2023年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)真題卷（含答案與解析）

泰安市2023年初中學(xué)業(yè)水平測試

數(shù)學(xué)試題

本試題分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至4頁，第n卷4

至8頁，共150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前請考生仔細(xì)閱讀答題卡上的注意事項，并務(wù)必按照相關(guān)要求作答.

2,考試結(jié)束后，監(jiān)考人員將本試卷和答題卡一并收回.

第I卷（選擇題共48分）

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求）

2

1.3的倒數(shù)是（）

2233

A.-B.--C.—D.一一

3322

2.下列運算正確是（）

A2a-^-3h=5abB.（a-Z?）2=a2-b2

C.（tzZ?2）3=a3b5D.=_⑵s

3.2023年1月17日，國家航天局公布了我國嫦娥五號月球樣品的科研成果.科學(xué)家們通過對月球樣品的

研究，精確測定了月球的年齡是20.3億年，數(shù)據(jù)20.3億年用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.2.03x108年B.2.03x109年C.2.03x1010年D.20.3x1CT年

4.小亮以四種不同的方式連接正六邊形的兩條對角線，得到如下四種圖形，則既是軸對稱圖形又是中心對

稱圖形的是（）

5.把一塊直角三角板和一把直尺如圖放置，若Nl=35。，則N2的度數(shù)等于（）

6.為了解學(xué)生的身體素質(zhì)狀況，國家每年都會進(jìn)行中小學(xué)生身體素質(zhì)抽測.在今年的抽測中，某校九年級

二班隨機抽取了10名男生進(jìn)行引體向卜測試,他們的成績（單位：個）如下：7.11.10.11.6.

14，11，10,11，9.根據(jù)這組數(shù)據(jù)判斷下列結(jié)論中埼堡的是（）

A.這組數(shù)據(jù)眾數(shù)是11B.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是10

C.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是10D.這組數(shù)據(jù)的方差是4.6

7.如圖，A8是。。的直徑，。，C是。。上的點，NAZ）C=115。，則2朋C的度數(shù)是（）

8.一次函數(shù)y=ox+b與反比例函數(shù)y=—（a,b為常數(shù)且均不等于0）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是

x

9.如圖，。。是X5C外接圓，半徑為4,連接08,0C,04,若NC4O=40。，ZACB=70°,則

陰影部分的面積是（）

10.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之

重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相

同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了

13兩（袋子重量忽略不計），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩.根據(jù)

題意得（）

1lx=9y,fl0y+x=8jv+y,

A（10y+x）-（8x+y）=13.B9x+13=lly.

9x=lly,9x=11y

［（10y+x）-（8x+y）=13.,［（8x4->?）-（10y+x）=13.

11.如圖，是等腰三角形，AB=ACfZA=36°.以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于

點F,交8。于點G,分別以點尸和點G為圓心，大于G的長為半徑作弧，兩弧相交于點”，作射線

2

BH交AC于點、D；分別以點8和點。為圓心，大于1劭的長為半徑作弧，兩孤相交于“、N兩點，作直

2

15.二次函數(shù)），=一f一3x+4的最大值是.

16.在一次綜合實踐活動中，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組對一電視發(fā)射塔的高度進(jìn)行了測量.如圖，在塔前C

處，測得該塔頂端8的仰角為50。，后退60m（CD=60m）到。處有一平臺，在高2m

（DE=2m）的平臺上的E處，測得B的仰角為26.60.則該電視發(fā)射塔的高度A8為m.（精

確到1m.參考數(shù)據(jù)：tan50°?1.2,tan26.6°?0.5）

17.如圖，在中，AC=BC=16,點。在48上，點E在BC上,點8關(guān)于直線OE的軸對稱點

為點B'，連接OB',EB',分別與AC相交于尸點，G點，若A尸=8,。尸=7,夕尸=4,則CG的長度

18.已知，7Ap?…都是邊長為2的等邊三角形，按下圖所示擺放.點

?都在x軸正半軸上，且44=44=44=.......=1,則點/您的坐標(biāo)是

三、解答題（本大題共7個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、推理過程或演算步驟.）

（。x—1）爐+1Ox+25

19.（1）化簡:

X2-4

2x+7>3

（2）解不等式組：x+1x-1.

---->----

32

20.2022年10月16日至10月22日，中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會在北京召開.為激勵青少年爭做

黨的事業(yè)接班人，某市團市委在黨史館組織了“紅心永向黨”為主題的知識競賽，依據(jù)得分情況將獲獎結(jié)

果分為四個等級：4級為特等獎，3級為一等獎，C級為二等獎，。級為優(yōu)秀獎.并將統(tǒng)計結(jié)果繪制成了

如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

請根據(jù)相關(guān)信息解答下列問題：

（1）本次競賽共有名選手獲獎，扇形統(tǒng)計圖中扇形C的圓心角度數(shù)是度;

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）若該黨史館有一個入口，三個出口.請用樹狀圖或列表法，求參賽選手小麗和小穎由館內(nèi)恰好從同

一出口走出的概率.

21.如圖，一次函數(shù)y=-2x+2圖象與反比例函數(shù)%=&的圖象分別交于點A,點、B,與）'軸，x軸

x

分別交于點C，點O,作AE_Ly軸，垂足為點后，OE=4.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在第二象限內(nèi)，當(dāng)乂＜當(dāng)時，直接寫出x的取值范圍；

(3)點尸在/軸負(fù)半軸上，連接R4,且R4_LAB，求點P坐標(biāo).

22.為進(jìn)行某項數(shù)學(xué)綜合與實踐活動，小明到一個批發(fā)兼零售的商店購買所需工具.該商店規(guī)定一次性購

買該工具達(dá)到一定數(shù)量后可以按批發(fā)價付款，否則按零售價付款.小明如果給學(xué)校九年級學(xué)生每人購買一

個，只能按零售價付款，需用3600元；如果多購買60個，則可以按批發(fā)價付款，同樣需用3600元，若按

批發(fā)價購買60個與按零售價購買50個所付款相同，求這個學(xué)校九年級學(xué)生有多少人？

23.如圖，矩形A8CO中，對角線AC,BZ)相交于點O,點尸是OC邊上的一點，連接AF，將

△AOb沿直線AF折疊，點D落在點G處，連接AG并延長交。C于點兒連接尸G并延長交3C于點

(2)求證：FH=ME.

24.如圖，5BC、uCDE1是兩個等腰直角三角形，EF±AD.

(2)求證：4EHGS/\ADG：

AEAC

（3）求證:

~EH~~HC

25.如圖1,二次函數(shù)y=ar?+力x+4的圖象經(jīng)過點A（-4,0）,8（-1,0）.

圖1圖2

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點P在二次函數(shù)對稱軸上，當(dāng)aBCP面積為5時，求尸坐標(biāo)；

（3）小明認(rèn)為，在第三象限拋物線上有一點。，使ND48+NAC8=90。；請判斷小明的說法是否正

確，如果正確，請求出。的坐標(biāo)；如果不正確，請說明理由.

參考答案

一、選擇題

2

1.3的倒數(shù)是（）

22八33

A.-B.---C.-D.---

3322

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)解答.

［詳解】解：???（一|）x（_|）=l,

23

???一二的倒數(shù)是一=,

32

故選：D.

【點睛】本題考查倒數(shù)的定義，掌握互為倒數(shù)的兩個數(shù)積為1,是解題的關(guān)鍵.

2.下列運算正確的是（）

A.2rz4-3Z?=5abB.（a-b）2=a2-b2

C.（加）=a%D.34（-4。2）=-12^5

【答案】D

【解析】

【分析】A、不能合并，本選項錯誤；B、利用完全平方公式展開得到結(jié)果，即可作出判斷；C和D、利用

積的乘方及事的乘方運算法則計算得到結(jié)果，即可作出判斷.

【詳解】解：2a和勸不是同類項，不能合并，故A選項錯誤，不符合題意；

（a-b）2=a2-2ab+b2,故B選項錯誤，不符合題意；

（ab2^=ayb\故C選項錯誤，不符合題意；

3".（-4"）=一］2/,故D選項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】此題考查了完全平方公式，合并同類項，同底數(shù)累的除法，積的乘方與幕的乘方，熟練掌握完全

平方公式是解本題的關(guān)鍵.

3.2023年1月17日，國家航天局公布了我國嫦娥五號月球樣品的科研成果.科學(xué)家們通過對月球樣品的

研究，精確測定了月球的年齡是20.3億年，數(shù)據(jù)20.3億年用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.2.03x108年B.2.03x109年c.2.O3xlO,0^D.20.3xlO9^

【答案】B

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為ax10〃的形式，其中1＜忖V10,〃為整數(shù)，確定〃的值時，要看把

原數(shù)變成〃時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時，

〃是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時〃是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案.

【詳解】解：20.3億年=2030000000年=2.03x1()9年，

故選B.

【點睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義.

4.小亮以四種不同的方式連接正六邊形的兩條對角線，得到如下四種圖形，則既是軸對稱圖形又是中心對

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形

叫做軸對稱圖形；根據(jù)中心對稱圖形的概念：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合，

即可得到答案.

【詳解】解：A、既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意；

B、既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意；

C、既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意；

D、是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，故該選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，掌握概念是解題關(guān)鍵.

5.把一塊直角三角板和一把直尺如圖放置，若Nl=35。，則N2的度數(shù)等于()

A.65°B.55°C.45°D.60°

【答窠】B

【解析】

【分析】如圖所示，過點。作則O石〃AB〃CD,由平行線的性質(zhì)得到

ZEOC=Z2,ZAOE=Z\f進(jìn)而推出Nl+N2=90°,由此即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過點。作

?:ABNCD,

:.OE//AB//CD,

:?/EOC=Z2,ZAOE=Z\,

■:ZAOC=ZEOC+NAOE=90°，

???Nl+N2=90°,

???Zl=35°,

AZ2=9O°-Z1=55°,

故選B.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)

6.為了解學(xué)生的身體素質(zhì)狀況，國家每年都會進(jìn)行中小學(xué)生身體素質(zhì)抽測.在今年的抽測中，某校九年級

二班隨機抽取了10名男生進(jìn)行引體向上測試，他們的成績（單位：個）如下：7,11,10,1b6,

14,11,10,1b9.根據(jù)這組數(shù)據(jù)判斷下列結(jié)論中箱送的是（）

A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是11B.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是10

C.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是10D.這組數(shù)據(jù)的方差是4.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義，中位數(shù)，平均數(shù)，方差的計算方法即可求解.

【詳解】解：A、這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是11,故眾數(shù)是11，正確，不符合題意；

B、這組數(shù)據(jù)重新排序為：6,7,9,10,10,11,lb1b11，14,故中位數(shù)是

"■^=10.5,錯誤，符合題意；

-小RWjFi刈口7+11+10+11+6+14+11+10+11+9100s山f出則口，八十必

C、這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是-------------------------------------二——=10,故平均數(shù)是10，正確，

1010

不符合題意；

D、這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是10,方差是§2=[（10—7）2+（10-n）2+…+（10-9）2]=46,故方差是

10

4.6,正確，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題主要考查調(diào)查與統(tǒng)計中的相關(guān)概念和計算，掌握眾數(shù)的概念，中位數(shù)，平均數(shù)，方差的計算

方法是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，AB是0O直徑，。，。是。。上的點，ZADC=115°,則NB4C的度數(shù)是（）

A

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答窠】A

【解析】

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補和直徑所對圓周角等于90度求解即可.

【詳解】解：VZADC=115°,

???4=65。，

'：AB是OO的直徑，

???ZACB=90°,

???^BAC=180°-90°-65°=25°,

故選：A.

【點睛】本題考查圓的性質(zhì)，涉及到圓內(nèi)接四邊形對角互補和直徑所對圓周角等于90度，熟記知識點是

關(guān)鍵.

8.一次函數(shù)丁=辦+人與反比例函數(shù)），二些（mb為常數(shù)且均不等于0）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是

X

)

【解析】

【分析】先根據(jù)一次函數(shù)圖象確定。、b的符號，進(jìn)而求出。力的符號，由此可以確定反比例函數(shù)圖象所在的

象限，看是否一致即可.

【詳解】解：A、???一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限，

。>0,b>0,

:.ab>0,

.??反比例函數(shù)丁=茲的圖象見過第一、三象限，這與圖形不符合，故A不符合題意；

x

B、???一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，

。<0,/?>0,

，就<0,

???反比例函數(shù)），=些的圖象見過第二、四象限，這與圖形不符合，故B不符合題意；

x

C、??,一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三、四象限，

，。>0,bvO,

/.tzZ?<0,

，反比例函數(shù)），=a的圖象見過第二、四象限，這與圖形不符合，故c不符合題意；

X

D、???一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限,

，。<0,b>0,

二."v0’

反比例函數(shù))，=—的圖象見過第二、四象限，這與圖形符合，故D符合題意;

故選D.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與函數(shù)圖象的關(guān)系是解決

本題的關(guān)鍵.

9.如圖，OO是的外接圓，半徑為4,連接08,0C,OA,若NC40=40。，ZACB=70°,則

陰影部分的面積是()

4

A.—71

3

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求得/BOC=18()。—3()。'2=120。，再根據(jù)扇

形的面積公式即可求解.

【詳解】解：，：OC=OB,OA=OC,ZCAO=40°,

AZOCA=ZOAC=40°,/OCB=，OBC,

???ZACB=70°,

???Z.OBC=ZOCB=ZAC^-ZACO=70°-40°=30°,

???ZBOC=180°-30°x2=l20°，

故選：C.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及扇形的面積公式等知識，求出

/5。。=120。是解答的關(guān)鍵.

10.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之

重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相

同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了

13兩（袋子重量忽略不計），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重），兩.根據(jù)

我意得（）

llx=9y,l（）y+x=8x+y,

?［（10y+x）-（8x+y）=13.9x+13=lly.

9x=lly,9x=1ly

（10y+x）-（8x+y）=13.（8x+y）-（10y+%）=13.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①9枚黃金的重量=11枚白銀的重量；②（10枚白銀的重量+1枚黃金的

重量）-（1枚白銀的重量+8枚黃金的重量）=13兩，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可.

【詳解】解：設(shè)每枚黃金重工兩，每枚白銀重y兩，

由題意得'［（10y+x）-（8x+y）=13，

故選C.

【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出二元一次方程組，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

11.如圖，“3。是等腰三角形，AB=AC,ZA=36°.以點8為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于

點F,交BC于點G,分別以點尸和點G為圓心，大于!尸G的長為半徑作弧，兩弧相交于點H,作射線

2

BH交AC于點、D；分別以點B和點。為圓心，大于1用9的長為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點，作直

2

線MN交AB于點E,連接OE.下列四個結(jié)論：①NAED=N48C；②8C=AE；?ED=-BC；④當(dāng)

2

AC=2時，AD=逐一1.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等與NA=36。，得到NA5C=NC=72。，根據(jù)角平分線定義得到

ZABD=ZCBD=36°f根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得到砂=ED,得到NEBD=NEDB，推出

NEDB=NCBD,得到OE〃3C,推出NAED=NA8。，①正確；根據(jù)等角對等邊得到AD=AE，

AD=BD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到NBDC=72o=NC,得到BC=BD,推出8C=AE,②正確；

根據(jù)△AEDsAABC，得到g==r空匚，推出石。=避二15。，③錯誤；根據(jù)ac=2

BCACAD+DC2

時，CO=叵1AO,得到避二!■A。：？一AO,推出=6-1，④正確.

22

【詳解】???J1BC中，AB=AC,ZA=36°,

???ZABC=ZC=1(180°-ZA)=72°,

由作圖知，4。平分NA6C,MN垂直平分BD,

AZABD=ZCBD=-ZABC=36°,EB=ED，

2

:?ZEBD=/EDB，

:?/EDB=NCBD,

：.DE//BC,

：,ZAED=ZABC,①正確;

ZADE=NC,

工ZAED=ZADE>

???AD=AEf

'：ZA=ZABDr

AD=BD，

■:/BDC=ZA+ZABD=72°,

???4DC=NC,

:.BC=BD,

：.BC=AEf②正確；

設(shè)即=無，BC=a,

則AD=a,BE—x?

:.CD=BE=x,

■:/\AED^/\ABC，

EDADAD

?.-----------------------，

BCACAD-kDC

xa

:,一=---，

aa+x

x24-ax-?2=0?

Vx>0,

.75-1

??x=-------a，

2

即EZ)=避二!■BC，③錯誤；

2

當(dāng)AC=2時，CD=2-AD,

?:CD=^^~AD，

2

???^^AO=2-AO,

2

:.ADf-l，④正確

???正確的有①?④，共3個.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形，相似三角形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形判定和性質(zhì),

相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義和線段垂直平分線的性質(zhì).

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtZ\A08的一條直角邊。8在x軸上，點A的坐標(biāo)為(-6,4)；

Rt-CO力中，Z.COD=90°,00=46ZD=30°?連接8C,點M是3c中點，連接40.將

RtCOO以點。為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AM的最小值是()

A.3B.6夜-4C.2屈-2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】如圖所示，延長胡到E,使得AE=A8,連接。笈CE,根據(jù)點A的坐標(biāo)為(-6,4)得到

BE=8,再證明AM是LBCE的中位線，得到4M=』CE；解Rt二COD得到0C=4,進(jìn)一步求出點

2

C在以。為圓心，半徑為4的圓上運動，則當(dāng)點M在線段OE上時，CE有最小值，即此時AM有最小

值，據(jù)此求出CE的最小值，即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，延長BA到E,使得4E=A5,連接OE,CE,

,:RtZXAOB的一條直角邊0B在k軸上，點人的坐標(biāo)為(-6,4),

???AS=4,08=6,

?\AE=AB=4,

:.BE=8,

???點M為BC中點,點4為比:中點，

???AM是乙區(qū)CE的中位線，

???AM=-CE：

2

在Rt/COD中，ZC0D=90°,0D=4&NO=30。，

.?.OC=—OD=4^

3

???將RtCOD以點。為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn),

.?.點。在以O(shè)為圓心，半徑為4的圓上運動,

，當(dāng)點M在線段OE上時，CE有最小值，即此時AW有最小值,

?：OE=JBE2+OB?=10,

???CE的最小值為10—4=6,

；?AA7的最小值為3,

故選A.

【點睛】本題主要考查了一點到圓上一點的最值問題，勾股定理，三角

形中位線定理，坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

13.已知關(guān)于x的一元二次方程Y—4x—a=0有兩個不相等的實數(shù)根，則。的取值范圍是

【答案】

【解析】

【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可.

【詳解】解；???關(guān)于”的一元二次方程9一4工一0—0有兩個不相等的實數(shù)根,

:.A=/?2-4?c=(-4)-4xl(-a)>0,

??GV-4,

故答案為：。<-4.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程o?+瓜+。=0（4。0）,若

△=〃2—4ac>0,則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若A=b2—4ac=0,則方程有兩個相等的實數(shù)根，若

A=Z?2—4ac<0>則方程沒有實數(shù)根.

14.為了測量一個圓形光盤的半徑，小明把直尺、光盤和三角尺按圖所示放置于桌面上，并量出

AB=4cm,則這張光盤的半徑是cm.（精確到o」cm.參考數(shù)據(jù)：0之1.73）

【答案】6.9

【解析】

【分析】設(shè)光盤的圓心為O,三角尺和光盤的切點為C,連接OC,OB,Q4,經(jīng)過圓外一點A的兩條直線

AGAB都與圓O相切，所以04為N84C的角平分線，Z0AC=Z0AB=-ZBAC=60°,同時由切

2

線的性質(zhì)得到OC_LAC,Q8_LA3,在中，1血/。48=1@1160。="，求出08=4辰01，

AB

即為圓的半徑，進(jìn)而確定出圓的直徑.

【詳解】解：設(shè)光盤的圓心為0,三角尺和光盤的切點為C,連接OC,OB,OA,如下圖所示:

VACA8分別為圓。的切線，

??為N8AC的角平分線，即OC_LAC,OBA-AB,

又；ZC4D=60°,

:.Z.0AC=ZOAB=-NBAC=60°,

2

在RtaAOB中，ZOAB=60°fA8=4cm,

AtanZOAB=tan60°=—,—=73,

AB4

***OB-4\/3cm?6.9cm，

則這張光盤的半徑為6.9cm；

故答案為：6.9.

【點暗】此題考查了切線的性質(zhì)，切稅長定理，銳角三角函數(shù)定義，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握

性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.

15.二次函數(shù)），二一/-3x+4的最大值是.

【答案】一25

4

【解析】

【分析】利用配方法把二次函數(shù)一般式化為頂點式，即可求解.

【詳解】解：利用配方法，將一般式化成頂點式：

2c4Z3、225

y=-x-3x+4=-（x+—）+—

,24

???二次函數(shù)開口向下，

，頂點處取最大值，

325

即當(dāng)/二一二時，最大值為二.

24

25

故答案為：—.

4

【點睛】本題考查二次函數(shù)的相關(guān)知識.將一般式化為頂點式，頂點處取到最值.其中配方法是解決問題

的關(guān)鍵，也是易錯點.

16.在一次綜合實踐活動中，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組對一電視發(fā)射塔的高度進(jìn)行了測量.如圖，在塔前C

處，測得該塔頂端8的仰角為50。，后退60m（CD=60m）到。處有一平臺，在高2m

（DE=2m）的平臺上的E處，測得8的仰角為26.60.則該電視發(fā)射塔的高度A3為m.（精

確到1m.參考數(shù)據(jù)：tan50°?1.2,tan26.6°?0.5）

【答案】55

【解析】

【分析】如圖所示，過點E作所_LA8于尸，則四邊形ADEF是矩形，可得到

AF=DE=2mfEF=AD；設(shè)防=xm,則A/=(x+2)m,解RtZ\ABC得到

>4C?-(x+2)m,解RtZ\8￡尸得到EFn2xm,進(jìn)而建立方程2%=*(/+2)+60

66

,解方程即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過點E作EF_LA3于F,

由題意得，A3J_ADDE.LAD,

???四邊形ADEF是矩形,

AAF=DE=2mfEF=AD,

設(shè)斯=311,則A3=區(qū)尸=（工+2）01

AD

在RtAABC中，tanZ.ACB=——

AC

x+25

???AC=——----------X-x+2)m,

tanZACBtan5006

BF

在Rt￡J?E/中，tanZBEF=——

EF

3—^

-X---q2.xm,

tanZ.BEFtan26.6°

EF=AD,

2X=1(X+2)+60,

:.x?53?

:.AB=x+2?55m,

故答案為：55.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，矩形的

性質(zhì)與判定等等，正確理解題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在?鉆C中，AC=8C=16，點。在A5上，點E在上，點B關(guān)于直線￡>￡1的軸對稱點

為點、B'，連接OB',EB',分別與AC相交于F點，G點，若A/—gDF-7,BT-4,則CG的長度

為__________

A

【答案】4.5

【解析】

Apr)r

【分析】根據(jù)等邊對等角和折疊的性質(zhì)證明NA=NB'，進(jìn)而證明二則H=然后

代值計算求出Gr=3.5,則CG=AC—4尸一G/=4.5.

【詳解】解：???AC=5C=16,

???Z4=ZB，

由折疊的性質(zhì)可得Z_B=NB,

；?ZX=N?，

又???ZAFD=/BFG,

A^AFD^^FG,

AFDF87

-■-=,即nn一=,

B'FGF4GF

:?GF=35,

：.CG=AC-AF-GF=4.5,

故答案為：4.5.

【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角等等，證明

一AEE5一？FG是解題的關(guān)鍵.

18.已知，OAAAA都是邊長為2的等邊三角形，按下圖所示擺放.點

△&,Z\4AI，Z\74，

42,4，4,.......都在％軸正半軸上，且4A=AA=44=.......=1，則點4O23的坐標(biāo)是

【答案】（2023,-6）

【解析】

【分析】先確定前幾個點的坐標(biāo)，然后歸納規(guī)律，按規(guī)律解答即可.

【詳解】解：由圖形可得：4（2,0）,4（3,0）,4（5,0）,4（6,0）,4（8,0）,4（9,0）,

.*.O^=cos60°x（74I=l，A8=sin60OxO4,=6,

???A（1，①

同理：A《4,一6）,4（7,6），4（10,-后），

???&.43〃-1,0），4“（3〃,0），4向（3〃+1,君）（3〃+1）為偶數(shù),國為奇數(shù);

???2023+3=6741,2023奇數(shù)

???仆（2023,-6）.

故答案為（2023,-6）.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、坐標(biāo)規(guī)律等知識點，先求出幾個點、發(fā)現(xiàn)規(guī)

律是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題

19.(1)化簡：f2--"A2-h10A+25

Ix+2)x2-4

2x+7>3

⑵解不等式組：L+lx-\.

---->-----

32

x—2

【答案】(1)--；(2)-2<x<5

x+5

【解析】

【分析】(1)根據(jù)分式的混合計算法則求解即可:

(2)先求出每個不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到(無解)”

求出不等式組的解集即可.

cx—+l0A+25

【詳解】解:(1)2---------4--------------------

x+2)X2-4

_(2x4-4x-lY(x+5)2

(x+2x+2)(x+2)(x-2)

_x+5(x+2)(x-2)

-(x+5)2

_x-2

x+5

2x+7>3①

(2)\ix-1_

——x+>——②

32

解不等式①得：x>-2,

解不等式②得：x<5,

???不等式組的解集為一2Vx<5

【點睛】本題主要考查了分式的混合計算，解一元一次不等式組，正確計算是解題的關(guān)鍵.

20.2022年10月16日至10月22日，中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會在北京召開.為激勵青少年爭做

黨的事業(yè)接班人，某市團市委在黨史館組織了“紅心永向黨”為主題的知識競賽，依據(jù)得分情況將獲獎結(jié)

果分為四個等級：A級為特等獎，B級為一等獎，C級為二等獎，。級為優(yōu)秀獎.并將統(tǒng)計結(jié)果繪制成了

如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

請根據(jù)相關(guān)信息解答下列問題：

（1）本次競賽共有名選手獲獎，扇形統(tǒng)計圖中扇形C的圓心角度數(shù)是度；

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）若該黨史館有一個入口，三個出口.請用樹狀圖或列表法，求參賽選手小麗和小穎由館內(nèi)恰好從同

一出口走出的概率.

【答案】⑴200.108

（2）見解析（3）-

3

【解析】

【分析】（1）用A級的人數(shù)除以其人數(shù)占比即可求出獲獎選手的總數(shù)，進(jìn)而求出8級的人數(shù)，由此即可求

出。級的人數(shù)，再用360度乘以C級的人數(shù)占比即可得到答案；

（2）求出B級的人數(shù)，然后補全統(tǒng)計圖即可；

（3）先列出表格得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意得結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可.

【小問1詳解】

144°

解：80---=200名,

360°

???本次競賽共有200名選手獲獎，

???C級人數(shù)為200—80—200x25%—10=60名，

???扇形統(tǒng)計圖中扇形C的圓心角度數(shù)是360。乂幽=108度,

200

故答案為：200,108：

【小問2詳解】

解：5級的人數(shù)為200x25%=50名，

補全統(tǒng)計圖如下：

【小問3詳解】

解：設(shè)這三個出口分別用E、尸、G表示，列表如下:

EFG

E(E,E)（尸，E）(G,￡)

F出F)(F,F)(G,F)

G(E,G)(F,G)(G,G)

由表格可知一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中參賽選手小麗和小穎由館內(nèi)恰好從同一出口走出的結(jié)果數(shù)

有3種,

31

???參賽選手小麗和小穎由館內(nèi)恰好從同一出口走出的概率=§=].

【點睛】本題主要考查了扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖信息相關(guān)聯(lián)，樹狀圖法或列表法求解概率，正確讀懂統(tǒng)

計圖，畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，一次函數(shù)y=-21+2的圖象與反比例函數(shù)％=&的圖象分別交于點A,點3,與y軸，上軸

x

分別交于點C，點O,作AE1），軸，垂足為點七，OE=4.

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在第二象限內(nèi)，當(dāng)弘＜出時，直接寫出x的取值范圍;

（3）點尸在x軸負(fù)半軸上，連接24,且P4J_AB，求點P坐標(biāo).

4

【答窠】（1）丁=一一；

x

（2）-l<x<o；

(3)(-9,0).

【解析】

【分析】（1）求出點A坐標(biāo)，即可求出反比例函數(shù)解析式；

（2）觀察圖象特點，即可得出取值范圍；

（3）先證明三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出線段尸。長，最后由線段和差即可求出。尸的長.

【小問1詳解】

???QE=4,AE1.），軸，

，￡（0,4）,點A的縱坐標(biāo)為4，

???點A在y=-2工+2圖象上，

???當(dāng)y=4時，4=-2x+2,解得：x=-l,

，點A坐標(biāo)為（-L4）,

???反比例函數(shù)必的圖象過點A,

x

；?4二-1x4=—4,

4

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=-一；

x

【小問2詳解】

如圖，在第二象限內(nèi)，當(dāng)x</2時，一1<工<0,

【小問3詳解】

如圖，過A作軸于點

：A￡_Ly軸，

???ZAEO=ZEOM=ZOMA=90°,

???四逅形AEOM是矩形，

AAM=OE=4,OM=AE=\,

,：PAA-AB,

：?ZPAD=90°,即：ZPAM+ZDAM=90°，

???NZMM+NADM=90。，

:./PAM=ZADM,

:?ZDAM=ZAPD，

???^PAD^^AMD,

.ADPD

??礪一茄’

由y=-2x+2得：y=0時，一2%+2=0，解得：x=\,

??.點D(l,0),

???4Z)=J(_]_1)2+(4_0『=26，MD=2,

.2君PD

??-9

22石

???PD=10,

???點P(—9,0).

【點睛】此題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)、求解反比例函數(shù)解析式、根據(jù)圖象確定自變量x的取

值范圍，相似三角形的判定等知識，注重數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵.

22.為進(jìn)行某項數(shù)學(xué)綜合與實踐活動，小明到一個批發(fā)兼零售的商店購買所需工具.該商店規(guī)定一次性購

買該工具達(dá)到一定數(shù)量后可以按批發(fā)價付款，否則按零售價付款.小明如果給學(xué)校九年級學(xué)生每人購買一

個，只能按零售價付款，需用3600元：如果多購買60個，則可以按批發(fā)價付款，同樣需用3600元，若按

批發(fā)價購買60個與按零售價購買50個所付款相同，求這個學(xué)校九年級學(xué)生有多少人？

【答案】這個學(xué)校九年級學(xué)生有300人.

【解析】

【分析】設(shè)零售價為x元，批發(fā)價為y,然后根據(jù)題意列二元一次方程組求得零售價為12元，然后用3600

除以零售價即可解答.

【詳解】解：設(shè)零售價為x元，批發(fā)價為y,

根據(jù)題意可得：

50x=60y

則學(xué)校九年級學(xué)生3600+12=300人.

答：這個學(xué)校九年級學(xué)生有300人.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，審清題意、列二元一次方程組求得零售價是解答本題的

關(guān)鍵.

23.如圖，矩形ABCO中，對角線AC,BO相交于點O,點尸是0c邊上的一點，連接"，將

△AQP沿直線A尸折疊，點D落在點G處，連接AG并延長交QC于點兒連接AG并延長交8c于點

M,交43的延長線于點E,且=

4￡__?__.c

（1）求證：四邊形06所是平行四邊形；

（2）求證：FH=ME.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明=AE=8O，ZAGE=ZDAB=90°,由此

即可證明RtZXABZ涇RtZ\GEA得到NAEG=N￡)NA,進(jìn)而推出區(qū)￡>〃瓦，再由的〃。/，即可證

明四邊形￡)3石尸是平行四邊形；

(2)由(1)的結(jié)論可得應(yīng)：=。/，進(jìn)一步證明3E=G/，再證明△F’GH也△EBM,即可證明

FH=ME.

【小問1詳解】

證明：???四邊形48co是矩形，

AAB//CD,AD=BC,ZADC=ZABC=-BAD=90°,AC=BD,

2

由折疊的性質(zhì)可得4D=AG,ZAGF=ZADF=90°，

ZAGE=ZDAB=90°

VAC=AE,AC=BD,

：?AE=BD,

???RtZVlBD^RtAGE4(HL),

：.ZAEG=ZDBA,

???BD〃EF、

又丁BE〃DF，

???四邊形。班尸是平行四邊形；

【小問2詳解】

證明：?.?四邊形。巫尸是平行四邊形，

:,BE=DF,

由折疊的性質(zhì)可得Gr=。尸，

???BE=GF,

,:CD〃AB,

???NHFG=NE,

又???NFGH=180°-ZAGF=90°=/MBE,

???AFGH^AEBM(ASA),

:?FH=ME.

【點睛】本題主要考查了矩形于折疊問題，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟

練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，JRC、CDE兩個等腰直角三角形，EFJ.AD，

（1）當(dāng)AF=D尸時，求NAED；

（2）求證：AEHGSRADG；

AEAC

（3）求證:

~EH~HC

【答案】（1）60°

（2）見詳解（3）見詳解

【解析】

【分析】（1）先證明E4=E￡>,再證明GC是線段E7）的垂直平分線，即有E4=AD=O石，即上￡4。

是等邊三角形，問題得解；

（2）根據(jù)垂直可得？AGE2AGD2AFH90?,又根據(jù)？97G?AHF,可得

THEG?