2022-2023學年北京市朝陽區(qū)和平街一中八年級（下）期中數學試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學年北京市朝陽區(qū)和平街一中八年級（下）期中數學試卷一、選擇題1．函數y＝的自變量x的取值范圍是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤12．下列根式中，最簡二次根式的是（）A． B． C． D．3．下列計算正確的是（）A．＝ B．×＝ C．＝4 D．＝4．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD交CD延長線于點E，若∠A＝40°，則∠EBC的度數為（）A．40° B．50° C．60° D．70°5．“二十四節(jié)氣”是中國古代勞動人民長期經驗積累的結晶，它包括立春、驚蟄、清明、立夏等，同時，它與白晝時長密切相關．如圖所示的是一年中部分節(jié)氣所對應的白晝時長示意圖．在下列選項中，白晝時長超過14小時的節(jié)氣是（）A．清明 B．立秋 C．白露 D．立冬6．如圖，在平面直角坐標系中?OABC的頂點O，A，B的坐標分別是（0，0），（5，0），（2，3），則點C的坐標是（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，3） D．（﹣3，2）7．某科研小組在網上獲取了聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關系的一些數據如下：溫度（℃）﹣20﹣100102030聲速（m/s）318324330336342348下列說法錯誤的是（）A．在這個變化中，自變量是溫度，聲速是溫度的函數 B．溫度越低，聲速越慢 C．當溫度每升高10℃時，聲速增加6m/s D．當空氣溫度為10℃時，聲音4s可以傳播1304m8．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b（a＞b），直角三角形的面積為S1，小正方形的面積為S2，則用含S1，S2的代數式表示a2+b2正確的是（）A．4S1+S21 B．4S1﹣S2 C．4S1 D．4S1+S2二、填空題9．化簡：＝，＝．10．本月我市95號汽油的平均價格是7.92元/升，小明爸爸用一張面額為1000元的加油卡付費，若加油x（升）后油卡上的余額為y（元），則y與x的函數關系式是．11．如圖，在平面直角坐標系中，點P坐標為（1，2），以點O為圓心，以OP的長為半徑畫弧，交x軸的正半軸于點A，則點A的橫坐標介于兩個整數之間，這兩個整數是和．12．如圖，將△ABC放在正方形網格圖中（圖中每個小正方形的邊長均為1），點A，B，C恰好在網格圖中的格點上，那么∠ABC的度數是．13．如圖所示，劉伯伯家有一塊等邊三角形的空地ABC，已知E，F分別是邊AB，AC的中點，量得EF＝5米，他想把四邊形BCFE用籬笆圍起來放養(yǎng)小雞，則需用籬笆的長是米．14．如圖，菱形ABCD面積為24，對角線AC＝8，DE⊥AB于點E，則DE＝．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，點P為AB上任意一點，連接PC，以PB，PC為鄰邊作平行四邊形PCQB，連接PQ，則PQ的最小值為．16．如圖，在?ABCD中，AD＞AB，E，F分別為邊AD，BC上的點（E，F不與端點重合），對于任意?ABCD，下面四個結論中：①存在無數個四邊形ABFE，使得四邊形ABFE是平行四邊形；②至少存在一個四邊形ABFE，使得四邊形ABFE菱形；③至少存在一個四邊形ABFE，使得四邊形ABFE矩形；④存在無數個四邊形ABFE，使得四邊形ABFE的面積是?ABCD面積的一半．所有正確結論的序號是．三、解答題17．計算：．18．已知，，求代數式a2﹣ab+b2的值．19．如圖，平行四邊形ABCD中E，F是直線AC上兩點，且AE＝CF．求證：BE∥DF．20．下面是小張同學設計的“利用等腰三角形作菱形”的作圖過程．已知：等腰△ABD，AB＝AD．求作：點C，使得四邊形ABCD為菱形．作法：①作∠BAD的角平分線AO，交線段BD于點O；②以點O為圓心，AO長為半徑圓弧，交AO的延長線于點C；③連接BC，DC，所以四邊形ABCD為菱形，點C即為所求．根據小張同學設計的作圖過程．（1）使用直尺和圓規(guī)補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵AB＝AD，AO平分∠BAD，∴BO＝DO，AO⊥BD，（）（填推理的依據）∵BO＝DO，AO＝CO，∴四邊形ABCD為平行四邊形，（）（填推理的依據）∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為菱形．（）（填推理的依據）21．如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊AC、AB的中點，點F在線段DE上，AB＝5，BF＝4，AF＝3，BC＝7，求DF的長度．22．如圖，有一只擺鐘，擺錘看作一個點，當擺錘靜止時，它離底座的垂直高度DE＝4cm，當擺錘擺動到最高位置時，它離底座的垂直高度BF＝6cm，此時擺錘與靜止位置時的水平距離BC＝8cm時，求鐘擺AD的長度．23．如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是AD的中點，連接CO并延長交BA的延長線于點E，連接AC，DE，AC⊥BE．（1）求證：四邊形ACDE是矩形；（2）若OC＝CD＝2，求DE的長．24．數學活動課上，老師提出一個探究問題：制作一個體積為10dm3，底面為正方形的長方體包裝盒，當底面邊長為多少時，需要的材料最?。ǖ酌孢呴L不超過3dm，且不考慮接縫）．某小組經討論得出：材料最省，就是盡可能使得長方體的表面積最?。旅媸撬麄兊奶骄窟^程，請補充完整：（1）設長方體包裝盒的底面邊長為xdm，表面積為ydm2．可以用含x的代數式表示長方體的高為．根據長方體的表面積公式：長方體表面積＝2×底面積+側面積．得到y(tǒng)與x的關系式：（0＜x≤3）；（2）列出y與x的幾組對應值：x/dm…0.51.01.52.02.53.0y/dm2…80.542.031.2a28.531.3（說明：表格中相關數值精確到十分位）表中a＝．（3）在圖2的平面直角坐標系xOy中，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數的圖象：（4）結合畫出的函數圖象，解決問題：長方體包裝盒的底面邊長約為dm時，需要的材料最??；當長方體包裝盒表面積為30dm2時，底面邊長約為dm．25．如圖，點F為正方形ABCD的對角線BD上一點（BF＜DF），連接AF，過F作EF⊥AF，交DC于點E．作F關于BC的對稱點H，連接FH、CH，FH交BC于點P．（1）補全圖形；（2）證明：四邊形ECHF為平行四邊形；（3）寫出AF、FP和DF之間的數量關系，并證明．26．平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的四個頂點坐標分別為：A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1），P、Q是這個正方形外兩點，且PQ＝2．給出如下定義：記線段PQ的中點T，平移線段PQ得到線段P'Q'（其中P'、Q'分別是P、Q的對應點），記線段P'Q'的中點T'．若點P'、Q'分別落在正方形ABCD的一組鄰邊上，或線段P'Q'與正方形ABCD的一邊重合，則稱線段TT'長度的最小值為線段PQ到正方形ABCD的“平移距離”，稱此時的點T'為線段PQ到正方形ABCD的“平移中點”．例如：如圖，線段PQ＝2，平移線段PQ到正方形ABCD內，得到兩條線段P1Q1和P2Q2，這兩條線段互相平行，若T1，T2分別為P1Q1和P2Q2的中點，則點T1為線段PQ到正方形ABCD的“平移中點”．（1）點P（a，1），Q（a，﹣1）．①當a＝﹣2時，則線段PQ到正方形ABCD的“平移距離”d為；②當線段PQ到正方形ABCD的“平移距離”d≤1時，直接寫出a的取值范圍．（2）線段PQ的中點T的坐標為（t，t+4）．①當線段PQ∥BD時，求線段PQ到正方形ABCD的“平移距離”d的最小值；②當t＝﹣2時，請畫出所有線段PQ到正方形ABCD的“平移中點”所組成的圖形，并直接寫出線段PQ到正方形ABCD的“平移距離”d的取值范圍．

2022-2023學年北京市朝陽區(qū)和平街一中八年級（下）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題1．函數y＝的自變量x的取值范圍是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1【分析】根據二次根式的性質，被開方數大于或等于0，可以求出x的范圍．【解答】解：由題意得x﹣1≥0，解得x≥1．故選：C．【點評】考查求函數自變量的取值；用到的知識點為：二次根式的被開方數為非負數．2．下列根式中，最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】直接根據最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式判斷即可．【解答】解：A，不是最簡二次根式；B.是最簡二次根式；C.，不是最簡二次根式；D.，不是最簡二次根式；故選：B．【點評】此題考查的是最簡二次根式，掌握其概念是解決此題關鍵．3．下列計算正確的是（）A．＝ B．×＝ C．＝4 D．＝【分析】分別根據二次根式的加減法則和乘法法則求解，然后選擇正確選項．【解答】解：A、和不是同類二次根式，不能合并，故錯誤；B、×＝，原式計算正確，故正確；C、＝2，原式計算錯誤，故錯誤；D、﹣＝2﹣，原式計算錯誤，故錯誤．故選：B．【點評】本題考查了二次根式的加減法和乘除法，掌握運算法則是解答本題的關鍵．4．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD交CD延長線于點E，若∠A＝40°，則∠EBC的度數為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】由“平行四邊形的對邊相互平行”的性質推知AB∥CD，AD∥BC，則∠ABE＝∠E＝90°，∠A+∠ABC＝180°，據此進行解答．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，則∠ABE＝∠E＝90°，∠A+∠ABC＝180°，∴∠EBC＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣40°﹣90°＝50°．故選：B．【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質，解題時，利用“平行四邊形的對邊相互平行”的性質求得相關角的度數．5．“二十四節(jié)氣”是中國古代勞動人民長期經驗積累的結晶，它包括立春、驚蟄、清明、立夏等，同時，它與白晝時長密切相關．如圖所示的是一年中部分節(jié)氣所對應的白晝時長示意圖．在下列選項中，白晝時長超過14小時的節(jié)氣是（）A．清明 B．立秋 C．白露 D．立冬【分析】根據函數的圖象確定每個節(jié)氣白晝時長即可得到正確選項．【解答】解：由圖象可知：項立春白晝時在10～11小時之間，故選項A不符合題意；項立秋白晝時長超過14小時之間，故選項B符合題意；項白露白晝時長在13～14小時之間，故選項C不符合題意；項立冬白晝時長在之間，故選項D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了函數圖象的知識，讀懂函數圖象是解題的關鍵．6．如圖，在平面直角坐標系中?OABC的頂點O，A，B的坐標分別是（0，0），（5，0），（2，3），則點C的坐標是（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，3） D．（﹣3，2）【分析】根據坐標與圖形性質以及平行四邊形的性質求解即可．【解答】解：∵四邊形OABC是平行四邊形，∴BC＝OA，BC∥OA，即BC∥x軸，∵O，A，B的坐標分別是（0，0），（5，0），（2，3），∴BC＝OA＝5，點C與點B的縱坐標相等，都為3，∴點C的橫坐標為2﹣5＝﹣3，∴點C的坐標為（﹣3，3），故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的性質、坐標與圖形，熟練掌握坐標與圖形的性質是解答的關鍵．7．某科研小組在網上獲取了聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關系的一些數據如下：溫度（℃）﹣20﹣100102030聲速（m/s）318324330336342348下列說法錯誤的是（）A．在這個變化中，自變量是溫度，聲速是溫度的函數 B．溫度越低，聲速越慢 C．當溫度每升高10℃時，聲速增加6m/s D．當空氣溫度為10℃時，聲音4s可以傳播1304m【分析】根據自變量、因變量的含義，以及聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關系逐一判斷即可．【解答】解：A．∵在這個變化中，自變量是溫度，因變量是聲速，∴說法正確，不符合題意；B．∵根據數據表，可得溫度越低，聲速越慢，∴說法正確，不符合題意；C．∵324﹣318＝6（m/s），330﹣324＝6（m/s），336﹣330＝6（m/s），342﹣336＝6（m/s），348﹣342＝6（m/s），∴當溫度每升高10°C，聲速增加6m/s，∴說法正確，不符合題意；D．∵336×4＝1344（m），∴當空氣溫度為10°C時，聲音4s可以傳播1344m，∴說法錯誤，符合題意．故選：D．【點評】此題考查了函數的表示方法，自變量、因變量的含義以及用表格表示變量之間的關系，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．8．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b（a＞b），直角三角形的面積為S1，小正方形的面積為S2，則用含S1，S2的代數式表示a2+b2正確的是（）A．4S1+S21 B．4S1﹣S2 C．4S1 D．4S1+S2【分析】根據三角形和正方形的面積公式用含a，b的代數式表示出S1，S2，整理即可得出結果．【解答】解：∵直角三角形的面積為S1，小正方形的面積為S2，∴，（a﹣b）2＝S2，∴ab＝2S1，a2﹣2ab+b2＝S2，∴，∴a2+b2＝S2+4S1故選：D．【點評】本題考查了以弦圖為背景的計算，完全平方公式，數形結合是解題的關鍵．二、填空題9．化簡：＝3，＝．【分析】利用二次根式的性質可化簡，利用分母有理化可化簡．【解答】解：，．故答案為：3，．【點評】本題考查了二次根式的性質和分母有理化，熟練掌握二次根式的性質是解答本題的關鍵．10．本月我市95號汽油的平均價格是7.92元/升，小明爸爸用一張面額為1000元的加油卡付費，若加油x（升）后油卡上的余額為y（元），則y與x的函數關系式是y＝1000﹣7.92x．【分析】根據余額＝加油卡原有面額﹣加油所用的費用列函數關系式即可．【解答】解：由題意得：y與x的函數解析式為：y＝1000﹣7.92x．故答案為：y＝1000﹣7.92x．【點評】本題考查了根據實際問題確定一次函數關系式，關鍵是讀懂題意，建立一次函數的數學模型來解決問題．11．如圖，在平面直角坐標系中，點P坐標為（1，2），以點O為圓心，以OP的長為半徑畫弧，交x軸的正半軸于點A，則點A的橫坐標介于兩個整數之間，這兩個整數是2和3．【分析】根據勾股定理求得OP的長度，即可得到OA的長度，根據點A在正半軸，即可求得點A的橫坐標的范圍．【解答】解：∵點P坐標為（1，2），∴，根據題意得，∵4＜5＜9，∴，∴點A的橫坐標介于2和3之間，故答案為：2，3．【點評】本題考查了坐標與圖形，勾股定理，無理數的估算，掌握勾股定理與無理數的估算是解題的關鍵．12．如圖，將△ABC放在正方形網格圖中（圖中每個小正方形的邊長均為1），點A，B，C恰好在網格圖中的格點上，那么∠ABC的度數是45°．【分析】先求出AB、AC、BC的長以及∠BAC的度數，再根據等腰直角三角形的性質即可得到結論．【解答】解：根據圖形可得：∵，，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°．故答案為：45°．【點評】此題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．13．如圖所示，劉伯伯家有一塊等邊三角形的空地ABC，已知E，F分別是邊AB，AC的中點，量得EF＝5米，他想把四邊形BCFE用籬笆圍起來放養(yǎng)小雞，則需用籬笆的長是25米．【分析】根據三角形中位線定理計算即可．【解答】解：∵E，F分別是邊AB，AC的中點，∴BC＝2EF＝10（米），∵△ABC是等邊三角形，∴BE＝CF＝5（米），∴四邊形BCFE的周長為：BC+BE+CF+EF＝25（米），故答案為：25．【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．14．如圖，菱形ABCD面積為24，對角線AC＝8，DE⊥AB于點E，則DE＝．【分析】根據菱形對角線互相垂直平分的性質，可以求得，，在Rt△AOB中，根據勾股定理可以求得AB的長，再根據菱形的面積等于底乘以高即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴，，AC⊥BD，∵，即，∴BD＝6，∴OB＝3，∴，∵S菱形ABCD＝AB?DE＝24，即5DE＝24，∴．故答案為：．【點評】本題考查菱形的性質，勾股定理，菱形的面積，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘的一半，也等于底乘以高是解題的關鍵．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，點P為AB上任意一點，連接PC，以PB，PC為鄰邊作平行四邊形PCQB，連接PQ，則PQ的最小值為2．【分析】設PQ與BC交于點O，作OD⊥AB于D．首先求出OD，當P與D重合時，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OD．【解答】解：設PQ與BC交于點O，作OD⊥AB于D．如圖所示：∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴OB＝OC＝BC＝2，∵OD⊥AB，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∠BOD＝30°，∴BD＝OB＝1，，當P與D重合時，OP的值最小，則PQ的值最小，∴PQ的最小值＝2OD＝．故答案為：．【點評】本題考查了勾股定理的運用、平行四邊形的性質以及垂線段最短的性質，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．16．如圖，在?ABCD中，AD＞AB，E，F分別為邊AD，BC上的點（E，F不與端點重合），對于任意?ABCD，下面四個結論中：①存在無數個四邊形ABFE，使得四邊形ABFE是平行四邊形；②至少存在一個四邊形ABFE，使得四邊形ABFE菱形；③至少存在一個四邊形ABFE，使得四邊形ABFE矩形；④存在無數個四邊形ABFE，使得四邊形ABFE的面積是?ABCD面積的一半．所有正確結論的序號是①②④．【分析】利用平行四邊形的判定和性質，矩形的性質，菱形的性質依次進行判斷可求解．【解答】解：當AE＝BF時，且AE∥BF，則四邊形ABFE是平行四邊形，∴存在無數個四邊形ABFE，使得四邊形ABFE是平行四邊形，故①正確；當AE＝BF＝AB時，則四邊形ABFE是菱形，∴至少存在一個四邊形ABFE，使得四邊形ABFE菱形，故②正確；∵∠ABC≠90°，∴不存在四邊形ABFE是矩形，故③錯誤；當EF過對角線的交點時，四邊形ABFE的面積是?ABCD面積的一半，∴存在無數個四邊形ABFE，使得四邊形ABFE的面積是?ABCD面積的一半，故④正確，故答案為：①②④．【點評】本題考查了矩形的性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的性質，熟練掌握這些性質是本題的關鍵．三、解答題17．計算：．【分析】先根據二次根式的除法法則和絕對值的性質化簡，再算加減即可．【解答】解：＝＝＝1．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解答本題的關鍵．18．已知，，求代數式a2﹣ab+b2的值．【分析】先求出，ab＝﹣1，再根據a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+ab進行求解即可．【解答】解：∵，，∴，，∴a2﹣ab+b2＝a2﹣2ab+b2+ab＝（a﹣b）2+ab＝＝8﹣1＝7．【點評】本題主要考查了二次根式的化簡求值，正確計算是解題的關鍵．19．如圖，平行四邊形ABCD中E，F是直線AC上兩點，且AE＝CF．求證：BE∥DF．【分析】根據平行四邊形的性質，證得△CFD≌△AEB，即可得證結論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB．∵CF＝AE，∴△CFD≌△AEB（SAS），∴∠F＝∠E，∴BE∥DF．【點評】本題考查了平行四邊形的性質和全等三角形的證明，熟練掌握平行四邊形的有關性質和全等三角形的證明是解題的關鍵．20．下面是小張同學設計的“利用等腰三角形作菱形”的作圖過程．已知：等腰△ABD，AB＝AD．求作：點C，使得四邊形ABCD為菱形．作法：①作∠BAD的角平分線AO，交線段BD于點O；②以點O為圓心，AO長為半徑圓弧，交AO的延長線于點C；③連接BC，DC，所以四邊形ABCD為菱形，點C即為所求．根據小張同學設計的作圖過程．（1）使用直尺和圓規(guī)補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵AB＝AD，AO平分∠BAD，∴BO＝DO，AO⊥BD，（三線合一定理）（填推理的依據）∵BO＝DO，AO＝CO，∴四邊形ABCD為平行四邊形，（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據）∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為菱形．（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）（填推理的依據）【分析】（1）按照題意進行作圖即可；（2）先由三線合一定理得到BO＝DO，AO⊥BD，再根據平行四邊形和菱形的判定定理證明即可．【解答】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：∵AB＝AD，AO平分∠BAD，∴BO＝DO，AO⊥BD，（三線合一定理）∵BO＝DO，AO＝CO，∴四邊形ABCD為平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）故答案為：三線合一定理；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．【點評】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，三線合一定理，菱形的判定，平行四邊形的判定等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．21．如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊AC、AB的中點，點F在線段DE上，AB＝5，BF＝4，AF＝3，BC＝7，求DF的長度．【分析】由三角形中位線定理得到DE＝3.5，再證明△ABF是直角三角形，即∠AFB＝90°，即可利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出EF＝2.5，則DF＝DE﹣EF＝1．【解答】解：∵點D、E分別是邊AC、AB的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴，∵AB＝5，BF＝4，AF＝3，∴BF2+AF2＝32+42＝25＝52＝AB2，∴△ABF是直角三角形，即∠AFB＝90°，∴，∴DF＝DE﹣EF＝1．【點評】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊上的中線的性質，證明△ABF是直角三角形是解題的關鍵．22．如圖，有一只擺鐘，擺錘看作一個點，當擺錘靜止時，它離底座的垂直高度DE＝4cm，當擺錘擺動到最高位置時，它離底座的垂直高度BF＝6cm，此時擺錘與靜止位置時的水平距離BC＝8cm時，求鐘擺AD的長度．【分析】設AB＝AD＝xcm，表示出AC的長，然后利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：設AB＝AD＝xcm，由題意得，CE＝BF＝6cm，∴AC＝AD+DE﹣CE＝（x﹣2）cm，∵AC2+BC2＝AB2，∴（x﹣2）2+82＝x2，∴x＝17，∴AD＝17cm．答：鐘擺AD的長度17cm．【點評】此題考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時，勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．23．如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是AD的中點，連接CO并延長交BA的延長線于點E，連接AC，DE，AC⊥BE．（1）求證：四邊形ACDE是矩形；（2）若OC＝CD＝2，求DE的長．【分析】（1）首先根據平行四邊形的性質，可得∠EAO＝∠CDO，由點O是AD的中點，可得OA＝OD，再根據全等三角形的判定和性質，即可證得四邊形ACDE是平行四邊形，再由AC⊥BE，即可證得結論；（2）首先由矩形的性質可求得EC的長，再利用勾股定可理即可求得DE的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥CD，∴∠EAO＝∠CDO，∵點O是AD的中點，∴OA＝OD，在△AEO與△DCO中，，∴△AEO{≌}△DCO（ASA），∴AE＝CD，∴四邊形ACDE是平行四邊形，又∵AC⊥BE，∴∠EAC＝90°，∴四邊形ACDE是矩形；（2）解：∵四邊形ACDE是矩形，∴EC＝2OC＝4，∠EDC＝90°，在Rt△CDE中，．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行四邊形與矩形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握和運用各圖形的判定與性質是解決本題的關鍵．24．數學活動課上，老師提出一個探究問題：制作一個體積為10dm3，底面為正方形的長方體包裝盒，當底面邊長為多少時，需要的材料最?。ǖ酌孢呴L不超過3dm，且不考慮接縫）．某小組經討論得出：材料最省，就是盡可能使得長方體的表面積最?。旅媸撬麄兊奶骄窟^程，請補充完整：（1）設長方體包裝盒的底面邊長為xdm，表面積為ydm2．可以用含x的代數式表示長方體的高為．根據長方體的表面積公式：長方體表面積＝2×底面積+側面積．得到y(tǒng)與x的關系式：y＝2x2+（0＜x≤3）；（2）列出y與x的幾組對應值：x/dm…0.51.01.52.02.53.0y/dm2…80.542.031.2a28.531.3（說明：表格中相關數值精確到十分位）表中a＝28．（3）在圖2的平面直角坐標系xOy中，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數的圖象：（4）結合畫出的函數圖象，解決問題：長方體包裝盒的底面邊長約為2.2dm時，需要的材料最??；當長方體包裝盒表面積為30dm2時，底面邊長約為2.2，1.6dm．【分析】（1）根據長方體的表面積公式求解即可；（2）求出x＝2時，y的值即可；（3）利用描點法畫出函數圖象即可；（4）利用圖象法判斷即可．【解答】解：（1）由題意，y＝2x2+4x×＝2x2+；故答案為：y＝2x2+；（2）當x＝2時，a＝y(tǒng)＝8+20＝28；故答案為：28；（3）函數圖象如圖所示：（4）觀察圖象可知，當x約為2.2dm時，需要的材料最省，當y＝30dm2時，x約為1.6dm，故答案為：2.2，1.6．【點評】本題考查了二次函數的應用，長方體的性質，函數圖象等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用圖象法解決問題，屬于中考?？碱}型．25．如圖，點F為正方形ABCD的對角線BD上一點（BF＜DF），連接AF，過F作EF⊥AF，交DC于點E．作F關于BC的對稱點H，連接FH、CH，FH交BC于點P．（1）補全圖形；（2）證明：四邊形ECHF為平行四邊形；（3）寫出AF、FP和DF之間的數量關系，并證明．【分析】（1）根據題意作圖即可；（2）證明△ADF≌△CDF，得到AF＝CF，∠DAF＝∠DCF，再證明∠FEC＝∠FAD＝∠FCE，得到FE＝FC，由對稱性可得CF＝CH，CP⊥FH，進而證明EF∥CH，即可證明四邊形ECHF為平行四邊形；（3）如圖所示，過點F作FG⊥CD于G，則四邊形PFGC是矩形，△DFG是等腰直角三角形，得到，由勾股定理得PF2+PC2＝CF2，即可推出．【解答】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：如圖所示，連接CF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∠ADF＝∠CDF＝45°，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴AF＝CF，∠DAF＝∠DCF，∵EF⊥AF，即∠AFE＝90°，∴∠DAF+∠DEF＝360°﹣∠ADE﹣∠AFE＝180°，∵∠DEF+∠CEF＝180°，∴∠FEC＝∠FAD＝∠FCE，∴FE＝FC，∵點H和點F關于BC對稱，∴CF＝CH，CP⊥FH，∴∠FCP＝∠HCP，CF＝CH＝EF，∵∠FCE+∠FCP＝90°，∴∠FEC+∠FCE+∠FCP+∠HCP＝180