水運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

第三章水運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

第一節(jié)描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

液體運(yùn)動(dòng)時(shí)，表征運(yùn)動(dòng)特征的運(yùn)動(dòng)要素一般隨時(shí)空而變，而液體又是眾多質(zhì)點(diǎn)組成的連

續(xù)介質(zhì)，怎樣描述整個(gè)液體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律呢？

一、拉格朗日法

拉格朗日法：質(zhì)點(diǎn)系法

把液體質(zhì)點(diǎn)作為研究對象，跟蹤每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，描述其運(yùn)動(dòng)過程，獲得整個(gè)液體運(yùn)動(dòng)的規(guī)

律。

Z

X

圖拉格朗日法

設(shè)某-一液體質(zhì)點(diǎn)在，=內(nèi)占據(jù)起始坐標(biāo)（a,b,c）

zO：微團(tuán)占據(jù)起始坐標(biāo)（a,b,c）

t：微團(tuán)運(yùn)動(dòng)到空間坐標(biāo)（x,y,z）

z

式中，(mb,c,t)=拉格朗日變數(shù)

(a,b,c)對應(yīng)液體微團(tuán)或液體質(zhì)點(diǎn)

給定b,c),該質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程

不同(。，h,c),不同質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程

對上式求導(dǎo)，得到液體質(zhì)點(diǎn)的速度

dx(a,b,c,t)

x=x(a,h,c,t)dt

ddy(a、b,c,t)

<y=y(a,bc,t)=>=>u

dt9ydt

z=z(a,b,cj)

dz(a,b,c,t)

u

7dt

2

x=x(a,b,c,t)

<y=y(a,b,c,t)

z=z(a,b,c,t)

dx(a,b,c,t)

u=

Yx

x=x(a,h,c,t)dt

ddy(a,b,c,t)

----<y=y(a,b,c,t)=>=><Uy

dt~dt

z=z(a,h,c,t)

dz(a,b,c,t)

鞏=

7dt

對速度求導(dǎo),得到液體質(zhì)點(diǎn)的加速度

dx(a,b,c,t)d2x(a,h,c,t)

ur-=短

xdt

ddy(a,b,c,t)d2y(a,b,c,t)

—《u=---------------=>=><Q、=-------o------

dtyvdtydt2

dz(a,b,c,t)d2z(a.h,c,t)

[dt力2

對速度求導(dǎo)，得到液體質(zhì)點(diǎn)的加速度

dx(a,b,c,t)

uY=---------------

\x=x(a,b,c,t)xdt

d/,、dy(a、b,c,t)

—<y=y(a,b.c,t)=>=>jUy

atdt

z=z(a,b,c,t)

dz(a,b,c,t)

dt

dx(a,b,c,t)d2x(a,h,c,t)

dtdt1

dy(a,b,c,t)d2y(a,b,c,t)

-------------=>=><4,=--------o-----

dt-----------------ydt

dz(a,b,c,t)d2z(a,b,c,t)

問題

x=x(a,b,c,t)

<y=y(a9b9c9t)(a,b,c)wlimitedfluidpoints

z=z(a,b,c,t)

每個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律不同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點(diǎn)數(shù)學(xué)上存在難以克服的困難。實(shí)用上，不

需要知道每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況因此，該方法在工程上很少采用，但在波浪運(yùn)動(dòng)，piv量測等

問題中用這個(gè)方法。

3

二、歐拉法

2.1歐拉法：流場法，核心是研究運(yùn)動(dòng)要素分布場

考察固定空間點(diǎn)(x,y,z),不同液體質(zhì)點(diǎn)通過的情況，了解整個(gè)流動(dòng)空間的流動(dòng)。相當(dāng)于

在流場中設(shè)置許多觀察點(diǎn)(x,y,z),研究不同時(shí)刻t、不同觀察點(diǎn)(無，y,z)上，不同液

體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，將各觀察點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)信息加以綜合，可了解整個(gè)流場的運(yùn)動(dòng)。

采用歐拉法，可將流場中任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)要素表示為空間坐標(biāo)(x,y,z)和時(shí)間，的函數(shù)。

液體質(zhì)點(diǎn)通過任意空間固定點(diǎn)(x,y,z)時(shí)的流速

dx(x,y,z,t)

“L山

_dy(x,y,z,t)

<Uy~dt

dz(x,y,z,t)

u.=-----------

zdr

式中，(x,y,z,t):歐拉變數(shù)(〃xuyuz):通過固定點(diǎn)的流速分量

拉格朗日法

(a,b,c):質(zhì)點(diǎn)起始坐標(biāo)/:任意時(shí)刻

(x,y,z):質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置坐標(biāo)

(a.b,c.t):拉格朗日變數(shù)

歐拉法

(xjz):空間固定點(diǎn)(不動(dòng))

t:任意時(shí)刻

(x,y,z,t):歐拉變數(shù)

/=/0=給定時(shí)刻，(x,y,z)=變數(shù)

同一時(shí)刻，不同空間點(diǎn)上液體質(zhì)點(diǎn)的流速分布，即流場。

(x,y,z)=給定點(diǎn)，/=變數(shù)

不同液體質(zhì)點(diǎn)通過給定空間點(diǎn)的流速變化

液體質(zhì)點(diǎn)通過任意空間坐標(biāo)時(shí)的加流速

du(x,y,z,t)

a--;x---------

、rAt

du(x,y,z,t)

\a=-1r---------

vd/

dT

式中，(ax,ay,az)為通過空間點(diǎn)的加速度分量

流場中任一物理量，如壓強(qiáng)、密度，則

p^p(x,y,z,t)

p=p(x,y,z,t)

一維流動(dòng)，則

4

U-"(sj)

p=pG,。

用歐拉法研究液體運(yùn)動(dòng)的例子

2.2用歐拉法表達(dá)加速度

從歐拉法來看，不同空間位置上的液體流速可以不同；在同一空間點(diǎn)上，因時(shí)間先后不

同，流速也可不同。因此，加速度分

?遷移加速度（位變加速度）同一時(shí)刻，不同空間點(diǎn)上流速不同，而產(chǎn)生的加速度

?當(dāng)?shù)丶铀俣龋〞r(shí)變加速度）同一空間點(diǎn)，不同時(shí)刻，流速不同，而產(chǎn)生的加速度

圖時(shí)變加速度產(chǎn)生說明

5

利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,將(xfyfz)看成是時(shí)間，的函數(shù),則

du(x,y,z,f)_dudududu..

xxxY+〃z-

drdt'Sxydydz

du(x,y,z,f)四,

《明二—;-v--------------------duvduv

----+W---:—FII-+--〃_--

1d/dtdx7dy-dz

di/:(x,y,z,t)_duzdu,du.du.

+人--+^v—+〃——

d/dtxdxydy"dz

對于一維流動(dòng)，加速度可簡化為

a'd」(s,/)_配?現(xiàn)

‘一山一九'ds

對于二元流動(dòng)

6

du

_犯?〃s?uM

dtdt'ds〃dn

dz，“(s,〃,/)dudu

-----：-------..n.r——n

dtdt6sdn

第二節(jié)液體運(yùn)動(dòng)的基本概念

一、恒定流和非恒定流

1.1恒定流

運(yùn)動(dòng)要素之一不隨時(shí)間發(fā)生變化的流動(dòng)，即所有運(yùn)動(dòng)要素對時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)恒等于零

2=a=%=2=迦=

dtdtdtdtdt

1.2非恒定流

運(yùn)動(dòng)要素之一隨時(shí)間而變化的流動(dòng)，即運(yùn)動(dòng)要素之一對時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)不為零

河道中水位和流量的變化

洪水期中水位、流量有漲落現(xiàn)象一非恒定流

平水期中水位、流量相對變化不大一恒定流

水靜力學(xué)就是恒定流

?容器中液體

當(dāng)容器中液體處于相對平衡一恒定流。當(dāng)容器的旋轉(zhuǎn)角速度突然改變，容器中液體變

速運(yùn)動(dòng)一非恒定流.

大海中潮起潮落現(xiàn)象一非恒定流

閘門迅速開啟時(shí)引起的非恒定流

閘門突然關(guān)閉時(shí)，管道中水流的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間變化

二、流線與跡線

2.1跡線和跡線方程

液體質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻所流經(jīng)的空間點(diǎn)所連成的線，即液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡線。由拉格朗日法

引出的概念。

跡線方程

x=x(a,b,c,t)dx=u(a,b,c,t)dt

xdrdydz

?y=y(a,ac,7)nrdy=%,(a,6,c/)d/n=f(x,y,z,t)

M

uxVux

.z=z(a,b,c,t)dz-uz(a,b,c,t)dt

7

2.2流線

某瞬時(shí)在流場中的?條空間曲線，曲線上所有液體質(zhì)點(diǎn)的速度向量都與該曲線相切。

流線畫法

7.

圖流線畫法

2.2.1流線方程

drdydz...,、

—=—=—=/（x，V，z,/o）

UxUy%

ijk

u\\ds=>uxuyu2=0

dxdydz

流函數(shù)

dxdydz,、

——-——-——=./（xJ,z,/（,）:>

U

孫y"z

W=Jd"（x,y）=\uxdy-uydx=C

2.2.2流線的基本性質(zhì)

1）恒定流時(shí)，流線形狀和位置不隨時(shí)間改變

原因：恒定流時(shí)，流速向量不隨時(shí)間改變

2）恒定流時(shí)，流線與跡線重合

8

i"2

Ai一--

y?4

"/sT/s?

X------------------------------------------------

X

3）流線不能相交

原因：相交點(diǎn)流線有兩個(gè)方向

3.4質(zhì)點(diǎn)與控制體的概念

控制體

在某一坐標(biāo)系下的個(gè)不動(dòng)的封閉空間體

控制體外表面稱控制面，控制體可根據(jù)需要將其取成不同形狀。

流體可自由進(jìn)出控制體

一個(gè)微分控制體

9

一段渠道的控制體

一段管道的控制體

控制體：控制面組成：

過水?dāng)嗝?、壁面、自由水?/p>

10

2

?段渠道的控制體

過水?dāng)嗝?/p>

一段管道的控制體

三、流管、元流和總流

3.1流管

在流場中，任取一個(gè)面積A,通過其周界上的每一個(gè)點(diǎn)，均可作一條流線。這些流線

圍成的一個(gè)封閉管狀曲面

微小流管：在流場中，任取一個(gè)微分面積dA,通過其周界上的每一個(gè)點(diǎn)，均可作一

11

條流線，這樣構(gòu)成的一個(gè)封閉的管狀曲面，稱微小流管。

注意

流管中液體不會穿過管壁（流管）向外流，流管外液體不會穿過管壁向流管內(nèi)部流動(dòng)。

恒定流時(shí)，流束形狀和位置不會隨時(shí)間改變。非恒定流時(shí)，流束形狀和位置隨時(shí)間改變。流

管中液體不會穿過管壁（流管）向外流，流管外液體不會穿過管壁向內(nèi)流。恒定流時(shí)，流束

形狀和位置不會隨時(shí)間改變。非恒定流時(shí)，流束形狀和位置隨忖間改變。

3.2流束

充滿以流管為邊界的一束液流，稱流束。

充滿以微小流管為邊界的一束液流，稱微小流束。

3.3總流

任何一個(gè)實(shí)際水流都具有一定規(guī)模的邊界，在邊界約束之內(nèi)的水流，稱總流。

總流可看成是又無限多個(gè)微小流束組成。

四、過水?dāng)嗝?、流量和斷面平均流?/p>

4.1過水?dāng)嗝?/p>

與微小流束，或流線，或流速正交的橫斷面為過水?dāng)嗝?，該斷面面積用山或/表

示，單位：n?

過水?dāng)嗝婵赡苁乔?，或平面。?dāng)水流的流線為平行線時(shí)，過水?dāng)嗝鏋槠矫妫駝t，

就是曲面。

12

4.2流量

單位時(shí)間內(nèi)通過某一過水?dāng)嗝娴囊后w體積為流量，用符號。表示，有三種表示方法。

體積流量Q(m3/s)

質(zhì)量流量PQ(kg/s)

重量流量YQ(N/s)或(kN/s)

從總流中任取一個(gè)微小流束，過水?dāng)嗝鏋閐A,其上的流速為"，則微小流束通過的

流量為

從總流中任取一個(gè)微小流束，其過水?dāng)嗝鏋閐A,其上流速為"，則微小流束通過的

流量為

dQ=uAA

通過總流過水?dāng)嗝娴牧髁繛?/p>

0=Jd。=J

QA

4.2斷面平均流速

在過水?dāng)嗝嫔?，液體質(zhì)點(diǎn)流速分布是不均勻的。例如，管道中的流速分布，邊壁流速為

零，管心最大。

整個(gè)過水?dāng)嗝嫔?，流速分布是曲面，在平面上看，流速分布是曲線。

13

引入斷面平均流速

使液體運(yùn)動(dòng)得到簡化（使三元流動(dòng)變成了一維流動(dòng)）。在實(shí)際工程中，斷面平均流速

非常重要的。

五、一元流、二維流、三維流

“元”是指空間自變量的個(gè)數(shù)

5.1一元流

運(yùn)動(dòng)要素只與一個(gè)空間自變量有關(guān)

5.2二元流

運(yùn)動(dòng)要素只與一個(gè)空間自變量有關(guān)任何運(yùn)動(dòng)要素與兩個(gè)空間自變量有關(guān)，

此水流稱二元流。

一矩形順直明渠

當(dāng)渠道很寬，兩側(cè)邊界影響可忽略不計(jì)時(shí)，任一點(diǎn)流速與流程s,距渠底鉛垂距離z有

關(guān)，而沿橫向y方向，流速幾乎不變。

5.3三元流

任一運(yùn)動(dòng)要素與三個(gè)空間坐標(biāo)有關(guān)

一矩形明渠

當(dāng)寬度由從突擴(kuò)為62時(shí)，突變的局部范圍內(nèi)，水流中任一點(diǎn)流速，不僅與斷面位置坐

標(biāo)有關(guān)，還和坐標(biāo)y、z有關(guān)。

山于問題非常復(fù)雜，數(shù)學(xué)上求解三維問題的困難，所以水力學(xué)中，常用簡化方法，盡量

減少運(yùn)動(dòng)要素的“元“數(shù)。

例如，用斷面平均流速代替實(shí)際流速，把總流視為一元流。

水利工程的實(shí)踐證明，把三維水流簡化成?元流，或二元流是可以滿足生產(chǎn)需要的，但

存在一些問題。

存在的問題

1、一元流分析法回避了水流內(nèi)部結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)要素的空間分布。

2、不是所有問題都能簡化為一元流，或二元流的。例如，摻氣，水流的脈動(dòng)、水流空化等

問題。所以，簡化是針對水力學(xué)具體問題而言（相對的）。

六、均勻流與非均勻流

6.1定義

當(dāng)流線為相互平行的直線時(shí)，或不存在位變加速度的流動(dòng)

mdudu八

u--+i/?--Y+?,―工r三0

Ydxydydz

Suyduvduv

--+w--+u1三0

dxyvdydz

du.du.du.

U--+M?—^+Uzk三°

xrdxydydz

6.2均勻流的特征

1、過水?dāng)嗝鏋槠矫?，且其形狀和尺寸沿程不?/p>

14

2、同一流線上不同處的流速相等，沿程各過水?dāng)嗝娴牧魉俜植夹螤钕嗤?、斷面平均流速?/p>

等。

3、過水?dāng)嗝嫔蟿?dòng)水壓強(qiáng)分布規(guī)律與靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律相同，即在同一過水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)的測

壓管水頭相等，但不同流程的過水?dāng)嗝嫔系臏y壓管水頭不相同。

6.3非均勻流

若流線不是相互平行的直線，稱非均勻流。

按流線不平行和彎曲的程度，可將非均勻流分為兩種類型

（1）漸變流（緩變流）流線雖不平行，但接近平行直線；流線之間夾角小，或流線曲率半

徑較大，均可視為漸變流。漸變流的極限就是均勻流

（2）急變流標(biāo)準(zhǔn)

通過試驗(yàn)比較確定。如果假定的漸變流斷面上，動(dòng)水壓強(qiáng)分布近似為靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律，并

且所求出的動(dòng)水壓力和實(shí)際情況（試驗(yàn)）較為吻合，則可視為漸變流斷面。

本質(zhì)

沿流動(dòng)垂直的方向慣性力（加速度）可以忽略不計(jì)。例如，離心力。

判斷

漸變流與水流邊界關(guān)系密切

漸變流：水流邊界平行的直線邊界處的水流，漸變流斷面上動(dòng)水壓強(qiáng)分布規(guī)律固體邊界約

束的漸變流過水?dāng)嗝鎰?dòng)水壓強(qiáng)符合靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律。漸變流斷面上動(dòng)水壓強(qiáng)分布規(guī)律：

水流射入大氣中時(shí)的漸變流斷面，動(dòng)水壓強(qiáng)不服從靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律

漸變流斷面上動(dòng)水壓強(qiáng)分布規(guī)律

固體邊界約束的漸變流過水?dāng)嗝?，?dòng)水壓強(qiáng)符合靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律

水流射入大氣中時(shí)的漸變流斷面，動(dòng)水壓強(qiáng)不服從靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律。

流線間交角很大，或流線曲率半徑很小的流動(dòng)

本質(zhì)沿流動(dòng)垂直方向存在慣性力，如離心力

特征急變流斷面上動(dòng)水壓強(qiáng)不符合靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律

例如，孔口收縮斷面，其上流線近似平行，各點(diǎn)均與大氣接觸，壓強(qiáng)約為大氣壓強(qiáng)。

急變流：管道轉(zhuǎn)彎斷面突然擴(kuò)大或縮小明渠水面急劇變處

第三節(jié)恒定總流的連續(xù)方程

液體運(yùn)動(dòng)必須遵循：質(zhì)量守恒的普遍規(guī)律，液體的連續(xù)方程就是質(zhì)量守恒定律的一種形式

現(xiàn)推導(dǎo)如下：

從恒定流中取一微小束，其中符號見圖

15

I\/?W]d4d/="，2以2出

化簡得/〃]必=u2dA2

n/恒定微小流束的連續(xù)方程

將上式沿總流過水?dāng)嗝孢M(jìn)行積分

Q=Jd^=,訓(xùn)=J”2dz2

Q44

0=Jd°=4K=A2V2

Q

移動(dòng)得—=—

嶺4

流量一定時(shí)，斷面平均流速與斷面面積成反比。在過水?dāng)嗝娣e小處，流速大；過水?dāng)嗝婷娣e

大處，流速小。管道越粗，流速越小，管道細(xì)，流速越大。

3.8理想液體運(yùn)動(dòng)的微分方程

理想液體的概念

液體的主要物理性質(zhì)影響液體的運(yùn)動(dòng)。特別是液體粘滯性存在，使水流運(yùn)動(dòng)的分析變得

非常復(fù)雜。為簡化起見，引入“理想液體”概念。

不可壓縮、不能膨脹、連續(xù)介質(zhì)、沒有粘滯性、沒有表面張力。實(shí)際液體的壓縮性和膨

脹性很小，表面張力也很小，與理想液體沒有很大的差別。所以，理想液體和實(shí)際液體主要

16

差別是液體粘滯性。理想液體得出的液體運(yùn)動(dòng)結(jié)論，必須對未考慮粘滯性而引起的偏差進(jìn)行

修正。

雖然并不存在理想液體，但有些問題，如粘滯力比其他力要小得多時(shí)，為了分析問題筒

單起見，可把粘滯力略去不計(jì)，用理想液體去代替實(shí)際液體，其結(jié)果有足夠的準(zhǔn)確性。所以

研究理想液體動(dòng)力學(xué)是有實(shí)際意義的。

dy

在運(yùn)動(dòng)的液體中取出一塊平行六面微元體

該六面體受質(zhì)量力和表面力作用

設(shè)形心點(diǎn)：A=A(x,y,z),邊長：dr,dy,dz

1、表面力

壓強(qiáng)面積

左側(cè)面dxdz

x,y-d-yzdudy

9u,---x

*dy2dy2

右側(cè)面dydxdz

xzdudy

>y+—^4---Y-p+曳蟲

Sy2dy2

2質(zhì)量力

17

X：

pKdxdvdz

J：

z：

z

X

考慮微元體的受力平衡，則

zdpdr.,,,dpdx.,力」，八

(p-不了加峰一(p+——)xdydz+pZdxdydz=0

dx2

zdpdy」,AA

Cp---------)AdJrdz-(p+-------)dydz+pYdxdydz=pt?dxdydz

dy2dy2v

)dxdy-(/7+^--)dxdy+/iZdxd^dz=0

dz2Gz2

18

z

X

以pdxdydz除上式，并化簡，則

X」曳』

pdx

y15p

v-Pdy

71dp

Z一一二=4

IPSz

_duxdurduYdux

+Ux--+w--+ll.

見一d/二17dxvdz

d/.(x,y,z")5uv5uva”,.duv

=----+〃、—

<av=-----------------+w

yd/dtdxSydz

du.(x,:y,z,t)du.du.du_du.

a.=-=——-------—+z心-^+z/—二十〃一—

Atdtdxrdz

時(shí)變加速度分量（三項(xiàng)）位變加速度分量（九項(xiàng)）

理想液體的運(yùn)動(dòng)微分方程

19

-A、

P^y

1dp

Z7——f=4-

〔pbz

方程中未知數(shù)為：

p,UX,uy,〃z=4方程數(shù)目：3連續(xù)方程：1微分方程組可解

第四節(jié)恒定元流的能量方程

一、理想液體的恒定元流的能量方程

從理想液體恒定流中取出一柱狀微小流束，并截取1-1和2-2斷面之間的流段ds來研究,

流段可以看作橫斷面為必的柱體。

對微分段應(yīng)用s方向的牛頓第二定律，則

20

yd〃

—（p+dp）（L4—;1L4d5cosa=—dAds——

gd/

AuAudsAud/〃2

_______“________〃，，-------f,J

dzdsdrdsd§22

rp、th）p7u2

ydAds^stk-xl4dz--=ZH-----+-—9

Pg2g2pg2g

化筒得

色（z+3+心=0

dsy2g

2

積分上式得到z+^+—=C

/2g

對微小流束上兩個(gè)過水?dāng)嗝鎰t有

22

Z[H上--P-T-41--〃-]-=H-,-P--2-,1--〃-2-

y2gy2g

不可壓縮理想液體恒定流微小流束的能量方程（伯努里方程）,瑞士科學(xué)家伯努里（Bernoulli,

1738）

二、理想液體元流能量方程的意義

2.1物理意義

z：單位重量液體所具有的平均位能

-——單位重量液體所具有的平均壓能

P

Z+-——單位重量液體所具有的平均勢能

———單位重量液體所具有的平均動(dòng)能

2g

表明：在不可壓縮理想液體恒定流情況下，微小流束內(nèi)不同過水?dāng)嗝嫔?，單位重量液體所具

有的機(jī)械能保持相等（守恒）。

2.2幾何意義

Z一位置水頭

P——壓強(qiáng)水頭

21

z+￡?測壓管水頭

Y

——一一表示在不計(jì)外界阻力的情況下，液體質(zhì)點(diǎn)以鉛垂向上的速度u所能達(dá)到的高度,

2g

稱為流速水頭。

故該式表明：不可壓縮理想液體恒定流情況下，在不同元流的過水?dāng)嗝嫔?，位置水頭、壓強(qiáng)

水頭和流速水頭之間可以相互轉(zhuǎn)化，但總水頭沿程不變。

三、畢托管測流速原理

畢托管測流速是常用的用來測量液體點(diǎn)流速的一種儀器。其測量流速原理就是液體的能

量轉(zhuǎn)換和守恒原理。簡單的畢托管是?根很細(xì)的90彎管，它由雙層套管組成，并再兩管末

端連接測壓管（測壓計(jì)）。彎管頂端處A開個(gè)小孔與內(nèi)管相連，直通測壓管2,再彎管前

端B處，沿外套管周界均勻地開一排與外管壁相垂直的小孔，直通測壓管1.測量流速時(shí)，

將畢托管前端放置再被測點(diǎn)A處，并且正對水流方向，只要讀出這兩根測壓管的液面高差，

即可求得所測點(diǎn)的流速?，F(xiàn)將原理用公式表示。

〃=w2g=川2gAh

22

A

四、實(shí)際液體元流的能量方程

由于實(shí)際液體存在粘滯性，在流動(dòng)過程中液體內(nèi)部要產(chǎn)生摩擦阻力，液體運(yùn)

動(dòng)時(shí)克服摩擦阻力要消耗一定的機(jī)械能。而且是轉(zhuǎn)化熱能而散逸，不再恢復(fù)成為

其他的能量。對水流來說就是損失了一定的機(jī)械能，液體在流動(dòng)過程中機(jī)械能要

沿程減少。因此，對實(shí)際液體而言，總是

令hw為元流實(shí)際液體單位重量從上游1-1斷面流至下游2-2斷面的能量損失,也稱為元流的

水頭損失，根據(jù)能量守恒原理可得不可壓縮實(shí)際液體恒定元流的能量方程（伯諾里方程）。

它表明：在不可壓縮實(shí)際液體恒定流情況下，元流中不同的過水?dāng)嗝嫔峡偰芰渴遣幌嗟鹊?

而且總能量沿流程減少。

23

第五節(jié)恒定總流的能量方程

一、恒定總流的能量方程

(1)作用于理想液體的質(zhì)量力是有勢的

(2)液體是不可壓縮的，其密度是常數(shù)

(3)存在下列條件之一，使上述行列式為零，方程可積

不可壓縮實(shí)際液體恒定流微小流束的能量方程為

22

22

Z+a+JZ+也+塵+0'

Z1十十C十十十

12gy2g

產(chǎn)+2沙?+小2方呢

22

卜+爭領(lǐng)+期口”?施+吃超+汽施

QQ2gQ

上式共含三類積分：

1、第一類積分在漸變流過水?dāng)嗝鏃l件

24

f(z+—)ydQ^(z+—)fydg=(z+—}yQ

QyrQr

2、第二類積分：f—yd2=f—

W2g22g

引入動(dòng)能修正系數(shù)。＞1,則

U

式中，為動(dòng)能修正系數(shù)，其值取決于過水?dāng)嗝嫔狭魉俜植记闆r。斷面流速分布完全均勻,

。=1;流速分布越不均勻，。越大；漸變流時(shí)，a=1.05~1.10；一般取a=1。

3、第三類積分：Jhw'ydQ

Q

假定各個(gè)微小流束的單位重量液體所損失的能量。用〃獷用某一個(gè)平均值〃w代替，則

JJ網(wǎng)。=泮“。

Q2

將三種類型的積分結(jié)果代入，各項(xiàng)同除以YQ，則

22

f(Z|+a+2)NQ=J⑵+乙+2+6「)網(wǎng)。

QV2g1y2g

.22.

J(Z+a)MQ+J?>dQ=J(Z2+上力dQ+J^-yAQ+\熊'yd。

Qy%2g%yQ2sQ

22

P21處

Z]+￡L+竺L_=Z?++兒

y2gy2g

naV

水力學(xué)基本方程之一：H=z+二+——

y2g

不可壓縮實(shí)際液體恒定總流的能量方程

3.12.2能量方程物理意義和幾何意義

H=2+C+Q

Y2g

H尸氏+hw

物理意義

25

z：單位重量液體所具有的平均位能

P

單位重量液體所具有的平均壓能

/

P

Z+-：單位重量液體所具有的平均勢能

—：單位重量液體所具有的平均動(dòng)能

2g

hw:單位重量液體的平均能量損失

H:單位重量液體所具有的平均機(jī)械能

H1=H2+hw兩斷面之間單位能量守恒

幾何意義

z：位置水頭

P

壓強(qiáng)水頭

y

p

z+—：測壓管水頭

Y

CCV'

—:速度水頭

2g

hw.,水頭損失

H:總水頭

二、能量方程的幾何圖示——水頭線

為了形象地反映總流中各種能量的變化規(guī)律，可將能量方程用圖形表示。

縱坐標(biāo)——長度（方程各項(xiàng)都具有長度因次），鉛垂方向

橫坐標(biāo)——流程坐標(biāo)，管道：軸線；明渠：渠道底，并都將建筑物（管道、明渠）輪廓一并

畫出。

代表點(diǎn)——過水?dāng)嗝嫔?，各點(diǎn)位置水頭、壓強(qiáng)水頭不同，所以，要在過水?dāng)嗝孢x取代表點(diǎn)。

管道：管中心明渠：自由表面。

26

0

水力坡度

總水頭線沿流程的降低值與流程之比，為水力坡度當(dāng)總水頭線為直線時(shí)，其可表示為

J/--H-「--H°--hw

當(dāng)總水頭線為曲線時(shí)，其可表示為

27

第六節(jié)能量方程的應(yīng)用

一、能量方程的應(yīng)用條件及注意事項(xiàng)

1、水流是恒定流，并且液體是不可壓縮均質(zhì)的；

2、作用于液體上的質(zhì)量力只有重力；

3、在所選的兩個(gè)過水?dāng)嗝姹仨毷欠蠞u變流斷面或均勻流斷面，以符合斷面上各點(diǎn)

例如，管道進(jìn)口上游處；水庫上游來流斷面；孔口出流收縮斷面；管道出口等

兩個(gè)斷面之間可以是急變流

4、限定兩個(gè)過水?dāng)嗝嬷g，流量保持不變，其間沒有流量的加入和分出（匯流和分流）

5、所取過水?dāng)嗝?-1及2-2之間，除了水頭損失之外，沒有其他機(jī)械能的輸入和輸出。

1.1有流量匯入或分出時(shí)的能量方程

公式推導(dǎo)時(shí)，限定兩個(gè)過水?dāng)嗝嬷g，流量保持不變，其間沒有流量的加入和分出（匯

流和分流）但應(yīng)用時(shí),兩個(gè)斷面之間有匯流和分流的情況，仍可應(yīng)用能量方程。

圖為兩支匯合的水流，每一支流量分別為Q2,根據(jù)能量守恒的物理概念，單位

時(shí)間內(nèi)，從1-1斷面及2-2斷面流入的液體總能量應(yīng)等于3-3斷面輸出的總能量加上兩支水

流能量的損失，即

22

⑵+包+岑。闋+g+也+竽-+

y2gy2g

2

=%+—+竽-＞。3+

y2g

28

根據(jù)能量守恒的概念，單位時(shí)間內(nèi)，從1-1斷

面及2-2斷面流入的液體總能量等于3-3斷面輸出

的總能量，再加上兩支水流能量的損失，即

22

(^+―+3巧闋+0+匹+竽-+初)嗎

y2gy2g

2

=93+—+竽-)>。3+?wl-3+也2%-3

y2g

22

/Pla.V.、c/p卬2/c

⑵+乜+-P-^yQy+(z+—2+4^-+

y2g2y2g

2

=(z3+-+-1-)yQ3+>01%-3+》。2%-3

y2g

Q+02=03=

22

闋億+莊+平)-(馬+正+*)-〃“『+

_72gy2g_

-22

yQi(^2+—+-(^3+—+-h2-3三On

_y2gy2gW_

水流匯流

29

+△+式.pa3y32

Z33

z3+—+-+4Wl-3

y2gy2g

22

a2V2

ZPl|上凸,a3V3,h

2++一+-；—+%-3

y2gy2g

水流分流

22

皿7Pla2V2

勺z十+a+十CZ2+—+~~+h〃w,\-2

y2gy2g

22

馬+且+筍=馬+正+平+〃,

y2gy2g\rl-3

1.2流程中有能量輸入或輸出

以上所推導(dǎo)的總流能量方程，沒有考慮由1-1斷面到2-2斷面之間，中途有能量輸入水

流或從水流內(nèi)部輸出能量的情況。有些情況下，兩個(gè)斷面之間有能量的輸入和輸出，例如，

?抽水管路系統(tǒng)中設(shè)置的抽水機(jī)，是通過水泵葉片轉(zhuǎn)動(dòng)向水流輸入能量。

30

如果選擇的斷面1-1到2-2之間有能量輸入或輸出時(shí)，水流能量方程為:

22

4+口+±a=z)+—+--+/?,

V2gy2g

式中，H為水力機(jī)械對單位重量液體所作的功。

當(dāng)為輸入能量時(shí)，H前符號為“+”，如水泵，，計(jì)算公式為

乩=

yQ

式中，M為馬達(dá)功率

〃P為馬達(dá)和抽水機(jī)總機(jī)械效率

單位：Ht(m)

總和7VP(N-m.s-1)=(W),或(kW)

1馬力=735(W)=0.735(kW)

所以流程中有能量輸入或輸出

22

4+且+也±乩=22+口+。+〃

12gy2g

1、不可壓縮恒定流

2、所選的兩個(gè)過水?dāng)嗝姹仨毷菨u變流斷面

3、水流匯流

31

+△+式.pa3y32

Z33

z3+—+-+4Wl-3

y2gy2g

22

Pl|a2V2上凸,a3V3,h

Z2++一+-；—+%-3

y2gy2g

水流分流

22

皿7Pla2V2

勺z十+a+十CZ2+—+~~+h〃w,\-2

y2gy2g

22

必+皿

勺Z十+2+十皿CZ3++〃“l(fā)-3

y2gy2g

4能量輸入或輸出

22

，.P\.a\VCLT-,正+儂j

Z|+一+——±+H~Z72+w

y2gy2g

1.3應(yīng)用能量方程注意事項(xiàng)

1）選擇一個(gè)任意的水平面，作為基準(zhǔn)面，一般z>0公式中壓強(qiáng)項(xiàng)取相對壓強(qiáng)；

2）計(jì)算斷面上z+p/Y值可取斷面任一點(diǎn)的數(shù)值，但是習(xí)慣上，明渠取水面點(diǎn)，管道取管心

點(diǎn)值為代表；

3）平均流速是斷面平均流速，與代表點(diǎn)和基準(zhǔn)面選擇無關(guān)。在漸變流的條件下，大部分情況

下的動(dòng)能修正系數(shù)可取1:

4）兩個(gè)斷面之間的水頭損失不要遺漏。

二、能量方程的應(yīng)用舉例

2.1判別水流運(yùn)動(dòng)方向

由于實(shí)際水流在運(yùn)動(dòng)過程中存在能量損失，根據(jù)恒定總流的能量方程，水流一定是從總

機(jī)械能高處流向總機(jī)械能低處。

2.2文丘里流量計(jì)

文丘里流量計(jì)是用于測量管道中流量大小的一種裝置，它包括“收縮段”、“喉管”和“擴(kuò)散

段”三部分。安裝在需要測定的管段中。其測量原理就是恒定總流的能量方程。

?-?Pi+^-/n,h-r(z2-h)=p2

.M+且-%+正)=今〃

YYY

22

...Z”+以=Z2+&小

y2gY2g

Q=冰(d”%)Jl2.6〃(〃=0.95?0.98)

Q=vcAc=&pAyj2^H0=ju.

32

2.3孔口恒定出流

Q=vA=￡(PA、2gH。=〃Aj2gHo

cc

根據(jù)試驗(yàn)研究，對于小孔口

?！╡

0.97?0.980.60?0.620.63?0.64

不同孔口形式的流速系數(shù)、收縮系數(shù)、流量系數(shù)是不同的，可參考有關(guān)手冊。

2.4管咀恒定出流問題

33

22

+兒

2gY2g

>=

匕=/1廣J2g=>Q=vcAc

也.+1

A1

￡=Uc，。=/”，〃=￡。

"J&C+7o

Q=匕4=￡（P2g（H「Pc）=〃（J2g（%一氏）

34

要求管咀的長度（3?4）d,管咀太短，管咀真空度受到破壞；管咀過長，管段阻力增

加，減弱流量。

可以比較一下，孔口和管嘴的流量大小，假定兩者的水頭和管徑相同。

第七節(jié)恒定總流的動(dòng)量方程

一、恒定總流的動(dòng)量方程

由理論力學(xué)可知，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定律為

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在某個(gè)方向的變化，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的沖量在同一方向投影

的代數(shù)和。依據(jù)動(dòng)量原理，推求液體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量變化規(guī)律。

在恒定總流中，取一流段研究，如下圖所示。

經(jīng)過時(shí)間后，流體從1-2運(yùn)動(dòng)至1'-2'

35

V

1

經(jīng)過時(shí)間△/后，流體從1-2運(yùn)動(dòng)至r-25

At忖間內(nèi)水流動(dòng)量變化AK

因?yàn)閿嗝嫔系牧魉俜植?般不知道，所以上述積分不能完成。如何解決這個(gè)積分問題？

比較式(2-68)和式(2-69)可知,

用斷面平均流速代替點(diǎn)流速，造成的誤差用一個(gè)動(dòng)量修正系數(shù)修正，則

36

K\.v-J〃[CL4]d/=%d/

44

KI.T-J?%"2ddi2=BipV]jM2(142d/=pQ2/32v2dt

A24

J”必必Jii2U2dA2

法=5---------J3,=2---匕---。-----

按照動(dòng)量原理，則

\K=K2-T-K\-\=pQ2P2v2dz-pQP\匕df=ZFdf

P2（AV2-AVI）=EF

寫成投影式，則

PQ（02V2X-0MX）=￡FX

<必必-。、5￡月,

式中,Fx,Fy,Fz為作用于控制體上所有外力在三個(gè)坐

標(biāo)方向的投影（不包括慣性力）；

B動(dòng)量系數(shù)：對于漸變流斷面￡=1.02?1.05

一般取￡=1

二、動(dòng)量方程的應(yīng)用

1、方程中流速和作用力都是有方向的。寫動(dòng)量

方程之前，首先選擇坐標(biāo)軸，并注明其正向。

凡是和坐標(biāo)軸方向一致的力和流速為正，反之，則為負(fù)。坐標(biāo)軸是可以任意選擇的（但

是必須是笛卡兒坐標(biāo)），以計(jì)算方便為宜。

坐標(biāo)軸的選擇是有技巧的，坐標(biāo)軸的選擇應(yīng)使得未知數(shù)數(shù)目越少越好，最好一個(gè)方程一

個(gè)。

2、取一個(gè)控制體?？刂企w可任意選擇，通常由下列部分組成：

底部、側(cè)部：固體邊壁，例如，管壁，渠底

控制體表面：自由水面等

、橫向邊界：過水?dāng)嗝?/p>

例如，明渠水流：控制體包括有底板、側(cè)邊界，自由水面，過水?dāng)嗝?/p>

控制體取出后，在控制面上畫出未知力

37

3、做出受力圖，圖上畫上所有受力、流量、流速、壓力等矢量。

4、動(dòng)量方程是輸出項(xiàng)減去輸入項(xiàng)，不可顛倒。

況（僅2%-￡冊）=匯理

，聞電/a%

V

pQ（B1zz-P\V\，=￡F]

5、未知力的方向可以假定，若計(jì)算為正值，則說明假定正確：反之，則說明實(shí)際力的方向

和假定相反。

6、動(dòng)量方程只能求解三個(gè)未知數(shù)（或者三個(gè)分量），如果未知數(shù)的數(shù)目多于三，必須聯(lián)合其

他方程（連續(xù)方程、或能量方程）方可求解。

7、動(dòng)量方程推導(dǎo)時(shí)，要求流量沿程相等。但是，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，流量沿程可不等（例如，有

匯流或分叉情況），但動(dòng)量方程應(yīng)改為下列形式

Z（闋外Z（即血匕）=ZK

,￡（區(qū)/產(chǎn)Q2NS湛A'=￡Fy

ji

E（pQ。。-Z（闋￡%）1=Z￡

38

x：Z（闋，,沙）2-Z（區(qū)n

E（PQJ外jx）2=PQ1臟2x+PQ3P3V3X

,/

Z（PQ/MX）I=PQI0FIX

2.1彎管水流對立面管壁的作用力

有一垂直立面90°彎管，軸線弧長A=3.14m,兩斷面高程差△z=2m,1—1斷面中心壓

強(qiáng)/?1=117.6kN/m2,水頭損失〃w=0.1m,管徑c/=0.2m,Q=0.06m3/s,試求

水流對彎管的作用力。

X：短(0-自h)=￡FX=P「R,

Z：PQ(-0V-O)=EF,=P2-G-R:

39

22

av4P2.a2V，

7+h+'—+

Z.H1-----------Z)d------1---------Fnx

y2gy2g

%=?(及+且一為J

y

R,=卜仇pQvR=P-G+/3pQv

2尸_，/

D_Pi/p_P2加2

14巴一下

2.2水流對溢流壩的水平作用力

pQ(。期工-即0=%,=片比+尺

%=匕溫

%=匕=—

2*'bh,

仇=B\=B

如。喘+T("W>R、n

凡若耐-硝-即Q喘福-

2.3水流對垂直固定平面壁的沖擊力

從噴嘴中噴出的水流以速度V0射向與水流方向垂直的固定平面壁，當(dāng)水流被平面阻擋

后，對稱地分開。沿壁面的流速為V,若所考慮的流動(dòng)在一個(gè)水平面上，重力不起作用，求

此時(shí)射流對壁面的沖擊力。