江蘇省南通市通州區(qū)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

PAGE16-江蘇省南通市通州區(qū)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）留意事項(xiàng)1．本試卷包含選擇題（共10題）、填空題（共6題）、解答題（共6題），滿分150分，考試時間為120分鐘.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.2．答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、考試證號等用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在答題卡上.并仔細(xì)核對監(jiān)考員所粘貼的條形碼上的姓名、考試證號是否與您本人相符.3．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.4．非選擇題必需用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)運(yùn)用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．請把答案干脆填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆在集合中找到大于1的元素即可.【詳解】,只有2滿意大于1,故.

故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由,易得,求解即可.【詳解】由題,,故定義域?yàn)?

故選：C.【點(diǎn)睛】常見定義域：(1)根號下大于等于0；(2)分母不為0；(3)對數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于0.3.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（）A. B. C.2 D.16【答案】D【解析】【分析】由題可設(shè)冪函數(shù)表達(dá)式,再代入點(diǎn)求解參數(shù)即可算出表達(dá)式,再計(jì)算即可.【詳解】設(shè),因?yàn)楹瘮?shù)過,故,所以,故.故選：D.【點(diǎn)睛】已知冪函數(shù)可設(shè),僅含一個參數(shù),故代入一個點(diǎn)即可求得參數(shù).4.下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】干脆對每個選項(xiàng)進(jìn)行值域分析即可.【詳解】對A：,函數(shù)單調(diào)遞增,值域?yàn)椋?/p>

對B：指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增,值域?yàn)椋?/p>

對C：對數(shù)函數(shù)值域?yàn)椋?/p>

對D：,值域?yàn)椋?/p>

故選：A.【點(diǎn)睛】指數(shù)函數(shù)定義域?yàn)?值域?yàn)?對數(shù)函數(shù)定義域?yàn)?值域?yàn)?冪函數(shù)須要依據(jù)指數(shù)的值來判定值域.5.已知函數(shù)的圖象如圖，則（）A.－6 B.－8 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】由圖得,過和,代入求解算出即可.【詳解】過和,故,因?yàn)榍?所以,故.故選：D.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)過點(diǎn)求參數(shù)范圍,干脆代入點(diǎn)計(jì)算參數(shù)即可.6.二次函數(shù)在上最大值為3，則實(shí)數(shù)＝（）A. B. C.2 D.2或【答案】B【解析】【分析】先求二次函數(shù)對稱軸,分析對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系來判定在哪點(diǎn)處取得最大值.【詳解】對稱軸,推斷對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系,當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞減,,此時,不滿意；當(dāng)時,,此時,又所以.故選：B.【點(diǎn)睛】求二次函數(shù)最值問題,須要分析開口方向與對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系,從而得到最大最小值處的取值,同時分類探討須要留意大前提與得出的結(jié)論須要取交集.7.已知函數(shù)，若，則（）A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.b＜a＜c D.a＜c＜b【答案】A【解析】【分析】由于為增函數(shù),故只需推斷中自變量的大小關(guān)系即可.【詳解】由題,為增函數(shù),且,,故,所以,故.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,當(dāng)為增函數(shù)時,自變量越大則函數(shù)值越大.8.已知函數(shù)滿意，則的值是（）A.4 B.8 C.10 D.4或10【答案】C【解析】【分析】分狀況和解出的值,并留意推斷是否滿意分段的標(biāo)準(zhǔn)即可.【詳解】當(dāng)時,令,不滿意；當(dāng)時,令,滿意.所以.故選：C.【點(diǎn)睛】分段函數(shù)求等式時,須要留意分狀況探討,解出的值要檢驗(yàn)是否滿意定義域.9.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：由得函數(shù)的定義域?yàn)?再依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知內(nèi)函數(shù)的減區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間。點(diǎn)評：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的推斷方法可以同則增，異則減的原則來推斷。同是指內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同，異是指內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相反。在求單調(diào)區(qū)間時要留意在定義域內(nèi)進(jìn)行。10.已知定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若對隨意實(shí)數(shù)x有成立，則正數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由于中帶有肯定值,故考慮分狀況和兩種狀況探討函數(shù),再依據(jù)奇函數(shù)畫出的圖像,再依據(jù)可以考慮用平移的思想去數(shù)形結(jié)合做.【詳解】由題得,當(dāng)時,,故寫成分段函數(shù),化簡得,又為奇函數(shù),故可畫出圖像：又可看出往右平移個單位可得,若恒成立,則,即,又為正數(shù),故解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題有肯定的難度,主要考查肯定值函數(shù)對分段函數(shù)的轉(zhuǎn)換,同時可以看成往右平移個單位所得,畫圖進(jìn)行分析即可.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．請把答案干脆填寫在答題卡相應(yīng)位置上．11.計(jì)算：____．【答案】0；【解析】【分析】將計(jì)算中的27和8分別寫作,再依據(jù)指對數(shù)運(yùn)算法則求解即可.【詳解】【點(diǎn)睛】本題用到的指對數(shù)運(yùn)算：,,.在求解指對數(shù)函數(shù)時,把能夠?qū)懗芍笖?shù)形式的數(shù)寫成對應(yīng)的指數(shù)形式便利計(jì)算.12.已知，則______．【答案】6；【解析】【分析】由可將中看成整體去表示,再代入求.【詳解】由題,,故,故.【點(diǎn)睛】本題用到換元求函數(shù)表達(dá)式的方法.常見的形式如；13.已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時，則當(dāng)x＞0時____．【答案】；【解析】【分析】已知奇函數(shù)一半的表達(dá)式求另一半,干脆依據(jù)求解即可.【詳解】當(dāng)x＜0時,故當(dāng)時,,此時,故.故答案為：.【點(diǎn)睛】若為奇函數(shù),且當(dāng)時,,則當(dāng)時,.14.正數(shù)滿意，則的值為______．【答案】；【解析】【分析】由可因式分解得出的關(guān)系,再代入求解即可.【詳解】由題,可得,又正數(shù),故,即,所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查二元函數(shù)的因式分解問題,屬于基本技能題型.15.某店從水果批發(fā)市場購得椰子兩筐，連同運(yùn)費(fèi)總共花了300元，回來后發(fā)覺有12個是壞的，不能將它們出售，余下的椰子按高出成本價1元/個售出，售完后共賺得78元．則這兩筐椰子原來共有______個．【答案】120；【解析】【分析】設(shè)兩筐椰子原來共有個,依據(jù)題目條件列出關(guān)于的方程求解即可.【詳解】設(shè)兩筐椰子原來共有個,則一共賣出個,其中每個買入成本價為,則售價為,故共賣得元,又賺得78元,所以,化簡得,即,兩邊同乘得,因式分解,又,所以.故答案為：120.【點(diǎn)睛】本題屬于一元方程列式求解問題,設(shè)所求量為,再依據(jù)題目條件列出的方程求解即可.16.已知函數(shù)若函數(shù)恰有2個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】函數(shù)中包含分段的一次函數(shù)與二次函數(shù),故先探討對應(yīng)的零點(diǎn),再一同分析.逐步縮小參數(shù)的分析范圍即可.【詳解】由題意,中當(dāng)時,,易得零點(diǎn)為,又時函數(shù)為二次函數(shù)且開口向上,故二次函數(shù)至少有一根,否則最多僅有一個零點(diǎn),所以中判別式,即.

當(dāng)時,,此時的零點(diǎn)為滿意題意.當(dāng)時,令得,,且,又,故才能滿意在定義域內(nèi)有一根,即.綜上所述.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的零點(diǎn)問題,可先分析每段函數(shù)的零點(diǎn),再依據(jù)定義域思索每段的零點(diǎn)是否存在,最終依據(jù)每段定義域內(nèi)存在的零點(diǎn)進(jìn)行列不等式運(yùn)算即可,屬于難題.三、解答題：本大題共6小題，共70分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，．（1）求集合B；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)依據(jù),代入算出范圍即可.

(2)由可得,再依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系列式計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?所以,所以,所以．（2）因?yàn)?所以,因?yàn)锳＝{x|a≤x≤a＋2}．所以所以0≤a≤1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了基本的集合運(yùn)算,同時也考查了依據(jù)集合之間的關(guān)系進(jìn)行參數(shù)范圍求解的問題,主要留意區(qū)間端點(diǎn)的相對大小列式.18.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求a的值，并證明是R上的增函數(shù)；（2）若關(guān)于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1），證明見解析（2）【解析】【分析】(1)由奇函數(shù)在0處有定義時計(jì)算可得.證明在上為增函數(shù)時,設(shè),再計(jì)算,化簡證明即可.

(2)先依據(jù)奇偶性化簡為,因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增,所以若解集非空,則有解.再依據(jù)二次不等式恒成立的問題求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù),所以,得.此時,,,所以是奇函數(shù),所以．任取R,且,則,因?yàn)樗?所以是R上的增函數(shù).（2）因?yàn)闉槠婧瘮?shù),f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空,所以的解集非空,又在R上單調(diào)遞增,所以的解集非空,即在R上有解,所以得.【點(diǎn)睛】(1)單調(diào)性的證明方法：設(shè)定義域內(nèi)的兩個自變量,再計(jì)算,若,則為增函數(shù)；若,則為減函數(shù).計(jì)算化簡到最終須要推斷每項(xiàng)正負(fù),從而推斷的正負(fù).(2)利用單調(diào)性與奇偶性解決抽象函數(shù)不等式的問題,留意化簡成的形式,若在區(qū)間上是增函數(shù),則,求解出交集即可.若在區(qū)間上是減函數(shù),則,求解出交集即可.19.已知函數(shù)．（1）若時，，求的值；（2）若時，函數(shù)的定義域與值域均為，求全部值．【答案】（1）（2），【解析】【分析】(1)由題意可干脆代入,因?yàn)橹杏锌隙ㄖ?且肯定值內(nèi)不相等,故即可求得.

(2)由中有肯定值,故考慮分,和三種狀況考慮,分別去肯定值進(jìn)行分析即可.【詳解】（1）因?yàn)?所以所以,所以或,因?yàn)?所以．（2）當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域與值域均為,所以,兩式相減得不合,舍去．當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,因?yàn)楹瘮?shù)定義域與值域均為,所以,無實(shí)數(shù)解.當(dāng)時,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增．因?yàn)楹瘮?shù)的定義域與值域均為,所以,．綜合所述,．【點(diǎn)睛】(1)關(guān)于肯定值的不等式一般分狀況進(jìn)行肯定值內(nèi)正負(fù)的探討,從而寫成分段函數(shù)進(jìn)行求解.(2)分段函數(shù)留意定義域的問題.20.設(shè)函數(shù)，．（1）求的值；（2）求函數(shù)，的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)干脆代入即可算得.

(2)留意到,故可用換元進(jìn)行求解運(yùn)算.【詳解】（1）因?yàn)?,所以,所以,所以,因?yàn)?所以．（2）記,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,2,綜上所述：【點(diǎn)睛】本題主要考查換元法與常用化簡：21.某市每年春節(jié)前后，由于大量的煙花炮竹的燃放，空氣污染較為嚴(yán)峻．該市環(huán)保探討所對近年春節(jié)前后每天的空氣污染狀況調(diào)查探討后發(fā)覺，每天空氣污染的指數(shù)隨時刻(時)改變的規(guī)律滿意表達(dá)式，，其中為空氣治理調(diào)整參數(shù)，且．（1）令，求的取值范圍；（2）若規(guī)定每天中的最大值作為當(dāng)天的空氣污染指數(shù)，要使該市每天的空氣污染指數(shù)不超過5，試求調(diào)整參數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由題意可得,干脆依據(jù)定義域,求解的范圍即可.

(2)由且的最大值作為當(dāng)天的空氣污染指數(shù),所以干脆依據(jù)的范圍簡化表達(dá)式,故有,再依據(jù)肯定值分段探討的方法分析函數(shù)單調(diào)性計(jì)算污染指數(shù)不超過5時參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?所以．（2）因?yàn)樗栽谏蠁握{(diào)遞減,在單調(diào)遞增.所以所以得．【點(diǎn)睛】(1)本題屬于實(shí)際應(yīng)用問題,重點(diǎn)須要讀懂題,理清自變量和函數(shù)之間的關(guān)系.(2)關(guān)于肯定值的不等式一般分狀況進(jìn)行肯定值內(nèi)正負(fù)的探討,從而寫成分段函數(shù)進(jìn)行求解,分段函數(shù)留意定義域的問題.22.已知函數(shù)的最小值為0．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）函數(shù)有6個不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1),中包含對勾函數(shù)的結(jié)構(gòu),故考慮依據(jù)的正負(fù)分析單調(diào)性,從而確定在處取得最小值

(2)由題目所給形式,故考慮設(shè)作為復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分析,再依據(jù)復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)