7.4.1二項分布課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

二項分布第七章隨機(jī)變量及其分布人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第三冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引

學(xué)習(xí)單元4

二項分布與超幾何分布在函數(shù)的學(xué)習(xí)中,通過學(xué)習(xí)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本函數(shù),不僅加深了對一般函數(shù)概念的理解,而且奠定了建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解決不同類型實際問題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).類似地,二項分布和超幾何分布是兩類重要的概率模型,通過對它們的研究,可以幫助進(jìn)一步了解隨機(jī)變量在描述隨機(jī)現(xiàn)象中的作用,對隨機(jī)思想在解決實際問題中的作用也有更深入的理解.本學(xué)習(xí)單元的主要內(nèi)容有n重伯努利試驗、二項分布及其數(shù)字特征、超幾何分布及其均值以及兩種分布的簡單應(yīng)用.具體內(nèi)容結(jié)構(gòu)如下圖所示:本學(xué)習(xí)單元的難點在于能從實際問題中抽象出模型的特征,識別二項分布和超幾何分布,明確二項分布與超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別,并進(jìn)行簡單應(yīng)用.學(xué)習(xí)過程中要充分體驗從特殊到一般的探究過程,提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實例了解伯努利試驗,掌握二項分布及其數(shù)字特征.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算)2.能用二項分布解決簡單的實際問題.(數(shù)學(xué)建模)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點

二項分布1.伯努利試驗:我們把只包含

可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.

2.n重伯努利試驗:我們將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗稱為n重伯努利試驗.n重伯努利試驗具有如下共同特征:(1)同一個伯努利試驗重復(fù)做n次;

各次試驗成功的概率相同(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立.兩個

3.二項分布一般地,在n重伯努利試驗中,設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=

,k=0,1,2,…,n.

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機(jī)變量X服從二項分布,記作X~B(n,p).4.二項分布的均值與方差(1)兩點分布:如果隨機(jī)變量X服從兩點分布,那么E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)二項分布:如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).

當(dāng)n=1時,即為兩點分布微思考1.在n次獨立重復(fù)試驗中,各次試驗的結(jié)果相互有影響嗎?

2.二項分布與兩點分布有何聯(lián)系?提示

在n次獨立重復(fù)試驗中,各次試驗的結(jié)果相互之間無影響.因為每次試驗是在相同條件下獨立進(jìn)行的,所以第i+1次試驗的結(jié)果不受前i次結(jié)果的影響(其中i=1,2,…,n-1).提示

在二項分布中,當(dāng)n=1時,隨機(jī)變量服從兩點分布.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1什么是伯努利試驗?問題2什么是n重伯努利試驗?有何特征?如何判斷?問題3在伯努利試驗中,我們關(guān)注某個事件A是否發(fā)生,而在n重伯努利試驗中,我們會關(guān)注什么?更深入分析,事件A發(fā)生的次數(shù)是一個隨機(jī)變量,那我們會關(guān)注什么?探究點一n重伯努利試驗概率的求法問題4如何求n重伯努利試驗的概率?【例1】

甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是,假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo)相互獨立,甲、乙相互之間沒有影響.(結(jié)果需用分?jǐn)?shù)作答)(1)求甲射擊3次,至少有1次未擊中目標(biāo)的概率;(2)若兩人各射擊2次,求甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率.規(guī)律方法

n重伯努利試驗概率求法的三個步驟(1)判斷:依據(jù)n重伯努利試驗的特征,判斷所給試驗是不是n重伯努利試驗.(2)分拆:將復(fù)雜事件表示成若干個互斥事件的并.(3)計算:就每個事件依據(jù)n重伯努利試驗的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式計算.探究點二求兩點分布與二項分布的均值問題5伯努利試驗的概率分布有何特征?n重伯努利試驗的概率分布有何特征?這些概率分布有何性質(zhì)?【例2】

某運動員投籃命中率為p=0.6.(1)求投籃1次時命中次數(shù)X的均值;(2)求重復(fù)5次投籃時,命中次數(shù)Y的均值.解

(1)投籃1次,命中次數(shù)X的分布列如下表.X01P0.40.6則E(X)=0.6.(2)由題意,重復(fù)5次投籃,命中的次數(shù)Y服從二項分布,即Y~B(5,0.6),則E(Y)=5×0.6=3.規(guī)律方法

常見的兩種分布的均值設(shè)p為一次試驗中成功的概率,則(1)兩點分布E(X)=p;(2)二項分布E(X)=np.熟練應(yīng)用上述公式可大大減少運算量,提高解題速度.探究點三二項分布的應(yīng)用問題6n重伯努利試驗的概率分布有何性質(zhì)?如何利用其來解決問題?【例3】

高二(1)班的一個研究性學(xué)習(xí)小組在網(wǎng)上查知,某珍稀植物種子在一定條件下發(fā)芽成功的概率為,該研究性學(xué)習(xí)小組又分成兩個小組進(jìn)行驗證性試驗.(1)第一小組做了5次這種植物種子的發(fā)芽試驗(每次均種下一粒種子),求他們的試驗中至少有3次發(fā)芽成功的概率.(2)第二小組做了若干次發(fā)芽試驗(每次均種下一粒種子),如果在一次試驗中種子發(fā)芽成功就停止試驗,否則將繼續(xù)進(jìn)行下次試驗,直到種子發(fā)芽成功為止,但試驗的次數(shù)最多不超過5次.求第二小組所做種子發(fā)芽試驗的次數(shù)ξ的分布列.解

(1)至少有3次發(fā)芽成功,即有3次、4次、5次發(fā)芽成功.設(shè)5次試驗中種子發(fā)芽成功的次數(shù)為隨機(jī)變量X,規(guī)律方法

1.二項分布的簡單應(yīng)用是求n重伯努利試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率.解題的一般思路是:根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量→分析出隨機(jī)變量服從二項分布→找到參數(shù)n,p→寫出二項分布的分布列→將k值代入求解概率.2.利用二項分布求解“至少”“至多”問題的概率,其實質(zhì)是求隨機(jī)變量在某一取值范圍內(nèi)的概率,一般轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件發(fā)生的概率的和,或者利用對立事件求概率.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)n重伯努利試驗的概念及特征;(2)二項分布的概念及表示;(3)二項分布的均值、方差;(4)二項分布的性質(zhì).2.方法歸納:公式法,數(shù)學(xué)建模.3.常見誤區(qū):對于隨機(jī)變量是否服從二項分布容易判斷錯誤.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123456789101112A級必備知識基礎(chǔ)練1.(多選題)若隨機(jī)變量X服從二項分布B(4,),則下列結(jié)論正確的有(

)A.P(X=1)=P(X=3)B.P(X=2)=3P(X=1)C.P(X=4)=2P(X=0)D.P(X=3)=4P(X=1)BD13123456789101112131234567891011122.已知X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,則n與p的值分別為(

)A.100和0.08 B.20和0.4C.10和0.2 D.10和0.8D131234567891011123.某同學(xué)上學(xué)路上要經(jīng)過3個路口,在每個路口遇到紅燈的概率都是,且在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的,記X為遇到紅燈的次數(shù),若Y=3X+5,則Y的標(biāo)準(zhǔn)差為(

)A131234567891011124.唐代詩人張若虛在《春江花月夜》中曾寫道:“春江潮水連海平,海上明月共潮生.”潮水的漲落和月亮的公轉(zhuǎn)運行有直接的關(guān)系,這是一種自然現(xiàn)象.根據(jù)歷史數(shù)據(jù),已知沿海某地在某個季節(jié)中每天出現(xiàn)大潮的概率均為,則該地在該季節(jié)連續(xù)三天內(nèi),至少有兩天出現(xiàn)大潮的概率為(

)A13解析

該地在該季節(jié)連續(xù)三天內(nèi),至少有兩天出現(xiàn)大潮包括兩天或三天出現(xiàn)大潮,123456789101112131234567891011125.甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽,比賽采取五局三勝制,無論哪一方先勝三局比賽都結(jié)束,假定甲每局比賽獲勝的概率均為,則甲以3∶1的比分獲勝的概率為(

)A解析

當(dāng)甲以3∶1的比分獲勝時,說明甲、乙兩人在前三場比賽中,甲只贏了兩局,乙贏了一局,第四局甲贏,所以甲以3∶1的比分獲勝的概率為13123456789101112BCD1312345678910111213123456789101112131234567891011127.在4次獨立重復(fù)試驗中,事件A發(fā)生的概率相同,若事件A至少發(fā)生1次的概率為,則在1次試驗中事件A發(fā)生的概率為

.

131234567891011128.小明參加社區(qū)組織的射擊比賽活動,已知小明射擊一次,擊中區(qū)域甲的概率是,擊中區(qū)域乙的概率是,擊中區(qū)域丙的概率是,區(qū)域甲、乙、丙均沒有重復(fù)的部分.這次射擊比賽獲獎規(guī)則是:若擊中區(qū)域甲則獲一等獎;若擊中區(qū)域乙則有一半的機(jī)會獲得二等獎,有一半的機(jī)會獲得三等獎;若擊中區(qū)域丙則獲得三等獎;若擊中上述三個區(qū)域以外的區(qū)域則不獲獎.獲得一等獎和二等獎的選手被評為“優(yōu)秀射擊手”稱號.(1)求小明射擊1次獲得“優(yōu)秀射擊手”稱號的概率;(2)小明在比賽中射擊4次,每次射擊的結(jié)果相互獨立,設(shè)獲三等獎的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.131234567891011121312345678910111213123456789101112B級關(guān)鍵能力提升練9.在4次獨立重復(fù)試驗中,隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生2次的概率,則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率p的取值范圍是(

)A.[0.4,1) B.(0,0.4] C.(0,0.6] D.[0.6,1)A∴4(1-p)≤6p.∵0<p<1,∴0.4≤p<1.1312345678910111210.(多選題)若隨機(jī)變量X~B(5,),則P(X=k)最大時,k的值可以為(

)A.1 B.2 C.3 D.4AB1312345678910111211.某同學(xué)共投籃12次,每次投籃命中的概率為0.8,假設(shè)每次投籃相互獨立,記他投籃命中的次數(shù)為隨機(jī)變量X,則D(2X)=

,該同學(xué)投籃最有可能命中

次.

7.6810解析

由二項分布的定義可知,X~B(12,0.8),故D(2X)=22D(X)=4×12×0.8×(1-0.8)=7.68.設(shè)該同學(xué)投籃最有可能命中m次,131234567891011121312345678910111212.用三種不同的手勢分別表示石頭、剪刀、布,兩個玩家同時出示各自手勢1次記為1次游戲,“石頭”勝“剪刀”,“剪刀”勝“布”,“布”勝“石頭”.雙方出示的手勢相同時,不分勝負(fù).現(xiàn)假設(shè)玩家甲、乙雙方在游戲時出示三種手勢是等可能的.(1)求在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率;

(2)若玩家甲、乙雙方共進(jìn)行了3次游戲,其中玩家甲勝玩家乙的次數(shù)記作隨機(jī)變量X,求X的分布列.13123456789101112解

(1)用x1,x2分別表示玩家甲、乙雙方在1次游戲中出示的手勢,則可用(x1,x2)表示玩家甲、乙雙方在1次游戲中出示手勢的可能結(jié)果,則樣本空間Ω={(石頭,石頭),(石頭,剪刀),(石頭,布),(剪刀,石頭),(剪刀,剪刀),(剪刀,布),(布,石頭),(布,剪刀),(布,布)},共有9個樣本點.玩家甲勝玩家乙的樣本點分別是(石頭,剪刀),(剪刀,布),(布,石頭),共有