調(diào)遞增，故時，，即證得當(dāng)時，，即證得，，即證得，則．【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．5．（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)、是函數(shù)的兩個極值點.證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求得，對和的大小進行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）分析可知方程在上有兩個不等的實根、，根據(jù)二次方程根的分布可求得實數(shù)的取值范圍，列出韋達定理，化簡得出，利用導(dǎo)數(shù)證得函數(shù)在上的最大值小于，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）因為，該函數(shù)的定義域為，.因為，由得：或.①當(dāng)，即時，對任意的恒成立，且不恒為零，此時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；②當(dāng)，即時，由得或；由得.此時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；③當(dāng)，即時，由得或；由得.此時函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.（2）因為，其中，，因為有兩個極值點、，所以，方程在上有兩個不等的實根、，所以，，解得，所以.所以令，其中，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，所以.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).6．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)后分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）將原不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性將不等式化為，再參變分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值可得結(jié)果.【詳解】（1）的定義域為，，當(dāng)時，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，由，得，由，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).綜上所述：當(dāng)時，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).（2），設(shè)，則原不等式恒成立等價于在上恒成立，，在上為增函數(shù)，則在上恒成立，等價于在上恒成立，等價于在上恒成立令，，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，故.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，總有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故.考點四、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)值或范圍1．（全國·高考真題）若函數(shù)在是增函數(shù)，則a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由條件知在上恒成立，即在上恒成立．∵函數(shù)在上為減函數(shù)，∴,∴．故選D．考點：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.【答案】【分析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.1．（2023·湖北·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為，在區(qū)間恒成立，參變分離后，即可求解.【詳解】，在區(qū)間恒成立，所以，在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立，所以.故答案為：2．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）若函數(shù)且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再分和兩種情況討論，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】令，則，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在和上遞減，在上遞增，當(dāng)時，為增函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，解得，此時在上遞增，則恒成立，當(dāng)時，為減函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，無解，綜上所述，的取值范圍是.故選：A.3．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性列不等式組求得的取值范圍.【詳解】由，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得，故選：A.4．（2023·江蘇南通·三模）已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，則的最大值為．【答案】【分析】對求導(dǎo)，由為上的增函數(shù)可知恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，△，從而可得，兩邊同乘可得，利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得的最大值．【詳解】因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以恒成立，所以，△，又，所以，則由△，可得，兩邊同時乘以，可得，令，，則，當(dāng)時，取得最大值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的基本性質(zhì)以及最值的求法．【基礎(chǔ)過關(guān)】1．（2023·河北石家莊·正定中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在上恒成立，求證：.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）在定義域范圍內(nèi)求導(dǎo)函數(shù)大于零或小于零的解集即可；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，含參討論得時，有最大值即證明.【詳解】（1）因為的定義域為，所以，令得或；令得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）因為：在上恒成立，即在上恒成立，設(shè).則.①若，則單調(diào)遞增，的值域為，故不能恒成立，故舍去；②若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值，所以.2．（2023·福建廈門·廈門市湖濱中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：(為自然對數(shù)的底數(shù))恒成立.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)，對參數(shù)進行分類討論判斷導(dǎo)函數(shù)的正負，最后判斷原函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）可知，取，有，即，所以將等價轉(zhuǎn)化為在上恒成立，接著構(gòu)造函數(shù)，最后證明即可.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.（2）證明：由（1）可知，當(dāng)時，，特別地，取，有，即，所以(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)，因此，要證恒成立，只要證明在上恒成立即可.設(shè)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.故當(dāng)時，，即在上恒成立因此，有，又因為兩個等號不能同時成立，所以有恒成立.【點睛】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號．關(guān)鍵是分離參數(shù)k，把所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題．(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到．3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）對求導(dǎo)后，問題轉(zhuǎn)化為在[1,4]上恒成立，進而求得的最小值即可求解；（2）由可得只需證明，令，求導(dǎo)后求得；令，求導(dǎo)后求得，從而可得，問題得證.【詳解】（1），因為函數(shù)在[1,4]上單調(diào)遞增，所以在[1,4]上恒成立，又在[1,4]上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以的取值范圍是.（2）因為，所以要證，只需證，令，則.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以時，取最小值,則,所以時，，因此.所以.4．（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若在恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，先設(shè)求得，得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）把在上恒成立,轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令,即得恒成立求參即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，令，所以，當(dāng)時，，故為增函數(shù)；當(dāng)時，，故為減函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間.（2）因為，所以，所以在上恒成立，即在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，，則且當(dāng)時，恒成立，故在上為增函數(shù)，所以，即時不滿足題意；當(dāng)時，由，得，若，則，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以存在，使得，即時不滿足題意；若，則，故在上為減函數(shù)，所以，所以恒成立，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.5．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，對任意的買數(shù)，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】(1)先對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，對進行分類討論，在討論單調(diào)新即可；(2)結(jié)合第一問討論的單調(diào)性，對導(dǎo)數(shù)進行第二次求導(dǎo)，進一步判斷二階導(dǎo)數(shù)的正負來判斷一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，進而可以證明.【詳解】（1）①當(dāng)時，，此時，在單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，可以判斷在是單調(diào)遞減的注意到：則必存在使得，即且當(dāng)時，，于是，此時在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，于是，此時在單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時，令，則：于是：在是遞減的對于給定的，令則因為，所以，即因此在是遞增的于是，，即：進而方法二：當(dāng)時，對于給定的，令則因此在是遞增的，于是，，即：進而6．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時，證明：，．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求得，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進而轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性和最大值，即可求解.（2）當(dāng)時，得到且，當(dāng)時，只需使得，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)遞增，得到；當(dāng)時，顯然滿足；當(dāng)時，由和，得到，即可得證.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，因為在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，即為最大值，所以，即實數(shù)a的取值范圍為.（2）解：當(dāng)時，，可得當(dāng)時，可得，要使得，只需使得，令，可得，所以單調(diào)遞增，又由，所以，所以單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，可得且，所以，滿足；當(dāng)時，可得，因為且，所以，所以，綜上可得，對于，都有.7．（2023·廣東揭陽·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.(2)當(dāng)時，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)得，分類討論參數(shù)范圍可求的單調(diào)性；（2）將不等式變形得，構(gòu)造函數(shù)，通過求出最值，證明即可得證.【詳解】（1）的定義域為，若，恒有，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，令，得，若，恒有在上單調(diào)遞增，若，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：當(dāng)時，，令函數(shù)，則，令函數(shù)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，從而，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，故，因為，所以，故.8．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）將導(dǎo)數(shù)化為求其零點并討論零點的大小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號求解.（2）結(jié)合第（1）問的結(jié)果，利用函數(shù)的單調(diào)性、極值的符號構(gòu)造不等式求解.【詳解】（1）∵，∵，∴，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增．綜上所述，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）情況一：若，即時，由的單調(diào)性，其在上恒為正，無零點，在增區(qū)間至多有一個零點，不符題意．情況二：若，即時，由于，由零點存在定理，在區(qū)間上存在一個零點，取，則，，，，當(dāng)時，，由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在恒為正，無零點，由零點存在定理，在區(qū)間上存在一個零點，符合題意，情況三：若，即時，同情況二可得在增區(qū)間恒為正，無零點，僅有一個零點，不符題意.綜上，a的取值范圍是．9．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，然后對參數(shù)進行分類討論.（2）利用求導(dǎo)及零點定理及構(gòu)造法解函數(shù)不等式.【詳解】（1）因為，所以①若，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增②若，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；③若，則，在上單調(diào)遞增；④若，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.（2）因為，所以，即，設(shè)則，易知在上單調(diào)遞增因為，所以，所以存在，使得所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，所以所以，即.10．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┮阎瘮?shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，對任意，當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)得，分類討論的值，判斷函數(shù)單調(diào)性即可；（2）結(jié)合（1）知對恒成立，構(gòu)造函數(shù)，知在上恒成立，分離參數(shù)求解即可.【詳解】（1），令，則兩根分別為.1.當(dāng)時，在恒成立，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；2.當(dāng)時，令得或，令得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；3.當(dāng)時，令得或時，令得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知，若，則，的在區(qū)間單調(diào)遞增.又，所以對恒成立對恒成立，對恒成立，令，則在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，又，且，在上恒成立，即令，則令得，令得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以【點睛】思路點睛：第一問含有參數(shù)的單調(diào)性需要分類討論，判定導(dǎo)函數(shù)的零點大小確定單調(diào)區(qū)間，討論要不漏不重；第二問，對于恒成立問題可以利用分離參數(shù)的方法，將問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系即可.【能力提升】1．（2023·湖南常德·常德市一中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若存在實數(shù)，使得方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：【答案】(1)的增區(qū)間為，無減區(qū)間，(2)證明見解析【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)后，再令，利用導(dǎo)數(shù)可求出的單調(diào)區(qū)間和最小值，從而可得，進而可求出的單調(diào)區(qū)間，（1）由題意可得，，然后對化簡變形可得，不妨設(shè)，令，則問題轉(zhuǎn)化為，由（1）可證得結(jié)論.【詳解】（1）因為，所以，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，所以在上遞增，所以的增區(qū)間為，無減區(qū)間，（2）證明：由題意得，則，因為，所以，所以，因為，所以不妨設(shè)，令，則證，即證，即，由（1）知在上遞增，所以當(dāng)時，，即時，，得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是通過已知條件對化簡變形，再換元可得，則將問題轉(zhuǎn)化為證明，結(jié)合（1）可證得結(jié)論，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于難題.2．（2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)，是方程的兩根，，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求得，設(shè)，得到，分和，兩種情況，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求得在處的切線方程為，令，再令，結(jié)合單調(diào)性求得，求得，進而求得切線方程為，令，求得出函數(shù)的單調(diào)性，得到，進而證得，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，設(shè)，可得，①當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，解得.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）解：由，可得且，所以在處的切線方程為，即.令，令，因為，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增.所以，即，所以，，可得在處的切線方程為，即.令，，因為，所以在上單調(diào)遞增.又因為，所以當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以，即，所以，，所以【點睛】方法總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3、適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).3．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根、，（?。┣髮崝?shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．【答案】(1)答案見解析(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）求出，分、兩種情況討論，分析導(dǎo)出的符號變化，即可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）（i）將方程變形為，令，令，可知直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍；（ii）將所證不等式等價變形為，由變形可得出，推導(dǎo)出，即證．令，只需證，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)法即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：因為，所以，其中.①當(dāng)時，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；②當(dāng)時，由得，由可得.所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．綜上：當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）解：（i）方程可化為，即．令，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知函數(shù)的值域為，結(jié)合題意，關(guān)于的方程（*）有兩個不等的實根．又因為不是方程（*）的實根，所以方程（*）可化為．令，其中，則．由可得或，由可得，所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，函數(shù)的極小值為，且當(dāng)時，；當(dāng)時，則.作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，函數(shù)與的圖象有兩個交點，所以，實數(shù)的取值范圍是.（ii）要證，只需證，即證．因為，所以只需證．由（?。┲?，不妨設(shè)．因為，所以，即，作差可得．所以只需證，即只需證．令，只需證．令，其中，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立．所以原不等式得證．【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).4．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，且在上恒成立，證明：．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，求出的最小值，即可得解；（3）依題意可得，參變分離可得在上恒成立，令，，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，即可得到，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可得證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且，令，令，解得，因為，，所以當(dāng)時，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，即，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，令，則，即在上恒成立，令，，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，則，即實數(shù)的取值范圍為.（3）因為，所以，解得，所以，又在上恒成立，即在上恒成立，令，，則，所以當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，此時顯然不恒成立；當(dāng)時，則當(dāng)時，時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時，所以，因為，所以，令，，則，所以當(dāng)時，即單調(diào)遞減，當(dāng)時，即單調(diào)遞增，所以，所以.【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．5．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：；(3)若，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時，對求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號確定單調(diào)區(qū)間；（2）對求導(dǎo)，證明即可；（3）由（2）可知，，即可得到，可證明，對求導(dǎo)，可得在單調(diào)遞增，則，再證明即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時，，其中，所以，且，因為函數(shù)和都是減函數(shù)，故也是減函數(shù).所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）根據(jù)題意可知，，設(shè)，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以.（3）法一：若，則，由（2）可知，，所以，故，此時，故，所以，其中.當(dāng)時，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，若，則，若，則，故，所以當(dāng)時，成立，故在單調(diào)遞增，所以.設(shè)，則，因為函數(shù)和都是減函數(shù)，故也是減函數(shù)，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以.綜上，當(dāng)時，.法二：若，則，由（2）可知，，所以，故，此時，故，所以，其中，.成立，故在單調(diào)遞增，所以.設(shè)，則，因為函數(shù)和都是減函數(shù)，故也是減函數(shù)，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以.綜上，當(dāng)時，.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).6．（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有兩個零點．（ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：．【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞減(2)（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義求出的解析式，再通過其導(dǎo)函數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）求出，把零點問題轉(zhuǎn)化成方程的根，再轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的交點，根據(jù)圖象即可求出的范圍；把代入，通過兩個等式構(gòu)造，結(jié)合的范圍即可證明.【詳解】（1）因為，令，則，所以（），故（）.當(dāng)時，，，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，故在上恒成立.所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞減.（2）（?。┯袃蓚€零點等價于有兩個不同的根.而（），所以有兩個不同的根，等價于有兩個不同的根，等價于與有兩個不同的交點.因為，

（），當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，而當(dāng)趨向正無窮時，趨向0，趨向0時，趨向負無窮，為使與有兩個不同的交點，所以.（ⅱ）有兩個零點，則，.即，.所以，即，得，所以.因為，所以.【點睛】方法點睛：判斷函數(shù)單調(diào)性時主要考慮其導(dǎo)函數(shù)的正負；零點問題常?？赊D(zhuǎn)化為方程的根；關(guān)于雙變量問題通常需要通過等式構(gòu)造，找出其等式關(guān)系.7．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）已知函數(shù).(1)若在單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，且，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在單調(diào)遞增，可得在上恒成立，分離參數(shù)，即在恒成立，由此構(gòu)造函數(shù)，利用求解函數(shù)的最值可得答案.（2）判斷的單調(diào)性，從而結(jié)合可判斷a的范圍，由此將證明的問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解決證明不等式問題，從而可根據(jù)不等式以及的結(jié)構(gòu)特征，分別采用分析的方法，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，可證明結(jié)論.【詳解】（1）由函數(shù)在單調(diào)遞增，求導(dǎo)得在上恒成立，即在恒成立，令，則，當(dāng)，則在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞減，而.（2）因為，則，當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，此時不會滿足，不合題意；當(dāng)時，的解集為的解集為，即的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，依題意：，解得，設(shè)，則，要證，即證，即證，即證，設(shè)，則，即在上單調(diào)遞減，有，即，則成立，因此成立.要證，即證，即證，即證，即證，由，即證，令，則，設(shè)，求導(dǎo)得，即在上單調(diào)遞增，則有，即在上單調(diào)遞減，而，當(dāng)時，，則當(dāng)時，成立，故有成立，所以.【點睛】難點點睛：關(guān)于利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，難度較大，此時要能根據(jù)已知結(jié)合要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，難點就在于構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)單調(diào)性或者最值問題解決.8．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個極值點，（），求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)，再通過對進行討論，得到的在區(qū)間上的正負，即可得出結(jié)果；（2）利用（1）中的條件，得到兩個極值點間的關(guān)系，，從而可用表示出，即，再分不等式左邊和右邊兩種證明，通過構(gòu)造函數(shù)，和，，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)果.【詳解】（1）易知，又因為，令，，①當(dāng)，即時，恒成立，所以，此時，在區(qū)間上是增函數(shù)；②當(dāng)，得到或，又，其對稱軸為，且，所以，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，此時在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時，，且，由，得到或，時，，時，即時，，