理論力學-課件第11章

第十一章動能定理本章內容1力的功2質點的動能定理3質點系的動能定理4功率與功率方程機械效率5勢力場勢能機械能守恒定理6動力學普遍定理的綜合應用01力的功在機械運動中，功是度量力在一段路程上對物體作用的積累效應，力做功的結果是物體的機械能（包括動能和勢能）發(fā)生了變化。一、常力的功（11-1）圖11-1（11-2）即作用在質點上的常力沿直線路程所做的功等于力與質點位移矢量的數量積。式中，θ為力F與直線方向的夾角。若用s表示質點的位移矢量，則二、變力的功設質點M在變力F的作用下沿曲線運動，如圖11-2所示。由于質點M從M1運動到M2的的過程中，力F的大小和方向都是變化的，為了計算變力F在路程中所做的功，必須將質點走過的路程分成許多微小的弧段ds，每一微小弧段ds則可視為直線位移。而在這一微小弧段ds中，力F可視為常力，F在微小弧段ds中所做的功可寫為（11-3）式中，

稱為變力F的元功；是F與質點的速度v之間的夾角，它可視為力F與ds直線之間的夾角。圖11-2（11-4）設dr為質點M的微小位移，于是式（11-3）和（11-4）可表示為（11-5）（11-6）若以矢量式表示F和dr，則根據矢量運算法則，則得力的元功解析表示式為（11-7）于是，力F在M1M2路程上的功的解析表示式為（11-8）功的量綱為力的量綱與長度的量綱的乘積，即

。在國際單位制中，功的單位為J，即1N的力移動1m所做的功。三、合力的功或

（11-9）式（11-9）表明，作用于質點的所有力的合力在任一路程中所做的功，等于各分力在同一路程中所做功的代數和。利用式（11-9），可以方便地通過作用于質點的分力的功來計算出合力的功。四、幾種常見力的功1．重力的功或（11-10）式中，z1和z2分別為質點M在M1和M2位置上沿z軸的坐標。圖11-3若令

表示質點下降或上升的高度，則式（11-10）也可寫成（11-11）（11-10）式（11-11）中，當質點下降時用正號，上升時用負號，即質點在運動過程中重力的功等于其重量與下降或上升高度的乘積，下降時取正值，上升時取負值。（11-12）應用質心坐標公式為式中，

和

分別表示質點系質心C在初始位置和末了位置沿軸z的坐標；M為質點系的總質量。將其代入式（11-12），得（11-13）現在再研究質點系重力的功。質點系重力的功等于各質點重力功的代數和，因此有令

表示質點系的總重量，

表示質心下降或上升的高度，則式（11-13）可寫為式（11-14）表明，質點系在運動過程中其重力所做的功，等于質點系總重量與其質心下降或上升高度的乘積，下降時取正值，上升時取負值。任何物體皆可看成是質點系，因此，其重力所做的功均可按式（11-14）進行計算。（11-14）2．彈性力的功根據式（11-5），彈性力F的元功為由于則圖11-4

（11-15）即彈性力的功等于彈簧剛度系數與始末位置彈簧變形量平方之差的乘積的一半。由此可知，剛度系數確定后，彈性力的功只與彈簧在始末位置的變形量有關，而與變形的形式（拉伸或壓縮）及彈性力作用點的軌跡無關。于是，質點M由M1運動到M2時彈性力F的功為3．作用在定軸轉動剛體上的力的功由于剛體繞定軸轉動時，其轉角與某點運動的弧長的關系為因此，力F的元功又可表示為（11-16）圖11-5即作用于定軸轉動剛體上力的元功，等于該力對轉軸的矩（簡稱轉矩）和微轉角的乘積。

（11-17）

（11-18）顯然，當力矩轉向與角位移的轉向一致時，則功為正，反之為負。若作用于剛體上的是力偶，其力偶矩為M，且力偶的作用面與軸Oz垂直，則力偶對Oz的矩即為力偶矩M，因此有（11-19）五、約束力的功與理想約束

1．光滑固定支承面和滾動鉸鏈支座這兩類約束的約束力

總是和它作用點處的微小位移dr相垂直，如圖11-6所示。因此，這種約束力的功為零。（a）

（b）圖11-62．光滑固定鉸鏈支座和軸承這兩種約束力作用點的位移為零，如圖11-7所示。因此，約束力之功為零。（a）

（b）圖11-73．連接物體的光滑鉸鏈則這種約束力所做功的總和為零。圖11-84．無重剛桿因為剛桿上A，B兩點之間的距離在運動過程中始終保持不變，因此這兩點的微小位移在其連線上的投影應相等，即則即無重剛桿的約束力做功之和為零。圖11-95．不可伸長的柔索約束由于

，則由于柔索不可伸長，因此有于是即不可伸長的柔索的約束力做功之和為零。圖11-106．剛體在固定面上無滑動的滾動剛體在固定面無滑動的滾動，P為瞬時速度中心

，因此由此得.

即剛體在固定面無滑動的滾動時，約束力所做功之和為零。圖11-1102質點的動能定理一、質點的動能質點的動能等于質點質量與其速度平方之積的一半。它是質點機械運動強度的另一種度量。設質點質量為m，速度大小為v，則質點動能可表示為

（11-20）動能是標量，恒為正值或為零。動能的量綱為質量的量綱與速度的量綱平方的乘積，即,與功的量綱相同。在國際單位制中，動能的單位也是J。二、質點的動能定理設質量為m的質點M在力F（合力）的作用下沿曲線運動，如圖11-12所示。由質點動力學基本方程考慮到

，代入上式得等式兩邊均點乘dr，則有或寫為則上式又可寫為這就是質點動能定理的微分形式，即質點動能的微分，等于作用于質點上的力的元功。（11-21）圖11-12或質點動能定理建立了質點動能和力的功之間的關系，它把質點的速度、作用力和質點的路程聯系在一起，對于需要求解這三個物理量的動力學問題，應用動能定理是方便的。此外，通過動能定理對時間求導，式中將出現加速度，因此動能定理也常用來求解質點的加速度。（11-22）這就是質點動能定理的積分形式，即質點在某運動過程中動能的改變，等于作用于質點上的力在同一過程中所做的功。將式（11-21）沿曲線M1M2積分，得例11-1

如圖11-13所示，一物體M質量為m，靜止地放在半徑為R的光滑圓柱表面的頂點。若給予物體小的干擾，它將沿圓柱表面的圓形軌道下滑，求物體開始離開圓柱表面時的角度θ。解本題所求的角θ，實質上對應M由靜止至離開圓柱表面這段過程所經過的路程，因此，可以考慮應用動能定理求解。（1）取研究對象。取物體M為研究對象。（2）受力分析。物體M受有重力mg和圓柱表面的約束FN作用。（3）運動分析并應用動能定理求θ，考慮物體M由靜止至離

開圓柱表面這段過程，動能定理有如下形式：圖11-13代入動能定理得（1）物體離開圓柱表面時的速度v2可用其他方程求出。（4）求速度v2。物體M在離開圓柱表面處的動力學方程沿法線方向的投影形式為考慮到

，且離開時

，于是有由式（1）和（2）兩式聯立可解得

（2）例11-2解（1）取研究對象。取車廂（視為質點）為研究對象。（2）受力分析并計算力的功。車廂受有重力G、法向約束力FN及阻力F的作用。在AB路程中，力所做的功為在BC過程中，力所做的功為圖11-14（4）應用質點動能定理，求未知量。為求速度v，在AB路程中應用質點動能定理有解得

為求滑行距離s，在BC路程中應用質點動能定理解得顯然，若測得水平滑行距離s，則可求得車廂運動的阻力因數為第三節(jié)

質點系的動能定理

一、質點系的動能在某一瞬時質點系的動能等于同一瞬時質點系中各質點動能的總和，用T表示，即

（11-23）它是整個質點系機械運動量的一種度量，恒為正值。二、剛體的動能剛體是最常見的質點系，由式（11-23）可以確定剛體平動、定軸轉動和平面運動時的動能表達式。1．剛體平動時的動能剛體平動時，同一瞬時剛體上各點的速度都相同，都等于剛體質心C的速度

。因此，剛體平動時的動能可寫為式中，M為剛體的質量，即剛體平動時的動能等于剛體的質量與其質心速度平方乘積的一半。（11-24）2．剛體繞定軸轉動時的動能（11-25）由于式中，r為質點至軸Oz的距離，代入式（11-25），得（11-26）式中，

是剛體對于軸Oz的轉動慣量，即有（11-27）即剛體繞定軸轉動時的動能等于剛體對于轉軸的轉動慣量與其角速度平方乘積的一半。圖11-153．剛體平面運動時的動能式中，

，是剛體對瞬時速度中心P的轉動慣量，因此有

（11-28）圖11-16式中，

是剛體質心C至瞬時速度中心P的距離。將上式代入式（11-28），有由于

，于是上式可寫為（11-29）即剛體平面運動時的動能等于剛體隨質心平動的動能與繞質心轉動的動能之和。例11-3系統(tǒng)由重物A、定滑輪B和圓輪C及繩子所組成，繩子的質量不計，重物做平動，滑輪做定軸轉動，圓輪做平面運動，各物體的速度、角速度如圖11-17所示，故系統(tǒng)的動能可表示為由運動學知又知

，于是系統(tǒng)的動能為解

圖11-17三、質點系的動能定理或（11-30）式（11-30）就是質點系動能定理的微分形式，即質點系動能的微分等于作用于系上所有主動力和約束力元功的總和。若質點系的約束屬于約束力的功為零的理想約束，則在式（11-30）中

，于是有（11-31）式（11-31）表明，在約束力的功為零的理想約束下，質點系動能的微分，等于作用于質點系上所有主動力元功之和。式（11-31）及下面即將導出的與其相對應的質點系動能定理得積分形式，其中不包含未知的約束力，因此用于求解動力學問題非常方便。將式（11-30）進行積分，得（11-32）式（11-32）就是質點系動能定理的積分形式，即質點系在某運動過程中動能的改變，等于作用于系上所有主動力和約束力在同一過程中所做的功之和。在質點系約束力做功之和為零的理想約束下，式（11-32）可寫為（11-33）即在質點系約束力的功為零的理想約束下，質點系在某運動過程中動能的改變，等于作用于質點系上所有主動力在同一過程中所做功之和。作用于質點系上的力也可分為外力和內力兩大類，此時相應的動能定理中力的功也按此分外力和內力的功。需要特別指明的是，兩種力的分類方法是交錯的，即主動力和約束力中既可包含外力，也可包含內力。另一方面，外力和內力中既可包含主動力，也可包含約束力。此外，外力和內力都可以做功，內力所做功之和不一定為零。例如，汽車、火車等的內燃機所做的功，就是內力做功的實例。因此，在計算功時，無論按哪種方式對力進行分類，每種力的功都應加以考慮，絕不能簡單地認為所有約束力不做功或內力不做功。

動能定理建立了質點和質點系的動能與力所做的功之間的關系，它把速度、主動力和位移聯系在一起，適用于求這三個物理量的動力學問題。利用動能定理的微分形式，也可求解加速度。特別是對于復雜系統(tǒng)求解運動參數時比較方便。由于應用動能定理僅能建立一個代數方程，因而它只能求解一個未知量，如果未知量較多，還需與動力學的其他定理聯合求解。這類問題將在本章第六節(jié)中進行討論。也應注意，動能定理一般不能求解約束力。本題是質點系的動力學問題，需求重物M經過一段路程的速度、加速度、適合用質點系動能定理求解。（1）選取研究對象。選齒輪Ⅰ，Ⅱ和軸Ⅲ，繩子及重物組成的系統(tǒng)為研究對象。（2）受力分析并計算力的功。理想約束系統(tǒng)，約束力不做功，只有重物的重力這個主動力做功，且解例11-4

圖11-18（3）分析運動并計算質點系動能。系統(tǒng)開始靜止，

，重物M做平動，齒輪Ⅰ，Ⅱ做定軸轉動，此時系統(tǒng)的動能為（4）應用質點系動能定理，求速度。在下降s這一運動過程，動能定理為將各值代入動能定理，有考慮系統(tǒng)由靜止至A移動了一段距離s這一動過程，并應用動能定理求解。（1）選取研究對象。選B輪、C輪、膠帶、物體組成的系統(tǒng)為研究對象。式中，解

例11-5

（2）受力分析并計算力的功。理想約束系統(tǒng)，約束力不做功，系統(tǒng)中轉矩M和重力G做的功為圖11-19（3）分析運動并計算質點系動能。系統(tǒng)開始靜止，

，重物做平動，輪B，C做定軸轉動，此時系統(tǒng)的動能為（4）應用質點系動能定理，求速度。將上述計算結果代入動能定可得解得如圖11-20所示，不可伸長的無重繩子繞過重為G的滑輪A，繩的一端連接在具有相同半徑和重量的輪B的軸上，另一端與重為P的重物C相連接。重物C由靜止開始運動，帶動滑輪A轉動，并使輪B做無滑動的滾動?；咥和輪B的質量均勻分布在邊緣上，滑輪A和輪B的質量均勻分布在邊緣上，略去軸上的摩擦，繩和滑輪A間無相對滑動。試求重物C的速度與其經過的路程h的關系，并求其加速度。（1）選取研究對象。取A，B輪，重物C及繩子組成的系統(tǒng)為研究對象。（2）受力分析并計算力的功。理想約束系統(tǒng)，約束力不做功，系統(tǒng)中只有重力P做功，因此解

圖11-20例11-6且，，代入上式得（b）解出

（4）應用質點系動能定理，求未知量。將上述計算結果代入動能定理

，得例11-7（a）

（b）圖11-21（1）選取研究對象。取系統(tǒng)為研究對象。（2）受力分析并計算力的功。理想約束系統(tǒng)，約束力不做功，做功的主動力只有重物A的重力P和BD桿的重力G，在研究所的過程中主動力的功為由運動學知，于是有解

（c）解得

將

代入并解得（a）

（b）（1）選取研究對象。選這條鐵鏈為研究對象。（2）受力分析并計算力的功。在桌面上的各點約束力都不做功，屬于理想約束。在運動過程中，下垂段的重力做功。但下垂段的重力是改變的，先求其元功，有圖11-22解

式中，

為單位長度鐵鏈的質量，則重力的功為（3）計算動能。由于各點的速度大小相等，鐵鏈的動能為式中，M是整個鐵鏈的質量。因為

，得通過以上各例題的分析，可總結出應用動能定理解題的步驟如下。（1）選取研究對象。一般應取整個系統(tǒng)為所研究的對象。在應用動能定理求速度、加速度時，應將系統(tǒng)放在一般位置。（3）分析運動并計算質點系動能。在研究某一過程時，要分別計算系統(tǒng)在初瞬時和末瞬時的動能。（2）受力分析并計算力的功。一般按主動力和約束力來分析系統(tǒng)受力，理想約束系統(tǒng)的約束力不做功，只需計算主動力的功。第四節(jié)

功率與功率方程

機械效率一、功率在工程實際中，我們不僅要計算作用力的功，而且還需要了解力做功的快慢。通常用單位時間內力所做的功來表示力做功的快慢，稱為功率，用P表示。功率是衡量機器工作能力的重要指標之一。作用于質點上的力的功率可按下述方法計算。設作用于質點上的力為F，在dt時間內，力F所做的元功為

，于是功率P可表示為（11-34）由于

，因此上式又可寫為（11-35）作用于定軸轉動剛體上的力的元功（力矩的功）為

，則力矩的功率為若作用力是力偶，其轉矩為M，則其功率為（11-37）式中，

為定軸轉動剛體的角速度。在國際單位制中，功率的單位是J/s，稱為瓦特，用W表示。一千瓦特稱為千瓦，用kW表示。在工程實際中，還常用工程單位制的功率單位及公制馬力（PS）和英制馬力（hp）。它們之間的換算關系為二、功率方程兩端同時除以dt并考慮式（11-34），可得（11-38）式（11-39）稱為機器的功率平衡方程。三、機械效率（11-40）對于有n級傳動的系統(tǒng)，總的機械效率應等于各級傳動的機械效率的連乘積，即（1）求切削力矩，有（2）求切削力矩的功率（3）利用式（11-39）求電動機功率，則例11-9解

圖11-23（1）計算有用功率（2）計算絞車的效率（3）計算電機功率為（4）求電機軸的角速度因此，電機軸上的轉矩為例11-10解

第五節(jié)

勢力場

勢能

機械能守恒定理

質點在力場中運動，作用于質點上的場力要做功，若場力所做的功只與質點運動的初始和終了位置有關，而與質點所經過的路徑無關，則這種力場稱為勢力場或保守力場，質點所受的場力稱為有勢力或保守力。例如，重力場、彈性力場和萬有引力場都是勢力場或保守力場，重力、彈性力和萬有引力都是有勢力或保守力。一、勢力場若質點在空間所受的力，其大小和方向完全由質點所在空間的位置決定，則具有這樣的特性的空間就稱為力場。二、勢能在勢力場中，作用于質點的有勢力都具有做功的能力，并且質點所處的位置不同，質點上的有勢力的能力也不同。例如，提高了的重錘有做功的能力，可用來打樁；變形的彈簧也具有做功的能力。為了便于度量質點在不同位置上有勢力做功的能力，可選擇一基準點M0。按此定義，基準點M0的勢能為零。因此，基準點又稱為勢能零點。勢能零點可根據研究問題的需要任意選定。質點從某位置

運動到基準點

有勢力所做的功稱為質點M位置的勢能。它與功具有相同的單位。用V表示勢能，則這里

，

，因此再如圖11-25所示的彈性立場中，若把勢能零點選在

，即彈簧的原長處，則質點在任一位置M的勢能為這里

，因此有式中，

為點M到彈簧固定端的距離

圖11-24圖11-25應注意的是，在說明質點的勢能時，一定要指明是相對于哪一個勢能零點的。因為對同一個質點，若選不同的勢能零點，將得到不同的勢能值。但不論勢能零點位置如何選擇，質點在兩個位置的勢能之差是不變的。三、有勢力與勢能函數的關系計算在質點的微小位移

上，有勢力F的元功。由前述可得由高等數學知，勢能函數

的全微分可寫成如下形式于是將上式與元功的解析表達式

相比較，可得到

（11-41）式（11-41）表明，有勢力在直角坐標軸上的投影，等于勢能函數對于相應坐標的偏導數冠以負號。例如，在重力場中，同一水平面上各點的勢能都相等，因此重力場中等勢面為水平面，如圖11-26（a）所示。彈性力場的等勢面是以彈簧的固定端為中心的球面，如圖11-26（b）所示。

（a）

（b）圖11-26四、機械能守恒定理下面推導質點在勢力場中運動時動能定理所具有的新形式——機械能守恒定理。選M0為勢能零點。由于有勢力所做的功與質點運動的軌跡形狀無關，因此式中，W12是質點由M1位置運動到M2位置時有勢力所做的功。按勢能定義圖11-27因此得由動能定理，可知因此，有或（11-42）質點動能和勢能的總和稱為機械能。式（11-42）表明，質點在勢力場中運動時，其機械能保持不變，這就是質點的機械能守恒定理，是質點在勢力場中運動時必須遵守的規(guī)律。由此定理可知，質點在勢力場中運動時，其機械能不能增加或減少，但其動能和勢能可相互轉化。以上討論都是對質點而言的。很明顯，對質點系機械能守恒定理仍然成立。例11-11

（1）選取研究對象。取滾子為研究對象，作用于滾子上做功的力只有滾子的重力和彈簧力，它們都是有勢力，因此本題可應用機械能守恒定理求解。圖11-28得解

（3）取滾子靜止時的位置為彈簧和重力勢能的零勢能位置，于是（4）應用的機械能守恒定理，求未知量。研究滾子從靜止至C經過路程s這段過程，則有將各值代入機械能守恒定理，得解得第六節(jié)

動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理在求解具體問題時，同一個問題，有時可以分別用幾個定理求解，有時需要幾個定理聯合求解。在應用時主要有兩個問題應當深入討論：（1）如何根據問題的條件恰當地選用定理；（2）如何應用若干個定理聯合求解。每個動力學普遍定理都只建立了某種運動特征量和某種力的作用量之間的關系。例如，動量定理（質心運動定理）建立了動量和外力之間的關系，動量矩定理建立了動量矩和外力矩之間的關系，動能定理建立了動能與力的功之間的關系等。在解題時，應首先根據問題的已知量和待求量來選用適用的定理。例如，1、已知量和待求量是速度、加速度、外力，而系統(tǒng)的內力又比較復雜時，適合選用動能定理求解；如果是轉動問題，則適合選用定軸轉動微分方程或動量矩定理求解。其次，在選用定理時還應考慮系統(tǒng)受力的特征。例如，外力在某軸上的投影恒為零時，可選用動量守恒定理求解；外力對某點或某軸之矩恒等于零時，適合應用動量矩守恒定理求解；系統(tǒng)上做功的力皆為有勢力時，適合用機械能守恒定理求解。下面舉例說明。對于復雜的動力學問題，或要求未知量個數較多時，只用一個定理不能求得全部結果，這時必需適當地選用若干個定理，聯合求解。2、已知量和待求量是速度、加速度、作用力和路程時，適合選用動能定理求解。由于動能定理是個代數式，應用時比較方便，特別是對于理想約束系統(tǒng)，只有主動力做功，計算簡便。例11-12

（1）選鼓輪、繩子、兩個重物組成的系統(tǒng)為研究對象。（2）畫出外力的受力圖，如圖11-29（b）所示。（3）由圖可知，系統(tǒng)對軸O的外力矩是已知的，而且這是個

有關轉動的問題，因此可以選用對軸O的動量矩定理求解，有（a）

（b）圖11-29代入動量矩定理，注意到

，得

解考慮到系統(tǒng)在運動過程中主動力的功容易求出，而又屬于約束力不做功的理想約束，因此也可選用動能定理求解，角加速度可通過動能定理對時間求導得到。下面進行求解。式中，φ為鼓輪轉過的角度，將各值代入動能定理，得結果與前面所得相同。由上可知，一個問題不一定只能用一種定理求解，有時可有多種解法，所應用的定理也不相同。例11-13

（a）

（b）圖11-30（1）選滑塊A、桿BC和小球B組成的系統(tǒng)為研究對象。（2）分析力。由于作用于系統(tǒng)上做功的力只有小球B的重力P2，它是有勢力，因此本題可參考應用