6.3二項(xiàng)式定理課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

6.3.1二項(xiàng)式定理德宏州民族第一中學(xué)(1)組合數(shù)的概念:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)

表示.(2)組合數(shù)公式:課前回顧德宏州民族第一中學(xué)答案:(1)B

(2)0課前回顧德宏州民族第一中學(xué)1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.掌握二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式.3.解決與二項(xiàng)式定理有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.德宏州民族第一中學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)探究德宏州民族第一中學(xué)德宏州民族第一中學(xué)下面我們對(duì)上述猜想的正確性予以說(shuō)明．德宏州民族第一中學(xué)德宏州民族第一中學(xué)運(yùn)用二項(xiàng)式定理的解題策略(1)正用:求形式簡(jiǎn)單的二項(xiàng)展開式時(shí)可直接由二項(xiàng)式定理展開,展開時(shí)注意二項(xiàng)展開式的特點(diǎn),前一個(gè)字母是降冪,后一個(gè)字母是升冪.形如(a-b)n的展開式中會(huì)出現(xiàn)正負(fù)間隔的情況.對(duì)較繁雜的式子,先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開.(2)逆用:逆用二項(xiàng)式定理可將多項(xiàng)式化簡(jiǎn),對(duì)于這類問(wèn)題的求解,要熟悉二項(xiàng)式公式的特點(diǎn)、項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)的系數(shù).德宏州民族第一中學(xué)因此，展開式第4項(xiàng)的系數(shù)是280．德宏州民族第一中學(xué)德宏州民族第一中學(xué)德宏州民族第一中學(xué)1.求某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù)或展開式中含xr的項(xiàng)的系數(shù),主要是利用通項(xiàng)公式求出相應(yīng)的項(xiàng),特別要注意某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)兩者的區(qū)別.2.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念,前者僅與二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)有關(guān),與二項(xiàng)式無(wú)關(guān),后者與二項(xiàng)式、二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)均有關(guān).德宏州民族第一中學(xué)(1)n的值;(2)展開式中含x3的項(xiàng).德宏州民族第一中學(xué)變式訓(xùn)練1：本例條件不變,求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng).變式訓(xùn)練2.本例條件不變,求二項(xiàng)展開式中的所有有理項(xiàng).德宏州民族第一中學(xué)求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)常見題型及處理措施(2)求常數(shù)項(xiàng).對(duì)于常數(shù)項(xiàng),隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng)).(3)求有理項(xiàng).對(duì)于有理項(xiàng),一般是根據(jù)通項(xiàng)公式所得到的項(xiàng),其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng).解這類問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其屬于整數(shù),再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解.(4)求整式項(xiàng),求二項(xiàng)展開式中的整式項(xiàng),其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù),求解方式與求有理項(xiàng)一致.德宏州民族第一中學(xué)【例4】

(1)(x+y)(2x+y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(

)A.80 B.120 C.240

D.320(2)若(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a=

.

解析:(1)(x+y)(2x+y)5=(x+y)(32x5+80x4y+80x3y2+40x2y3+10xy4+y5),故展開式中x3y3的系數(shù)為40+80=120.(2)由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,故(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為4ax,4ax3,x,6x3,x5,其系數(shù)之和為4a+4a+1+6+1=32,解得a=3.答案:(1)B

(2)3德宏州民族第一中學(xué)1.兩個(gè)二項(xiàng)展開式乘積的展開式中的特定項(xiàng)問(wèn)題(1)分別對(duì)每個(gè)二項(xiàng)展開式進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)它們各自項(xiàng)的特點(diǎn).(2)找到構(gòu)成展開式中特定項(xiàng)的組成部分.(3)分別求解后相乘,求和即得.2.三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開問(wèn)題應(yīng)根據(jù)式子的特點(diǎn),轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來(lái)解決(有些題目也可轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問(wèn)題解決),轉(zhuǎn)化的方法通常為配方、因式分解、項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合,項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合時(shí)要注意合理性和簡(jiǎn)捷性.德宏州民族第一中學(xué)【變式訓(xùn)練】

(1)已知(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a等于(

)A.-4 B.-3 C.-2 D.-1(2)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展開式中,含x4的項(xiàng)的系數(shù)是(

)A.-15 B.85 C.-120 D.274(2)展開式中含x4的項(xiàng)應(yīng)從5個(gè)括號(hào)中選4個(gè)x,1個(gè)常數(shù),故x4的系數(shù)為(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15.答案:(1)D

(2)A德宏州民族第一中學(xué)第31頁(yè)當(dāng)堂檢測(cè)練習(xí)（第31頁(yè)）D德宏州民族第一中學(xué)課堂小結(jié)課后作業(yè)習(xí)題6.3（第34頁(yè)）DB06.3.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)德宏州民族第一中學(xué)德宏州民族第一中學(xué)課前回顧課前回顧德宏州民族第一中學(xué)課前回顧德宏州民族第一中學(xué)1.能運(yùn)用函數(shù)思想分析處理二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).2.理解和掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),并會(huì)求解與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的問(wèn)題.德宏州民族第一中學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)n(a+b)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)1234561112113311464115101051161520156111121133114641151010511615201561通過(guò)計(jì)算、填表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？從表6.3-1可以發(fā)現(xiàn)，每一行中的系數(shù)具有對(duì)稱性．除此以外還有什么規(guī)律呢？為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，上表還可以寫成如圖6.3-1所示的形式．…………………………………………………………………二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【問(wèn)題思考】觀察以下圖形,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:(a+b)n的展開式的二次項(xiàng)系數(shù),當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)可以表示成如下形式:圖①

圖②

(1)每一行中,與首末兩端等距離的二項(xiàng)式系數(shù)有怎樣的關(guān)系?(2)二項(xiàng)式系數(shù)的最大值有何規(guī)律?(3)第一行中各數(shù)之和為多少?第二、三、四、五行呢?由此你能得出怎樣的結(jié)論?提示:(1)相等.(2)當(dāng)n=2,4,…時(shí),中間一項(xiàng)最大,當(dāng)n=3,5,…時(shí)中間兩項(xiàng)最大.(3)21,22,23,24,25.第n行各數(shù)之和為2n.觀察圖6.3-1，你還能發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律？7個(gè)孤立的點(diǎn)Orf(r)6361420f（r）n為奇數(shù)；如n=720103035On743f（r）rnO615201n為偶數(shù)；如n=61112113311464115101051161520156111121133114641151010511615201561……和為2481632643．各二項(xiàng)式系數(shù)的和【例1】

已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6.解:令x=1,則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1,①令x=-1,則a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.②變式訓(xùn)練1：本例中條件不變,求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|的值.解法一:(1-2x)7的展開式中,a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,故|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1

093+1

094=2

187.解法二:∵|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|是(1+2x)7展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和,∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=37=2

187.二項(xiàng)展開式中系數(shù)和的求法(1)對(duì)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對(duì)(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.【變式訓(xùn)練2】

已知(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求:(1)a0+a1+a2+a3+a4;(2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2.解:(1)由(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,令x=1,得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,故a0+a1+a2+a3+a4=1.(2)在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,令x=1,得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,①令x=-1,得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4.②故(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0-a1+a2-a3+a4)·(a0+a1+a2+a3+a4)=(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625.(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)?變式訓(xùn)練：在本例條件下求系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最小的項(xiàng).解:由本例(2)知,展開式中的第6項(xiàng)和第7項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大,第6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù),第7項(xiàng)的系數(shù)為正.1.求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng),根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)(a+b)n中的n進(jìn)行討論.(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.2.二項(xiàng)展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)的求法,求二項(xiàng)展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的,需要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況進(jìn)行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展開式中系數(shù)的最大項(xiàng),設(shè)二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A0,A1,A2,…,An,且第r+1項(xiàng)最大,應(yīng)用

解出r,即