41-第四章第一節(jié)(概率統(tǒng)計)

第四章隨機變量的數(shù)字特征4.1隨機變量的數(shù)學期望內(nèi)容摘要:利用與算術(shù)平均類比的方法,我們提出了離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望的概念,研究了數(shù)學期望的運算性質(zhì),探討了隨機變量函數(shù)的期望計算問題,并對期望概念、期望性質(zhì)、隨機變量函數(shù)關(guān)系和實際問題等分別進行了應(yīng)用.第四章隨機變量的數(shù)字特征4.1隨機變量的數(shù)學期望

問題1：氣象分析中常考察某一時段的雨量、濕度和日照等氣象要素的平均值和極端值以判定氣象情況,而不必掌握每一個氣象變量的分布函數(shù).在這些用來作為顯示隨機變量分布特征的數(shù)字中,最重要的就是隨機變量的數(shù)學期望、方差以及各階矩.4.1.1

提出問題算術(shù)平均

考90分成績的有10人，考80分的有20人，考60分的有13人.問：這33人的平均考試成績是多少分？

4.1.2

預備知識4.1.3問題分析數(shù)學期望的概念

引例現(xiàn)考查一批5萬只的燈泡.為了評估燈泡的使用壽命(設(shè)每只燈泡的壽命是一個隨機變量X(單位:小時)),現(xiàn)從中隨機抽取100只.測試結(jié)果如下:頻率162632206燈泡數(shù)(頻數(shù))12501200115011001050壽命(小時)可求得這100只燈泡的平均壽命為

可見，這100只燈泡的平均壽命為1163小時.可以認為，這5萬只燈泡的壽命是1163小時.這里，我們注意取值和取該值頻率的乘積相加求和關(guān)系.

1.離散型隨機變量的數(shù)學期望

定義1

設(shè)離散型隨機變量X的分布律為P{X=}=,k=1,2,3,…

若級數(shù)絕對收斂,則稱數(shù)項級數(shù)的和為離散型隨機變量X的數(shù)學期望,記為E(X).即4.1.4提出概念

在實際試驗中所得到的隨機變量觀察值的算術(shù)平均與數(shù)學期望值有密切聯(lián)系.設(shè)在n次獨立試驗中,隨機變量X

取xk的頻數(shù)為nk

,頻率,則可以計算出X觀察值的算術(shù)平均值為

此式實際上是一種加權(quán)算術(shù)平均，把它與(4.1.1)式比較,它與X的理論分布的數(shù)學期望E(X)的計算方法是相似的,只是用頻率代替了概率.隨著試驗次數(shù)n的增加,頻率fn(xk)會越來越接近于概率pk(此性質(zhì)參見第五章伯努利大數(shù)定律),

故的取值也會愈接近E(X).因此,我們也把數(shù)學期望E(X)稱為X的均值.2.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望

類似于(4.1.1)式,我們可以由此給出連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望的定義.

定義2設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x),若積分絕對收斂,則稱積分的值為連續(xù)型隨機變量X的數(shù)學期望,記為E(X).即

E(X)=

.(4.1.3)

數(shù)學期望簡稱期望,又稱為均值.

例4.1.1

某人甲有一筆資金，可投入兩個項目：房產(chǎn)和商業(yè)，其收益都與市場狀態(tài)有關(guān).若把未來市場劃分為好、中、差三個等級，其發(fā)生的概率分別為0.2，0.7和0.1.通過調(diào)查，該投資者認為投資房產(chǎn)的收益X(單位：萬元)和投資商業(yè)的收益Y(單位：萬元)的分布分別為

4.1.5方法應(yīng)用

X113-3

P

0.20.70.1

Y

64-1

P

0.20.70.1請問該投資者如何投資為好

?我們先考察數(shù)學期望(平均收益)：解E(X)=11×0.2+3×0.7+(-3)×0.1=4.0(萬元),

E(Y)=6×0.2+4×0.7+(-1)×0.1=3.9(萬元).可見，從平均收益看，投資房產(chǎn)收益大，可比投資商業(yè)多收益0.1萬元.隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望

定理1

設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù)).

(1)設(shè)X是離散型隨機變量,它的分布律為

P{X=xk}=pk,k=1,2,3,…,

若絕對收斂,則有

E(Y)=E[g(X)]=.(4.1.4)

4.1.4′理論研究

(2)設(shè)X是連續(xù)型隨機變量,它的概率密度f(x),若絕對收斂,則有E(Y)=E[g(X)]=.(4.1.5)證明略.

定理的重要意義在于,

當我們求隨機變量函數(shù)的期望E(Y)

時,不必算出Y的分布律或概率密度,

而只需利用X的分布律或概率密度就可以了,定理的證明略.換定義中的x為g(x),得到g(X)的數(shù)學期望計算公式.

上述定理還可以推廣到兩個或兩個以上隨機變量函數(shù)的情況.

講評

定理2設(shè)Z是二維隨機變量(X,Y)的函數(shù)Z=g(X,Y),其中g(shù)

是二元連續(xù)函數(shù).(1)設(shè)(X,Y)是離散型隨機變量,其分布律為P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,3,…,則當級數(shù)絕對收斂時,有

(4.1.6)

(2)設(shè)(X,Y)是連續(xù)型隨機變量,其密度函數(shù)為f(x,y),則當積分絕對收斂時,有(4.1.7)

★例4.1.2

繼續(xù)解讀例3.2.2和例3.3.2：設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為求(1)隨機變量X和Y的數(shù)學期望E(X)和E(Y)；

4.1.5′理論應(yīng)用

(2)

(1)

隨機變量X的數(shù)學期望解E(X2).由x,y的對稱性,

知隨機變量Y的數(shù)學期望E(Y)=0.（2）★例4.1.3

已知隨機變量的概率密度為求E(X),E(Y),E(X2)和E(XY).

解因為所以，同理,由x與y的對稱性得到

(1)設(shè)C是常數(shù),則有E(C)=C.(2)設(shè)X是一個隨機變量,C是常數(shù),則有

E(CX)=CE(X).(3)設(shè)X,Y是兩個隨機變量,則有E(X+Y)=E(X)+E(Y).

這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機變量之和的情況.4.1.4″

研究性質(zhì)

(4)設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量,則有

E(XY)=E(X)E(Y).

這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個相互獨立的隨機變量之積的情況.證

結(jié)論(1)和(2)由讀者自己證明.

我們以連續(xù)型隨機變量為例來證(3)和(4).

設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y),其邊緣概率密度為fX(x),fY(y).由(4.1.7)式所以結(jié)論(3)得證.

所以結(jié)論(4)得證.

因為X和Y相互獨立,

(2)X

與Y不獨立時,有關(guān)系式

E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)=E(X)E(Y)+E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.關(guān)于X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y)將在4.3節(jié)講到.講評(1)對于線性關(guān)系有

E(aX+b)=aE(X)+b,

E(aX+BY+c)=aE(X)+bE(Y)+c.

例4.1.4

一民航送客車載有20位旅客自機場開出,旅客有10個車站可以下車.如到達一個車站沒有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù),求E(X)(設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨立).解引入隨機變量

4.1.5″理論應(yīng)用

P{Xi=0}=,P{Xi=1}=1-,i=1,2,…,10.

E(Xi)=0·P{Xi=0}+1·P{Xi=1}=1-

,i=1,2,…,10.

易知停車次數(shù)滿足

X=X1+X2+…+X10.現(xiàn)在來求E(X).

依題意,任一旅客在第i站不下車的概率為,利用獨立性得到20位旅客都不在第i站下車的概率為,而在第i站有人下車的概率為1-,也就是由此得到數(shù)學期望：

E(X)=E(X1+X2+…+X10)=E(X1)

+E(X2)+…+E(X10)

=10[1-]=8.784(次).講評本題是將X分解成若干個獨立同服從

0-1分布的隨機變量之和,然后利用隨機變量和的數(shù)學期望等于隨機變量數(shù)學期望之和來求數(shù)學期望的,這種處理方法具有一定的普遍意義.

4.1.4

數(shù)學期望的應(yīng)用問題

例4.1.5

工程隊完成某項工程的時間X~N(100,16)(單位:天).甲方規(guī)定:若該工程在100天內(nèi)完成,發(fā)獎金10000元;若在100天至112天內(nèi)完成,只發(fā)獎金1000元;若完工時間超過112天,則罰款5000元.求該工程隊完成此項工程時獲獎的數(shù)學期望.解得獎金10000元的概率為

得獎金1000元的概率為

被罰款5000元的概率為故工程隊獲得獎金的數(shù)學期望為

10000×0.5+1000×0.4987-5000×0.00135

≈5492(元).

★例4.1.6

市場上對某種產(chǎn)品每年的需求量為X(噸),它服從[2000,4000]上的均勻分布.已知每出售1噸產(chǎn)品可賺3萬元;若售不出去,則每噸需付倉庫保管費1萬元.試問每年應(yīng)生產(chǎn)該產(chǎn)品多少噸,才能使平均收益最大?并求最大平均收益.于是有

解設(shè)每年應(yīng)生產(chǎn)該商品y

噸.依據(jù)題意，有2000≤y≤4000，則每年的收益已知

得到每年的平均收益

對E(R)=(-y2+7000y-4×106)求導,

令,知,當y=3500噸時最大平均收益

講評

(1)

此題型可以稱為“獲利問題”；(2)

解題關(guān)鍵在于建立分段函數(shù)關(guān)系式；(3)

解題難點在于計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望E(R)的表達式并求導.

例4.1.7

某汽車起點站分別于每小時10分、30分和55分鐘發(fā)車.若乘客不知發(fā)車的時間,在每小時內(nèi)的任一時刻隨機到達車站,求乘客等車的平均時間.

分析發(fā)車時間是確定的.汽車到站是隨機的.乘客不知發(fā)車的具體時間,也是隨機到達車站.求乘客等待發(fā)車的數(shù)學期望.

解設(shè)乘客到達車站的時刻為X(單位:分).則X~U[0,60].設(shè)乘客等候時間為Y,依題意得所以，

(1)此題型可以稱為“等候問題”；

(2)解題關(guān)鍵在于建立分段函數(shù)關(guān)系式；

(3)解題難點在于計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望E(Y).講評

例4.1.8

據(jù)統(tǒng)計:65歲的人在30年內(nèi)正常死亡的概率為0.98,因意外死亡的概率為0.02.保險公司開辦老人意外事故死亡保險,參保者僅需交納保險費1000元.若30年內(nèi)因意外事故死亡,公司賠償a元.問：

(1)如何確定賠償額度a,才能使保險公司期望獲得收益?

(2)若有10000人投保,公司期望總獲收益是多少?

解設(shè)Xi表示公司從第i個投保人處獲得的收益,i=1,2,…,10000,則的分布律為0.020.98P1000-a1000Xi

(1)由于公司不能虧本,故應(yīng)有

從而得到賠償額度滿足1000<a<50000(顯然,若a<1000,則無人投保),即公司每筆賠償小于50000元才能使公司獲益.

(2)

公司期望總收益為若公司每筆賠償40000元，則公司總收益的期望值為200萬元.講評

(1)此題型可以稱為“保險問題”;(2)解題關(guān)鍵在于建立含有參數(shù)的分布律.4.1.6

內(nèi)容小結(jié)

1.數(shù)學期望E(X)描述隨機變量X取值的平均大小,